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Full text of "Leçons sur l'électricité et le magnétisme"

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LEÇONS 



L'ÉLFXTRICITÉ 



MAGNÉTISME 



l'aris. - Imprimerie C.AU l'IllKH-VILI.AKS ET Kll.S, quai des Grands-Augustins, 



LEÇONS 



SUR 



L'ÉLECTRICITÉ 



MAGNÉTISME, 



PAR 

P. DUHEM, 



CHARGÉ d'un cours complémentaire de PilYSIQUE MATHEMATIQUE 
ET DE CRISTALLOGRAPHIE A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE LILLE. 



TOME IL 

LES AIMANTS ET LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 





PARIS, 

GAUTHIER-VILLiVRS ET FILS, IMPRIiMEURS-LIBRAIRES 

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 
Quai des Grands-Augustins, 55. 

1892 

( Tous droits réservés. ) 



QC 



LEÇONS 



L'ÉLECTRICITÉ 



MAGNÉTISME. 



TOME II, 



LIVRE VIL 



LES FORCES MAGNÉTIQUES. 



CHAPITRE PREMIER. 



PREMIÈRES DEFINITIONS. 



§ 1. — Pôles magnétiques ('). 

Si l'on fait agir l'une sur l'autre deux aiguilles aimantées très 
minces, AB, A'B', on observe que le mouvement pris par l'ai- 
guille AB peut toujours être attribué à quatre forces : deux sont 
appliquées au point A et dirigées suivant les droites A' A, B'A; 



(') Les premières idées nettes sur les actions mutuelles des aimants sont dues 
à Tobias Mayer [Theoria magnetica {Gœtting. gel. Anz., 1760)] et à ^Epinus 
[Examen theoriœ magneticœ a Tob. Mayero propositœ {Novi Commentarii 
Academiœ Petropolilanœ, t. XII, p. 3i5; 1766)]. 

D. — IL X 



2 LIVRE Vil. — LES FORCES MAGNETIQUES. 

deux autres sont appliquées au point B et dirigées suivant les 
droites A'B, B'B. Les extrémités des aiguilles auxquelles sont ap- 
pliquées ces forces portent le nom de pôles magnétiques des 



aiguilles. 



Supposons que A, A' soient, pour nos deux aiguilles, les pôles 
qui, à Paris, se dirigent vers le nord, et B, B' les pôles qui se 
dirigent vers le sud. On dit que les pôles A, A' renferment du 
magnétisme austral et les pôles B, B' du magnétisme boréal. 

On observe que l'action de A' sur A et l'action de B' sur B sont 
toujours répulsives, tandis que l'action de B' sur A et l'action de A' 
sur B sont toujours attractives; d'où la loi : 

Les pôles magnétiques de même nom se repoussent ; les pôles 
magnétiques de noms contraires s'attirent. 

L'action qu'un pôle magnétique. A', par exemple, exerce sur 
un autre pôle magnétique, A, par exemple, est égale et de sens 
contraire à l'action que le pôle magnétique A exerce sur le pôle A'. 
Les actions mutuelles des pôles magnétiques sont soumises à 
la loi de l'égalité entre l'action et la réaction. 

Lorsque plusieurs aiguilles aimantées A'B', A"B", ... agissent 
simultanément sur une même aiguille AB, les forces qui sollicitent 
cette dernière s'obtiennent en composant entre elles les forces qui 
la solliciteraient si elle subissait séparément l'action de l'aiguille 
A'B', puis de l'aiguille A"B", .... 

L'action qu'un pôle magnétique A' exerce sur un autre pôle ma- 
gnétique A dépend de la distance /' qui sépare ces deux pôles; elle 
décroît lorsque cette distance augmente. Tobie Majer avait déjà 
soupçonné que cette action devait varier comme l'inverse du carré 
de la distance /•. Coulomb (') et, plus tard, Hansteen (-) ont dé- 
montré expérimentalement l'exactitude de cette proposition. Leurs 
expériences laissent beaucoup à désirer. Nous verrons, au prochain 
Chapitre, comment Gauss a établi cette loi avec une admirable 
précision. Provisoirement, nous laisserons indéterminée la fonction 



(') Coulomb, Second Mémoire sur l'Électricité' et le Magnétisme, où l'on 
détermine suivant quelles loix le fluide magnétique, ainsi que le fluide élec- 
trique, agissent, soit par répulsion, soit par attraction {Mémoires de l'Aca- 
démie royale des Sciences pour 1785, p. 578). 

(') Hansteen, Lettre à M. Œrsted, professeur à l' Université de Copenhague 
{Journal de Physique de Delamétherie, t. LXXV, p. 4i8; 1812). 



CHAP. I. — PREMIÈRES DKFIMTIONS. 3 

de la distance qui régit l'action nuitiielle de deux pôles magné- 
tiques. 

Si, sur le pôle austral A d'une aiguille aimantée AB, nous faisons 
agir successivement, à la même distance R, les pôles de même nom 
a^ a\ a"j ... de diverses aiguilles ab, a'b', a'^b", ... et les pôles 
de nom contraire b, b', b", ... de ces mêmes aiguilles, nous obser- 
\erons que les actions exercées sont différentes. Nous représente- 
rons par F, F', F", ...,/, /', /", . • • ces actions, les actions répul- 
sives F, F', F", . . . étant comptées positivement, et les actions 
attractives y, /', /"••- étant comptées négativement. 

Lorsque le pôle austral A et la distance R ont été choisis une 
fois pour toutes, ces actions F, F', F", .. ., f, f',f". ... caracté- 
risent les pôles a, «', a", . . ., 6, b'^ b", .... On donne à ces actions 
le nom de masses magnétiques ou de quantités de fluide ma- 
gnétique que renferment les pôles considérés. 

D'après cette définition, une masse magnétique australe est 
positis^e; une masse magnétique boréale est négative. 

On voit aussi, d'après cette définition, qu'un pôle de masse 
magnétique (//i + ni!) équivaut à la juxtaposition d'un pôle de 
masse magnétique m et d'un pôle de masse magnétique m'. Un 
pôle de masse magnétique o équivaut à l'absence de pôle magné- 
tique. 

L'expérience montre que les masses magnétiques de signes 
contraires, placées aux deux pôles d'une même aiguille, sont 
égales en valeur absolue. 

Prenons les pôles «, «', «", . .., b^ b' ^ b", ... ; plaçons-les succes- 
sivement à une même distance /• d'un même pôle quelconque P. 
Le pôle P subira des actions <ï>, O', 4>", . . ., o, o', o", L'expé- 
rience montre que l'on a 

Les actions que divers pôles d'aimants exercent, à une même 
distance, sur un pôle quelconque, sont proportionnelles aux 
masses magnétiques que renferment ces pôles. 

Il est facile de tirer de là la conclusion suivante : 

Soient P et P' deux pôles magnétiques ; soient m et m' les masses 



4 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNETIQUES. 

magnétiques qui se trouvent en ces deux pôles; soit T l'action que 
ces deux pôles exercent l'un sur l'autre à la distance /•, cette action 
étant comptée positivement lorsqu'elle est répulsive et négative- 
ment lorsqu'elle est attractive. On pourra écrire 

T=m/n'/(/-), 

/(/•) étant une fonction de la distance /', qui est la même pour 
tous les pôles d'aimants, qui est positive pour toute valeur de /•, 
qui décroît lorsque ;• augmente. 

La fonction ./{?') dépend du choix du pôle étalon A et de la 
distance R; si l'on remplace ce pôle et cette distance par un autre 
pôle et une autre distance, on augmente ou on diminue f{r) dans 
un certain rapport indépendant de /■. 

Le choix du pôle A et de la distance R est arbitraire; le plus 
commode est le suivant : pour distance R, on prend l'unité de 
longvieur; on choisit le pôle A, de façon qu'un pôle identique A', 
séparé du pôle A par l'unité de longueur, exerce sur le pôle Aune 
action répulsive égale à l'unité de force. 

D'après cette définition, on voit que la masse magnétique du 
pôle A' est égale à l'unité. Il en est de même de la masse magné- 
tique du pôle A. La masse înagnétirjue du pôle étalon A est 
V unité de masse magnétique; elle est définie par cette pro- 
priété : deux masses magnétiques égales à l'unité, séparées 
par une longueur égale à V unité, exercent V une sur l' autre 
une action répulsive égale à l^ unité de force. 

On volt sans peine que cette définition équivaut à la condition 
suivante : la fonction f {?•) devient égale à V unité lorsque la 
distance r est prise égale à V unité de longueur. 

§ 2. — Des éléments magnétiques. Action d'un aimant sur un pôle. 

Ce qui précède ne s'applique qu'aux actions mutuelles des ai- 
guilles aimantées qui sont très longues et très minces. Voici 
comment on peut étendre les considérations exposées au précé- 
dent paragraphe à l'étude des aimants quelconques (*). 

(') Cette extension est due à Coulomb [Septième Mémoire sur l'Électricité 
et le Magnétisme : du Magnétisme. Art. XXX {Mémoires de l'Académie des 
Sciences, pour 178c), p. 488)]. 



CIIAP. I. — PREMIÈRES DÉFINITIONS. 5 

Prenons un corps aimanté de forme quelconque et décou- 
pons-le en éléments de volume. Nous admettrons que chacun de ces 
éléments de volume agit sur un pôle cl^ aimant extérieur à V ai- 
mant comme s'il renfermait une certaine magnétique m^ positive 
ou australe, placée en un de ses points a et une masse magnétique 
( — ni) égale à la précédente, de signe contraire et placée en un 
point h très voisin de «; en d'autres termes, nous regarderons les 
actions de cet élément comme identiques aux actions d'une petite 
aiguille aimantée placée selon ha. Les définitions et les proposi- 
tions données dans ce qui précède pour les aiguilles aimantées 
s'étendront maintenant aisément aux actions exercées par un ai- 
mant quelconque sur un pôle magnétique qui lui est extérieur. 

Considérons un élément magnétique dv ou ba^ et cherchons 
son action (') sur la masse magnétique M placée en A. 

La masse m, située en «, exerce sur la masse M une action 

F = Mm/(/-), 

/• désignant la distance «A et la force F étant dirigée suivant aK. 
La masse ( — m), située en h^ exerce sur la masse M une ac- 
tion 

F'= — M w /(/•'), 

/■' désignant la distance ^ A, et la force F' étant dirigée suivant 6 A. 
Si l'on déplace l'un par rapport à l'autre le pôle A et l'élément, 
les forces précédentes et les actions égales et directement oppo- 
sées que le pôle A exerce sur l'élément effectuent un travail 

rfS = Ff//'+ F'c^/-'= Mm [/(r)^/- — /(/•') rf/-']. 

Soit C5(r) une fonction quelconque de r, telle que 

nous aurons 

tZG = — MmS [o(r) — o(/'')]- 

Désignons par / la direction ba\ par dl la longueur ba; nous 

aurons 

dr 

/•' = /■ -j dl = r -{- cos ( /•. / ) dl 

01 



(') Tout ce qui suit est dû à Poisson [Mémoire sur la Théorie du magnétisme 
{Mémoires de l'Académie des Sciences, t. V, p. 347; '824)]. 



6 LIVRIÎ VII. - LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

el, par conséquent, 

d^ = ~M/ndlS[f{r)cos{r,l)]. 

Les actions mutuelles d'un élément magnétique et d'un pôle 
d'aimant admettent un potentiel qui a pour valeur 

(i) P = Mmdl/{r) cos(/-, rf/). 

Les actions mutuelles d'un aimant quelconque et d'un pôle 
d'aimant admettent un potentiel, qui s'obtient en faisant la somme 
des potentiels de chacun des éléments magnétiques sur le pôle. 

Posons 

(■^0 'yi)=^f(r)cos(r,l)mdl, 

le signe ^ indiquant une sommation qui s'étend à tous les élé- 
ments magnétiques qui composent un aimant. La fonction X>i dé- 
finie par cette égalité, est ce qu'on nomme la fonction poten- 
tielle /nagnétique de l'aimant au point A. 

Le potentiel mutuel de l'aimant et d'ime masse magnétique M, 
placée au point A, a alors pour valeur 

(3) n = Mt:>. 

On voit qu'un élément magnétique ne figure, dans l'expression 
de la fonction potentielle, que par la direction / et la valeur du 
produit mdl. 

La direction / ou ba est ce que l'on nomme la direction de l'ai- 
mantation en un point de l'élément. 

Le produit mdl est ce que l'on nomme le moment magnétique 
de l'élément. 

Soit dv le volume de l'élément, et posons 

m dl = D]\. dv. 

.')1"L est une quantité qui a, en tout point de l'aimant, une va- 
leur finie, et que nous nommerons V intensité d' aimantation en 
un point. 

On voit, par ce qui précède, que les actions mutuelles d'un 
aimant et d'un pôle extérieur à cet aimant sont complètement 
définies lorsque l'on connaît la grandeur et la direction de 
V aimantation en tout point de l'aimant. 



CHAP. I. — PREMIÈRES DÉFINITIONS. 7 

Sur la ligne /, dans la direction de cette ligne, portons une lon- 
gueur égale à Oli. Soient X, i)b, 3 les projections de cette gran- 
deur sur trois axes de coordonnées rectangulaires O^r, Oj', Os. 
Ces trois quantités Jj, al'o, G sont les trois composantes de V ai- 
mantation en un point de Vêlement dv . 

La connaissance de ces trois quantités en tout point d'un ai- 
mant suffît à définir l'action de cet aimant sur tout pôle extérieur, 
car l'intensité de l'aimantation est alors donnée en tout point par 
l'égalité 

DfL = (a.,2 + 1)1.2-1- ©2)2 



et la direction de l'aimantation est définie par 



cos(/, x) 



CAO 






cos(/, z) = 



0\L 



Ces relations permettent de donner une forme commode à la 

fonction potentielle magnétique définie par l'égalité (2), 

On a, en efTet, 

mdl = dKdv, 

cos(/-, /) = cos(/', x) cos(/, X) -H cos(/-,_;k) co%{l,y) -t- cos(/-, z) cos{l, z). 

Soient x,y, z les coordonnées du point A, et ^, Tj, ^ les coor- 
données d'un point de l'élément d\^. On aura 



cos(r, a?) — — -— , 
ox 



cos{r, y) .. - -, 



cos(/-, z) = 



dr 



Si donc, comme nous l'avons déjà fait, on définit la fonction 
o (r) par l'égalité 

la fonction potentielle magnétique au point A aura pour expres- 
sion 

(5) '^{x,y,z) 



/[-^-*1^--^1- 



Dans la suite de cet Ouvrage, nous rencontrerons constamment 
des expressions de la forme 

f\ et/o se déduisant de/et ^, et ^2 de ^ par permutation tournante. 



x = 


-M 5?, 

dx 


Y = 


--%' 


Z = 


-<■ 



8 LIVRE Vil. — LES FORCES MAGNETIQUES. 

Pour abréger les formules, nous représenterons une semblable 
expression par 

11/^11- 

Moyennant cette notation, la formule précédente devient 

,,= /-|l„^^[|*. 

J II ^\ Il 

D'après la formule (3), on voit qu'une masse magnétique M, 
placée au point {x^ jk, -s) extérieur à l'aimant, subit, de la part de 
cet aimant, une action dont les composantes sont 



(6) 



En effet, si l'on donne au pôle A un déplacement dont les com- 
posantes soient Sj:, ùy^ û3, sans déplacer l'aimant, les actions 
mutuelles de l'aimant et du pôle devront effectuer un travail 

Xo:r H- Yoj' -4- Zos. 

Mais, d'après l'expression du potentiel mutuel de l'aimant et du 
pôle que donne la formule (3), ce travail doit aussi avoir pour 
valeur 

-^W^'^dJ^'^-^-à^'')' 
ce qui démontre l'exactitude des formules (6). 

§ 3. — Potentiel mutuel de deux aimants. 

Ajant le potentiel d'un aimant sur un pôle magnétique, nous 
pouvons trouver le potentiel d'un aimant sur un autre élément 
magnétique. 

Soient A et B les pôles de ce dernier; soit L la direction de 
son axe magnétique; soit dh la distance BA. Le point A a pour 

coordonnées X, y, z, et le point B (x — ->. dLU (y ^dL), 



CHAP. 1. — PUEMIÈRES DÉFINITIONS. 9 

(c — ^-,^- dLy Les deux pôles A et B renferment des masses ma- 
gnétiques M et — iM. 

Soit di^' un élément de volume de l'aimant; soient (x', y', z') un 
point de cet élément; AJ , i)l)', 3' les composantes de l'aimanta- 
tion en ce point; r la distance de ce point au point A; ;•, la dis- 
tance de ce point au point B. 

D'après les égalités (3) et (5), l'aimant et le pôle A ont un 

potentiel mutuel 

/Il ()o(r) Il 
Il àx' Il 

De même, l'aimant et le pôle B ont un potentiel mutuel 



„. = _,, /"Il X'^i-' Il rf/. 

J 11 àx II 



Mais on a 



et 



.L^^L 



MdL^^yidv, 

dv étant le volume de l'élément et DÏL son aimantation. 

Le potentiel mutuel de l'aimant v' et de l'élément dv a donc 
pour valeur 

(7) ^=dX^d.fU\x^-\^ d,'. 

J ûL II ôx 

Cette expression peut se transformer de diverses façons. On a 

fA II j\,' ^?(^) ,1^,' ^ ^ - rlLi,' M:^ di^- 
J dL II dx' dL dxj || ^ dx' 

-+- -77 — / Ma -'-V dv 
dL dy J II dx 

dz à r\\ acp(7-) 

^dldlj jh^ "àx'^ ^' ' 

ce qui peut encore s'écrire, d'après l'égalité (5), en désignant par 
"Ç' (x, y, z) la fonction potentielle de l'aimant v' au point (x^j^ s), 



rà doir) 
J dL dx' 


di>' = 


dx dp' 
dl dx 


• 


eurs, 






Dll~= .%., 0\l ^ 
dL d 


"^-^o, 


^'^È 


o 



10 LIVRE VII. - LES FORCES MAGNETIQUES. 

en sorle que l'égalité (7) peut s'écrire : 



(8) 



e/v> 



dx 



On voit aussi, d'après les calculs précédents, que l'on peut écrire 



(9) l ^-'^' 



J [^ oxôx 
J y azax 



dx dy' 
dydy 






Ces formules trouvées, on obtient aisément, par sommation, le 
potentiel des actions mutuelles d'un aimant v et d'un autre ai- 
mant v' . D'après la formule (8), ce potentiel peut s'écrire 



(10) 



J II dx 



ch. 



Il est évident, par raison de sjmétrie, que l'on peut aussi bien 
l'écrire 



(10 bis) 



(P 



-I\ 



dx' 



dv'. 



La forme symétrique de ce potentiel est en évidence dans l'expres- 
sion que l'on obtient en partant de la formule (9) 



l J J \, dx ôx dx dy 



(") \ 



dy dx dy dy 

■ ^.^a/Va — ; ^ — , :- C/ U«) — r r — p 

dz dx dz dy 



dx dz 

dydz 

ee'p-^-'^]d.d.'. 

dz dz 



Cette dernière formule renferme les lois des forces qui s'exercent 
entre deux aimants de forme quelconque. Elle nous montre que 
toutes ces lois peuvent être regardées comme les conséquences de 
la définition suivante, que nous conserverons désormais à l'exclu- 
sion de toute autre, comme définition des aimants : 

Un aimant est défini par la connaissance dUine certaine 
grandeur géométrique, V aimantation, affectée à chacun des 
points de sa masse. 



CHAP. I. 



PREMIERES DEFINITIONS. 



Les actions mutuelles de deux aimants rigides admettent un 
potentiel donné par Vune quelconque des trois formules équi- 
valentes (lo), (lo bis) et (i i) ; 'f (/•) est une fonction de r, dont 
la forme sera déterminée ultérieurement. 

Tout ce qui précède cette définition doit être regardé comme 
une simple introduction à cette définition. 



12) 



g 4. — Forces qui agissent sur un aimant rigide. 

Un aimant rigide v est soumis à l'action d'un certain nombre 
d'autres aimants. Les actions qu'il subit peuvent toujours se ré- 
duire à une force (X, Y, Z) appliquée en un certain point O de 
l'aimant, et à un couple (L, M, N). On peut aisément calculer 
cette force et ce couple lorsqu'on connaît la fonction potentielle 
magnétique \'/ des aimants agissants. 

Prenons le point O pour origine des coordonnées et nous trou- 
verons, en faisant usage du principe des vitesses virtuelles et de 
la formule (lo), 



Z ^ 

L =. 
M = 

N =■ 



-/( 
-/( 
-/( 
-/( 
-/( 
-/( 



aAo 



aRo 



dy dx 
dz dx 



M\> 



dx dy 



cAo 



dx dz 



y 



^d^ 
dx dz 

^ dydz 

o ^''<'' 
^~dz^ 

dip' 



di>. 



dv, 



dv, 



d^i^y 

d\o — T — —■ 

dx^ 



X 



d^V^ 

dx dy 



A, 



X 



dx dy 
dx dz 
dx^ 






ày 

d\y 
~dz 



dv 



^■)-- 



Ces formules permettront, en toutes circonstances, de trouver 
le mouvement d'un aimant rigide soumis à l'action d'aimants don- 
nés et de forces étrangères données. 



12 U\HE yil. — LES FORCES MAGNETIQUES. 

g 5. — Actions d'aimants éloignés. Moment magnétique. 

Nous terminerons ce Chapitre par deux propositions relatives à 
l'action d'un aimant très éloigné sur un pôle d'aimant et aux actions 
mutuelles de deux aimants très éloignés. Ces propositions nous 
seront utiles au Chapitre suivant. 

Le potentiel d'un aimant sur un pôle d'aimant M est donné par 
les formules (3) et (5). Supposons le pôle d'aimant M extrême- 
ment éloigné de l'aimant. Soit p la distance d'un point O (H, t), Q, 
intérieur à l'aimant, au pôle M. Le terme principal du potentiel 
sera 

Posons 

( 1 3 ) \= CacIv, B = CmI, dv, G = Ta dv. 

La formule précédente pourra s'écrire 

p = -m/(,)(a|^b| + c|). 

Si l'on compare cette formule à la formule (i), on arrive à la 
proposition suivante : 

Pour calculer les actions mutuelles d'un aimant et d'un 
pôle d'aimant très éloignés l'un de l'autre, on peut remplacer 
l'aimant par un élément magnétique situé en un de ses points 
et dont le moment magnétique serait la grandeur géométrique 
(A, B, C), définie par les égalités (i3). 

La direction de la grandeur géométrique (A, B, C) porte le nom 
A' axe magnétique de l' aimant ; sa grandeur est le moment ma- 
gnétique de l'aimant. 

Le potentiel mutuel de deux aimants est donné par l'égalité (i i). 
Supposons ces deux aimants très éloignés. Soit p la dislance d'un 
point O (i, 7), ^) du premier à un point 0'(^', 'o', ^) du second. 
Définissons encore A, B, C par les égalités (i3) et posons de 
même 

A' = fx'dv\ B' = f-iiVdi^', C = fe'dv'. 



rnVP. I. — PREMIERES DEFINITIONS. 

Le lerme principal du potentiel mutuel des deux aimants sera 

- BA' ^!liP-> + BB' ^44?^ + BC "^l 



dràl 



Ot] dr^' 



dr.dl 






d^ o»r/ 



<)^< 



L'action mutuelle de deux aimants très éloignés est la même 
que V action de deux éléments magnétiques dont cliacun serait 
situé à l'intérieur d'un de ces aimants et aurait même mo- 
ment magnétique et même direction d'axe magnétique que cet 
aimant. 



i 



LIVRE VII. — LUS FOnCES MAGNETIQUES. 



CHAPITRE IL 



DETERMINATION DE LA LOI DES ACTIONS MAGNETIQUES 
ET DE L'INTENSITÉ DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 



§ 1. — Définition des éléments du magnétisme terrestre. 

La Terre agit sur les aimants; les premières idées nettes sur ces 
actions sont dues à Coulomb ('), qui en a résumé les lois de la 
manière suivante : 

L'action F, que la terre exerce à un instant donné sur un 
pôle magnétique de masse m, placé en un point donné, est une 
grandeur géométrique donnée par l'égalité 

F = niT, 

T étant une grandeur géométrique entièrement définie à 
chaque instant et en chaque point du globe. 

La direction de la grandeur géométriqueTest ce que l'on nomme 
la direction de U action magnétique terrestre; la valeur de Test 
V intensité du magnétisme terrestre. 

L'angle que la direction T fait avec le plan horizontal du lieu 
est ce que l'on nomme V inclinaison ma «•«ef/^f^e; l'inclinaison ma- 
gnétique est comptée positivement lorsque la direction T perce le 
plan horizontal de haut en bas 5 l'inclinaison magnétique est po- 
sitive dans les régions que nous habitons. 



(') Coulomb, Recherches sur la meilleure manière de fabriquer les aiguilles 
aimantées, de les suspendre, de s'assurer qu'elles sont dans le véritable méri- 
dien magnétique, enfin de rendre raison de leurs variations diurnes régu- 
lières {Mémoires des Savants étrangers, t. IX, p. i65; 1780). On trouvera une 
bibliographie très complète des écrits relatifs au magnétisme terrestre dans 
Verdet : Leçons sur le magnétisme terrestre {Œuvres de Verdet, t. IV). 



CriAP. II. — IXTENSITK DU MAGNÉTISME TERRESTRIi). |5 

l^e demi-plan mené par la verticale du lieu d'observation et la 
direction de la force magnétique terrestre, et le demi-plan con- 
stitué par la portion du méridien géographique située au nord de 
la verticale, forment un dièdre qui porte le nom de déclinaison 
magnétique. Si le premier demi-plan est à l'orient du méridien 
géographique, la déclinaison est comptée positivement. Dans les 
régions que nous habitons, à notre époque, la déclinaison est oc- 
cidentale, c'est-à-dire négative. 

Soit O un lieu d'observation. Menons en ce point un système 
d'axes rectangulaires constitué de la manière suivante : 

L'axe des x est tangent à la méridienne du lieu et dirigé vers le 

nord; l'axe des y est tangent au parallèle du lieu et dirigé vers 

l'est; l'axe des z est vertical et dirigé vers le haut. Soient X,Y, Z 

les composantes, suivant ces trois axes, de l'action magnétique 

terrestre. Nous aurons, en désignant par i l'inclinaison et par o 

la déclinaison, 

X — T cost cosô, 

Y — T cosf sino, 

Z — — T sin t. 

Soit II la projection de la grandeur T sur le plan horizontal. 

Nous aurons 

H = Tcosf 

et les formules précédentes pourront s'écrire 

!X :== H cos8, 
Yr= Hsino, 
Z = — H tangt. 

La quantité II est ce que l'on nomme la composante horizon- 
tale de l'action magnétique terrestre. 

A la loi précédente, qui résume les observations faites au sujet 
de l'action que la terre exerce sur un aimant, on peut substituer 
la suivante, qui revient au même lorsqu'il s'agit seulement de 
calculer les forces par lesquelles la terre sollicite un aimant, mais 
qui peut s'étendre à l'étude d'autres phénomènes : 

La terre se comporte, en chaque point O qui lui est ex té- 



l6 LIVIIE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

rieur, comme an aimant dont la fonction potentielle magné- 
tique t) vérifie en ce point O les égalités suivantes : 

-, — — H coso, 
l dx 

! àV „ . . 

( '2) < -.— = — H SIIIO, 

I -.— = H tan"f, 
\ az 



ïf , i, étant trois quantités qui ont une valeur donnée à chaque 
instant et en chaque point du globe et que l'on nomme les 
éléments du magnétisme terrestre en ce point. 

Ces éléments une fois connus, il est facile d'exprimer les lois 
de l'aclion de la terre sur un aimant quelconque. Nous suppose- 
rons cet aimant assez petit par rapport aux dimensions de la terre 
pour que l'on puisse regarder les quantités H, i, S comme des 
constantes au voisinage du lieu d'observation. Alors, les trois 
premières égalités (12) du Chapitre précédent, jointes aux for- 
mules (2), donneront pour composantes de la force appliquée à 
l'aimant 

^ = o, Tj = o, ^ = O. 

L'action de la terre sur un aimant quelconque se réduit à 
un couple. 

On sait comment Coulomb a vérifié celte proposition par l'ex- 
périence. 

Les trois dernières formules (1 2) du Chapitre précédent, jointes 
aux égalités (2), donnent, pour expressions des composantes de 
ce couple, 

X = — H ( tangt / \)b <ft^ -r- sin / 3 ch \ , 

' [j. = H /coso / S c/r -+- tangt / Aid\A, 

v= Hfsino / rX>dv — co%o I llî)f/cj, 

ou bien, en désignant par A, B, C les composantes du moment 



CHAP. II. — IXTENSITÉ DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 17 

magnétique de raimanl suivant les trois axes 0.3?, Oy, Oz, 

[ l =— H(Btangt+ Csino), 
(3) I [x— H(Gcoso -t-Atangi), 

( V = H(Asino — B cos8). 

Ces formules servent à la détermination des trois éléments du 
magnétisme terrestre. La détermination de la déclinaison et de 
l'inclinaison se fait au moyen des boussoles; nous n'étudierons 
pas ici ces instruments, sur lesquels les traités classiques ren- 
ferment des détails suffisants. Nous nous occuperons seulement 
de la détermination de H. 

Soit M le moment magnétique d'un aimant. La détermination 
de H s'obtient en déterminant successivement, pour ce même ai- 

M 

mant, les deux quantités MH et '75 • On obtient ainsi, non seule- 
ment la valeur de l'intensité horizontale du magnétisme terrestre, 
mais encore la valeur du moment magnétique de l'aimanL 

Nous allons exposer les méthodes qui permettent de déterminer 
successivement, pour un même aimant, les deux quantités MH 

M 
et y. 

§ 2. — Détermination de M H. 

Coulomb (') a montré le premier comment on pouvait, pour un 
aimant donné, déterminer le produit de son moment magnétique M 
par la composante horizontale du magnétisme terrestre H; iï a 
employé, dans ce but, deux méthodes : l'une fondée sur les lois 
de la torsion, l'autre sur les lois des petites oscillations. Cette 
dernière a reçu de Gauss de grands perfectionnements qui la 
rendent extrêmement précise; nous allons l'exposer sous la forme 
que Gauss lui a donnée (-). 

Considérons un aimant suspendu à un paquet de fils de cocon 
de telle façon que son axe magnétique soit horizontal. Supposons 
cet aimant très peu dévié de sa position d'équilibre et abandonné 



(') Coulomb, Septième Mémoire sur l'électricité et le magnétisme : Du ma- 
gnétisme, art. II {Mémoires de l'Académie des Science, p. l\bb; 1789). 

(') Gauss, Intensitas vis magneticœ terrestris ad mensuram absolutam rc- 
vocata {Çommentationes de Gœttingue, t. VIII; i84i. — Gauss, Werke, Bd. V, 
p. 81). 

D. - H. 2 



l8 LIVRK VII. — LES FOnCES MAGNETIQUES. 

à lui-même. Il exécutera, de part et d'autre de sa position d'é- 
quilibre, des oscillations isochrones. Soit t la durée des oscilla- 
tions, K le moment d'inertie de l'appareil oscillant, S\LdM le 
moment du couple qui tend à ramener l'aiguille à sa position 
d'équilibre lorsqu'elle en est déviée d'un angle <i(o; nous aurons, 
d'après la théorie du pendule composé, 

(4) ^= t^- 

La quantité DIL est la somme de deux lermes : l'un provient do 
l'action du magnétisme terrestre, l'autre provient de la torsion 
des fils de cocon. 

Si les fils étaient sans torsion, l'axe magnétique de l'aimant se 
placerait suivant la direction o-v {Jig. i) de la méridienne magné- 



FiR. 



N, 




tique, à l'est de la méridienne géographique et faisant avec elle un 
angle S égal à la déclinaison. 

Si le magnétisme terrestre n'agissait pas, l'axe magnétique 
prendrait, sous l'action de la torsion des fils, une direction OT 
faisant un angle v avec la méridienne magnétique. 

Soumis à ces deux actions, l'axe magnétique prend une orien- 
tation OA intermédiaire entre les deux précédentes ; soit ii 
l'angle vOA qu'il fait avec la méridienne magnétique. 



CII\P. n. — INTENSITÉ DU MAGNETISME TERRESTRE. Kj 

Dans ces conditions, on a 

A = M cos(« -4- o), B = M sin(M-t- 0). 

Le couple, dû à l'action du magnétisme terrestre, qui agit sur 
l'aiguille, a pour composante suivant la verticale, d'après la der- 
nière égalité (3), 

V = — MH siiiM. 

L'angle de torsion est (p — u) et le couple de torsion a pour mo- 
ment par rapport à l'axe de suspension 

e((^ — m). 

étant une quantité positive qui dépend de la nature du fil, de 
son état hygrométrique (influence que l'on élimine par des sub- 
stances desséchantes), enfin de la charge que porte le paquet de 
fils. 

Le couple qui agit sur l'aimant a pour moment, par rapport à 

l'axe de suspension, 

6(t' — u)— MH sinu. 

La valeur w que prend l'angle u lorsque l'équilibre est établi est 
donc donnée par l'égalité 

(5) MH sinw r= e(p — w). 

C'est cette égalité qui servait à Couloml) dans la détermination 
de MH par la balance de torsion. 

Si l'on donne à u une valeur (to-|- <^w) voisine de celle qui 
convient à l'équilibre, le momentpar rapport à l'axe de suspension 
du couple qui agit sur l'aimant prendra la valeur 

— (MH cosw -f- e)c?w. 

Nous avons donc, d'après la définition de OFL, 

(6) 01L = MHcosw + 0. 

Le moment de torsion du fil de cocon est très faible par rapport 
au moment du couple dû au magnétisme terrestre; 9 est très petit 
par rapport à MH; donc, d'après l'égalité (5), l'angle w est très 
])etil en valeur absolue; on peut, en négligeant les quantités 



LIVRE VII. 



LES FORCES MAGNETIQUES. 



de l'ordre de w-, remplacer sinw par lo et cosw par i. Posons 
alors 

(7) ^=-r 

,el l' égaillé (5) deviendra 

V — ta 
(5 bis) n — , 

tandis que l'égalité (6) deviendra 

n 
Cette valeur, reportée dans l'égalité (4 ), donne 

(G bis) MH = ^- . 

L'équation (o bis) va nous permettre de déterminer la valeur du 
coefficient n. 

On ne connaît, en général, aucune des trois directions o-v, BA, 
OT; on ne connaît donc ni w, ni ç; mais une disposition spéciale 
permet de faire varier l'angle de torsion d'une quantité connue. 

A cet efl'et, les fils de cocons sont encastrés, à leur partie infé- 
rieure, au centre d'un cercle divisé {Jig- 2), tandis que l'élrier 

Fig. 2. 




qui soutient l'aimant est invariablement lié à une alidade mobile 
sur ce cercle. En faisant tourner le cercle d'un angle V de gauche 



CHAP. II. — INTENSITÉ DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 21 

à droite, on augmente d'une quantité connue V l'angle inconnu v. 
L'aiguille est déviée vers l'est d'un angle û, très exactement obser- 
vable par la méthode de PoggendorfT. Le nouvel angle to est donc 

(uy -h Q), et le nouvel angle r, (p + V). On a alors 

(r-l-V) — (w -f- 12) 
(O -+- il 

ce qui, comparé à l'égalité (5 bis), donne 

V — Û 



La quantité n est alors donnée en fonction de quantités mesu- 
rables. 

Au lieu de faire une seule fois varier Tangie ç, on lui donne un 
grand nombre de variations, de manière à prendre la moyenne 
des déterminations obtenues pour n. Il est alors nécessaire, l'ex- 
périence durant très longtemps, de tenir compte des variations 
subies pendant ce temps par la déclinaison terrestre. On tient 
compte de ces variations au mojen d'un second appareil semblable 
au précédent. Il s'agit d'évaluer un terme correctif fort petit; on 
peut, dans la lecture des indications du second appareil, négliger 
la torsion des fils, qui ne ferait qu'apporter une perturbation très 
petite par rapport à la valeur déjà très petite de ce terme. 

Si l'on désigne par d la quantité dont on a augmenté la déclinai- 
son pendant que ç a augmenté de V, on aura 



(«' 



d) — (io~hii~d) 



(jû -h il — d 
ce qui, joint à l'égalité (5 Ois), donne 

V — û 

Si, de même, S + d' , o + </', ... représentent les valeurs prises 
par la déclinaison aux instants où l'on a donné à v les valeurs 

V -\-V , p -h V", .... on aura 

V— Q' 
"=^ïf-d" 

y -12" 



22 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

11 suffira de prendre la moyenne des quantités 



V — Q 


V'-Û' 


V— Q" 


ïï-d' 


ïï~d' 


il" -~d" 



pour avoir une détermination très exacte de la valeur de n. 
Dans une de ses expériences, Gauss a trouvé 

n = 891 ,5. 

Le facteur , qui ligure dans l'égalité (6 bis), diffère donc 

de l'unité de plus de 0,001. Il était bien nécessaire de tenir 
compte de ce facteur dans une méthode aussi précise que celle de 
Gauss. 

L'importance de cette correction, due à la torsion des fils de 
cocon, s'explique par ce fait que les paquets de fils de cocon em- 
ployés par Gauss, ayant à porter des aimants qui pesaient jusqu'à 
aS livres, renfermaient parfois 60 fils. 

Nous verrons tout à l'heure qu'au cours d'une même expérience 
on a à faire varier le poids supporté par les fds de cocon ; 9 et, par 
conséquent, n dépendent de ce poids. Ainsi, dans une expérience 
de Gauss, n s'est trouvé égal à 497,4? le poids de l'aiguille étant 
de 49^^' 1 2 et égal à 424, 8 lorsque l'aiguille portait une charge ad- 
ditionnelle qui élevait son poids à 'jio^'", 8. Ces variations de /i sont 
loin d'être négligeables. Il faudra donc déterminer la valeur de n 
pour chacune des charges que doit, au cours des expériences, por- 
ter le fîl de cocon. 

Nous regardons n comme indépendant de la température et du 
temps; cela n'est pas tout à fait exact. 9 dépend de la température, 
H du temps, M de la température et du temps. Mais les variations 
qui en résultent pour n sont si faibles qu'elles n'altèrent pas sen- 
siblement la valeur du facteur • 

n -h 1 

La quantité n étant déterminée, l'équation (6 bis) nous donnera 
MH lorsque nous aurons déterminé t et K. 

La détermination de t ne souffre aucune difficulté. 

On détermine la durée d'un grand nombre d'oscillations. Comme, 
pour se mettre à l'abri des causes d'erreur provenant des cou- 
rants d'air, on prend des barreaux extrêmement massifs, les oscil- 
lations sont très lentes. On se trouve amené ainsi à déterminer un 



CIIAP. II. — INTENSITÉ DU MAGNÉTISME TERRESTRE. i3 

leinps considérable, ce que l'on peut faire avec une erreur relative 
très petite. 

Ainsi, dans une des expériences citées par Gauss, la durée de 
l'observation a été de io3io,6 secondes. L'erreur commise par un 
observateur exercé sur la délerminalion d'un intervalle de temps 
ne dépasse pas certainement 0,2 secondes. La durée de l'observa- 
lion est donc déterminée à 0,00002 près, et il en est de même de 
la durée t de l'oscillation. Si, de plus, au lieu de se contenter d'une 
seule observation, on déduit les résultats cherchés de la moyenne 
d'un grand nombre d'observations, les erreurs sur l'évaluation de 
la durée d'oscillation, qui sont des erreurs purement fortuites, 
s'atténueront encore dans une notable proportion. 

Reste à déterminer R. 

L'appareil étant de forme compliquée, et l'homogénéité des 
diverses pièces dont il se compose étant douteuse, on ne peut 
songer, pour déterminer K, à employer les méthodes analytiques 
(jui servent au calcul des moments d'inertie. Gauss a donné une 
méthode expérimentale très ingénieuse, qui permet d'évaluer K 
;ivec toute la précision désirable. 

A cet effet, l'étrier qui porte l'aimant {fig. 3) présente, au- 
dessus de l'aimant, une chape dans laquelle peut glisser une règle 
de bois. 

Fis. 3. 




iii^i5z3 




Cette règle porte, à sa face supérieure, des pointes très déliées 
dont la distance au fil de suspension est marquée avec grand 



24 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

soin. Sur ces pointes, on peut, par des anses, suspendre des 
poids. On place des poids sensiblement égaux à des distances 
sensiblement égales du fil de suspension, de manière que la règle 
de bois reste rigoureusement horizontale. Cherchons le nouveau 
moment d'inertie K, de l'appareil. 

Soit G le moment d'inertie inconnu de la barre de bois seule; 
soient Q et Q' les moments d'inertie des poids P et P' par rap- 
port à des axes verticaux passant par leurs centres de gravité res- 
pectifs et, par conséquent, par les petites pointes de suspension; 
soient /',, r'^ les dislances de ces pointes au fil de suspension. Le 
nouveau moment d'inertie sera 

Kl = K + G -f- Q + Q'+ Pr? + P'r',2. 

Suspendons les poids à des dislances /'o et t\ des fils de sus- 
pension; l'appareil prendra un nouveau moment d'inertie 
K2 == K + C + Q + Q'+ Pri ■+- F'/-'/. 

Aux trois cas que nous venons de considérer, correspondront 
des durées d'oscillations /, ^), /g, et l'on aura 

n -1- I f^ 
MH = 

MH = , 

n-r-i tl 

n' est la valeur que prend n lorsque les fils de cocon portent non 
seulement l'aimant, mais encore la règle de bois et les poids ad- 
ditionnels. 

Ces trois équations, fournies par trois observations, nous don- 
neront les trois inconnues K, (C + Q + Q') et MH. Si même on 
ne veut connaître que MH, on pourra regarder (KH-C + Q + Q') 
comme une seule inconnue et se contenter des deux dernières 
équations. 

Au lieu de deux ou trois observations, on en fait un grand 
nombre; chacune d'elles fournit une équation, et, de ce grand 
nombre d'équations, on déduit la valeur des inconnues par la 
méthode des moindres carrés. Mais, chaque observation isolée 
étant très longue, l'ensemble de toutes ces observations dure un 
temps très considérable; il est nécessaire de tenir compte des va- 



n' 


7r2[K 


+ (C 


+ Q 


-+-Q')-h 


P/f 


+ 


P' 


'■?] 


rt'-t- I 
n' 


TT'-fK 


+ rG 


+ Q 


+ Q') + 


P/i 


_u 


P' 


/•'/] 



CHAP. II. — INTENSITÉ DU MAGNÉTISME TERRESTRE. CiS 

rialions que subit MH, soit par suite des variatioDS que II éprouve 
avec le temps, soit par suite des variations très petites que peu- 
vent produire sur M les faibles changements de température de 
l'observaloire. Nous allons nous proposer de corriger les obser- 
vations de manière à obtenir la valeur moyenne de MH pendant 
la première expérience. 

Pendant la seconde expérience, M est devenu Mj et H est de- 
venu H,. L'équation relative à cette seconde expérience doit 
donc s'écrire 



MH = 



n'-hi M,Hi 



MH Tr2[K + (C + Q-^Q') + P/i + P'/-;^ 
1 



a 



Un second appareil, analogue au premier, soumis sensiblement 
aux mêmes variations de température que le premier, est placé à 
une distance suffisante du premier pour ne pas exercer sur lui 
d'influence notable. On le fait osciller pendant qu'on eff"ectue 
sur le premier la première expérience. Soient v la valeur de n qui 
convient au second magnétomètre ; y le moment d'inertie de 
l'appareil oscillant; m la valeur moyenne du moment magnétique 
de l'aimant qu'il porte pendant la durée de la première expé- 
rience; H la valeur moyenne de la composante horizontale du 
magnétisme terrestre pendant le même temps; x la durée d'oscil- 
lation. On a 



m H 



'-1 



On fait encore osciller ce second magnétomètre pendant que 
l'on effectue sur le premier la seconde expérience ; m elïl ayant 
pris les nouvelles valeurs m, et H,, t prend la nouvelle valeur t, 
et l'on a 



niilii = 



Les deux aimants ayant été soumis sensiblement aux mêmes 
variations de température, on peut admettre que l'on a sensible- 
ment 

M _ m 

et, par conséquent, 



MH 



m H 



MiHi /«iHi 






L 



0.6 LIVRE VII. - LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

L'équation relative à la seconde expérience devra donc s'écrire 

tf ttHK -4- (C -4- Q -^ Q') -t- Vr]^P'r\^] 



MH = 



«'-+- I x^ t'i 



Si T, Tt , T2, . . . sont les durées d'oscillation du second magnéto- 
mètre aux époques où l'on effectue sur le premier la première, la 
deuxième, la troisième expérience, . . ., la valeur moyenne de MH 
pendant la première de ces expériences s'obtiendra en appliquant 
la méthode des moindres carrés aux équations 

/i + I t^ 
MU ''' ^î ttHK + (C + Q + Q') + P/1 + P'r'r-] 

n -r- I T^ /; 

n' Tj TT^K + (C + Q H- Q')-f- P/-.I + P'/-?] 

Mil = ■ , — • ^-- ■ — , 1 

n'-f-i 'J tl 



où les inconnues sont K, (C + Q + Q') et MH. 

On obtiendra ainsi MH avec une extrême précision. 

Pour déterminer le rapport ^ .S on peut, au lieu de faire os- 
ciller le second aimant, observer l'effort qu'il faut exercer, au 
moyen d'une suspension bifilaire, pour le maintenir dans une po- 
sition invariable. Cette disposition constitue le niagnéloniètrf' 
bifilaire de Gauss ('), que nous ne décrirons pas ici. 

M 

§ 3. — Détermination de — • 

H 

Poisson (-) a indiqué la méthode qui permet de déterminer, 
pour un barreau aimanté, le rapport du moment magnétique à la 
composante horizontale du magnétisme terrestre : elle consiste à 



(') Gauss, Ueber ein neues, zunàchst zur unmUtelbaren Beobachtung der 
Verànderungen in der Intensitàt des horizontalen Theils des Erdmagnetis- 
inus bestimmtes Instrument (Oauss et Weber, Resultate aus den Beobach- 
tungen des magnetischen Vereins, p. i ; 1887. — Gauss, Werke, V, p. 357). — 
Gauss, Zur Bestimmung der Constanten des Bifilarmagnetonieters {ibid., 
p. I ; i84o. — Gauss, Werke, t. V, p. 4o'i). 

(') Poisson, Second Mémoire sur la Théorie du Magnétisme {Mémoire de 
l'Académie des Sciences, t. V, p. 620; 1824). 



CIIAP. II. 



INTEXSITK DU MAGNETISME TERRESTRE. 



observer la position d'équilibre d'une aiguille, mobile dans vin 
plan liorizontal, d'abord sous l'action de la terre seule, puis sous 
l'action simultanée de la terre et du barreau. La méthode indiquée 
par Poisson supposait connue la forme de la fonction f{r) qui 
entre dans l'expression de la loi des actions magnétiques. Gauss 
a modifié cette méthode de telle façon que, non seulement elle* 
n'exige plus la connaissance de la fonction /{/')^ mais encore 
(|u'elle contribue à la détermination de cette fonction. 

Une aiguille, dont l'axe magnétique est horizontal, est sus- 
pendue à un fîl de cocon; si le fil était sans torsion, l'axe magné- 
tique de cette aiguille se placerait suivant la méridienne ma- 
gnétique OV (Jlg- 4)' Grâce à la torsion du fil, si le magnétisme 




terrestre n'existait pas, l'axe magnétique viendrait se placer sui- 
vant la direction OT. En réalité, sous l'action simultanée du ma- 
gnétisme terrestre et de la torsion du fil, l'axe magnétique se 
place dans la direction BA. Soient c l'angle vOT, to l'angle vOA, 



'^0 LIVRE VU. — LES FORCES MAGNETIQUES. 

m le moment magnétique de l'aiguille. Nous aurons, d'après 

l'égalité (5), 

mH sinw = (p — w). 

Sur le prolongement de la ligne AB, à une grande distance du 
point O, nous plaçons un barreau aimanté de moment M, de telle 
façon que son axe magnétique ab soit horizontal et normal àBA. 
L'aimant AB se trouve alors dévié; il vient en A'B'; soit \ l'angle 
AOA'. Nous allons chercher la valeur de cet angle ). ou plutôt de 
la limite vers laquelle tend cet angle lorsque les deux aimants 
sont extrêmement éloignés. Nous savons que, pour trouver cette 
limite, il est permis de remplacer les deux aimants par deux élé- 
ments magnétiques avant même direction d'axe et même moment 
magnétique que les deux aimants; on peut supposer que l'un de 
ces éléments, AB, ait son milieu en O et que l'autre, «6, ait son 
milieu P sur la direction BA. 

Exprimons que l'aiguille aimantée mobile est en équilibre lors- 
que son axe magnétique est dirigé suivant B'A' et que, par con- 
séquent, les actions auxquelles elle est alors soumise ont un mo- 
ment nul par rapport à l'axe de suspension. 

Le magnétisme terrestre exerce une action dont le moment, par 
rapport à l'axe de supension, a pour valeur 

— mH sin(a) -H À . 
Le couple de torsion o>, par rapport au même axe, un moment 

e(p_to_X). 

Le pôle a de l'élément ab renferme une quantité Q de fluide 
austral. Il exerce sur le pôle A de l'élément AB, qui renferme une 
quantité q du même fluide, une action répulsive dirigée suivant 
a Pi! et ayant pour valeur 

fyQ/(aÂ7). 

Le pôle b exerce sur le même pôle A' une action attractive, 
dirigée suivant A!b et qui a pour valeur 

Le point A' difl'ère infiniment peu du point A. On peut regarder 
ces deux forces comme ayant sensiblement même grandeur et même 



THAP. II. — INTENSITE DU MAGNETISME TERUESTRE. 29 

direction que si le point A' était en A. On a alors 

1. 

«A = 6 A ={r--i- l'-y^, 

2 /étant la longueur de l'élément ab et /• la distance PA. Posons 

Les deux forces considérées auraient une résultante normale àAB, 
dirigée vers l'est, et ayant pour valeur 

Le moment de cette force par rapport à l'axe de suspension, au 
moment où son point d'application est venu en A', a pour valeur 

2g'Q/(p) -. Ol.cosX. 

L'action de l'élément ab sur le pôle B est, de même, une force 
normale à AB dirigée vers l'ouest. Si /' désigne la distance PB et 
si l'on pose 

cette force aura pour valeur 

et lorsque le point d'application de cette force viendra en B'; son 
moment par rapport à l'axe de suspension prendra la valeur 

2^Q/(p') -, .ÔB.cosX. 

Soit R la distance OP ; la somme des deux moments précé- 
dents peut s'écrire, en négligeant les infiniment petits d'ordre 
supérieur, 

<7.ÂB.Q.2/^— cosX. 

Mais on a 

Le moment précédent devient 

„ïm4^cosX. 



3o LIVRE VII. — LIÎS FORCES MAGNÉTIQUES. 

La condition d'équilibre de notre aiguille AB est la suivante : 

mil sin(w + X)— ()(() — w — À )— mM "Aï— cosX = o. 

On peut l'écrire 

mil sinw cosX — ()(v — co)-i- mil cosw sinX -+- OX = /«M -— r — cosX. 

K 

Mais les angles to et), sont très petits; on peut remplacer sinw cosl 
par sinto en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, et 

comme 

/n H sin a» — ( «^ — w ) = o, 

la condition précédente devient 

mil cosw sinX + GX = m M ^ \- - • cosX. 

costo sin). peut être remplacé, en négligeant les infiniment petits 
du troisième ordre, par sin). 5 OX peut être, au même degré d'ap- 
proximation, remplacé par f)sin|jL. Si l'on pose 

>7l II 

l'égalité précédente deviendra 

N /(R) M 
° N -H 1 R H 

Telle est la formule qui donne la valeur limite de tang). lorsque 
les deux aimants sont infiniment éloignés. 

Supposons que la fonction /(R) puisse, au moins pour les 
valeurs de R supérieures à une certaine limite, se développer 
en une série uniformément convergente ordonnée suivant les 
puissances entières et négatives de R, 

(8) /(R)= A" A, . 



R/' R/^+i 

L'équation précédente deviendra 

,. , > , N M Ao 

l.m(tangX)R = ,= ^j-^ jj— -^-. 

Supposons les deux aimants situés à distance finie ; soit Vv la 
distance du centre de figure de l'aimant ab à l'axe de suspension. 



CIIVP. II. — INTENSITE DU MAGNETISME TERRESTRE. 

L'angle a aura une valeur liée à R par la relation 



3i 



<<)) 



tansïX 



N ^ M _Ao_ 

rT-f-T H R/^+» 






G 
Rp+3 



B, C, . . . étant des coefficients dont la forme importe peu. 

Imaginons maintenant une seconde expérience, analogue à la 
précédente; l'aimant ah est encore à une grande distance du 
point O; son axe magnétique est toujours normal à AB, mais, de 
plus, l'aimant lui-même est placé sur la normale à AB {Jlg. 5). 



Fi£ 




L'aiguille sera, dans ce cas, déviée vers l'est d'un angle )/. On 
verra aisément que la condition d'équilibre de l'aiguille est, dans 
ce cas, 

II • / Vx A/ ^'N ^M /(R — /) — /(R-4-/) ., 

wH sin(w + A )= e(p — w — X')-f- Mm '^— \ : cos)/, 

ce qui, toute simplification faite, peut s'écrire de la manière sui- 
vante 

niH cosw sinÀ'-l- sinX' = — Mm -^ — cosX', 

du 



ou encore 



tangX' = — 



N_ d/{R) M 
N~+ 1' dR H 



Telle est la formule qui donne la limite vers laquelle tend tang)/ 
lorsque l'on éloigne infiniment les deux aimants. En vertu de l'iij- 



3a LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

pothèse exprimée par la formule (8), on peut l'écrire 

,. . ,,, N M Ao 

l.m(tangX)R=.=:j^-^ ÏÎ^rT^- 

Si l'on prend deux aimants situés à distance finie, l'angle )/ aura 
une valeur liée à la distance R du milieu des deux aimants par une 
relation de la forme 

N M Ao B' G' 

(10) tangX =:^-^ _^^^._+___ + _^^+.... 

Dans une expérience où R était toujours égal ou supérieur à 
quatre fois la longueur de l'aimant ab, Gauss a trouvé que lung). 
et tang // pouvaient être représentés par les deux formules 

tangX =0,043435 1^- -f- 0,002449 —. 

tan g X' = o , 086 870 ^-- -i- o , 002 1 8 5 -j-:: • 

La comparaison de ces résultats de l'expérience nous donne 

tansX" 



langX/R = oo 
Or la comparaison des formules (9) et (10) donne 

/tan<ïX'\ 

lim ^ =/?. 

\langÀ/n = x 

L'expérience de Gauss démontre donc que l'on a 

(11) p = i. 

Ainsi donc, si nous voulons que /(R) soit développable en série 
uniformément convergente, ordonnée suivant les puissances néga- 
tives de R, celte série sera forcément de la forme 

en d'autres termes, pour les distances très grandes de /•, la 
fonction f(r) varie en raison inverse du carré de la distance. 
Cette vérité, établie par Gauss d'une manière très précise, vient 
à l'appui de l'hypothèse à laquelle Coulomb avait été amené par 
ses expériences; cette hypothèse, que nous admettrons désormais, 



CtlAP. II. — INTENSITÉ DU MAGNÉTISME TERRESTRE. 33 

est la suivante : la fonction /(/") est, pour toute valeur de /•, 

proportionnelle à -^^• 

Par définition, la fonction /"(/') doit prendre la valeur i en même 
temps que /•; on a donc 

M 

Ce résultat obtenu, nous pouvons déterminer tj* Les formules (9) 

et (10) deviennent, en effet, 

, N M I B C 

,, 2N M I B' C 

Or on pourra, par l'expérience, déterminer avec une grande ap- 
proximation les coefficients du premier terme des séries qui re- 
présentent tangX et tang)/. N pouvant être déterminé par la mé- 
thode que nous avons indiquée au § l2, on pourra obtenir la valeur 

du rapport jï pour 1 aimant au. 

Sachant, pour un même aimant, déterminer MH et 73 , on pourra 

connaître le moment magnétique M de l'aimant et la composante 
horizontale H du magnétisme terrestre. 

JNous avons réduit, dans ce qui précède, l'exposé de la méthode 
de Gauss à ses points essentiels. Bien des détails pourraient être 
ajoutés. 

Nous avons supposé, dans la détermination de MH, que les os- 
cillations de l'aimant étaient infiniment petites. Ces oscillations 
peuvent avoir une amplitude assez grande pour qu'il y ait lieu d'en 
tenir compte dans l'expression de leur durée; on pourra le faire 
par des méthodes que Gauss a indiquées ('). 

Il est nécessaire de connaître la direction de l'axe magnétique 
de l'aimant dont on détermine le moment magnétique. Gold- 



(•) Gauss, Anleitung zur Bestimniung der Schwingungsdauer einer Magnet- 
nadel {Besultate aus den Beobachtungen des mq,gnetischen Vereins, 1887, 
p. 58. — Gauss, Werke, Bd. V, p. 374 ). 

D. — II. 3 



34 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

schmidl (') a montré comment, sur cet aimant, on pouvait placer 
un miroir dont la normale coïncidât avec l'axe magnétique de Fai- 
manl. 

Enfin, il y a lieu de tenir compte de phénomènes d'induction 
magnétique, pour l'étude desquels nous renverrons aux Mémoires 
de M. Mascart (2). 



(') GoLDSCHMiDT, Auszug aiis sechsjdhrigen tàglichen Beobachtungen der 
magnetischen Declination zu Goettingen {Ibid., 1889, p. 102). 

(') Mascart, liecherches sur le magnétisme {Annales de Chimie et de Phy- 
sique, 6" série, t. XVIII, p. i; 1889). — Sur la mesure du champ magnétique 
terrestre {Ibid., t. XIX, p. 289; 1890). 



CH.VP. III. — FONCTION POTENTIELLE MAGNETIQUE, ETC. 



35 



CHAPITRE III. 



TA FONCTION POTENTIELLE MAGNETIQUE ET LE POTENTIEL 
MAGNÉTIQUE. 



!5 1. — La fonction potentielle magnétique à l'extérieur d'un aimant. 

Nous avons vu [Chapiti'e I, égalité (5)] que, si dv est un élé- 
ment de volume, de coordonnées 5, yi, Î^, intérieur à un aimant; 
si ri,, tHî, 3 sont, en un point de cet élément, les composantes de 
l'aimantation, on donne le nom àe fonction potentielle magné- 
tique de cet aimant, en un point (.a;, y^ z) qui lui est extérieur, à 
la fonction 



do{r) 






ch. 



La l'onction 'j(r) elle-même est définie de la manière suivante 
[Chapitre I, égalité (4)] 



do(r) 
dr 



^-fi.r). 



Nous avons admis que l'on avait [Chapitre II, égalité (12)] 
Nous pouvons donc prendre 

et définir la fonction potentielle magnétique en un point {x,y, z) 
extérieur à un aimant par l'égalité 



(') 



^'^ (^, y, -) 



ni '^' 



dv. 



Il est évident qu'à l'extérieur de l'aimant cette fonction est 



36 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

uniforme, finie et continue ainsi que ses dérivées partielles de 
tous les ordres par rapport aux variables a;, y, z. A l'infini, elle 
se comporte comme une fonction potentielle électrostatique. 

Si, au point (.r, y, z), se trouvait une quantité de fluide ma- 
gnétique austral égale à l'unité, cette masse magnétique subirait, 
de la part de l'aimant, une action dont les composantes X, Y, Z 
seraient données par les égalités [Chapitre I, égalité (6)] 

^ ^ dx ^ dy Oz 

L'expression (i) est susceptible d'une transformation très re- 
marquable. Une intégration permet de l'écrire 



(3) 'C>(a:-,jK,z) = -^ |.l,cos(N,-,;r) __y''^"'' 



à^ 



- dv , 



dS étant un élément de la surface qui limite l'aimant et N, la nor- 
male à cet élément vers l'intérieur de l'aimant. 

L'égalité (3) peut s'interpréter de la manière suivante : 
Luaginons un fluide fictif, susceptible de se distribuer en des 
volumes ou sur des surfaces à la manière du fluide électrique. 
Supposons que l'on distribue de ce fluide à l'intérieur d'un ai- 
mant, de manière qu'il ait au point (i, tj, Q une densité solide 



(4) P = - 






et que l'on distribue aussi de ce fluide à la surface de l'aimant 
avec une densité superficielle 

(5) a = — liXcos(N,-, a7)||. 

D'après la formule (3), la fonction <){^x^y^z) sera la fonction 
potentielle de cette distribution fictive. 

Imaginons que ce fluide fictif agisse sur les fluides magnétiques 
comme agissent les fluides magnétiques eux-mêmes, et le résultat 
exprimé par l'égalité (3) pourra s'énoncer en disant que V aimant 
exerce sur toute masse m.agnétique extérieure la mênie action 
que la distribution fictive définie par les égalités (4) et (5). 

La fonction potentielle magnétique de l'aimant étant iden- 
tique à la fonction potentielle ordinaire de cette distribution fic- 
tive, on voit de suite, par les propriétés de la fonction potentielle 



CUAP. III. — FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE, ETC. 87 

ordinaire, que l'on a, en tout point extérieur à l'aimant 

((}) ^•Ç{x,y,z) = o. 

La Jonction potentielle magnétique est harmonique en tout 
point extérieur à V aimant. 



§ 2. — La fonction potentielle magnétique à l'intérieur d'un aimant. 

Nous venons d'indiquer quelles sont les propriétés fondamen- 
tales de la fonction potentielle magnétique d'un aimant en un 
point (.t:, jK, ^) extérieur à cet aimant. Considérons maintenant 
un point (.r, jk? ^) intérieur à l'aimant, et voyons dans quelle me- 
sure on peut lui étendre les propositions précédentes. 

Pour les points (^, r,, î^) infiniment voisins du point (.r, y^ z), 

la quantité - devient infinie. On peut donc se demander si l'in- 
tégrale 



d'- 



dv 



conserve un sens. 

Entourons le point (i, v], 'Ç) d'une petite surface convexe t. 

Soit 

" , I 



J = 



àl 



du 



l'intégrale s'é tendant à tous les éléments du du volume u com- 
pris entre les surfaces t et S. La question qu'il s'agit d'examiner 
est la suivante : l'intégrale J tcnd-elle vers une limite déterminée 
lorsque la surface t se resserre autour du point (^, y, ;;), de ma- 
nière à revenir s'évanouir en ce point par une série quelconque 
de formes? 

La quantité - étant finie pour tous les points (^, t), Q du vo- 
lume M, on peut toujours, au moyen d'une intégration par par- 
ties, amener la quantité J à la forme 



CI. /TVT ^ \ d^ CI II . /^T X «^^ C I ^=^9 

J = — V UIdCos(N,-, a?) 1 V Xcos(Nj, a?) / -^^ 



-du. 
r 



(]ette transformation faite, contractons la surface t. 



38 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

Le premier terme de J demeure invariable. 
Désignons par diù l'angle sous lequel, du point {x^y, 5), oti 
voit l'élément </o-; le second terme de J peut s'écrire 



SA, cos(N,-, x) \\ -^, cita, 
I V " / I eos(N/, /•) 



cos(N,-, /•} 

l'intégration s'étendant à la sphère de rayon i ayant pour centre 
le point (^, jK, ^). Or, la surface o- étant convexe, la quantité 
cos(N,-, r) est positive pour tout élément doy et ne peut devenir 
nulle en aucun d'eux. Lorsque la surface t se contracte pour ve- 
nir s'évanouir au point {x^^y, ^î), r tend vers o. Il en est donc 
de même du second terme de J. 

Le troisième terme de J représente la fonction potentielle ordi- 
naire au point {x, y, z) du fluide fictif distribué en tout point du 
volume u avec la densité donnée par l'égalité (4). D'après les 
propriétés de la fonction potentielle ordinaire, lorsque la surface a- 
vient s'évanouir au point (a:, J)'-, s), ce troisième terme tend vers 
une limite parfaitement déterminée qui est 

l'intégrale s'étendant au volume entier de l'aimant. 

De là les conséquences suivantes : 

1° Lorsque la surface a- vient s'évanouir au point [x,,y,z) d'une 
manière quelconque, la quantité J tend vers une limite finie et 
, entièrement déterminée. Il en résulte que l'intégrale 



/ 



d- 



dv 



garde un sens lorsque le point {x, y, z) est intérieur à l'aimant 
ou se trouve à sa surface. C'est une fonction 'Ç (x^ y, z) des 
coordonnées ;r, y, z de ce point, fonction à laquelle nous con- 
serverons le nom de fonction potentielle ?nagnétique de l' ai- 
mant au point {x, y, z). 

:>J^ On peut, quelle que soit dans l'espace la position du point 
ix^ y, z), écrire l'égalité 



■^i^ •<')/ N O H 1 /ivT N II «^^S r \\ ()A< il I 

3) V(a", j,^) = — 1^ Il .l,cos(N/,;r)|| — -J II -^ I 7 



dv, 



CHAP. III. — FONCTION POTENTIEILE MAGNÉTIQUE, ETC. 89 

que nous savions déjà être exacte dans le cas où le point (x, y, z) 
est extérieur à l'aimant. 

La fonction potentielle magnétique d'un aimant en un point 
quelconque est donc la somme des fonctions potentielles ordi- 
naires au même point de deux distributions fictives : l'une a pour 
densité solide, en tout point intérieur à l'aimant, la quantité p 
définie par l'égalité (4); l'autre a pour densité superficielle, en 
tout point de la surface de l'aimant, la quantité o- définie par l'é- 
galité (5). 

Les propriétés connues de la fonction potentielle ordinaire 
fournissent alors autant de propriétés de la fonction potentielle 
magnétique. Enumérons ces propriétés : 

1° Si la quantité p a une valeur finie en tout point intérieur a 
l'aimant, la fonction -Ç [x, y^ z) est continue et admet des déri- 
vées partielles du premier ordre par rapport à x, jk, ^, en tout 
point intérieur à l'aimant. Ces dérivées ont pour expression 



dx 



— — V c/la C0S(]V,-, X) 



(7) 






dz 



-S 



JId cos(N,-, x) 



Jlo cos(Nj, x) 



r 

dx 

d- 



J II ^^ 



r 
dx 



di', 



dl 



/■ ,c r\\dx 

-r- dS— -r^ 



-T— di'. 

dz 



2" Si la quantité p admet en tout point intérieur à l'aimant des 
dérivées partielles du premier ordre qui soient finies, la fonction 
potentielle magnétique V{3C^ y, z) admet, en tout point intérieur 
à l'aimant, des dérivées partielles du second ordre qui sont finies, 
et ces dérivées vérifient la condition suivante 



(8) 



At?(a.,^,5) = 4Tr( 



dx 



dy 



de 

dz 



3" La fonction 'Ç varie d'une manière continue, même à la tra- 
versée de la surface S, si la densité o- est finie; mais ses dérivées 
partielles subissent une brusque variation au passage de cette sur- 
face; suivant une direction tangente à la surface S, la dérivée par- 
tielle du premier ordre de la fonction t? n'éprouve aucune dis- 
continuité à la traversée de la surface S ; mais il n'en est pas de 



4o LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

m ême pour la dérivée suivant la normale à la surface S. Soienl 
N,-, Ne les deux directions de la normale en un point à cette sur- 
face ; on aura 

(9) ||_ + |^^=4^1i"^^cos(N,,^)|l. 

4° Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que lesquan- 
tiés ,.A.,il!>, © variaient d'une manière continue d'un point à l'autre 
de l'aimant; il peut arriver que ces quantités soient discontinues 
le long d'une certaine surface; celte surface devra alors porter 
une distribution de fluide fictif qui aura pour densité 

cr =— ||cvl>iCOs(Ni,ar)II— H ,.1,2 cos (N2, cp)\\, 

JLf, 1)1)), G) étant les valeurs de X, il'o, G d'un côté de la surface 
de discontinuité; <^.l>2, i)î)2, ©2 les valeurs des mêmes quantités de 
l'autre côté de la surface; N(, N2 les deux directions de la nor- 
male à cette surface. 

Aux divers points de cette surface, on aura 

(10) 5î^+5^2 =|Ul.,, cos(N,,^)|| + |M,2COs(N2,a7)I|. 

5° Si l'on place, en un point (^, y, z) intérieur à l'aimant, une 
quantité de fluide magnétique égale à l'unité, la distribution fic- 
tive définie par les égalités (4) et (5) exercera sur cette masse 
une action parfaitement déterminée, dont les composantes X, 
Y, Z seront données par les formules 

Peut-on énoncer cette proposition, ainsi qu'on serait tenté de 
le faire, de la manière suivante : Un aimant exerce sur une 
masse magnétique égale à V unité placée en un point inté- 
rieur (x, y, z) une action parfaitement déterminée , dont les 
composantes sont données par les formules (i i)? 

Nous allons voir que cette expression : action d'un aimant 
sur une niasse magnétique concentrée en un point qui lui est 
intérieur, ne peut avoir aucun sens si l'on admet que la loi donnée 
par Coulomb et Gauss pour les actions mutuelles des particules 
magnétiques demeure exacte, même pour les particules au contact. 



CHVP. m.— FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE, ETC. 4l 

L'aimant est limité par une surface S; entourons le point 
M(x,y, z) intérieur à cet aimant par une petite surface con- 
vexe a-. Désignons par A l'aimant donné, dont le volume est v, et 
par B l'aimant, de volume «, compris entre les surfaces S et '7. 
Soit XD [x, y, z) la fonction potentielle au point M de l'aimant B ; 
soient 3, H, Z les composantes de l'action que cet aimant B 
exerce sur une masse magnétique égale à l'unité placée au point M. 
Le point M n'appartenant pas au volume occupé par l'aimant B, 
on a 



ùx 



H = 






Z= — 



ôz' 



D'après les égalités (7), la première de ces deux égalités peut 
s'écrire 



-Si 



.1,cos(N/,j:) t-^c?S- 
Wax 



a — Z' M 1 (1 

Sal,cos(N/, 0?) -—-di7-hl -Tv" 
I "• " ^ dx J II d^ 



dx 



du. 



Les quantités H et Z sont susceptibles de s'exprimer d'une 
manière analogue. 

Supposons que l'on contracte la surface 1 autour du point M 
de manière qu'elle vienne s'évanouir au point M. La quantité 
précédente varie. Si elle tendait vers une limite dont la valeur 
fût indépendante de la série des formes par lesquelles la surface n 
a passé pour venir s'évanouir au point M, novis pourrions dire 
que cette limite représente la composante parallèle à Ox de l'ac- 
tion exercée au point M par l'aimant A. Mais nous allons voir 
qu'il n'en est pas ainsi. 

Examinons séparément les trois termes dont se compose S. 

Le premier terme ne varie pas lorsque la surface rs varie. 

L'existence déjà prouvée de l'intégrale 



J II à\ 



d'- 



ôx 



dv 



équivaut à ce fait que, lorsque la surface t vient s'évanouir au 
point M, la quantité 



r\\ dx 
J lU 



-— du 

ox 



4>. LIVIIK MI. — I.KS FORCES MAGNETIQUES. 

tend vers une limite finie, indépendante de la série des formes 
par lesquelles a passé la surface c. 

Mais il n'en est plus de même du second terme de S, 

y-^ Il c.'l,cos(N/,a7) Il j^ ch. 

INous allons démontrer que, si l'on contracte la surface t de ma- 
nière qu'elle vienne s'évanouirau point M par une série de formes 
liomothétiqiies les unes des autres par rapport au point M, la 
quantité précédente tend vers une limite déterminée, mais que la 
valeur de cette limite dépend de la forme initiale de la surface o-. 

Prenons, en effet, une des surfaces par lesquelles passe <7 en se 
contractant. Pour cette surface, on a 



, ■' 



t . i 






j = S a cos(Nj, x) \ ~ du -+- V {X — a) cos(N;, x) 
a, [i, y étant les composantes de l'aimantation au point (^, j, z). 

Lorsque la surface o- se contracte, — tend vers une limite finie; 

(-1, — a), (iJl) — P), (3 — y) tendent vers o. Le second terme 
dey tend donc vers o. 
D'autre part, on a 



d'- 



dx 



i. — X I 



Si l'on remarque alors que, pour deux surfaces 1 homothétiques 
l'une de l'autre par rapport au point M, les quantités 



^ cos(N,-, x) cos(/', x) — , 
^ cos(Nj,jk)cos(/-, a:-)-^, 
V cos(N,, z)cos(/', x) — , 



CII.VP. in. — FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE, ETC. 

oui la même valeur, on verra sans peine que l'on a 



43 



limy = a V cos(N,-, x) cos{r, x) —^ 
-<-?§cos(N,-,7)cos(r, 07) ^ 
-+- Y^cos(N/, ^)cos(r, a-) ^, 

les trois sommations s'étendant à la surface t initiale. 

Pour prouver ce que nous avons avancé, il suffît de montrer 
que, pour deux formes initiales différentes de la surface a-, la 
quantité 

V cos(N,-, a7) cos(/', a?) -^ 

n'a pas en général la même valeur. 

Supposons que la forme initiale de la surface t soit celle d'un 
cylindre dont Jes génératrices sont parallèles à l'axe des x{^g.6). 

Fig. 6. 



Soient B et B' les deux bases. Pour la surface latérale, on a, en 

tout point, 

cos(N/, x) = o; 

pour la base B, on a, en tout point, N/ étant la normale extérieure 

à la surface o-, 

cos(N,-, 3b) — i\ 



44 MVnE VII. — LES FORCES MAGNETIQUES. 

pour la base B', on a, en tout point, 

cos(N,-, x) = — I. 
Donc, pour notre cjlindre, on a 

S drs r\ cos(r,x) n cos(r,x) 
cos{^,;x)cos{r,x)—= S^ ch- \^ ^ '-di. 

Désignons par to l'angle sous lequel la base B est vue du 
point M, et par lo' l'angle sous lequel la base B' est vue du même 
point. Il est aisé de voir que l'égalité précédente peut s'écrire 



^ cos{^i,x)cos{r,x)^ 



d(s , 



On voit bien alors que cette quantité dépend de la forme du cy- 
lindre et de la position du point M dans ce cjlindre. 

Ainsi l'expression : action d'un aimant sur une masse ma- 
gnétique concentrée en un point qui lui est intérieur n'a aucun 
sens. C'est une proposition capitale dans l'étude du magnétisme; 
beaucoup d'erreurs ont été commises par les auteurs qui l'ont mé- 
connue. 

La plupart des propositions démontrées dans ce qui précède sont 
dues à Poisson ('), bien que les travaux de Poisson sur ces ques- 
tions renferment quelques inexactitudes (-). 

§ 3. — Du potentiel magnétique. 

D'après ce que nous avons vu au Chapitre 1, et d'après la déter- 
mination de la fonction 'f (/) obtenue au début de ce Chapitre, le 
potentiel des actions magnétiques mutuelles de deuxaimants A, A' 



(') Poisson {Bulletin de la Société Philomathique, décembre i8i3). — Mé- 
moire sur la théorie du Magnétisme, lu à l'Académie des Sciences, le 2 février 
1824 {Mémoires de l'Académie des Sciences, années 1821 et 1822, t. V, p. 247). 

(') Voir, au sujet des inexactitudes commises par Poisson, notre Étude histo- 
rique sur l'aimantation par influence {Annales de la Faculté des Sciences de 
Toulouse, t. If, 1887). 



CHAP. Iir. — FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE, ETC. 45 

est susceptible de deux expressions distinctes. On peut l'écrire 
[Cliap. I, égalité (i i)] 




(,.•.) 



e'AO^A;) 



l)bx' 



G-.l.' 



c)^l 



dx dx' 
\ 



X\'^^' 



d^ 



dy dx' 

r 

àz dx' 



/• 

ôx ày' 



dydy 



+ .1,3' 



111,3' 



au'o' 



r 

ôzdy' 



à'-- 



dx ôz 
r 

dyjz' 



dzdz' 



dv dv'. 



chacune des intégrations s'étendant à l'un des deux aimants. On 
peut aussi, en désignant par O la fonction potentielle magnétique 
de l'aimant A, par t)' la fonction potentielle magnétique de l'ai- 
mant A', donner à (P l'une des deux formes équivalentes [Cliap. 1, 
égalités (lo) et (lo bisy\ 



t/x 'i 'yy il 

De ces égalités, on déduit 



z' Il ^ïo' Il r II 

(i3) i<S= / \\A.-^\\d,+ \\X' 

t/A 1 1 "•* il J\' 1 1 



ôx 



dv'. 



dv' . 



Soit '^ la fonction potentielle magnétique de l'ensemble des deux 
aimants; nous aurons 

04) \;> = o-hX')'. 

Considérons la fonction ^ définie par l'égalité 



ni dO r'\ ()■<? 



dv'. 



En vertu des égalités (i3) et (14)5 ou voit que l'on peut écrire 



1^ = i^S-\- 



■L 



dx 



dv 



r\ .,àv' 



dv'. 



Or, si l'on déplace l'aimant A sans changer sa forme ni son aiman- 

dç gardera évidemment une valeur 



talion, la quantité / \\X 



Ufl 



dx 



invariable; de même, si l'on déplace l'aimant A' sans changer sa 



(6 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

forme ni son aimantation, la quantité / 1 -l,' -,-7 dv' gardera une 

valeur invariable. Si donc on déplace l'un par rapport à l'autre 
les deux aimants sans changer leur forme ni leur aimantation, on 
aura l'égalité 

qui permet d'énoncer le théorème suivant : 

Loi'squ'on déplace l'an par rapport à Vautre deux aimants 
dont on maintient constantes la forme et l'aimantation, les 
actions mutuelles de ces deux aimants effectuent un travail 
égal, au signe près, à la variation que ce déplacement fait 
subir à la quantité ^T, définie par V égalité (i5). 

Nous donnerons désormais à cette quantité ij le nom àe poten- 
tiel magnétique du système des deux aimants. Cette définition 
s'étend évidemment à un système formé d'un nombre quelconque 
d'aimants. 

Soit S la surface qui limite le volume v de l'aimant A; soit ]\/ la 
normale à cette surface vers l'intérieur de l'aimant; soit S' la sur- 
face qui limite le volume v' de l'aimant A'; soit N^ la normale à 
cette surface vers l'intérieur de l'aimant. Posons 



a^his) 
(5 bis) 



dX 
dx 



dX' 



dx' 



■,=-\\Xcos{^i,x)\\, y = _||,V(N:-, ;r)l 



Les égalités ('j) nous permettront d'écrire 



()X 



ô- à'- . ôl 



S,'' d^"^^'^S/'^ âi'^s''- (^' à^'^'^'^f/^ -fx"^'^^ 



r désignant, dans ces diverses intégrales, les distances respectives 
du point (x, y^ z) aux éléments c/S|, <a^S', , <r/p| , dv\. Nous aurons, 
de même, 



^i 



dl 



d~ 



D'ailleurs, les propriétés de la fonction potentielle ordinaire nous 



ClUP. ni. — FONCTION POTENTIELLE MAGNETIQUE, ETC. 

permet lent d'écrire 



0- 



\in réunissant ces divers résultats, on voit que l'égalité (là) |)eut 
s'écrire 






dv' . 



Une intégration par parties permettra de remplacer cette égaliic' 
par la suivante 

^^ '- f f îî^dvd., -^- f f ^^dv'd.\ 

Cette égalité (i6) nous démontre une importante proposition <|ui 
complète celle que nous avions démontrée au § 1. 

Distribuons da fluide fictif , tant à V intérieur des deux ai- 
mants A et A' qu^à leur surface, suivant les lois indiquées par 
les égalités (4 bis\et (5 bis)\ imaginons que deux quantités q, 
q' de fluide fictif , séparées par une distance r, exercent l'une 

sur Vautre une action répulsive ayant pour valeur ^« Le 



48 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

potentiel des actions mutuelles de ces charges Jicti^'es sera pré- 
cisément égal au potentiel magjiéticpie du système. 

Ainsi, il est permis de substituer à des aimants la distribution 
fictive définie par les égalités (4 his) et (5 bis), non seulement 
lorsqu'on veut calculer les actions que ces aimants exercent sur un 
pôle magnétique extérieur, mais encore lorsque l'on veut calculer 
les actions qu'ils exercent les uns sur les autres. 

L'égalité (i6) donne à ^ une forme analogue à celle d'un poten- 
tiel électrostatique. Les propriétés connues du potentiel électro- 
statique vont nous j)ermeltre de donner une nouvelle forme à cette 
expression de ^. Remarquons que la distribution fictive dontj est 
le potentiel a pour fonction potentielle ordinaire la fonction po- 
tentielle magnétique V, et nous pourrons écrire [Livre I, Cliap. IX, 
égalité (9)] : 

l'intégration s'étendant à tout l'espace. 

Cette égalité (17) nous montre que^T^st essentiellement positif, 
à moins que l'on n'ait dans tout l'espace 

<)<) dV d<> 

— - = O, — = O, -- = o. 

Ox Oy dz 

Comme, d'ailleurs, la fonction V^ est continue dans tout l'espace et 
égale à o à l'infini, ces égalités exigeraient que l'on eut, dans tout 

l'espace, 

V = o. 

Le potentiel magnétique d' un système aimanté est positif , à 
moins que la fonction potentielle magnétique ne soit égale à o 
dans tout l'espace. 

La fonction potentielle magnétique sera évidemment égale à o 
dans tout l'espace si le système n'est pas aimanté; mais il n'est 
pas nécessaire que le système ne présente aucune aimantation 
pour que la fonction potentielle magnétique soit égale à o dans 
tout l'espace. D'après l'égalité (3) et les propriétés connues de la 
fonction potentielle ordinaire, il est nécessaire et suffisant, pour 
qu'il en soit ainsi, que les composantes de l'aimantation vérifient 



CHAP. III. — FONCTION POTENTIELLE MAGNÉTIQUE, ETC. {g 

en lout point intérieur à chacun des aimants Tégalité 

()-l, dWU ()3 
<)x oy oz 

et, en tôul point de la surface de chacun de ces aimants, l'égalité 

..l,cos(N,-, a7)-h-a)lcos(N/, j)+3cos(]N/, ^)=o. 

Or il est facile de trouver pour .A,, ill), 3 des valeurs différentes 
de G qui vérifient ces égalités; les valeurs de X, i)î), G qui véri- 
fient ces égalités représentent les composantes de la vitesse en tous 
les points d'une masse fluide incompressible qui occuperait le vo- 
lume invariable de l'aimant; une semblable masse n'est pas néces- 
sairement au repos : il n'est donc pas nécessaire que -l., ilb, S soient 
identiquement nuls. 

La formule (17) fait intervenir la quantité 

fd-oy /c)v'n2 /d<>Y 

Cette quantité se présentera fréquemment dans nos calculs. Il 
sera donc commode d'adopter, pour la représenter, un symbole 
unique. Dorénavant, nous poserons 

Moyennant cette notation ('), l'égalité («7) pourra s'écrire 

En tout point extérieur aux aimants, la quantité 11^^ a une signi- 
fication très simple; elle représente le carré de la valeur ab- 
solue de la force exercée par les aimants sur une quantité de 
fluide austral égale à V unité placée en ce point. 

L'égalité 

(') Lamé employait, au lieu du symbole WÇ, le symbole (A.V*))'. 

D. - II. \ 



5o LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

OÙ "k représente une constante arbitraire, définit dans l'espace 
une famille de surfaces. Nous donnerons à ces surfaces, que nous 
aurons souvent à considérer, le nom de sur/aces isodynamiques. 
Une charge magnétique, parcourant les divers points d'une sur- 
face isodjnamique extérieure aux aimants, subit de la part de ces 
aimants une force dont la valeur absolue ne varie pas. 



M 199» 



CH.VP. IV. — DISTRIBUTIONS EQUIVALENTES A UN AIMANT. 

CHAPITRE IV. 

LES DISTRIBUTIONS FICTIVES ÉQUIV\LENTES A UN AIMANT. 



§ 1. — Les distributions fictives équivalentes à un aimant. 

Ayant un aimant, limité par une surface S, imaginons qu'à 
l'intérieur de cet aimant, ou bien sur la surface S elle-même, on 
distribue un certain fluide fictif jouissant des propriétés sui- 
vantes : 

1° Une quantité q de fluide fictif, située à une distance /' d'une 
quantité M de fluide magnétique, exerce sur ce dernier une force 
répulsive qui a pour valeur 

et réciproquement. 

2° Deux quantités q et ^'de fluide fictif, situées à la distance /• 
Tune de l'autre, exercent l'une sur l'autre une action répulsive 

Soit 

la fonction potentielle ordinaire de ce fluide fictif. 

Supposons que nous ajons pu, à la surface de l'aimant ou à 
son intérieur, distribuer du fluide fictif de manière que la fonction 
potentielle ordinaire du fluide fictif soit, en tout point extérieur 
à V aimant, égale à la fonction potentielle magnétique de l'ai- 
mant. Nous dirons que nous avons obtenu une distribution fic- 
tive équivalente à l'aimant. 

La distribution définie par les égalités (4) et (5) du Chapitre 



52 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

précédent nous offre un exemple de distribution fictive équiva- 
lente à l'aimant. 

Cette dernière distribution fictive possède cette propriété, que 
sa fonction potentielle ordinaire est égale à la fonction potentielle 
magnétique de l'aimant, non seulement dans le champ extérieur 
à l'aimant, mais encore en tout point intérieur à l'aimant. Elle 
est d'ailleurs la seule, parmi les distributions fictives, qui possède 
cette dernière propriété, car il est évident que deux distributions 
fictives qui ont, dans tout l'espace, la même fonction potentielle 
ordinaire sont identiques. 

Ainsi, en général, lorsqu'on aura trouvé une distribution fic- 
tive équivalente à un aimant, la fonction potentielle ordinaire de 
cette distribution, identique à la fonction potentielle de l'aimant 
en tout point situé à l'extérieur de l'aimant ou à sa surface, en 
différera aux points situés à l'intérieur de l'aimant. 

Une distribution fictive équivalente à un aimant exerce la 
même action que V aimant sur tout pôle magnétique extérieur 
à cet aimant. 

A cette proposition, qui résulte immédiatement de la défini- 
tion d'une distribution fictive équivalente à un aimant, nous ajou- 
terons la suivante, qui est un peu plus cachée, et que nous avons 
déjà démontrée au Chapitre précédent pour la distribution fictive 
particulière que nous y avons étudiée : 

Les actions mutuelles de deux aimants sont les mêmes que 
celles de deux distributions fictives, respectivement équiva- 
lentes à ces deux aimants. 

Soient A et A' deux aimants; soient X9 et 'O' leurs fonctions 
potentielles magnétiques. Le potentiel magnétique de ces deux 
aimants a pour valeur, d'après l'égalité (ly) du Chapitre précé- 
dent, 

^=^( f'n\DdV'+- CuVdv^ ÇnX)dv'-^ Ç WO'dv' 

-+- fnvdv"-h fn\D'dv"^i fY-?-^-?'Adv 
/- Il ^ dtr || , , r II ^ ^' d"\ 



CHAP. IV. — DISTRIBUTIONS ÉQUIVALENTES A UN AIMANT. 53 

A" étant l'espace extérieur aux deux aimants et dv" un élément 
de cet espace. 

D'autre part, si nous considérons deux distributions fictives 
respectivement équivalentes aux deux aimants A et A'; si U et U' 
sont leurs fonctions potentielles ordinaires, le potentiel des ac- 
tions mutuelles des deux distributions fictives sera 

Y=-/-/ fui]dv-\- CnUdi'-^ fuVdv'^ fai]'di>' 
''^ VA -'a -V -^A' 

r r r\'di] dU' '\ 

r II dV dV II ^ , r II '^u dij' |i , „ 

J , I OX OX II J K"\\ "-^ '^'^ I' 



Il s'agit de prouver que, si l'on déplace les deux aimants, l'un 
par rapport à l'autre, sans altérer leur forme ni leur aimantation, 

on aura 

8iT = oY. 

Or, en premier lieu, on a, dans les espaces A' et A", 

1') = U, 
et, dans les espaces A et A", 

t')'=U'. 
En second lieu, les termes 

fuvdv, f nu di>, fnXD'di', fnu'dv', 

^K ''a «^A' '',V 

irent invariables dans 
donc, toute réduction faite, 



demeurent invariables dans la modification dont il s'agil. On a 



dV \ dVYU 
~dx ) dx \\ 



dv 



r II fd-o' dV\ dx) Il , ;i 

Jy II \ ''^ OX J ÔX \\ J 

Le théorème de Green permet de transformer la quantité entre 
crochets en 

+ f {U — ■0)àV'dv-h f {{]' - V ) W dv' . 



54 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

Mais, en tout point de la surface S, on a 

U — t') = o ; 

en tout point de la surface S', on a 

U'— iT^o; 

tout point de l'aimant A étant extérieur à l'aimant A', on a, 
en tout point de l'aimant A, 

At)'=o; 

tout point de l'aimant A' étant extérieur à l'aimant A, on a, 
en tout point de l'aimant A', 

At') = o. 

On a donc 

J — SY = o, 

ce qui démontre la proposition énoncée. 

Étant donné un aimant, on peut trouver une infinité de distri- 
butions fictives équivalentes à cet aimant. Toutes ces distributions 
présentent cette propriété : La quantité totale de fluide fictij 
qui forme une distribution équivalente à un aimant donné est 
la même pour toutes les distributions équivalentes à cet ai- 
mant. 

Cette proposition peut se démontrer bien aisément de la ma- 
nière suivante : 

Soient un aimant limité par une surface S et une distribution 
équivalente à cet aimant. Cette distribution, qui renferme une 
quantité Q de fluide fictif, a une fonction potentielle ordinaire U. 

Entourons l'aimant d'une surface fermée S' {flg- 7). Soit N^ la 
normale extérieure à cette surface fermée. D'après les lemmes de 
GausS; on a 

Mais, en tout point extérieur à l'aimant, la fonction potentielle 
ordinaire de la distribution fictive est identique à la fonction po- 
tentielle magnétique t) de l'aimant. On a donc 



CHAP. IV. — DISTRIBUTIONS ÉQUIVALENTES A UN AIMANT. 55 

Cette égalité montre que, conformément à la proposition énon- 
cée, la quantité Q est déterminée quand l'aimant est connu; elle 
est la même pour toutes les distributions fictives- équivalentes à 
un même aimant. 

Fig. 7. 

S' 




Pour calculer la quantité Q, nous pouvons, d'après le théo- 
rème précédent, prendre une distribution fictive quelconque équi- 
valente à cet aimant, par exemple la distribution fictive étudiée 
au Chapitre précédent, qui a, en tout point intérieur à l'aimant, 
une densité solide 

et, en tout point de la surface de l'aimant, une densité superfi- 
cielle 

(2) a=:-||.^cos(N,-,a7)lI. 

Pour cette distribution, on aura 

On peut intégrer immédiatement le premier des deux termes 
qui composent Q; on le trouve égal et de signe contraire au se- 
cond ; on a donc 

Q = o. 

D'où la proposition suivante : 

Toute distribution fictive équivalente à un aimant renferme 
autant de fluide fictif positif que de fluide fictif négatif . 



56 MVRE VI!. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

§ 2. — La distribution superficielle équivalente à un aimant et le 
problème dérivé de Lejeune-Dirichlet. 

La disiribulion fictive particulière définie par les égalités (i) 
et (2) comporte du fluide fictif distribué à l'intérieur de l'aimant 
et du fluide fictif distribué à sa surface. Dans certains cas, cette 
dernière distribution existe seule. C'est ce qui arrive, par exemple, 
si l'aimantation est uniforme. On dit que l'aimantation d'un corps 
est uniforme lorsque l'intensité de l'aimantation a la même gran- 
deur et la même direction en tous les points de l'aimant. Les trois 
quantités al., i)\), S ont alors des valeurs indépendantes de .r, j', 5, 
en sorte que l'on a 

d.% _ d\s\^ _ dZ _ 

Ox ^ Oy ^ àz 

et, par conséquent, 

p = o. 

Dans ce cas, la distribution superficielle équivalente à l'aimant 

a pour densité 

ff = Il r,il,cos(N/, x)\\. 

Il est aisé d'en obtenir une représentation géométrique. Don- 
nons à la surface S qui limite l'aimant une translation infiniment 
petite parallèle à l'aimantation uniforme (-1., iiï), S) de l'aimant. 
Soit S' la nouvelle position de la surface S. La densité superfi- 
cielle T en un point de la surface S sera proportionnelle à la dis- 
tance de ce point à la surface S', cette distance étant comptée 
positivement lorsqu'au voisinage du point considéré la surface S' 
est extérieui^e à la surface S. 

D'une manière plus générale, la distribution superficielle existe 
seule toutes les fois que -l>, ill), 3 varient à l'intérieur de l'aimanl, 
de telle sorte que l'on ait en tout point 

dX ^\\^^ dB 

—- -h -. H -V- = O. 

ox oy ôz 
Un tel aimant est ce que Sir W. Thomson ( ' ) nomme un aimant 

(') Voir Chapitre VU, § 1. 



CHAP. IV. — DISTRIBITIONS KyUlVALEXTKS \ LX AIMANT. 67 

solénoidal; lorsque nous étudierons, au Livre VIII, la ihéorie, 
donnée par Poisson, de l'aimantation par influence, nous verrons 
combien est importante l'étude des aimants solénoïdaux. 

Dans le cas où l'aimant est solénoidal, son action extérieure est 
la même que celle d'une distribution fictive purement superficielle, 
dont la densité est donnée par l'égalité (2). 

Dans tous les cas possibles, on peut trouver d'une et d'une 
seule manière une distribution fictive, entièrement répandue 
sur la surface d'un aimant et équivalente à cet aimant. Seule- 
ment, dans le cas où l'aimant n'est pas solénoidal, la densité su- 
perficielle de cette couche fictive n'a plus la valeur donnée par 
l'égalité (2). 

La démonstration de ce théorème résulte immédiatement des 
principes posés au Livre III, Chapitre V, §§ 1, 2 et 3. Nous avons 
vu, en effet, que Ton pouvait, d'une et d'une seule manière, distri- 
buer une quantité donnée de fluide (elle est ici égale à o) sur une 
surface S, de telle manière que la fonction potentielle de ce fluide 
soit identique, à l'extérieur de la surface S, à une fonction harmo- 
nique donnée, qui est ici la fonction potentielle magnétique t;; de 
l'aimant. 

Un aimant étant donné, comment déterminera-t-on cette distri- 
bution superficielle qui lui est équivalente? La réponse à cette 
question dépend de la manière dont l'aimant est donné. 

Si l'on se donne l'aimantation en chaque point de l'aimant, on 
pourra calculer la valeur de la fonction potentielle magnétique en 
tout point de l'espace extérieur à l'aimant ou de sa surface; il 
suffira alors de résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace 
intérieur à l'aimant, et l'on connaîtra la distribution superficielle 
qui lui est équivalente, conformément aux principes qui ont été 
exposés au Livre III, Chapitre V. 

On opérera encore de même si, au lieu de se donner l'aimantation 
en chaque point de l'aimant, on se donne directement la fonction 
potentielle magnétique dans tout l'espace extérieur à cet aimant. 

Si l'on se donne seulement la valeur de la fonction potentielle 
magnétique aux divers points de la surface de l'aimant, on aura, 
pour déterminer la distribution superficielle qui lui est équivalente, 
à résoudre le problème de Dirichlet pour l'espace extérieur à l'ai- 
mant et pour l'espace intérieur à l'aimant. 



58 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

Ce n'est sous aucune de ces formes que se pose le problème à 
un physicien auquel on donne un aimant réel et auquel on demande 
de déterminer la distribution superficielle équivalente à cet ai- 
mant. 

Ce physicien n'a aucun moyen de déterminer la grandeur et la 
direction de l'aimantation en chaque point intérieur à l'aimant; il 
n'a, non plus, aucun moyen de déterminer la valeur de la fonction 
potentielle magnétique aux divers points du champ magnétique ou 
de la surface de l'aimant. Tout ce qu'il peut déterminer, par des 
méthodes que nous étudierons au paragraphe suivant, ce sont les 
composantes X, Y, Z de l'action que l'aimant exercerait sur un 
pôle magnétique égal à l'unité placé en un point [x, y, z) exté- 
rieur à l'aimant et pas trop éloigné de l'aimant. 

On sait que ces composantes sont liées à la fonction potentielle 
magnétique par les relations 

V à-Ç à-Ç d-Ç 

ox Oy oz 

On voit donc que l'expérience permet seulement de déterminer 
les dérivées partielles de la fonction potentielle magnétique aux 
divers points du champ. 

Dès lors, voici sous quelle forme se présentera, pour le physi- 
cien, le problème qui consiste à déterminer la distribution magné- 
tique superficielle équivalente à un aimant. 

Ayant déterminé par V expérience la valeur que prend, aux 
divers points extérieurs à V aimant et infiniment voisins de sa 

surface S, la dérivée -^rr de la fonction potentielle magnétique 

suivant la normale extérieure à V aimant, trouver la distribu- 
tion superficielle fictive qui équivaut à cet aimant. 

Soit U la fonction potentielle de la distribution fictive cherchée. 
Considérons l'espace extérieur à l'aimant. Dans cet espace, la 
fonction U est harmonique ; à l'infini, elle se comporte comme une 

fonction potentielle; sur la surface S, -rrp prend des valeurs don- 

Nous savons (Livre II, Chap. V, § 3) qu'il existe une seule 
fonction U satisfaisant à ces conditions. Déterminer cette fonction, 
c'est résoudre, pour l'espace extérieur à la surface S, le problème 



CHAP. IV. — DISTRIBUTIONS ÉQUIVALENTES A UN AIMANT. 5ç) 

auquel nous avons donné le nom àe problème dérivé de Lejeune- 
Dirichlet. 

Ce problème résolu, nous connaîtrons les valeurs u que prend U 
sur la surface S. Envisageons l'espace intérieur à la surface S. La 
fonction U est harmonique dans cet espace et elle prend, sur la 
surface S, des valeurs données u. U n'existe qu'une fonction U qui 
satisfasse à ces conditions; elle s'obtiendra en résolvant, pour 
l'espace intérieur à la surface S, le problème de Lejeune-Diri- 
chlet. 

La fonction U étant alors connue dans tout l'espace, la densité t 
du fluide fictif en un point quelconque de la surface S s'obtiendra 
par la formule 

(3) 



i. 




-h 




1 

471 




-+- 





Ainsi, la détermination de la distribution superficielle équi- 
valente à un aimant physiquement donné exige que V on résolve 
d'abord le problème dérivé de Lejeune-Diriclilet pour V espace 
extérieur à V aimant donné, puis le problème de Lejeune-Diri- 
chlet pour l'espace intérieur à cet aimant. 

Quelques remarques au sujet de la solution précédente : 
I** Cette solution comporte une vérification. Une fois la densité <t 
déterminée comme nous venons de l'indiquer, on devra s'assurer 
que la distribution fictive trouvée renferme autant de fluide positif 
que de fluide négatif, c'est-à-dire que l'on a 

V a o?S = o. 

On aura ainsi un moyen de vérifier si les données expér-imen taies 
qui ont servi de point de départ aux opérations analytiques étaient 
satisfaisantes. 

2° Dans un grand nombre de questions, par exemple, dans tous 
les cas où l'aimant devant être maintenu immobile, on veut seule- 
ment pouvoir calculer son action sur un aimant mobile extérieur : 
il suffit de connaître la fonction \'>, ou, ce qui revient au même, la 
fonction U, pour l'espace extérieur à l'aimant. Il suffit, dans ce 
cas, de résoudre le problème dérivé de Lejeune-Diriclilet pour 



()o LivnE vir. — LES fokcks magnétiques. 

l'espace extérieur à l'aimant; il est inutile de résoudre le problème 
de Lejeune-Dirichlet pour l'espace intérieur à l'aimant. 

3° Pendant très longtemps, les physiciens, et notamment Jamin, 
ont eu à l'égard de la détermination de la couche fictive équiva- 
lente à un aimant les idées les plus erronées. Ils prenaient simple- 
ment, pour expression de la densité de cette couche fictive, • 

,_ i_ ât^ 

Cette expression ne pourrait être exacte, comme on le voit en \n 
comparant à l'égalité (3), que si l'on avait, en tout point de la sur- 
face de l'aimant, 

La fonction U serait alors harmonique à l'intérieur de la surface S 
et vérifierait l'égalité (4) en tous les points de la surface S. D'après 
ce que nous avons vu (Livre II, Chap.V, § 3), toutes les fonctions U 
qui satisfont à ces conditions à l'intérieur de la surface S ne diffè- 
rent les unes des autres, à l'intérieur de cette surface, que par une 
constante. Comme d'ailleurs la fonction U = o satisfait à ces con- 
ditions, on voit que toute fonction qui satisfait à ces conditions 
est constante à l'intérieur de la surface S et sur la surface S elle- 
même. La couche fictive serait en équilibre d'elle-même sur la sur- 
face S. 

La couche fictive renferme autant de fluide fictif positif que de 
fluide fictif négatif; nous savons qu'une semblable couche ne 
pourrait être en équilibre d'elle-même sur la surface S sans que sa 
densité fût égale à o en tout point de cette surface. Ainsi l'hypo- 
thèse admise par Jamin pour la détermination de la couche fictive 
équivalente à un aimant ne serait exacte que si la densité de la 
couche fictive était, en tout point, égale à o, cas auquel l'aimant 
n'aurait aucune action sur les points extérieurs. 

§ 3. — Méthodes expérimentales pour l'étude de la distribution fictive. 

Nous avons vu que, pour qu'il soit possible de déterminer ana- 
lytiquement la distribution superficielle fictive qui équivaut à un 
aimant, il était nécessaire, tout d'abord, de déterminer expéri- 



CHAP. IV, — DISTRIBUTIONS EQUIVALENTES A UN AIMANT. 



6i 



mentalement la valeur de -r^ aux divers points de l'aimant. Les 

méthodes qui servent à cette détermination peuvent se classer en 
deux tjpes : 

i" La méthode de Coulomb; 

vi" La méthode de Van Rees. 

LIne autre méthode, dite méthode de V arrachement , a été 

proposée par Jamin ('), et employée par ce physicien et par 

M. Duter. Nous verrons plus loin (Livre IX, Chap. IX, § 4) 

.11 • , 1 , . d^) 

cfue cette méthode ne neut servu- a déterminer t^t* 

i" Méthode de Coulomb ('-). — Supposons qu'une aiguille ai- 
mantée, fine et très longue, soit suspendue au fil de cocon de la 
balance de torsion. Elle est en équilibre sous l'aclion de la terre 
dans une certaine position horizontale AB {^fig. 8). La torsion 
du fil a une valeur inconnue. 



Fi g. 8. 




On approche l'aimant pour lequel on veut déterminer la valeur 



d<? 



de -^ en un certain point M. On l'approche de telle manière que 



le point M soit dans le plan horizontal qui passe par AB^ qu'il 
soit extrêmement voisin de l'extrémité A de l'aiguille, et que la 
ligne MA soit normale à la fois à l'aimant et à la direction AB. 



(') Jamin, Sur la distribution magnétique {Comptes rendus, t. LXXV, 
p. 1572; J872). 

(") C0ULOMH, Septième Mémoire sur l'électricité et le magnétisme : Du ma- 
gnétisme {Mémoires de l'Académie pour 1789). 



62 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

L'orientation de l'aiguille est alors modifiée-, par un contrepoids 
et par une torsion convenable du fil de suspension, on ramène 
l'aiguille à sa position primitive. 

Soit DV^ le moment magnétique que possédait l'aiguille AB 
avant l'approche de l'aimant. Soit ù l'angle que la direction BA 
fait avec le méridien magnétique vers l'est. Soit lo l'angle de tor- 
sion du fil lorsque l'aiguille est en équilibre d'elle-même en AB; 
w est compté positivement dans le même sens que ô. Au moment 
où l'aiguille est en équilibre, on a 

011 H sin -h 6co = o, 

8 étant le coefficient d'élasticité de torsion du fil. 

L'aimant étant placé, l'aiguille ramenée en AB, soit tj. la masse 
magnétique concentrée au pôle A de l'aiguille. Supposons que 
l'aimant exerce sur une masse magnétique égale à l'unité une 
force F, dont la composante suivant MA ou N^ soit F^. Suppo- 
sons, en outre, l'aimant placé de telle manière qu'il tende à dévier 
l'aiguille BA vers l'est. Soit a l'angle (il sera négatif) dont on a 
dû augmenter la torsion pour ramener l'aiguille en AB. Soit 2 /la 
longueur de l'aiguille AB. La nouvelle condition d'équilibre de 
l'aiguille sera, en négligeant l'action de V aimant su?- le pôle B, 

0,1x111 sin8 4-FN[J.^-t-ô(w-Ha) = o. 

La distribution magnétique sur l'aiguille placée en présence de 
l'aimant n'est pas forcément la même que sur l'aiguille soumise 
seulement à l'action terrestre. Le moment magnétique 011 n'est 
pas forcément égal au moment magnétique 2[ji./. 

Nous admettrons que les variations subies par V aimanta- 
tion de V aiguille lorsqu'on V approche de l'aimant à étudier 
sont négligeables. Nous aurons alors 

et nos deux équations d'équilibre nous donneront 

F>4--a=o. 

Nous obtiendrons ainsi la composante, suivant la normale à la 
surface de l'aimant, de l'action que l'aimant exerce sur une masse 



CHAP. IV. — DISTRIBUTIONS ÉQUIVALENTES A UN AIMANT. 63 

magnétique égale à l'unité placée au point A; mais, dans la défi- 
nition de cette action, il ne faut pas oublier que la distribu- 
lion sur l'aimant est celle qui se produit en présence de l'ai- 
guille AB. Nous admettrons que V approche de V aiguille AB 
ne modifie pas sensiblement la distribution magnétique sur 
Caimant étudié. Moyennant celte nouvelle approximation, la 
force Y^ sera bien celle qui est produite parla distribution magné- 
tique que l'on veut étudier sur un pôle d'aimant égal à l'unilé 
infiniment voisin de la surface de l'aimant. On aura donc bien 

T^ ayant la même signitication que dans les raisonnements qui 

précèdent. 

Ainsi, moyennant des approximations dont il est assez difficile 
d'apprécier le degré d'exactitude, la méthode de Coulomb four- 
nil les données expérimentales qu'il est nécessaire de connaître 
pour étudier la distribution fictive du magnétisme. 

Coulomb a aussi employé, pour mesurer la force Fi^, au lieu de 
la balance de torsion, une méthode fondée sur la durée des oscil- 
lations d'une petite aiguille en présence de l'aimant. La méthode 
peut être justifiée à peu près par les mêmes considéralions que la 
précédente ; elle est soumise aux mêmes approximations. 

2° Méthode de Van Rees, modifiée par MM. Mascart etJou- 
bert. — Van Rees a eu le premier l'idée d'avoir recours aux phé- 
nomènes d'induction électromagnétique pour étudier la distribu- 
tion du magnétisme. 11 a employé cette méthode, comme nous le 
verrons au Chapitre suivant, dans l'examen des aimants linéaires. 
MM. Mascart et Joubert (') ont montré comment on pouvait mo- 
difier cette méthode, de manière à en faire usage pour l'étude de 
la distribution magnétique sur des aimants quelconques. 

Prenons un très petit circuit fermé, plan, d'aire Q. Déplaçons-le 
dans le champ magnétique d'un aimant. Soit N la normale à la 
face positive de ce petit circuit. A l'instant <, ce déplacement en- 
gendre dans le petit circuit une force électromotrice intégrale 



(') Mascart et Joubert, Leçons sur l'électricité et le magnétisme, t. II, 
p. 728; Paris, 1886. 



64 LlVRIi: VII. — LKS FORCKS MAGNÉTIQUES. 

d'induction C, qui a pour valeur (') [Livre XV, Chap. III, éga- 
Iité(7)], 



dN \Ti dt d^ 



expression qui est exacte, soit que l'aimantation de l'aimant ait 
varié pendant ce déplacement, soit qu'elle n'ait pas varié. 

Cela étant, relions par un double fil le petit circuit à un gal- 
vanomètre balistique (Livre XII ï, Chap. Vil) placé très loin de 
l'aimant. Plaçons initialement {fig. 9) ce petit circuit très près 




de l'aimant, de manière que son plan soit parallèle au plan tan- 
gent en M à la surface de l'aimant et que la normale N à sa face 
positive coïncide avec la normale Ng. Le fil n'est parcouru par 
aucun courant; l'aimant est donc dans son état naturel; la valeur 

initiale ( -rir de -r^, est donc bien la quantité -tt- cf ne nous voulons 

déterminer. 

Enlevons rapidement le petit circuit pour ne l'arrêter qu'à 
une distance extrêmement grande de l'aimant; la valeur finale 



'dV\ 



de 



dV 



,^, , v^v. ^iTr est extrêmement petite. 

Le petit circuit est à l'état neutre au début de l'expérience et à 
la fin. Soit E la force électroraotrice dont ce circuit serait le siège 
à l'instant f, si le courant qui le traverse était uniforme. Soit R 



(') tj esl la constante fondamentale des actions électromagnétiques. 



CHAP. IV. — DISTRIBUTIONS ÉQUIVALENTES A UN AIMANT. C) 

la résistance totale du système dont il fait partie. Il résulte des 
considérations qui seront exposées au Livre XIV, Chapitre VII, 
que la quantité totale Q d'électricité mise en mouvement dans 
notre petit circuit peut se calculer par la formule 



Mais on a 



^-J 



E^C 



Edt. 



C' étant la force éleclromotrice intégrale que le circuit induirait 
sur lui-même à l'instant t, si le courant qui le traverse était à tout 
instant uniforme. 

Le circuit étant indéformable, le courant qui le traverse étant 
égal à o, au départ comme à l'arrivée, on a 

/ C'd/ = o. 
11 reste donc 

ou, d'après ce qui précède, 

Le galvanomètre balistique permettant de connaître Q, nous 
pourrons connaître -.-^ par une méthode qui n est plus soumise 
aux approximations incertaines de la méthode de Coulomb. 



dN 



,] 



D. - II. 



66 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

CHAPITRE Y. 

LE PROBLÈME DÉRIVÉ DE LEJEUNE-DIRICHLET. 



§ 1. — Le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet pour les cylindres. 

Nous avons vu que la détermination, d'après les données expé- 
rimentales, de la distribution magnétique fictive équivalente à un 
aimant plein conduisait à résoudre, pour l'espace extérieur à cet 
aimant, le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet. Ce problème 
s'énonce de la manière suivante : 

Soitp la surface de V aimant; soit N^ la normale extérieure 
à cette surface; on demande de trouver une fonction x?, harmo- 
nique dans tout l'espace extérieur à la surface S, se com- 
portant à V infini comme une fonction potentielle et telle que 

-^ prenne sur la suif ace S des valeurs données finies, variables 

d^une manière continue. 

Il serait désirable que l'on eût, pour résoudre ce problème, des 
méthodes aussi puissantes que celles qui ont été créées pour ré- 
soudre le problème même de Dirichlet. Malheureusement, il s'en 
faut bien qu'il en soit ainsi, et l'on ne sait résoudre le problème 
en question que dans quelques cas assez particuliers. 

Supposons, en premier lieu, que l'aimant ait la forme d'un cy- 
lindre pratiquement très long et théoriquement illimité, dont les 
génératrices sont parallèles à l'axe des 5, et admettons que l'ai- 
mantation de cet aimant soit la même en tout point d'une ligne 
quelconque parallèle à l'axe des z. La fonction potentielle magné- 
tique "Ç sera alors indépendante de z. 

Soit L le contour de la section du cjlindre par le plan XOY. 



CHAP. V. — LE PROBLÈME DÉRIVÉ DE LEJEUNE-DIRICHLET. 67 

Soit Nff la normale à la courbe L vers l'extérieur de l'aire limitée 
par cette courbe. Le problème proposé se réduira alors à celui-ci : 

Trouver une fonction t? des deux variables x et y, harmo- 
nique en tout point de l'aire plane illimitée extérieure à la 
courbe L, se comportant à V infini comme une fonction poten- 
tielle et telle que -y^ p rétine, en tout point de la courbe L, des 
valeurs données , finies, variables dUine manière continue. 

Ce problème n'est autre chose que le problème dérivé de Le- 
jeune-Dirichlet, réduit au cas de deux variables. 

Or, dans ce cas, si l'on sait résoudre le problème de Lejeune- 
Dirichlet pour traire illimitée extérieure à la courbe L, on 
sait, pour la même aire, résoudre le problème dérivé de Le- 
je u n e-Dir ich let . 

Commençons par déterminer une fonction v{x^y)^ harmonique 
en tout point de l'aire illimitée extérieure à la courbe L, se com- 
portant à linfîni comme une fonction potentielle, et prenant en 
tout point de la courbe L une valeur constante et positive donnée a. 
On sait faire cette opération puisque, par hypothèse, l'on sait ré- 
soudre le problème de Lejeune-Dirichlet pour la région extérieure 
à la courbe L. 

Considérons les deux familles de courbes 

V = const., 
u = const., 

les coui'bes de la seconde familUe étant les trajectoires orthogo- 
nales des courbes de la première famille. Ces deux familles de 
courbes forment un système de coordonnées curvilignes orthogo- 
nales. Dans ce système, l'élément linéaire est représenté par l'ex- 
pression 

A et B étant deux fonctions positives de u et de v. D'après ce qui a 
été démontré ailleurs (Livre V, Chap. V, § 2), le système de 
coordonnées orthogonales dont il s'agit forme un système iso- 
therme, en sorte que l'on a 

k = Y{u,v)f{u), 

B = ¥{u,v)g{v), 
F(m, p), /(u), g{v) étant trois fonctions positives. 



38 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

D'après les principes exposés ailleurs (Livre II, Ghap. VII, § 1), 
l'équation 

deviendra, dans le nouveau système de coordonnées, 

A 'dv ) 



d /A (Jt?\ «^ /B d-Cn 



bien 



Prenons deux nouvelles variables a, [îi, liées respectivement à u 
et t^ par les relations 

«^0 






dv. 



La fonction F(«/, i') deviendra <l>(a, [i). Le carré de Télément li- 
néaire aura pour nouvelle expression 

(i) rf52=^4>2(a, p)(Ja2+rfj32). 

L'équation qui exprime que la fonction \'^ est harmonique deviendra 
simplement 

()2-C> <32-C) 

D'ailleurs les deux familles de lignes coordonnées 

a = const., p = const. 

coïncideront respectivement avec les familles de lignes 

u = const., V = const. 
Si l'on pose 

K= f f{u)du, 

la ligne L sera représentée par l'équation 

a = K. 

Ces préliminaires posés, nous remarquerons en premier lieu que. 



I 



CHAP V. — LE PROBLEME DÉRIVÉ DE LEJEUNE-DIRICHLET. 69 

si la fonction "Ç vérifie l'éqviation (2), la fonction XD(a:,y) définie 
par 

vérifiera aussi cette même équation. Cette fonction est donc har- 
monique dans la région extérieure à la courbe L. 

Nous remarquerons en second lieu qu'on a, en tout point de la 
courbe L, 

We ~ <Ï>(K, P) "di 

ou bien 

La fonction XD prend donc, en tout point de la courbe L, des va- 
leurs qui peuvent être regardées comme données. 

La fonction XD sera alors déterminée en résolvant le problème de 
Lejeune-Dirichlet pour la région extérieure à la ligne L. 

Une fois la fonction VJ connue, on obtiendra la valeur de la 
fonction t;> en un point de coordonnées a, (3, par la formule 

-(?(«, P)- f 0(a, |3)c/a, 
en sorte qu'une quadrature achèvera la solution du problème. 

§ 2. — Le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet pour la sphère. 

Dans le cas où deux variables seulement figurent dans la ques- 
tion, le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet se ran^ène, comme 
nous venons de le voir, au problème de Lejeune-Dirichlet. Cette 
réduction repose essentiellement sur la possibilité de faire figurer 
le contour de l'aire étudiée au nombre des lignes qui composent 
un système divisant le plan en carrés infiniment petits. 

Une réduction analogue s'opérerait dans l'espace si la surface 
de l'aimant pouvait faire partie d'un système triplement orthogonal 
divisant l'espace en cubes infiniment petits. 

Dans quel cas la surface de l'aimant possédera-t-elle une sem- 
blable propriété ? 



70 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

Le système classique des coordonnées rectangulaires forme un 
système divisant l'espace en cubes infiniment petits; ce système 
correspond au cas où l'aimant a la forme d^une plaque théorique- 
ment illimitée, comprise entre deux plans parallèles. 

Dans ce cas, si l'on suppose que l'une des faces de la plaque 
soit formée par le plan XOY, l'aimant étant situé au-dessous de 
ce plan, on commencera par déterminer une fonction '0(x, y, z), 
harmonique dans tout l'espace situé au-dessus du plan XOY, se 
comportant à l'infini comme une fonction potentielle, et prenant 
aux divers points du plan XOY des valeurs égales aux valeurs 

de -j- données par l'expérience. Cela fait, la fonction 'Ç sera déter- 
minée en tout point de l'espace considéré par la formule 

\9 = — / t) dz. 



-l 



Peut-on trouver un autre système triplement orthogonal divisant 
l'espace en cubes infiniment petits ? Si l'on remarque qu'un sem- 
blable système constituerait une représentation conforme du pre- 
mier et si l'on se souvient du théorème démontré par Liouville 
(Livre II, Chap. VIII, § 3), on voit qu'un semblable système doit 
se déduire du précédent par inversion. Un plan se transformant 
en sphère par inversion, nous arrivons à cette conclusion que la 
méthode par laquelle, dans le cas de deux variables, on ramène le 
problème dérivé de Dirichlet au problème de Dirichlet, est appli- 
cable à l'espace extérieur à une sphère, mais non à une autre forme 
d'espace illimité. Comme on sait résoudre le problème de Dirichlet 
pour l'espace extérieur à une sphère, on saura aussi résoudre le 
problème dérivé de Lejeune-Dirichlet pour cet espace. Voici la 
manière la plus simple et la plus pratique de résoudre effective- 
ment ce problème : 

Marquons la situation d'un point à l'extérieur de la sphère par 
sa distance r au centre de la sphère, sa longitude occidentale t]> et 
sa colatitude septentrionale 8. 

La fonction *<?, étant harmonique dans l'espace extérieur à la 
sphère, est développable (Livre II, Chap. VI, § 3) en série unifor- 
mément convergente ordonnée suivant les puissances croissantes 



CH.VP. V. — LE PROBLEME DERIVE DE LEJKUNE-DIRICHLET. Jl 

de -• Comme, d'ailleurs, celle fonction est la fonction potentielle 
d'une masse totale égale à o de fluide fictif, le développement com- 
mencera par un terme en — • On aura donc 

1 /■2 



!,,,„., I 



•<>= ,:,Y,(0,4.)-+-^Y,(e,<|.)--...-,-^;;^^Y„(e,4.)-i-..., 

Y„(0, (|>) étant une fonction de Laplace qui dépend de ('^/i + i) 
coefficients. Ce sont ces coefficients qu'il nous faut déterminer. 
Or, de l'égalité précédente, on déduit 



di 



l=-'r [^ Y»(^' ^^-^ ^^^(^' •!')+• --^ 7.^ Y„(0, 4^) + ...] 



D'autre part, à la surface de la sphère, — prend les valeurs 
données -r^- Si donc on désigne par R le rayon de la sphère, on 
devra avoir, en tout point de la sphère, 

égalité qui permettra facilement, d'après les propriétés des fonc- 
tions Yrt, de déterminer les coefficients de ces fonctions, et, par 
conséquent, de déterminer "Ç. 

C'est par cette méthode que Gauss ( * ) a pu donner le dévelop- 
pement en série qui représente la fonction potentielle magnétique 
du globe terrestre en tout point extérieur à la Terre ou situé à sa 
surface, en prenant pour point de départ la détermination, en 
chaque point de la surface du globe, de la composante verticale du 
magnétisme terrestre. 

Ce développement a un grand intérêt. En effet, si l'on désigne 
en un point du globe par X la composante horizontale du magné- 
tisme terrestre dirigée vers le nord géographique, par Y la compo- 
sante horizontale dirigée vers l'est, par Z la composante verticale 



(') Gauss, Allgemeine Théorie des Erdmagnetismus (Gauss et Weber, 
Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre i838. 
Leipzig, 1889. — Gauss, Werke, Bd. V, p. 119). 



7'2 LIVRE VII. - LES FORCES MAGNETIQUES. 

dirigée vers le zénilii, on aura évidemment 

^ ■' j RsinÔ 4' 

Une fois que l'on a obtenu, par la méthode de Gauss, le déve- 
loppement^de "Ç pour tout point extérieur à la Terre ou situé à sa 
surface, les égalités (3) permettent de calculer les éléments du 
magnétisme terrestre en tous les points de la surface du globe. 

Deux remarques au sujet de la détermination de la fonction po- 
tentielle magnétique de la Terre : 

i" La méthode que nous venons d'indiquer suppose que l'on 
ait déterminé expérimentalement, en tout point de la surface du 
globe, la valeur de Z ou de -r- • Or on ne pourra, en réalité, effec- 
tuer cette détermination qu'en un nombre limité de stations. Aussi 
serait-il impossible de déterminer tous les coefficients qui figurent 
dans le développement de 'Ç en série illimitée. On se contentera 
donc de représenter approximativement t? par la suite limitée 

qui dépend de 

3-t-5+...-l-(2«H-l) = (/î-Hl)2— I 

coefficients inconnus; [('? + •)" — déterminations suffiront à en 
faire connaître la valeur. 

2° L'expérience ne détermine pas directement la valeur de la 
composante verticale Z du magnétisme terrestre, mais les valeurs 
de la composante horizontale H et de l'inclinaison i. De ces va- 
leurs, on déduit la valeur de Z par la formule 

Z = — tangi. 

La méthode de Gauss donne H avec une grande précision ; mais 



CHAP V. — LE PROBLÈME DÉRIVÉ DE LEJEUNE-DIRICHLET. 78 

les boussoles d'inclinaison étant les moins parfaits des instru- 
ments magnétiques, Gauss s'est préoccupé de trouver une méthode 
précise pour déterminer l'inclinaison magnétique. Il j est parvenu 
en employant les propriétés des courants induits par la terre, ainsi 
que nous le verrons au Livre XV, Chap. III, § 2. 



74 LIVRE VII, — LES FORCES MAGNETIQUES 



CHAPITRE YI. 

LES AIMANTS LINÉAIRES. 



Nous allons étudier d'une manière spéciale, dans ce Chapitre, 
les aimants dont deux dimensions sont extrêmement petites par 
rapport à la troisième. Nous donnerons à ces aimants le nom d'«i- 
mants linéaires. 

Considérons un aimant dont tous les points diffèrent très peu 
d'une ligne s ou BA {fig- lo). Sur cette ligne, considérons deux 

Fig. 10. 




points M, M', infiniment voisins, dont ds est la distance. Par ces 
points M et M' menons des sections droites dans l'aimant. Soit w 
l'aire d'une de ces sections droites. L'élément MM' aura pour vo- 
lume iùds. Si 3Kj est l'intensité d'aimantation en un point de cet 
élément, son moment magnétique aura pour valeur DW-iùds. Nous 

poserons 

[jt = DlLu). 

Considérons un point {ce, y, z) situé à une distance r de l'élé- 



CHAP. VI. — LES AIMANTS LINÉAIRES. jS 

ment MM'. La fonction potentielle magnétique de l'élément MM' 
en ce point (x, y, z) aura pour valeur [Chapitre I, égalité (i)] 

cos(/-, /) 
y = lias ; — > 

l étant la direction de l'aimantation de l'élément MM'. 

Nous admettrons que l'aimant linéaire étudié est aimanté 
longitudinalement, c'est-à-dire que la direction / de l'aimanta- 
tion coïncide en chaque point M avec la direction de la tangente à 
la ligne 5. Nous aurons alors 

cos(r,/) = -^ 

et 

V=u. -f ds. 

os 

La valeur au point (^, y, s) de la fonction potentielle magné- 
tique de l'aimant tout entier est la somme des quantités P relatives 
aux différents éléments MM' de l'aimant. On a donc, en désignant 
par L la longueur de l'aimant, 



/ 



dl 



Une intégration par parties permet de transformer cette éga- 
lité en 

(I) 'Ç(cr,y,z) = ^-^- ^-fds, 

ri Tq J^ r ds , . 

jjlq et [X, étant les valeurs de [jl aux points B et A, /'o et r, étant 
les distances des points B et A au point (ûc, jv', z). 

On voit, d'après cette formule (i), que l'on peut remplacer l'ac- 
tion d'un aimant linéaire sur un point extérieur par l'action d'une 
distribution fictive formée : 

1° De deux masses de fluide fictif, respectivement égales à 
— {Jt-o et à [X,, placées aux extrémités B et A de l'aimant; 

2" D'une traînée de fluide fictif, distribuée le long de la ligne s, 
et ayant pour densité linéaire en chaque point 

as 



76 LIVRE VU. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

Si, en particulier, la quantité pi est constante tout le long de la 
ligne s, on aura 

[^1= !^o= |J-, X == o; 

la formule (i) deviendra 

L'aimant exercera les mêmes actions extérieures que deux 
quantités égales et de signe contraire de fluide fictif placées en ses 
deux extrémités. Un semblable aimant est dit solénoïde magné- 
tique. 

Nous avons vu (Chap. I) que des aiguilles d'acier extrêmement 
longues se comportaient sensiblement comme des solénoïdes ma- 
gnétiques. 

Coulomb et les expérimentateurs qui, après lui, se sont occu- 
pés de l'étude des aimants linéaires que l'on peut faire avec des 
aiguilles d'acier, ont admis implicitement dans leurs recherches 
que la quantité [j. était égale à o aux deux extrémités d'un aimant 
linéaire. 

Cette hypothèse, exprimée par les égalités 

1^0= o, r^i = o, 

semble en contradiction avec ce fait, que les aiguilles d'acier très 
longues se comportent sensiblement comme des solénoïdes ma- 
gnétiques. Mais nous verrons tout à l'heure que cette contradic- 
tion n'est qu'apparente. 

On peut donc adopter l'hypothèse suivante : dans les aimants 
linéaires réalisables, la quantité p. est égale à o aux extré- 
mités, quitte à vérifier ensuite expérimentalement les conséquences 
de cette hypothèse. 

Moyennant cette hypothèse, les égalités (i) et (2) donnent 






ds. 



On voit alors que l'étude des propriétés de l'aimant considéré 
revient à la détermination de la valeur que présente en chaque 
point la quantité X. 

Nous allons examiner les principes sur lesquels repose cette 
détermination. 



LES AIMANTS LINEAIRES. 



Soit BA {fi g. 1 1) une ligne sur laquelle le fluide fictif est dis- 
tribué avec une densité linéaire continue. Soient P un point de 
cette ligne et \ la valeur de la densité linéaire en ce point. 



Fis. II. 




1° Supposons que le point P ne soit pas une des extrémités de 
la ligne BA. Par ce point, menons une normale PN à la ligne BA. 
Sur la normale PN, prenons un point II dont la distance o au 
point P soit infiniment petite. Prenons la ligne BA comme direc- 
trice d'une surface canal dont 8 sera le rayon. Prenons ensuite 
sur la ligne BA, de part et d'autre du point P, deux points M, M', 
dont la distance ds soit infiniment petite. Par les points M, M', 
menons deux sections droites de la surface canal. 

Appliquons les lemmes de Gauss au petit cjlindre limité par 
ces deux sections. 

Les deux bases, grâce à la petitesse de o, fournissent à la somme 
des composantes normales des infiniment petits d'ordre supérieur. 
Sur la surface latérale, la composante normale de l'action magné- 
tique peut être regardée comme ayant en tout point la même 
valeur Fj,. La somme des composantes normales a donc pour 

valeur 

?. TTO ds Fa . 

Ces actions proviennent du fluide fictif distribué sur la ligne 
Bx\ avec la densité \. On a donc 

2 710 «?5F.\ = 41^^ ds 
ou 

(3) À=i8FA. 

2 

2" Ces considérations ne s'appliquent plus à un point P dont 



78 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

la distance à l'une des extrémités de la ligne BA n'est pas finie. 
En effet, au voisinage de ce point, Fj, pourrait n'être plus une 
fonction continue des. Examinons donc directement le cas parti- 
culier où le point P coïnciderait avec une des extrémités de l'ai- 
mant AB, l'extrémité B par exemple (Jig- 12). 



Fi£ 




Par l'extrémité B de l'aimant BA, menons un plan P normal à 
l'aimant. Soit BA' la ligne symétrique de la ligne BA par rapport 
à ce plan P. Sur la ligne BA' distribuons du fluide fictif, de ma- 
nière qu'en deux points M, M', symétriques par rapport au plan P, 
la densité linéaire "k de ce fluide fictif ait la même valeur. 

Prenons, dans le plan P, un point II situé à une distance 8 du 
point B. Soit Fj^ la composante suivant BII de l'action exercée au 
point n par le fluide répandu sur la ligne BA. L'action exercée au 
même point par le fluide répandu sur la ligne A'BA aura pour 
composante, suivant BIT, cp,j^2F^^-. Or, d'après ce qui précède, 
on aura 

-, I ^ 

A = - 0»N , 

2 . 

OU bien 

(4) X = 3Fn. 

Les égalités (3) et (4) conduisent à la proposition suivante : 

Une ligne ^K porte du fluide fictif dont la densité linéaire 
est \ au point P. Un pôle II, égal à V unité, est situé à une dis- 
tance infiniment petite 8 du point P sur une normale N à la. 



CHAP. VI. — LES AIMANTS LINÉAIRES. 79 

ligne BA menée par ce point. On mesure la composante Fjj sui- 
vant la normale N de V action exercée au point II. Si le point P 
n'est pas une extrémité de la ligne BA, on a 



- 8Fn, 

2 



et si le point P est une extrémité de la ligne BA, on a 

On ne peut déterminer expérimentalement le produit ôFj, à une 
distance infiniment petite 8 de la ligne s] la distance 8 à laquelle 
on mesure ce produit est très petite; toutefois, elle doit encore 
être assez grande pour que l'on puisse, en sa présence, négliger 
les dimensions transversales de l'aimant. On est ainsi conduit à 
modifier l'énoncé précédent, et à le remplacer par le suivant : 

On détermine la valeur de V^ à une distance de Vaimant 
très petite, quoique grande par rapport aux dimensions trans- 
versales de Vaimant. Si S est cette distance, on a 

X = -8Fn, 

k étant un facteur égal à l'unité pour les points dont la dis- 
tance à l'extrémité de l'aimant est grande par rapporta S, 
variable entre i et i pour les points dont la distance à l'ex- 
trémité de l'aimant est de l'ordre de o et sensiblement égal à i 
à V extrémité de l'aimant. 

Imaginons que l'on ait représenté par la courbe a^y i^fig' ^3) 
la valeur du produit - oF» pour chaque valeur de 5. X sera repré- 
senté par la courbe a' [S'y', coïncidant sensiblement avec la pré- 
cédente pour les valeurs de s qui diffèrent sensiblement de o ou 
de L, tandis qu'aux extrémités cette nouvelle courbe aura des 
ordonnées doubles de celles de la courbe précédente. 

Ces divers principes avaient été fort bien aperçus par Cou- 
lomb ('), tandis qu'ils ont souvent été méconnus par les physi- 
ciens qui l'ont suivi, notamment par Gaugain (2). 

(') Coulomb, Septième Mémoire sur l'électricité et le magnétisme : Du ma- 
gnétisme, art. XIX {Mémoires de l'Académie des Sciences pour 1789, p. 473)- 

(") Gaugain, Mémoire sur la distribution du magnétisme dans les électro- 
aimants {Annales de Chimie et de Physique, b' série, t. XI, p. 5; 1877). 



8o LIVRE VU. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

La détermination de la densité linéaire ). de la distribution 
fictive est ramenée, d'après ce qui précède, à la détermination 
de F^. . 

Fis .3. 




Pour déterminer Fj,, Coulomb employait les méthodes indi- 
quées au Chapitre précédent pour un aimant quelconque. Dans le 
cas oîi l'aimant linéaire est rectiligne, il y a grand avantage à 
substituer aux méthodes de Coulomb une méthode élégante, 
fondée sur les propriétés de l'induction électromagnétique. Cette 
méthode a été imaginée par Van Rees ('); elle a élé ensuite em- 
ployée par Gaugain (-). 

Un petit cercle métallique, de rayon S, peut se déplacer de 
manière que son axe coïncide constamment avec l'axe BA de 
l'aimant. Ce cercle est relié par un double fil métallique à un gal- 
vanomètre balistique très éloigné {fig. i4)- 

Ce cercle est d'abord au repos, son centre étant en O. On le 
déplace rapidement, de manière à amener son centre en O', et on 
l'arrête de nouveau. Un courant d'induction de peu de durée par- 
court ce circuit. Le circuit étant à l'état neutre au début de la 
modification aussi bien qu'à la fin, ce courant met en mouve- 
ment, en chaque point du circuit, la même quantité d'électri- 
cité Q, quantité que mesurera l'impulsion donnée au galvanomètre 
balistique {voir Livre XIII, Chap. VII, § 2). 

On peut, pour calculer cette quantité, raisonner comme si le 



(') Van Rees, Ueber die Verthellung des Magnetismus in Magneten {Pog- 
gendorff's Annalen, t. LXXIV, p. 2i3; 1849). 
( " ) Gaugain, loc. cit. 



CHAP. VI. — LES AIMANTS LINEAIRES. 



courant qui a traversé le circuit avait été à tout instant uniforme. 
Le courant ayant une intensité égale à o au commencement et à 
la fin de la modification, il n'y a pas lieu de tenir compte de l'in- 
duction du circuit sur lui-même. L'aimant ne subit, au commen- 
cement et à la fin de la modification, l'influence d'aucun courant; 



Fig. i4. 





son aimantation est donc la même dans les deux cas, et l'on peut, 
pour calculer la quantité Q, supposer que cette aimantation soit 
demeurée invariable pendant toute la durée de la modification. 
On est donc amené à étudier un phénomène d'induction produit 
par un aimant invariable de forme, de position et d'aimantation 
dans un circuit qui se déplace en demeurant traversé par un cou- 
rant uniforme. 

Or, comme nous le verrons plus loin (Livre XV, Chap- III), 
pour déterminer, dans ce cas, le produit RQ de la quantité 
d' électricité mise en mouvement par la résistance du circuit, 
on imagine que chaque masse magnétique M de V aimant 
exerce, sur chaque élément dl du conducteur, une force aya'nt 
pour grandeur 

4^ r^ 

normale au plan de Vêlement de courant dl et de la masse M, 
et dirigée vers la droite de l'observateur qui, placé en l'élé- 
ment dl, regarderait la masse M [la direction r est comptée 
de l'élément dl vers la masse M); on calcule le travail pro- 
duit par cette force dans le déplacement du conducteur ; il 
est égal à — RQ. 

Appliquons ces résultats au cas particulier qui nous occupe. 
Soit M{Jig. i5) une des masses magnétiques fictives distribuées 
sur la ligne BA et dl = mni un élément du circuit. L'angle (r, dl) 
D. - II. 6 



8-2 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

est droit, et la force F a pour valeur 

& M 



471 r^ 



dl. 



Cette force est normale au plan M mm'. Le rayon Om ou S du 
cercle étant très petit, la direction Mm diffère très peu de la di- 
rection MO et le plan MmO est presque normal au plan M mm'. 



Fig. i5. 



..Ill^ 




La force en question est donc située sensiblement dans le plan 
MmO; elle est sensiblement perpendiculaire à Mm. Soit & l'an- 
gle mMO, la force en question aura, sur la dii^ection BA, une 
projection sensiblement égale à 



^ Msinô 

471 ^2 



dl. 



L'ensemble des forces agissant sur le petit cercle a, suivant BA, 
une résultante qui a pour valeur 



^S 



-^ M S 



Msin9 



le signe \^ s'étendant à toutes les masses M qui composent l'ai- 
mant. Or il est facile de voir que l'on a 

La force en question peut donc s'écrire 

« m. 

Lorsqu'on amène le centre du petit cercle de O en O', elle ef- 



CHAP, VI. — LES AIMANTS LINÉAIRES. 83 



fectue un travail 



On a donc 



fE = ^8 f Fn ds. 
2 Jo 






Cette formule permettra aisément de déterminer, pour chaque 
valeur de s, la valeur de oFj, et, par conséquent, la valeur de 1. 

Les résultats expérimentalement trouvés peuvent être repré- 
sentés par la formule 

(5) l^a(ks—k^^-^), 

a et A" étant deux constantes qui dépendent de la nature de l'acier 
employé, des moyens mis en œuvre pour aimanter l'aiguille, enfin 
du diamètre de cette aiguille. 



Les égalités 



. dix 



(6) j,^_^(A-.+ A-L-_A-i._,) 



donnent alors 

logA: 

De celte formule on déduit, comme on devait s'y attendre, 

1^1= o. 

Cette formule est due à Biot (*). Green (-) a cherché à la jus- 
tifier théoriquement. 

Lorsque l'aiguille est très longue et très mince, ). n'a de valeurs 
sensibles que pour des valeurs de s ou de (L — s) petites par ra[)- 
port à L; l'aiguille se comporte alors, pour des points un peu éloi- 
gnés, comme deux masses magnétiques égales et de signes con- 
traires placées en ses deux extrémités. Cette proposition, conforme 
à l'expérience, n'est pas, on le voit, en contradiction avec l'hypo- 
thèse exprimée par les égalités 

(7) (^0=0, îXi = o. 



(') Biot, Traité de Physique, t. III, p. 76; Paris, 181G. 

{") Green, Essay on the application 0/ mathcmatical Analysis to the théo- 
ries of electricity and magnetisni (Nottingham, 1828). 



84 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

Cette hypothèse, exprimée par les égalités (7), sert de fonde- 
ment à toutes les études expérimentales qui ont servi à établir la 
formule (6). Il serait évidemment intéressant de pouvoir soumettre; 
la formule (6), ou quelqu'une de ses conséquences, à une vérifi- 
cation expérimentale qui ne fît pas usage des hypothèses (7). La 
comparaison des moments magnétiqvies fournit cette vérification. 

D'après la formule (6), le moment magnétique d'une aiguille 
aimantée a pour valeur 



(8) 



D\l 



= i'''*=n^- [<•"''•'>'- 



Cette formule doit pouvoir représenter le moment magnétique 
d'aiguilles de longueurs différentes, ayant la même section, faites 
avec le même acier et aimantées de la même manière. 

M. Bouty (') a soumis cette formule au contrôle de l'expérience 
au moyen d'une méthode ingénieuse, qui permet de trouver très 
rapidement le rapport des moments magnétiques de deux aiguilles 
aimantées. 

Les deux aimants BA, B'A' sont suspendus à un même équi- 
])age [Jig- 16) de manière à être tous deux horizontaux. Ils font 

Fis. 16. 









B-^^^^ 


B^--""''^ 


---"T 






^^<^ h h 



entre eux un angle 0. Lorsque ces deux aimants sont en équilibre, 
la direction BA fait, vers l'est, un angle a avec la direction av de 



(') Bouty, Études sur le magnétisme, i" Partie {Thèse de Doctorat, Paris, 
1874; Annales scientifiques de l'Ecole Normale supérieure, 2' série, t. IV, 

1873). 



CHAP. VI. — LES AIMANTS LINEAIRES. 



85 



la méridienne magnétique. Si OTL et DÏL' sont les moments ma- 
gnétiques des deux aimants, la condition d'équilibre sera 

DlLsinar^ OlVsin(0 — a). 

En particulier, si les deux aiguilles font entre elles un angle 
droit, cette égalité deviendra 



tangqt = - 



011' 



D\l 



La détermination de l'angle a fait connaître le rapport des mo- 
ments magnétiques des deux aimants. 

Les résultats des expériences de M. Boutj concordent à peu 
près avec les nombres fournis par la formule (8), 



86 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 



CHAPITRE YII. 

LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOIDALES ET LAMELLAIRES. 



§ 1. — De la distribution magnétique solénoïdale. 

SirW. Thomson (^) a donné sur la distribution du magnétisme 
à l'intérieur des aimants quelques théorèmes qui, sans avoir l'im- 
portance pratique des propositions relatives à la distribution su- 
perficielle, sont cependant remarquables par leur élégance et leur 
généralité. M. Betti (^) a donné un très bel exposé des théorèmes 
de Sir W. Thomson. Le présent Chapitre sera consacré à repro- 
duire cet exposé. 

Nous prendrons pour point de départ le théorème suivant, qui 
est dû à Jacobi : 

Si trois fonctions X, alb, 3 sont, dans un certain espace, uni- 
formes, finies et continues ainsi que leurs dérivées partielles du 
premier ordre; si, de plus, elles vérifient, en tout point de cet 
espace, V équation 

dX dlftj d^ 
' dx dy dz 

il existe deux fonctions ui, v, qui sont, dans cet espace, uni- 
formes, finies et continues, ainsi que leurs dérivées partielles 



(') Sir W. Thomson, A mathematical theory of magnetism {Proceedings of 
tlie Royal Society, juin 1849. ~ Sir W. Thomson's Reprint of papers on elec- 
trostatics and magnetism, Art. XXIV, Chap. V). 

{') Betti, Teorica délie forze newtoniane e sui applicazioni aW elettrosta- 
tica e al m,agnetismo, Chap. III, § 3; Pise, 1879. 



CHAP. VII. — LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOÏDALES ET LAMELLAIRES. 

du premier ordre, et qui sont telles que Von ait 



87 



{■^) 



dfx dv 



«ilû — Ji Jl J -, '. 



dy dz dy dz 

dz dx dz dx 

ç^ _ àix dy dy diJ. 

dx dy dx dy 



Ce théorème admis, considérons un aimant et supposons que les 
trois composantes X, alî), G de l'aimantation vérifient, en tout point 
de l'aimant, la condition (i). 

Soient m, n deux paramètres variables et considérons les deux 
familles de surfaces 



(3) 
(4) 



V = n. 



Deux de ces surfaces, l'une de la première famille^ l'autre de la 
seconde, se coupent suivant une ligne ; par chaque point M(^, y, z) 
du corps, il passe une de ces lignes et une seule, puisque ce point 
correspond à une seule valeur de [i. et à une seule valeur de v. 
Cette ligne se déplace et se déforme d'une manière continue 
lorsque les deux paramètres m et n changent de valeur d'une ma- 
nière continue. 

Soient N et N' les normales menées par le point M à la surface 



H = m 



ît à 1 



a sur 



face 



qui passent par ce point; soient a, p, y les cosinus directeurs de la 
normale N et a', P', f' les cosinus directeurs de la normale N'. 
Nous aurons 



(5) 



^\2 

ày, 



[( 






dx 



m- 



djx 



LIVRE VII. — LES FORCES MAGNETIQUES. 



r/d^/V /à^Y /(?v\2"12 d^i 

L(^; ^w) "^U; J " = ^' 



[(1^)- 


<ïï- 


<m^'^ 




[(^.)- 


<^r- 


<m^'^ 


~ âz 



et, de même, 



(6) 



Les égalités (2) deviennent alors 

ji, = (n[x)'^(nv)Mpy'_Yp'), 

(7) \ l)b = (n[x)2(nv)2(Ya' — ay'), 
( S =(nia)2(nv)2-(aP'-pa'). 

Ces trois équations, en nous montrant que les composantes de l'ai- 
mantation au point M sont respectivement proportionnelles aux 
trois quantités 

(Pt'-t?'). (ï^'-«y'), (ap'-3a'), 

nous montrent que la direction de l'aimantation au point M est 
normale à la fois aux deux lignes N et N'. D'où ce premier théo- 
rème : 

Si la condition (i) est vérifiée en tout point du corps, V ai- 
mantation est en tout point tangente à V intersection des deux 

surfaces 

Il = /n, V = n 

qui passent par ce point. 

L'intensité d'aimantation au point M est donnée par l'égalité 

31L2=n[JL.nv.[(PY'— Y!3')2+(Ya'— aY')2 + (aP'+ I3a')2]. 

Les identités 

(PY'-Y?')2+(T«'-aY')2+(ap'-^a')2 

= (a2+p2_i_Y2)(a'2+p'2 4-Y'2)-(a3c'-+-pp'+Yï')'> 

a2 + p+Y' = i> 
a'2+p'2+Y'2=i 

transforment cette égalité en 

(8) 01I2=n(JL.nv.[i-(aa'-4-pp'+YT')']- 



CIIAP. VII. — LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOÏD VLES ET LAMELLURES. 89 

Considérons les quatre surfaces 



^ = m -h A/n, 



V — re -t- \n. 



Elles découpent, dans le corps, un canal infiniment délié, que l'on 
peut assimiler à un aimant linéaire. D'après le théorème précé- 
dent, le long de cet aimant linéaire, l'aimantation est longitudi- 
nale. 

Soit M(x, y, z) un point de la ligne 

j fx = m, 
I V = n. 

Par le point M, menons un plan normal à cette ligne. Ce plan 
rencontre respectivement les trois lignes 

{ ix = m -h Im, \ [X = 7)1, i [x = m -+- Am, 

( V r= /i ; ( V = n -+- A/t ; ( v = n 4- A/i 

aux points 

P{.T+\x, y-h^y, -4- A3), 

V{x -\- ^"x, y ■+■ \"y, z h- A"^). 

I.e parallélogramme MPP'P" est la section droite, au point M, diî 
canal infiniment délié. Si nous désignons par Q l'aire de ce paral- 
lélogramme, nous aurons 



(9) 

On a évidemment 



Û2= MP .MP' .sin^PMP'. 



-^ Aa7 -+- -r^ A V + -i- A^ = Am, 
dx dy -^ dz 

—- \x -\~ -— \y -^ ~ \z 



dx 



ôz 



D'ailleurs le plan normal au point M à l'intersection des deux sur- 
laces 

;a = m, 

'/ = /i 
est le plan NMN', dont l'équation est 

(PY'-Yp')(X-a;)4-(Ya'-aY')(Y-^)-f-(a?'-pa')(Z-3) = o. 






go LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

Le point P étant dans ce plan, on a 

(Py' — YP')Aa7 -I- (ya'— ay' ) A^ + ( a^' — ^a')\z = o. 

Moyennant les égalités (5) et (6), on voit que les trois égalités 
vérifiées par A.r, Ay, A2 sont les suivantes : 

a A27 -h p Aj' 4- Y A^ = -^ A/71, 

(n{x)2 

a.' Acp -\- '^' \y -h ^' ^z = o, 
(Py'- yP')A^ +(Ya'- aY')Aj +(a!3'- ^oc')\z = o, 

ce qui donne 



(n(x)H(PY'-TP')^ + (ï«'-aï')^-t-(^?'-pa')2] 
^, _ [a'(Y«'-«r)- P'(Py -#)]Am 

(npi)^[(pY'-Y3')'-*-(Y=''-='Y')' + (a?'-P»'/'] 
et, par conséquent, 

MP ^ = ( Air )2 -(- ( A^)2 -+- ( Az )2 



I nia [(Py'-yP')^ + (y«'-«y')' + (^?'-P«')'? 

x![P'(ap'-Pa')-Y'(Y«'-«Y')? 

+ [y'(Py'-yP')- «'(«?'-?='')]' 

+ [a'(Ya'-aY')-P'(PY'-Y?')]'l(A'«)^ 

Soit L la ligne 

^ = m, 



V = n. 



La normale au plan LMN' étant désignée par (Dî>, on aura 

cos(^, a7)=p'(aP'-?='')-Y'(Y»'-«Y'). 
cos(^, jK)= y'(Py' - Y?')- <^'(«^'- P«'), 
cos(3î,, z ) = a'(Ya' - «y')- P'(Py'- Y?')- 

Dès lors, en vertu de l'égalité 

cos^{SiZ>, x)-^- cos^ {Sf^, y) -h cos^{2(Z>, z)—i, 



CHAP. VII. — LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOÏDALES ET LAJIELLAIRES. 

l'égalité (lo) deviendra 



Mr=J- ^'"'^' 



ou bien 

(il) MP = =- ^ ^ 



Dfji [i — («a'+pp'+YY'j^]" 
On a, de même, 

(12) MF' = - 



nv [i_(aa'+ pP'-t-Yï')^] 
Enfin 
(i3) sin2PMP'=i — cos2NMN'=i— (aa'+ P^'+yy')^- 

En vertu des égalités (i i), (12) et (i3), l'égalité (9) devient 

o,^ (Am.An)^ 

n|x.nv.[i-(aa'— PÎ3'+ yy')'] ' 

égalité qui, comparée à l'égalité (8), donne 

(0ÎLÛ)2 = (Am.An)2. 

Le produit DÏLQ garde donc la même valeur absolue tout le long 
du canal infiniment délié considéré; ce canal constitue ce que nous 
avons appelé, au Chapitre précédent, un solénoïde magnétique. 
Nous arrivons donc à la proposition suivante : 

Si les composantes de l'aimantation satisfont en tous les 
points d' un corps à la condition 

dX dlJi) d^ 

il existe deux familles de surfaces découpant le corps en ca- 
naux infiniment déliés dont chacun est un solénoïde magné- 
tique. 

Sir W. Thomson a donné le nom de distribution magnétique 
solénoïdale à une distribution dont les composantes vérifient en 
tout point l'égalité (i). Nous avons vu (Chap. IV, § 2) qu'une 
semblable distribution jouissait de propriétés remarquables. 



dlft, 


de 




dz 


ày 


= 


de 


dX 




dx 


dz 


= o, 


dX 


d\S\, 




'ày~ 


dx 


= 0. 



O'i LIVRE VII. — LES FORCES MAGNETIQUES. 

§ 2. — De la distribution lamellaire simple. 

Supposons maintenant qu'en tout point d'un aimant simplement 
connexe les composantes JU, i)î), G de l'aimantation soient des 
fonctions uniformes finies et continues de x^ y, z, et qu'il en soit 
de même de leurs dérivées partielles du premier ordre. Supposons 
en outre que ces dérivées vérifient les conditions 



('4) 



Dans ce cas, il existera une fonction z>(x,y, z) uniforme, finie et 
continue, telle que l'on ail 

(.5) X=p-, ^.= J, 3=^?. 

dx dy dz 

Considérons un paramètre variable/'. La surface 

(.6) '^=f 

est, ou bien une surface fermée contenue en entier à l'intérieur de 
l'aimant, ou bien une aire limitée ayant son contour à la surface 
de l'aimant. Par tout point de l'aimant, il passe une et une seule 
de ces surfaces. Lorsque le paramètre/" varie d'une manière con- 
tinue, celte surface se déforme d'une manière continue, de ma- 
nière à balayer tout l'espace occupé par l'aimant. 

Soit N la normale en un point de la surface S représentée par 
l'égalité (i6), cette normale étant dirigée du côté où /va en crois- 
sant. Soient a, ^, y les cosinus directeurs de cette normale. Nous 
aurons 

(.6) (ncp)'a = g, (ncp)'p = g, (ncp)2.^ = g. 

D'après ces équations, les quantités «.l., •\S\>, e sont, en chaque 
point, proportionnelles aux quantités a, [3, y. D'où ce théorème : 

U aimantation est, en chaque point du corps, normale à la 
surface S qui passe par ce point. 



CHAP. Vît. — LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOÏDALES ET LAMELLAIRES. gS 

Les égalités (i5) donnent 

(17) oiL2=no. 

Menons la surface S représentée par l'équation 

puis la surface S' représentée par l'équation 

Soit M un point de la surface S. Par ce point, menons une nor- 
male à la surface S et limitons-la au point M' où elle rencontre la 
surface S'. Nous aurons 

ou bien, d'après les égalités (16), 

(ncp)2.MM'' = A/. 
Cette égalité, comparée à l'égalité (17), donne 

D1(L.MM'= A/.' 

Le produit de V aimantation en un point de la surface S par , 
la distance normale entre les deux surfaces S et S' a même 
valeur en tout point de la surface S. 

Nous nommerons feuillet magnétique une couche aimantée, 
comprise entre deux surfaces infiniment voisines, dont l'aiman- 
tation est, en chaque point, normale à la couche et en raison in- 
verse de l'épaisseur de la couche. Nous voyons alors que les deux 
surfaces S et S' limitent, dans l'aimant, un feuillet magnétique, 
ouvert ou fermé, ce qui nous conduit au théorème suivant : 

Si les trois composantes de V aimantation vérifient, en tout 
point, les conditions 

o, 



('4) 



dl)î, 


dZ 


'dz 


dy 


dZ 


d\^ 


dx 


dz 


d^o 


ai)b 


dy 


dx 






il existe une famille de surfaces décomposant V aimant en 



94 LIVBE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

lamelles infiniment minces, fermées ou ouvertes , dont cha- 
cune est un feuillet magnétique. 

Sir W. Thomson donne le nom de distribution lamellaire 
simple à une semblable distribution magnétique. 

Pour que les conditions (i) et (j4) soient vérifiées en même 
temps, il faut et il suffit qu'il existe une fonction cp vérifiant à la 
fois les conditions (i5) et la condition 

Ao = o; 

donc, pour qu^ une distribution soit à la fois solénoïdale et la- 
mellaire simple, il faut et il suffit que les trois composantes 
de V aimantation soient en chaque point égales aux dérivées 
partielles du premier ordre d'une même fonction harmonique 
des coordonnées. 

Nous verrons au Livre suivant que, d'après la théorie de Pois- 
son, un morceau de fer doux, aimanté par influence, se trouve- 
rait dans ces conditions. 

§ 3. — De la distribution sur un aimant quelconque. 

Considérons maintenant un aimant à l'intérieur duquel les 
trois quantités o,l>, i)l>, S sont assujetties seulement à être uni- 
formes, finies et continues, ainsi que leurs dérivées partielles du 
premier et du second ordre. L'identité 

d fdA, c)\)l)\ 

= o, 

jointe au théorème de Jacobi, que nous avons énoncé au début 
du§l, nous montre qu'il existe toujours deux fonctions a (a:?, j', s), 
v(^,y, :;) uniformes, finies et continvies, ainsi que leurs dérivées 
partielles du premier ordre, telles que l'on puisse écrire 



(i8) 



d /()ilî, 
d^\࣠


dz\ à /de 

ày ) '^ ày \ dx 


Mo\ d /dJ{s> 

dz )~^ dz[ dy 


c)\)l 


dx 



dx\\, 

dz 


dB 
dy 


dix dv 
^ dfdl' 


dix dv 
dz dy 


d3 
dx 


d.X. 
dz 


dix d^ 
~ dz àx 


dix c^/ 
dx dz 


dX 


dx 


dix d'i 
dx dy 


dix d'/ 
dy dx 



CHAP. VU. — LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOÏDALES ET LAMELLAIRES. <)5 

Ces égalités (18) peuvent encore s'écrire 



dz\'' '' djy) (>r \ ' àz ) 



dx \^ dz j dz \ ^ dx 



^ fx_,^J^\ = l(,, J^ 



dx \ 



oivu 


do dfx 
dx dx 


Kl, 


do d<x 
ày df 





do du. 

= — - -h V - • 
dz dz 



df\ dx j dx \ dy 

D'après ces égalités, il doit exister une fonction (p telle que 
l'on ait 



(«9) 



Ces égalités (19) nous montrent que toute distribution magné- 
tique peut être regardée comme la superposition de deux distri- 
butions : l'une, représentée par les formules 

i'-'^? ilV-"^^ c^'_^? 

dx dy dz 

est une distribution lamellaire simple; l'autre est repi'ésentée par 
les équations 

dx 
\ dy 

dz 

Étudions cette dernière distribution. 

L'aimantation, dans cette seconde distribution, est normale en 
tout point à celle des surfaces représentées par l'équation 



t>ù m est un paramètre variable, qui passe par ce point. 
L'intensité d'aimantation est déterminée par l'égalité 

(>n 0112 = vî.n-ji. 



96 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

Considérons la surface S, représentée par l'équation 

[JL = /n, 
et la surface infiniment voisine S', représentée par l'équation 

^ = m -h A/?i. 



Ces deux surfaces limitent une lamelle, dont l'épaisseur MM' a 

pour valeur 

-.■■■ A/n 
(22) MM'= ■ -. 



La comparaison des égalités (21) et (2a) donne 
0\i.MM'= \l'.^m\. 

I^e produit de l'aimantation par l'épaisseur de la couche n'a pas 
tine même valeur en tout point de la couche; sa valeur est pro- 
portionnelle, en chaque point, à la valeur de la fonction v en ce 
point. Une distribution formée de semblables lamelles est ce que 
Sir W. Thomson nomme une distribution lamellaire composée. 

Ainsi, toute distribution magnétique continue peut être re- 
gardée comme la superposition d'une distribution lamellaire 
simple et d'une distribution lamellaire composée. 

Si les composantes de l'aimantation vérifient les conditions (i4)j 
la distribution lamellaire simple subsiste seule. 

.5 4. — Décomposition d'une distribution quelconque en une distribution 
lamellaire simple et une distribution solènoïdale. 

Soient (x'jy'j z') un point quelconque du volume occupé par 
l'aimant; X', i)b', S' les composantes de l'aimantation en ce point; 
/• la distance du point {x^y, z) de l'espace au point {x' , y' , z'). 
Considérons trois fonctions de x^ y, z définies de la manière sui- 
vante 

(23) 1 i.=J —ch, 

les intégrations s'étendant au volume entier de l'aimanl. 



CIIAP. VII. — LES DISTRIBUTIONS SOLKNOÏDALES ET LAMELLAIRES. 97 

Posons ensuite 



(2|) 



f 


dG 


dB. 


a = 


dz 


-^ 




dH 


dV 


h — 


dx 


~ Tz' 




d¥ 


dG 


c = 


d^ 


dx 




dF 
dx 


dG dH 

"^ dy ^ ~dz ' 


înent 


. les 


identités 


de 

Ty- 


db 
■ dz 


dx 


da 

àz "^ 


de 

dx 




dh 
àx 


da 


dz 



(■>.'>) 



Mais, d'après les égalités (aS), on a, en tout point de l'ai- 
mant, 

AG ^::- 47:111), 

AH^ — 47r3. 

Les égalités (aa) peuvent donc s'écrire 

d^ /de db\ 
^""^---à^-idy-dz)' 
da de \ 
dz dx J 

dz \dx dy j 

Ces nouvelles égalités démontrent le théorème suivant : 

Toute distribution magnétique continue peut être regardée 
comme résultant de la superposition d' une distribution solé- 
noïdale et d'une distribution lamellaire simple. 



4-"-— ^-(--^' 



D. - IL 



gS LIVRE VII. — LES FORCES M.VGNÉTIQUES. 

CHAPITRE YlII. 

MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. 



§ 1. — Distribution de la force tangentielle à la surface 
d'un corps quelconque. 

Dans l'étude du magnétisme terrestre, on détermine avec grand 
soin, en chaque point de la surface du globe, la valeur de la décli- 
naison magnétique et de la composante horizontale de l'intensité 
magnétique; c'est dire que l'on étudie, en chaque point de la sur- 
face du globe, la grandeur et la direction de la composante tan- 
gentielle de la force magnétique. 

Gauss (') a donné, au sujet de la distribution de cette compo- 
sante tangentielle à la surface du globe, un certain nombre de 
beaux théorèmes. Parmi ces théorèmes, les uns sont généraux et 
peuvent s'appliquer à l'étude de la composante tangentielle de la 
force à la surface d'un aimant quelconque. Les autres ne peuvent 
s'appliquer qu'à un corps de forme sphérique, comme la terre. 
Nous allons étudier d'abord les premiers, puis les seconds. 

Considérons donc un corps que nous supposerons simplement 
connexe et dont la surface ne présentera aucune singularité. Soitx") 
la fonction potentielle magnétique de ce corps. 

Cette fonction ne peut avoir la même valeur en tous les points 
de la surface du corps, car alors la couche superficielle fictive 
qui équivaut à l'aimant remplirait les conditions de l'équilibre 
électrostatique. Comme cette couche renferme autant de fluide 
positif que de fluide négatif, elle aurait une densité nulle en tout 



(') G. -F. Gauss, Allgemeine Théorie des Erdmagnetismus {Besultate aus 
der Beobachtungen des magnetischeti Vereins im Jahre i838, publiés par 
Gauss et Weber; Leipzig, iSSg. — Gauss, Werke, Bd, V, p. 121). 



CHAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. 99 

poinl de la surface du corps, et l'aimant n'aurait aucune action 
aux points qui lui sont extérieurs. Nous excluons ce cas particu- 
lier de nos recherches. 

La fonction potentielle magnétique varie donc à la surface de 
l'aimant et ses variations admettent forcément une limite supé- 
rieure A et une limite inférieure B. Comme la fonction potentielle 
magnétique est une fonction continue, chacune des valeurs com- 
prises entre A et B, sans omettre ni la valeur A ni la valeur B, est 
prise par elle à la surface de l'aimant. 

Soit C une valeur comprise entre A et B. Les points de la surface 
de l'aimant où la fonction potentielle a des valeurs comprises 
entre A et C doivent être séparés des points oii la fonction poten- 
tielle a une valeur comprise entre C et B par une région où la 
fonction potentielle a la valeur C. On pourra toujours, par les 
points de la surface de l'aimant où la fonction potentielle a la seule 
valeur C, faire passer au moins une ligne fermée. Il se pourra que 
ces points ne forment pas seulement cette ligne fermée, mais 
qu'encore certains d'entre eux soient isolés, ou forment des seg- 
ments de ligne, ou couvrent des espaces d'étendue finie. 

L'égalité 

(i) P = G 

définit donc, en général, une ligne fermée tracée à la surface de 
l'aimant; cette ligne se nomme un parallèle magnétique. 

Dans l'espace, l'égalité 

\'^ = G 

définit une surface de niveau à laquelle la force magnétique est 
normale en chaque point. Dès lors, il est aisé de voir que la com- 
posante tangentielle de la force est, en chaque point du corps, 
ou nulle, ou normale au parallèle magnétique qui passe par 
ce point. 

Nous donnerons le nom de méridien magnétique à toute ligne 
tracée à la surface de l'aimant et tangente en chacun de ses points 
à la composante tangentielle de la force. Le théorème précédent 
peut alors s'énoncer ainsi : 

Les méridiens magnétiques et les parallèles magnétiques 
forment, à la surface de l'aimant, deux familles de lignes 
découpant cette surface en rectangles infiniment petits. 



100 LIVRE Vir. — LES FORCES MAGNETIQUES. 

Donnons successivement au paramètre C les valeurs 

C, G -I- £, G-i-2£, ..., G-+-{n — i)z, G-t-/i£, ..., 

£ étant une quantité infiniment petite. 

Au moyen de l'équation (i), nous tracei'ons à la surface de l'ai- 
mant des parallèles magnétiques 

Po) f*l) P2) •••) P« — lî P/ii ••• 

infiniment voisins les uns des autres. 

Soit M un point du parallèle Pn-i • Soit H la composante tangen- 
tielle de l'action magnétique, cette action étant comptée positive- 
ment du parallèle P«_i vers le parallèle P„. La force H est tangente 
à la méridienne magnétique du point M. Cette méridienne magné- 
tique rencontre en M' le parallèle P„. On a alors, d'après les pro- 
priétés fondamentales de la fonction potentielle magnétique, 

-CPCM)— '(?(M') £ 



H = 



MM' MM' 



D'ailleurs, si l'on se borne à considérer les infiniment petits du 
premier ordre, MM' est, en général, égal à la distaïice B des deux 
parallèles infiniment voisins, P«..4, P«. On a donc 

(.) H = -^ 

La composante tangentielle de l'action magnétique est, en 
chaque point, mesurée par l'inverse de la distance de deux 
parallèles magnétiques ; elle est, en chaque point, normale au 
parallèle magnétique et dirigée dans le sens où la fonction 
potentielle magnétique décroît. 

Le long d'un même méridien magnétique, parcouru dans un 
sens bien déterminé, la composante tangentielle de l'action ma- 
gnétique, comptée positivement dans ce sens, n'a pas forcément 
un signe constant; mais, à cause de sa continuité, elle doit garder 
le même signe tout le long d'arcs continus séparés les uns des 
autres par des points où elle a la valeur o. C'est un semblable arc 
continu, le long duquel la composante tangentielle de l'action ma- 
gnétique garde un sens invariable, que nous nommerons désor- 
mais un méridien magnétique. 



CHAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. 10 1 

Un méridien magnétique ne peut former une ligne fermée. 

Désignons, en effet, par f/5 l'élément d'arc d'un méridien magné- 
tique; d'après la définition précédente, la quantité -r— ne peut 
changer de signe le long du même méridien. L'intégrale 



/ 






étendue à une portion d'un méridien ou à ce méridien tout entier, 
ne peut donc jamais être égale à o. Or, la fonction "Ç étant une fonc- 
tion uniforme et continue, l'intégrale précédente, étendue à une 
courbe fermée quelconque, est égale à o. Un méridien ne peut 
donc se fermer de lui-même. 

Un même méridien ne peut couper plus d^ une fois un même 
parallèle. 

En effet, la fonction V ayant la même valeur en tous les points 
d'un même parallèle, si un méridien coupait plus d'une fois un 
même parallèle, l'intégrale 



/ 



- — ds. 
Os ' 



étendue à un segment du méridien compris entre deux rencontres 
avec ce parallèle, serait égale à o, contrairement à ce que nous ve- 
nons de voir. 

Ainsi, un méridien magnétique forme forcément, à la sur- 
face du corps, un segment limité par deux points; la fonction 
potentielle n'a pas la même valeur en ces deux points-, en ces 
deux points, la composante tangentielle de l'action magnétique 
est nulle, et, par conséquent, l'action magnétique est ou nulle, 
ou normale à la surface du corps. 

Nous nommerons pôle magnétique un point de la surface du 
corps où la force tangentielle est égale à zéro. Ce mot prend ici 
un sens conforme à celui qu'on lui attribue dans l'étude du magné- 
tisme terrestre, mais tout différent de celui qu'on lui attribue, en 
général, dans la partie de la Physique qui traite des aimants. 

Le théorème précédent nous montre que tout méridien magné- 
tique part d'un pôle pour arriver à un pôle. 

Soit P un pôle magnétique; soit s un arc tracé sur la surface et 



I02 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

passant par le pôle P. La composante de l'action magnétique sui- 
vant la tangente à l'arc s a pour valeur 

~~ds' 

Pour que le point P soit un pôle magnétique, il faut et il suffît 
que cette composante soit égale à o quel que soit l'arc s. 

Donc, pou?' qiC un point soit un pôle magnétique à la surface 
du corps, il faut et il suffit que la dérivée de la fonction poten- 
tielle suivant l'arc de toute courbe tracée sur la surface et 
passant par ce point soit égale à o en ce point. 

Dès lors, trois circonstances différentes peuvent se présenter en 
un pôle magnétique : 

1° Il peut arriver qu'en un pôle magnétique la fonction poten- 
tielle magnétique ait une valeur plus petite qu'aux points voisins 
de la surface du corps. 

Dans ce cas, si l'on fait usage de l'égalité (2) pour déterminer 
la composante tangentielle de l'action magnétique en un point 
voisin du pôle, on trouve que cette composante est dirigée vers le 
pôle. Le pôle attire une masse de fluide austral placée à son voi- 
sinage et assujettie à se mouvoir à la surface du corps. Le pôle est 
un pôle nord. 

2° Il peut arriver qu'en un pôle magnétique la fonction poten- 
tielle magnétique ait une valeur plus grande qu'aux points voisins 
de la surface du corps. 

Dans ce cas, si l'on fait usage de l'égalité (2) pour déterminer 
la composante tangentielle de l'action magnétique en un point 
voisin du pôle, on trouve que cette composante tend à écarter du 
pôle son point d'application. Le pôle repousse une masse de fluide 
austral placée à son voisinage et assujettie à se mouvoir à la sur- 
face du corps. Le pôle est un pôle sud. 

3° Il peut arriver qu'en un pôle magnétique passent des lignes 
partageant le domaine de ce pôle en plusieurs régions, dont le 
nombre est au moins quatre; les unes, R, R', . . . , où la fonction 
potentielle a une valeur plus grande qu'au pôle; les autres, p, 
p', . • . , où la fonction potentielle a une valeur plus petite qu'au 
pôle. Une masse de fluide austral, placée dans le domaine du pôle 
et assujettie à se mouvoir à la surface du corps, est repoussée par 



CIIAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. Io3 

le pôle si elle se trouve dans une des régions R, R', . . . , et attirée 

parle pôle si elle se trouve dans une des régions p, p', Le 

pôle se comporte comme un pôle sud pour les premières régions, 
comme un pôle nord pour les autres. Nous dirons qu'il constitue 
un pôle mixte. 

Nous savons qu'il existe à la surface de tout corps au moins un 
point où la fonction potentielle atteint sa valeur maxima A et un 
point où la fonction potentielle atteint sa valeur minima B. Il 
existe donc, à la surface de tout corps aimanté, au moins un 
pôle magnétique nord et un pôle magnétique sud. 

Si, à la surface d^un corps aimanté, il existe deux pôles de 
même nom, il existe à la surface de ce corps au moins un pôle 
mixte. 

Imaginons, par exemple, qu'à la surface d'un corps aimanté il 
existe deux pôles sud, P et P'. Ces deux pôles correspondent à 
deux valeurs A et A' de la fonction potentielle qui sont deux 
maxima. Supposons, pour fixer les idées, 

A l A'. 
Considérons le lieu des points pour lesquels on a 

i:^ = A'— £. 

On peut toujours prendre la quantité s assez petite pour que 
(A' — s) soit supérieur à la limite inférieure B des valeurs de la 
fonction potentielle sur la surface. Il j aura alors, sur la surface, 
des points répondant à cette valeur de la fonction potentielle. 
Parmi ces points se trouvent tous les points d'une certaine courbe 
fermée séparant les régions R dans lesquelles t? a une valeur su- 
périeurç à (A' — s), des régions R' où t? a une valeur inférieure 
à (A' — e). Les points P et P' sont dans la région R. 

On pourra toujours prendre t assez petit pour que le do- 
maine du point P' à l'intérieur duquel 'Ç est compris entre A' et 
(A' — e) soit plus petit que toute surface donnée; assez petit, par 
conséquent, pour que ce domaine ne renferme pas le point P. 
Pour une telle valeur de e, la région R doit se décomposer au 
moins en deux parties linéairement connexes : l'une p, entourant 
le point P', l'autre Jl, contenant le point P à son intérieur. 

Faisons croître e, de manière que (A' — e) tende vers B. Les 



I04 LIVRE Vît. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

régions p et ^ tendront à couvrir la surface entière du corps. Les 
contours de ces deux régions ne pourront donc demeurer tou- 
jours à distance finie. Il pourra arriver que ces deux contours 
demeurent distincts jusqu'à ce que (A' — e) atteigne la valeur B, 
et se confondent alors dans toute leur étendue. Dans ce cas, il y 
aurait à la surface du corps toute une ligne fermée où \'^ aurait la 
valeur B, c'est-à-dire toute une ligne de pôles nord. 

Excluons ce cas exceptionnel. Les deux contours prendront, en 
général, des points communs lorsque (A' — s) prendra une valeur 
A" supérieure à B. Il pourra se faire que ces points communs 
forment une ligne d'étendue finie; mais excluons encore ce cas 
particulier. En général, pour la valeur A" de la fonction poten- 
tielle magnétique, les deux contours viendront se toucher en un 
certain nombre de points isolés. Soit P" un de ces points. La ligne 

<;> = A", 

passant par le point P", partage le domaine de ce point en plu- 
sieurs régions. 

Les unes font partie des régions p et A. La fonction potentielle 
y a une valeur supérieure à A". Pour les points placés dans cette 
région, le point P" se comporte comme un pôle nord. 

Les autres font partie de la région R'. La fonction potentielle y 
a une valeur inférieure à A". Pour les points placés dans cette ré- 
gion, le point P" se comporte comme un pôle sud. 

Le point P" est donc un pôle mixte, ce qui justifie la proposition 
que nous avions énoncée. 

M. Betti (') a démontré ce beau théorème : 

Si la surface d'un corps aimanté est une sur/ace simple- 
ment connexe et si le nombre des pôles magnétiques qu'elle 
porte est un nombre fini, ce nombre est pair. 

Reproduisons ici la démonstration qu'il a donnée : 

A la surface du corps se trouvent au moins un pôle nord N et 

un pôle sud S. Concevons, sur la surface du corps, un système de 

courbes C partant toutes du pôle sud S, arrivant toutes au pôle 

nord N, dont aucune ne passe deux fois par le même point, 



C) Betti, Theoria délie forze Newtoniane e sut applicazioni ail' elettro- 
statica e al niagnetismo, Ch. III, § 2; Pise, 1879. 



CIIAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. Io5 

dont aucune ne rencontre une autre courbe du sjstème en dehors 
des points S et N, et telles que par tout point de la surface du 
corps il passe une de ces courbes. Cela sera toujours possible, 
pourvu que le corps occupe un espace simplement connexe. 

Si l'on parcourt une courbe C du point S au point N, la fonc- 
tion potentielle magnétique \'> sera décroissante au début de ce 
parcours et encore décroissante à la fin. Sa dérivée suivant l'arc 
de toute courbe tracée sur la surface étant supposée continue, la 
suite des valeurs qu'elle prendra le long de ce parcours ne pré- 
sentera ni maximum ni minimum, ou bien présentera un nombre 
égal de maxima et de mini ma. 

Désignons par ^3,, [^2, .'. ., j3« les points d'une courbe C où la va- 
leur de \'^ sur cette courbe devient minimum; par a(, a2, . . ., a„ les 
points, en égal nombre sur cette courbe, où la valeur de "Ç devient 
maximum. Les points ^,, ^05 ■■•■) '^n sont supposés rangés dans 
l'ordre où on les rencontre en allant du point S au point C. Il en 
est de même des points a,, olo, ..., a^^. 

Il est facile de voir qu'entre les points [3/_( et [3,- se trouve tou- 
jours un et un seul des points a, le point a,; qu'entre les points a, 
et oLi^t se trouve toujours un et un seul des points |3, le point [ii,. 

Prenons une de celles des courbes G pour lesquelles le nombre n 
a la plus grande valeur, et appliquons-lui ce que nous venons de 
dire d'une manière générale. 

Soient di le lieu des points a/ et D/le lieu des points ^i lorsque 
l'on fait varier la courbe C. Ou bien la courbe di ne rencontre 
jamais les deux courbes D/_, et D/ entre lesquelles elle est com- 
prise; elle forme alors une courbe fermée sur elle-même. Ou bien 
elle rencontre une des deux courbes D/_,, D/ et forme avec elle 
une courbe fermée. 

Il y a donc en général, sur la surface S, un certain nombre ni 
de courbes d fermées; un nombre égal de courbes D fermées et un 
nombre (n — ni) de courbes fermées <iD, composées d'une courbe d 
et d'une courbe D. 

Parcourons dans un sens déterminé une courbe fermée tracée 
sur la surface; la fonction \'>, étant une fonction uniforme, reprend 

sa valeur après ce parcours 5 il en est de même de sa dérivée -r- 

suivant l'arc de la courbe; cette dérivée, qui est une fonction con- 



I06 LIVllE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

tinue de l'arc s, change donc de signe un nombre pair de fois. 
Donc, le long de toute courbe fermée tracée sur la surface du 
corps, la fonction potentielle présente un nombre égal de maxima 
et de minima. 

La fonction 'Ç présente donc sur l'une quelconque des courbes 
d, D, dD, un même nombre de maxima et de minima. 

Or, si la fonction 'C est minimum en un point b d'une courbe of, 
ce point est un pôle nord. 

En effet, considérons tous les segments de courbes C qui se 
trouvent dans le domaine du pointa. Sur chacun de ces segments, 
la valeur minima de 'Ç se trouve à la rencontre de la courbe d, et 
sur la courbe d la valeur minima de t? se trouve au point b. 
La valeur de 'Ç au point b est donc plus petite qu'en tout lieu du 
domaine du point b. 

D'autre part, si la fonction '^ est maxima en un point a d'une 
courbe d, ce point est un pôle mixte. 

En effet, la valeur de <,> au point a est évidemment croissante 
si l'on s'éloigne du point a sur l'une ou l'autre des deux direc- 
tions de la courbe C qui passent par ce point, et décroissante si 
l'on s'éloigne du point a sur l'une ou l'autre des deux directions 
de la courbe d qui passent par ce point. 

Toute courbe fermée d contient donc un nombre égal de pôles 
nord et de pôles mixtes. 

De même toute courbe fermée D contient un nombre égal de 
pôle sud et de pôles mixtes. 

Envisageons maintenant une courbe fermée dD. Elle contient 
un certain nombre de points oh la valeur de "Ç sur cette courbe 
passe par un maximum et un nombre égal de points où elle passe 
par un minimum. 

Tout point de cette courbe oiî \'> est un minimum est un pôle 
nord s'il se trouve sur la portion d et un pôle mixte s'il se trouve 
sur la portion D, Tout point de cette courbe où "C^ est maximum 
est un pôle sud s'il se trouve sur la portion D et un pôle mixte s'il 
se trouve sur la portion d. 

Chacune des courbes d, D, dD, contenant un nombre de pôles 
pair ou nul, le nombre des pôles magnétiques à la surface d'un 
corps aimanté quelconque est pair s'il est fini. C'est le théorème 
énoncé et démontré par M. Betli. 



CHAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. I07 

§ 2. — Du magnétisme terrestre. 

Aux tliéorèmes généraux que nous venons d'exposer, Gauss 
en a joint quelques autres qui supposent essentiellement que 
l'aimant ait la forme sphérique; ces théorèmes s'appliquent donc 
à l'aimant terrestre et nous font connaître d'intéressantes proprié- 
tés de la composante horizontale de l'action magnétique à la sur- 
face de la terre. 

Ce sont ces propositions que nous allons maintenant dé- 
montrer. 

La première de ces propositions concerne les propriétés du 
polygone de Gauss. Elle découle immédiatement, comme nous 
Talions voir, des propriétés les plus simples de la fonction poten- 
tielle magnétique. 

Soient Mo, M, deux points situés à la surface du globe. Suppo- 
sons qu'une quantité de fluide magnétique égale à l'unité passe du 
point Mo au point M, par un chemin quelconque. 

Le travail accompli par les actions que le magnétisme terrestre 
exerce sur cette charge est indépendant de ce chemin. Il a pour 

valeur 

\'^(Mo)-t;;(M,), 

t? (Mo), "^(M,) étant les valeurs de la fonction potentielle ma- 
gnétique aux points Mo, M,. 

Supposons que le chemin parcouru par la masse magnétique 
soit le chemin MoMM(, situé tout entier à la surface de la terre ; 
soit H la valeur au point M de la composante horizontale du ma- 
gnétisme terrestre; soit t l'angle que la ligne MoMM, fait, en M, 
avec la méridienne magnétique du point M; soit enfin ds un élé- 
ment de longueur de la ligne MoMM, . Le travail produit aura 
pour valeur 



/ 



M. 

H cos/ ds. 



On aura donc 

.M, 

H co%tds = t:) (Mo) — ■<) (Ml : 

'M„ 






Si l'on prend comme contour d'intégration une courbe fermée 



I08 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNÉTIQUES. 

quelconque tracée à la surface de la terre, on aura 



/ 



H cos t ds ~ o. 



Prenons à la surface de la terre un polygone fermé, limité par 
des arcs de grand cercle et appliquons-lui l'égalité précédente. 
Pour simplifier les calculs, supposons que ce polygone se réduise 
à un triangle MoMiMo. Nous aurons alors 

„M, M, -,M„ 

/ ïi cos tds~^ I H cos tds-^ 1 Hcos^<^5 = o. 

•/>l„ «^Mi "^Mj 

Transformons l'expression 



i 



M, 

H cos t ds. 



Supposons que le grand cercle MolVl) fasse avec la méridienne 
géographique, et à l'est de celle-ci, un angle (o, i). Supposons, 
en outre, qu'au point M de l'arc Mo M) la déclinaison magné- 
tique, supposée orientale, ait une valeur o. Nous aurons alors, au 

point M, 

/ = (o,i) — 0, 

ce qui donne 

/ Il cos tds— I Hcos[(o, i) — 3]o?5. 

H et sont des fonctions de 5j mais, si les deux stations Mq, M) 
sont peu éloignées, on pourra approximativement remplacer, 
dans l'intégrale précédente, la quantité 

H cos[(o, i) — o] 
par la quantité 

^ jHoCos[(o, r) — 00I-+- H,cos[(o, i) — o,]J, 

moyenne des valeurs que la quantité précédente prend aux extré- 
mités de l'arc MoM,. On aura alors 

J/^ ' \T IVT 

' II cos tds = — — - jllocos[(o, 1) — Oo] -h HiCOs[(o, i) — 81 1{. 
Mo ■^ 



CHAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. lOCj 

Pour le triangle MqMi M2 on aura 

(' MoMi j Ilocos[(o, i) — 8o]-^H,cos[(o, i) — Ojjj 

(3) l -t- M1M2 I HiCOS[(l, 2) — 81] -f- H2COS[(l,2)— Sâjj 

( -i- MjMo j H2COS[(2, o) — O2] -h HoCOs[(2, o) — 80] j = o. 

Si l'on connaît la valeur de la déclinaison magnétique en 
trois points du globe, modérément écartés les uns des autres, et 
la valeur de la composante horizontale du magnétisme ter- 
restre en deux de ces points, on peut, par cette formule, cal- 
culer la valeur de cette composante horizontale au troisième 
point. 

Gauss a fait l'application de cette formule au triangle formé 
par Gœltingue, Milan et Paris. Prenant pour inconnue la valeur 
de H à Paris, il trouva 

H = 0,51696, 

tandis que l'observation directe donnait 

11 = 0,51804. 

Une concordance aussi précise démontre l'utilité de la formule 
que nous venons d'établir. Elle permettra de déterminer la va- 
leur de H à une station où un observateur aura déterminé seule- 
ment la déclinaison. 

Soit M ua point situé à la surface de la terre, ou extérieur à la 
sphère terrestre. Désignons par r la distance de ce point au centre 
de la terre; par \ sa colatitude, comptée positivement dans l'hé- 
misphère nord; par J^sa longitude occidentale. Les trois coor- 
données r, .^, \ fixent sa position. La fonction potentielle ma- 
gnétique en ce point est une fonction t? (/-^ 4^^ X) de ces trois 
variables. 

L'action magnétique au point M peut se décomposer en trois 
directions rectangulaires : la première composante Z est supposée 
dirigée vers le centre de la terre ; la seconde Y est horizontale, 
située dans le méridien du point M et dirigée vers le nord. La 
troisième X est perpendiculaire aux deux précédentes et dirigée 
vers l'ouest. 





I 


d-ç 


X = 


r sinX 


^' 


Y^ 






Z ^ 


ùr' 





110 LIVRE VII. — LES FORCES MAGNETIQUES. 

Nous aurons alors 



(4) 



Ces trois égalités s'appliquent, en particulier, au cas où le point M 
est situé à la surface de la terre. 11 suffit, dans ce cas, de donner 
à r la valeur R du rayon terrestre. Dans ce cas, X et Y seront les 
composantes de la projection H sur le plan horizontal de l'action 
magnétique terrestre, en sorte que nous aurons 

(4') H==(XM-Y2)^. 

La déclinaison, supposée horizontale, sera donnée par la formule 

(i ) tango = ^. 

Enfin l'inclinaison sera donnée par la formule 

(D tang.--^. 

On peut donc, si l'on connaît l'expression de tp en fonction de /•, 
). et C-, calculer les éléments du magnétisme terrestre en un point 
quelconque. JNous avons vu (Chap. V, § 2) comment on peut dé- 
terminer '^. Nous allons d'abord indiquer quelques conséquences 
intéressantes des formules que nous venons d'établir : 

i" Supposons que l'on connaisse l'expression de Y en tous les 
points de la surface terrestre, ou, en d'autres termes, que l'on 
sache exprimer Y en fonction de J^ et X. Prenons, sur un certain 
méridien, un point M correspondant à une certaine valeur de X; 
formons la somme des quantités Y cfk pour tous les points com- 
pris entre le pôle nord et le point M, et désignons celte somme 
par T : 

T sera, comme Y, une fonction connue de 4^ et de X. 



CHAP. VIII. — MERIDIENS MIGXETIQUES KT P.VKVLLELES MAGNETIQUES. I I I 

Nous aurons 



àT 


I dp 
K ^X 


â(™ 


-W-^ 



ou, en nous reportant à l'une des égalités (4), 



Nous en déduisons 



Ceci a lieu en un point quelconque du méridien qui a pour longi- 
tude 4^. Faisons tendre ce point vers le pôle nord géographique; 
T tendra vers o, P vers la valeur P^ du potentiel au pôle nord; 
'ï-(J^) ne variera pas. Il en résulte que 'f{X^) est une quantité indé- 
pendante de 4^, constante et égale à — "C^o- 
La formule précédente nous donne alors 

D'autre part, 

T_ dp _ _j_ ÔT 

R sinX ôJt^ sinX âi^ 

Reportons-nous à la définition de T, et nous trouverons 

V ' r^'^^ ^ 

D'où ce remarquable théorème de Gauss : 

Si Voii coiinait en tous les points du globe la composante 
horizontale dirigée vers le nord du magnétisme terrestre, on 
connaît aussi la composante horizontale dirigée vers l'ouest, 
et, par conséquent, la composante horizontale totale. 

:i" Supposons que X soit connu en tous les points du globe; 
X sera alors une fonction connue de X et de »1. Prenons sur un 
parallèle deux points Mo, M correspondant à des valeurs 4j) et -Ci 
de 4^ et posons 

U=- f Xsinldil; 

■\0 



112 LIVRE VII. — LES FORCES MA.GNETIQUES. 

U sera, comme X, une fonction connue de (^et \. Nous aurons 

dV .. . , 
-— = A sinÀ 

OU bien, en vertu de l'une des égalités (4), 

d\] __} à-Ç 



De là, nous déduisons 

ou bien 
D'autre part, 



A(Ru_i_x;;)=.o 



Y- ' — 
" R d\ ' 



La formule précédente, dilTérentiée par rapport à A, peut donc 
s'écrire 

ou, en se reportant à l'expression de U et en posant 

La connaissance de X ne suffît donc pas à déterminer Y, puisque 
l'expression de Y renferme encore une fonction indéterminée de 
la colatitude. Mais, si l'on connaît la valeur de X en tous les points 
du globe, et la valeur de Y en tous les points d'une courbe passant 
par les deux pôles géographiques, la fonction <}(X) sera connue, 
et la formule (6) déterminera la valeur de Y en tous les points du 
globe. 

D'où Je théorème suivant : 

Si l'on connaît en tous les points du globe la valeur de la 
composante horizontale dirigée vers V ouest du magnétisme 



CHAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. Il3 

terrestre, et si Von connaît, en outre, en tous les points d'une 
ligne passant par les deux pôles géographiques la valeur de 
la composante horizontale dirigée vers le nord, on peut déter- 
miner en tous les points la valeur de cette dernière compo- 
sante. 

Ce théorème esl encore dû à Gauss. 



I). — Il 



LIVRE VIII. 



L'AIMANTATION PAR INFLUENCE SELON LA MÉTHODE 
DE POISSON. 



CHAPITRE PREMIER. 

CONDITIONS DE L'ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE. 



g 1. — Lois fondamentales de l'aimantation par influence. 

Il existe des corps dont l'aimantation varie si lentement lorsque 
l'on modifie les conditions dans lesquelles ils se trouvent, que Ton 
est conduit à imaginer des corps dont le magnétisme serait abso- 
lument invariable. De semblables corps, dont les aimants réels 
s'approchent plus ou moins sans leur être absolument identiques, 
sont ce que nous nommerons des aimants permanents. Nous 
nommerons, au contraire, corps parfaitement doux ceux dont le 
magnétisme varie avec les circonstances. Le problème de Vai- 
mantation par influence peut alors s'énoncer de la manière sui- 
vante : 

Un corps parfaitement doux étant placé en présence d'ai- 
mants permanents donnés, quelle sera la distribution perma- 
nente du magnétisme sur ce corps parfaitement doux ? 

Cette distribution permanente porte le nom de distribution 
d'équilibre. 

Poisson a cherché le premier à mettre en équation le problème 



Mb LIVRE VIII. — LA THEORIE DE POISSON. 

de l'aimantation par influence ('); il s'appiijait sur les hypothèses 
suivantes : 

Les phénomènes magnétiques doivent être expliqués par les 
propriétés de deux fluides, l'un positif ou austral, l'autre négatif 
ou boréal, qui agissent l'un sur l'autre comme agissent les fluides 
électriques. 

Un corps parfaitement doux se compose de particules magnéti- 
ques extrêmement petites, séparées les unes des autres par des in- 
tervalles non magnétiques. 

Chaque particule magnétique renferme des quantités égales des 
deux fluides, dont la distribution sur la particule est librement 
variable. Les fluides magnétiques ne peuvent se mouvoir au travers 
du milieu non magnétique qui sépare les particules. 

Sur chaque particule, l'équilibre magnétique est établi lors- 
qu'une masse de fluide magnétique égale à l'unité, placée par la 
pensée en un point quelconque intérieur à cette particule, ne 
subit aucune action de la part des fluides magnétiques distribués 
soit sur cette particule, soit sur le reste du système. 

Pour les corps isotropes, les particules magnétiques sont sphé- 
riques. 

De ces hypothèses, par des raisonnements qui renferment plu- 
sieurs inexactitudes graves (-), Poisson est parvenu à déduire les 
conséquences suivantes : 

Soient 

(^, y, z) un point du corps parfaitement doux isotrope; 
X, i)î>, 3 les composantes de l'aimantation en ce point; 
'Ç la fonction potentielle magnétique en ce point de tout le ma- 
gnétisme répandu sur le système. 

On a 

(i) x= — k^, 1)1,= — A—, e=-k-/-, 

^ ' ax oy oz 



(') Poisson, Mémoire sur la théorie du Magnétisme. Lu à l'Académie des 
Sciences le 2 février 1824. — Mémoires de l'Académie des Sciences, années 1821 
et 1822, t. V, p. 247-338. 

(^) Nous renvoyons, pour la critique de la théorie de Poisson, à noire Étude 
historique sur la théorie de l'aimantation par influence {Annales de la Faculté 
des Sciences de Toulouse, t. II; 1888). 



CHAP. I. — CONDITIONS DE L'ÉQUILIBRE. II7 

k élant un coefficient nommé coejfficient d'aimantation, qui dé- 
pend exclusivement de la nature du corps parfaitement doux au 

point (^,jK, z). 

D'après la théorie de Vo'i&son^ le coefficient k ne pouvait pas 
être négatif. De plus, il ne pouvait surpasser une certaine limite. 

Ces deux conditions, imposées au coefficient /c, se heurtent à 
des difficultés expérimentales. 

La valeur trouvée pour k en étudiant l'aimantation du fer doux 
surpasse la limite imposée à ce coefficient dans la théorie de 
Poisson. 

Les propriétés des corps diamagnéliques, découvertes par Fa- 
raday en étudiant le bismuth, semblent exiger que le coefficient A" 
ait, pour ces corps, une valeur négative. 

Les difficultés, soit analytiques, soit expérimentales, que ren- 
contre la théorie de Poisson ont conduit Sir W. Thomson (') à 
rejeter tout l'édifice d'hypothèses et de raisonnements pris par 
Poisson comme fondement des égalités (i), et à admettre purement 
et simplement ces équations à litre d'hypothèses. Sir W. Thomson 
n'impose au coefficient k aucune restriction. Il peut être positif, 
et le corps doux est dit alors magnétique ou paramagnétique , 
selon que le coefficient k est grand ou petit. Il peut être négatif, 
et le corps est dit alors diamagnétique. 

Nous reviendrons, au Livre IX, sur les principes qui peuvent 
servir à établir les lois de l'aimantation par influence. Pour le mo- 
ment, sans discuter l'exactitude des équations (i), nous allons en 
déduire une série de conséquences. On verra plus tard de quelle 
utilité nous seront les résultats obtenus. 

§ 2. — Mise en équation du problème de l'aimantation par influence. 

Poisson a montré comment, des équations (i), on pouvait dé- 
duire la mise en équation du problème de l'aimantation par in- 
fluence, dans le cas où , le corps parfaitemen t doux étant homogène^ 
k avait la même valeur en tous ses points. 

(') W. Thomson, On the theory of magnetic induction in crystalline and 
non crystalline substances {Philosophical Magazine, 4' série, t. I, p. 177-186, 
i85i. — Thomson's Beprint of papers on electrostatics and magnetism, art. 
XXX). 



Il8 LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON. 

Les équations (i) peuvent s'écrire sous une forme plus explicite. 
Soit XD la fonction potentielle magnétique du corps parfaitement 
doux. Soit ^ la fonction potentielle magnétique des aimants per- 
manents. Nous aurons 

'^; = u + ijj) 

et les égalités (i) pourront s'écrire 

\dx dx I 



Les aimants permanents sont supposés entièrement définis. On 
peut donc regarder leur fonction potentielle magnétique ^ comme 
connue. Les équations (2) nous montrent alors que, pour déter- 
miner l'aimantation en chaque point du corps parfaitement doux, 
il suffît de déterminer la fonction TD. 

Voici la transformation fondamentale sur laquelle repose la dé- 
termination de cette fonction. 

DifFérentions la première égalité (2) par rapporta x, la seconde 
par rapport à j>/" et ajoutons membre à membre les résultats obtenus. 
Nous trouvons 

Ox oy 03 

Mais, en premier lieu, tout point (.r, jk, ^) du corps parfaitement 
doux étant extérieur aux aimants permanents, on a, en un tel 
point, 

A\tp = G. 

En second lieu, en tout point du corps doux, on a [Livre VII, 
Chap. III, égalité (8)] 

L'égalité précédente se réduit donc à 

(4) (i + 4TrA-)AX9 =0. 

Si le corps est magnétique ou paramagnétique, k étant positif, il 



CONDITIONS DE L EQUILIBRE. 



"9 



en est de même de (i -h 4'^^)- Pour les corps diamagnétiques, 
d'après la définition de Sir W. Thomson, A' serait négatif; mais, 
pour tous les corps diamagnétiques connus, A" aurait une valeur 

absolue fort petite, bien inférieure à -— • On n'exclura donc aucun 

corps connu, en se restreignant à l'étude des corps qui satisfont à 
la condition suivante : 

La quantité (i + 4 "A) est positive. 

On voit alors que l'égalité (4) peut s'écrire 
(5) Ai:)=o, 

ce qui transforme l'égalité (3) en 



(fi) 



ùx 



-ùy 



ùz 



D'après la définition donnée au Livre VIT, Chap. IV, § 1, cette 
dernière égalité équivaut au théorème suivant : 

U après la théorie de Poisson, l' aimantation d'un corps par- 
faitement doux homogène est toujours une aimantation solé- 
noïdale. 

D'après ce que nous avons vu au Livre VII, Chapitre VII, § 2, 
cette distribution est aussi une distribution lamellaire simple. 

L'égalité (5) nous montre que la fonction potentielle magné- 
tique "O du corps parfaitement doux est harmonique en tout 
point Intérieur à ce corps. 

Considérons un point de la surface du corps parfaitement doux. 
SoitN, la normale à la surface en ce point vers l'intérieur du corps 
parfaitement doux. Les égalités (2) nous donneront 



..c„.(N,...)„ = -.(|«.^), 



Mais, d'autre part, on a [Livre VII, Chap. II, égalité (9)] 
dX3 dXD 



0^, 



d^, 



= 4Tr||t-l)C0s(N/, x] 



On a donc, en tout point de la surface du corps parfaitement doux, 

(7) ^'^4^^)^-4-^H-4^A:^=o; 



120 LIVRE VIII. — L.V THEORIE DE POISSON. 

jrr pouvant être regarde comme une quantité connue, celte ega- 
lite ( 7 ) constitue une relation entre rrr- cl-z^rr-- 

^ ' ^ oN, c)Ne 

La fonction cherchée Ï3(^, y, z) est, d'après ce qui précède, 
assujettie aux conditions suivantes : 

1° Elle est continue dans tout l'espace; 

2° Elle est harmonique lant à l'extérieur qu'à l'intérieur du 
corps parfaitement doux; 

3° Elle se comporte à l'infini comme une fonction potentielle; 

4° En tout point de la surface du corps parfaitement doux, ses 
dérivées partielles du premier ordre vérifient l'égalité (7). 

Ces conditions suffisent-elles à déterminer la fonction '0?J1 est 
aisé de voir que deux fonctions distinctes t) et 'O' ne sauraient véri- 
fier à la fois toutes ces conditions. 

Supposons, en effet, que deux fonctions distinctes XO et W 
vérifient à la fois ces conditions, et posons 

e = '0'— t). 

La fonction serait, comme les fonctions 13 et O', harmonique 
tant à l'intérieur qu'à l'extérieur du corps parfaitement doux. Si 
donc nous désignons par dçi un élément de volume intérieur au 
corps parfaitement doux et par dve un élément de volume extérieur 
au même corps, nous aurons 

(8) /'A0^Pc-t-(n-4-n:A:) f\&dvi = o. 

Mais le théorème de Green nous donne, en désignant par S la 
surface du corps parfaitement doux, 

D'autre part, les égalités 

(i + 4^A-)^.-f-^-+-4^/^^=o, 
, , , , dV dXD' , - dx^ 



de 


dB 


— ' O 


— = o. 


ôy ' 


dz 



CHAP. I. — CONDITIONS DK L EQUILIBRK. 121 

nioiîlrenl que l'on a, en tout point de la surface S, 
J/égalilé (8) devient donc 

, . . , , , . . . r . . àe d& d& 

La quantité (i + 4~'>^) est positive. Les quantités -,-7 —^ jz 

sont continues en tout point, tant extérieur qu'intérieur au corps 

parfaitement doux. L'égalité précédente exige donc que l'on ait, 

en tout point tant extérieur qu'intérieur au corps parfaitement 

doux, 

de 

Si l'on ajoute que, comme les fonctions t) et V, doit être 

continu dans tout l'espace et égal à zéro à l'infini, on V!)it que l'on 

aura dans tout l'espace 

e = 
ou 

La proposition énoncée est donc démontrée. 

Nous voyons ainsi que les conditions précédemment indiquées 
suffisent à déterminer complètement la solution du problème de 
l'aimantation par influence, l'existence de cette solution étant ad- 
mise. Le problème dont il s'agit admet-il toujours une solution? 
C'est une question que nous réserverons pour le moment; nous 
aurons occasion de l'examiner au Livre IX sous une forme plus 
générale. 

3. — Autre manière de mettre en équation le problème de 
l'aimantation par influence. 

La mise en équation du problème de l'aimanlation, telle que 
nous venons de l'indiquer, est due à G. KirclihofTC ). 

(') G. KiRCHHOFF, Ueber den inducirten Magnetismus eines unbegrenzten 
Cylinders von weichem Eisen, § 2 {Crelle's Journal, Bd. XLVIII; i853.- A'ïVc^- 
hoff's Abliandlungen, p. 198 ). 



li'i. LIVRE VIII. — LA THEORIE DE POISSON. 

La forme sous laquelle Poisson (') a mis en équation le pro- 
blème de l'aimantation par influence, forme dont ont fait usage 
non seulement Poisson, mais encore F.-E. Neumann, Lipschilz, 
Béer et Cari Neumann, diffère légèrement de la forme précédente. 
JNous allons l'indiquer ici. 

Soit 'Q la fonction potentielle magnétique de tout le système, 

donnée par l'égalité 

\'; = t3 4- 1^. 
Posons 

Nous aurons alors, au lieu des égalités (i), les égalités 

(9) X^A-^, ..'o^-A-^, 3 = A-^-2, 

dx- ôy oz 

qui nous montrent que l'aimantation du corps parfaitement doux 
est déterminée lorsqu'on connaît la fonction o. 
Or la fonction o est définie par l'égalité 

(10) çp _^ t) -t- \J? = o, 

dans laquelle figurent la fonction connue \^' et la fonction incon- 
nue V). Mais celle-ci est liée à la fonction o par une relation très 
simple. 

On sait, en effet, que l'on a, en général [Livre VH, Ghap. III, 
égalité (3)], 



0(^,j,.)=-§||.,l>cos(N,,^)||^-,^-y'||^ 



- dv, 



la première sommation s'étendant à tous les éléments de la surface 
du corps parfaitement doux, et la seconde à tous les éléments du 
volume de ce corps. 

Dans le cas actuel, en vertu de l'égalité (6'), cette égalité se 
réduit à 



i:)(a7,j',4;)=-g|l.l,cos(N,,^)|| 



(') Poisson, jWe'woï/e sur la théorie du magnétisme, § 2, n" 1Q { Mémoires de 
l'Académie des Sciences, années 1821 et 1822, t. V, p. 247). 

(^) On pourrait aussi bien chercher à déterminer la fonction "C ou la fonc- 
tion ID que la fonction 9. Nous n'avons choisi cette dernière que pour conformer 
nos formules à celles employées par d'autres auteurs, notamment par F.-E. Neu- 
mann {Vorlesungen iiber die Théorie des Magnetismus, namentlich liber die 
Théorie der magnetischea Induction; Leipzig, 1881). 



CHAP. I. — CONDITIONS DE L'ÉQUILIBRE. 123 

En vertu des égalités (9), cette dernière égalité prend la forme 

La comparaison des égalités (10) et (11) montre que la fonc- 
tion (p vérifie la relation 

Or nous allons prouver qu'il ne peut exister plus d'une fonc- 
tion C3 vérifiant cette égalité (12), en sorte que cette égalité peut 
servir à la détermination de la distribution du magnétisme induit 
sur le corps parfaitement doux. 

Supposons que deux fonctions distinctes, o et es', vérifient l'é- 
galité (12), et posons 

^ =: es'— C5. 

Nous aurons évidemment 

O oNi r 

Cette égalité nous montre que ^ pourrait être regardé comme la ' 
fonction potentielle ordinaire d'une couche électrique distribuée 
sur la surface du corps doux avec une densité superficielle 

^ Mi 

La fonction <!; serait donc harmonique tant à l'intérieur qu'à 
l'extérieur du corps doux; elle serait continue dans tout l'espace; 
elle se comporterait à l'infini comme une fonction potentielle; 
enfin, à la surface du corps doux, ses dérivées partielles du pre- 
mier ordre vérifieraient l'égalité 

Ces conditions, auxquelles serait assujettie la fonction <b sont 
celles auxquelles était assujettie la fonction considérée au para- 
graphe précédent. La démonstration indiquée au paragraphe pré- 



ON] 




- = 


J -!- 


\tJ.-) 





iM LIVRE VIH. — l.\ THÉORIE DE POISSON. 

cèdent prouve alors que l'on a dans tout Tespace 

<]/ = o 



ou 



C'est ce que nous nous proposions de démontrer. 

On cherchera donc à déterminer, pour tout point intérieur au 
corps parfaitement doux, une fonction <p vérifiant, en chacun de 
ces points, l'égalité (12). Cette fonction sera unique. Une fois 
cette fonction déterminée, l'égalité (12) permettra immédiatement 
de calculer la valeur de cette fonction à l'extérieur du corps par- 
faitement doux. 

§ 4. — La fonction caractéristiqus. 

Nous avons vu (Livre II, Chap. VI) que le problème de la dis- 
tribution électrique était susceptible d'une très remarquable trans- 
formation. On peut regarder ce problème comme résolu lorsqu'on 
sait déterminer une certaine fonction de Green, qui dépend exclu- 
sivement de la forme du conducteur étudié et non des influences 
auxquelles il est soumis. 

M. F.-E. Neumann (*) a montré que le problème de l'aimantation 
par influence était susceptible d'une transformation analogue. La 
solution de ce problème peut être regardée comme obtenue lors- 
qu'on sait former une certaine fonction dépendant uniquement 
de la forme du corps parfaitement doux. Cette fonction, analogue 
à la fonction de Green, a reçu de F.-E. Neumann le nom àe fonc- 
tion caractéristique. 

Soient M un point quelconque de l'espace; cp (M), iJP (M), les 
valeurs de cp et de iJP en ce point. Soit m un point de l'élément 
«?S. L'égalité (12) pouri-a s'écrire plus explicitement 

{iibis) xg)(IVl) + <o(M)-/>.- Q "^ \L"'^ -^_Lr-^S = o. 

^ d'^i Mm 

Prenons un point M infiniment voisin de la normale v/ passant 
par un point P de la surface S. Supposons que ce point se déplace 



( ' ) F.-E. Neumaxn, Vorlesungen iiber Théorie des Magnetismus, namentlich 
ûber die Théorie der magnetischen Induktion, p. 110; Leipzig, i88i. 



CHAP. I. — CONDITIONS DE l/ ÉQUILIBRE. liS 

infiniment peu sur cette normale, vers l'intérieur du corps doux, 
d'une longueur (hi. Ecrivons la nouvelle égalité analogue à l'éga- 
lité (i2 bis), et retranchons ces deux égalités l'une de l'autre. 
Nous trouverons 

Faisons tendre le point M vers le point P et nous trouverons à 
la limite 

Toute égalité de la l'orme (12 bis) détermine une seule fonction 
(p(M) lorsqu'on y remplace \^ (M) par une certaine fonction po- 
tentielle. 

Prenons pour vg) (M) la fonction potentielle d'une masse égale 

à l'unité placée au point P, c'est-à-dire la quantité -T=r- Soit 
^ ^ ^ PM 

G (M, P) la fonction es (M) correspondante, fonction déterminée 

par l'égalité 

14 ) TT-:^ -I- G (M, P) — A- V W^ ' '^:^^ d^ = O. 

Multiplions les deux membres de l'égalité (i4) pai" ) Multi- 

plions les deux membres de l'égalité (i3) par -z=r-' Retranchons 
membre à membre les égalités obtenues. JNous aurons 

^ n pG(/n, P) dx?p(P) I do(m) d / 1 \ 1 ]^s r^o 

Soit dy un élément de la surface S entourant le point P. Multi- 
plions les deux membres de l'égalité précédente par d<T et inté- 
grons pour tous les éléments dy de la surface S. Nous aurons 



(i5) 



OL (^'i PM ^v/ J 

[ 00 L àNi d^i Mm à^i (^^/ \ m P / MP J 



I'26 LIVRE Vril. — LA THÉORIE DE POISSON. 

Mais OQ a évidemment 

L'égalité (i5) peut donc s'écrire 

crG(M,P)^4i£-'_ii^i* 

kj Mw tJN/OL àvi p^ c)v; J 

ou bien, en posant 

kj L ^''i- PM c'^i J 

^ »J^i M/n 

Or nous avons étudié au paragraphe précédent une semblable 
égalité. Nous avons vu qu'elle entraînait, dans tout l'espace, l'é- 
galité 

/(M)==o. 

Nous avons donc 

[g (M, p/41£-^ _ i :^'l <fa = „, 

U l d^i PM dwi J 

quel que soit le point M. 

On déduit de là, en remplaçant simplement les symboles P, v/, 
d(7 par les symboles m, N/, </S, 

G (M, m) —^ — -' — ■ — ^-^-^ — <iS = o, 

égalité qui, jointe à l'égalité (12 bis), permet d'écrire 



xJ?(M)-f-cp(M)-/r C G(M,m) 



dN; 



dS — 0. 



Cette dernière égalité montre que, si l'on connaît la fonction 
G (M, m) pour tous les points m de la surface du corps parfaite- 
ment doux et pour tous les points M de l'espace, on sait immé- 
diatement déterminer la fonction co, et partant la distribution 



CHAP. I. — CONDITIONS DE l'ÉQUILIBRI:. Il-] 

magnétique sur un corps soumis à une influence quelconque, 
définie par la fonction ^(M). 

On sait donc déterminer la distribution magnétique engendrée 
sur un corps parfaitement doux par des aimants quelconques lors- 
que l'on sait déterminer la distribution magnétique induite sur 
ce corps par une masse magnétique égale à l'unité placée en un 
point quelconque de sa surface. 



128 LIVRE Vin. — L.V THÉORIE DE POISSON. 

I 

CHAPITRE IL 

CORPS QUI S'AIMANTENT UNIFORMÉMENT DANS UN CHAMP UNIFORME. 



g 1. — Aimantation d'une sphère pleine dans un champ magnétique 

uniforme. 

Nous allons appliquer les considéralions générales données au 
Chapitre précédent à l'étude de quelques cas particuliers du pro- 
blème de l'aimantation par influence. 

Nous commencerons par étudier l'aimantation que prend une 
sphère magnétique pleine et homogène placée dans un champ uni- 
forme ('). 

Pour déterminer cette aimantation, nous commencerons par 
examiner les propriétés d'une sphère uniformément aimantée. 

Soient o^l,, t)b, £ les composantes de l'aimantation de cette sphère 
et d<>> un élément de volume, de coordonnées (i, r,, Q, appartenant 
à cette, sphère. En un point quelconque {x, y, 5), la fonction 
potentielle de cette sphère a pour valeur 



W(37, J^^ ^)= / I .U -^ 



I ' 



dv. 



ce qui peut s'écrire, puisque la sphère est uniformément aimantée 
et que l'on a d'ailleurs 





r 


i 


C'7 


à'- 
r 


r r 


-^,1 


(0 


'0(3^,y, z) = 


-\l 


r 

dx 


dv — ^S\^ 
J 


1 i^'-^-J 


â^*- 



(') Poisson, Mémoire sur la théorie du magnétisme, § III {Mémoires de 
l'Académie des Sciences, années 1821 et 1822, t. V, p. 247). 



CHAP. II. — AIMANTATION UNIFORME DANS UN CHAMP UNIFORME. 129 

Supposons la sphère uniformémenL remplie d'électricité dont la 
densité serait égale à i . Elle aurait pour fonction potentielle or- 
dinaire la quantité 

\(x,y,z)=j ^dv, 

et l'égalité (i) pourrait s'écrire 

(•2) x){x,y,z) = -.%,^—Mh^-e^^' 

Cette expression de la fonction 0(.r, y, z) est exacte, non seule- 
ment pour une sphère uniformément aimantée, mais encore pour 
tout corps uniformément aimanté, quelle qu'en soit la forme. 

Introduisons maintenant l'hypothèse que le corps auquel nous 
avons affaire est une sphère. Prenons le centre de cette sphère 
pour origine des coordonnées et désignons par R son rayon. 

Si le point (x, y, z) est extérieur à la sphère, nous aurons 

4 ttRs 



V-^J ./i 


")- 


' 3 


(372-+- J^H 


i 

- z'^Y 


^V 


3 




ttRs 




dx 


(a;2 


'■-^y^-^z- 




dY 


4 
3 




ttRî 




ày 


(a72 


■^y'^-^z- 


3 y' 
'■Y 


dV 


i 




7tR3 





^^ ^ (^2_t_^2^ -2)2 

et, par conséquent, d'après la formule (2), 

(3) ■0{x,y,i)=^ ^— j{J^x-^yS\>y^Bz). 

(a;2_(_j^2_j_^2)2 

Cette formule nous montre qu'w/ie sphère uniformément ai- 
mantée exerce en tout point extérieur la même action qu' un 
élément magnétique placé en son centre, ayant pour direction 
d'axe la direction de l'aimantation et dont le moment magné- 
tique aurait pour composantes 

(4) A=^rR3oil,, B=i:iR3\)>,, G=|TrR3S. 

3 o 3 

D. - II. 9 



l3o LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON. 

Si le point (o:, y, z) est intérieur à la sphère, nous aurons 

dV 4 av 4 (JV 4 

T-=~5'"^' Tr=~T'^.Xi ':r—~i'^^ 
ax 3 ôy 6 "^ oz 3 

et, par conséquent, d'après la formule (2), 

(5) '0(x,y, z)='*^'K(Xx-h^i\,y-i-ez). 

Cette formule va nous permettre de résoudre le problème de l'ai- 
mantation prise par une sphère magnétique homogène dans un 
champ uniforme. 

La fonction potentielle magnétique '^{x,y,z) d'un chamj) 
uniforme esl une fonction linéaire des coordonnées 5 soit 

(6) ■^(x,y, z)^—{Fx-i-Gy^llz -^K); 

F, G, H seront les composantes de l'action magnétique en un 
point quelconque du champ. 

Imaginons que nous communiquions à la sphère un e aimantation 
uniforme ayant pour composantes 

X = ^,— F, 

*= -, G, 

G = ^ H. 

Nous aurions alors, d'après les égalités (5), (6) et (7), 

dz 
Or, d'après ce que nous avons démontré au Chapitre précédent, 



CHAP. II. 



AIMANTATION UNIFORME DANS UN CHAMP UNIFORME. 



l3l 



ces dernières équations déterminent sans ambiguïté l'aimantation 
prise par une sphère dont le coefficient d'aimantation est k dans 
un champ dont la fonction potentielle magnétique est ^. Cette 
aimantation est donc donnée par les égalités (7). 

Ainsi, dans un champ uniforme , une sphère magnétique 
pleine s'aimante uniformément . U aimantation a la même di- 
rection que l'action du champ et est proportionnelle à l'inten- 
sité du champ. 

D'après l'égalité (3), la fonction potentielle magnétique d'une 
sphère placée dans un champ magnétique uniforme a pour expres- 
sion, à l'extérieur de cette sphère, 



T.k 



(8) 



X){x,y, z)-- 



R-i 



(Fa^-i-Gj 4-Hs). 



I -H q TT A: (a;2 -f- jK^ -H z'^y^ 



§ 2. — Aimantation d'un ellipsoïde plein dans un champ magnétique 

uniforme. 

La méthode précédente s'applique également à l'étude de l'ai- 
mantation prise par un ellipsoïde homogène dans un champ magné- 
tique uniforme (*). 

Soit \[x, y, z) la fonction potentielle ordinaire de l'ellipsoïde 
uniformément rempli d'électricité avec la densité i. Prenons pour 
origine le centre de l'ellipsoïde et, pour axes de coordonnées, les 
axes de l'ellipsoïde. D'après ce que nous avons vu en étudiant 
l'attraction des ellipsoïdes, on a [Livre I, Chap. VI, égalités (i5)] 



dx 

dV 
dy 

dY_ 
dz 



= — ihx, 
= -ïMy, 

= — 2N3, 



L, M, N étant [Livre I, Chap. VI, égalités (i3)] trois constantes A, 



(') Poisson, Second Mémoire sur la théorie du magnétisme, § I {Mémoires 
de V Académie des Sciences, années 1821 et 1822, t. V, p. 488). 



l3'2 LIVnK VIII. — LA TIIÉOUIE DE POISSON. 

[x, V pour les points intérieurs à l'ellipsoïde et trois fonctions de 
X, y, z pour les points extérieurs. 
L'égalité (2) devient alors 

(9) ■0(x,y, z)=-2{XLx-h\i\,My-h 3N2). 

De celte égalité, on déduit, pour les points intérieurs à l'ellip- 
soïde, 

(10) -T— =2<Â.-À, -T— =2l)b[Jl, -T— =2SV. 

ox oy oz 

Ces résultats acquis, plaçons un ellipsoïde homogène dans un 
champ magnétique uniforme, défini par l'égalité (6). Communi- 
quons à cet ellipsoïde une aimantation uniforme ayant pour com- 
posantes 

F, 

I l -1- V! /i A 

I Ir 

(n) 




Tl est facile de voir, d'après les égalités (6) et (10), que cette 
aimantation vérifiera les égalités 

dy - 

et représentera, par conséquent, la distribution magnétique d'équi- 
libre prise par l'ellipsoïde. 

Ainsi, un ellipsoïde homogène, placé dans un champ magné- 
tique uni/orme, s'aimante uniformément ; mais, en général, la 
direction de V aimantation ne coïncide pas avec la direction 
des lignes de force du champ. 

Les égalités (9) et (i i) donnent l'expression suivante de la fonc- 
tion potentielle magnétique d'un ellipsoïde homogène placé dans 



CH.VP. II. — AIMANTATION UNIFORME DANS UN CHAMP UNIFORME. l33 

un champ magnétique uniforme 

g 3. — Détermination des coefficients d'aimantation. 

Poisson (*), à qui l'on doit la solution des problèmes précé- 
dents, a montré comment les résultats obtenus pouvaient conduire 
à la détermination de la constante k. 

Supposons que l'on place une sphère homogène faite avec la 
substance dont on veut déterminer le coefficient d'aimantation 
dans un champ magnétique uniforme connu avec précision, par 
exemple, dans le champ magnétique terrestre. Cette sphère s'ai- 
mantera suivant les lois indiquées au § 1. 

Prenons pour axe des x la méridienne magnétique dirigée vers 
le nord, pour axe des y une droite horizontale, normale à la pré- 
cédente et dirigée vers l'est, pour axe des z une verticale dirigée 
vers le zénith. Soit T la force magnétique terrestre; soit i l'incli- 
naison. Nous aurons 

iF = T CCS i, 
G= o, 
H = — Tsini. 

Soit R le rajon de la sphère dont le centre est supposé placé à 
l'origine des coordonnées; soit (^, y, z) un point extérieur à la 
sphère. Posons 

D'après l'égalité (8), la fonction potentielle magnétique de la 
sphère au point (x, j»', z) aura pour valeur 

Kk 

3 R3 

X)(x,y,z) = jT(xcosi — zsini). 

i + I^A:'- 
Cette sphère exercera, sur un pôle magnétique égal à l'unité 

(') Poisson, Mémoire sur la théorie du magnétisme, g III {Mémoires de l'A- 
cadémie des Sciences, t. V, p. 247; années 1821 et 1822). 



l34 LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON. 

placé au point (^, y^ z) une action dont les composantes seront 

[cost 3(xcosi — z^'mi)x~\ 
-. 7^ J' 



R3T 



(i4) 



' H = 




3(x cosi — z smi)y' 



sin t 8 (.2? CCS i — ^siiii) 



Un pôle magnétique égal à l'unité placé au point (^, j>^, z) su- 
bira une action totale dont les composantes seront 



(i5) 



Y --. G H- H, 
Z ^H-j-Z. 



Ces formules nous font aisément connaître la direction que 
prendra une petite aiguille aimantée placée au point (x,y,z). Si, 
par exemple, cette aiguille est mobile autour d'un axe vertical, 
son axe magnétique s'orientera de manière à faire avec la direc- 
tion de l'axe des a; un angle u, compté positivement vers l'orient, 

et l'on aura 

G-t-H 

tang'J = -pr;^2' 

ou bien, en vertu des égalités (i3), (i4) et (i5), 

(xcosi — zsini)v 

^i"- ;:. 

(i6) 



tangu 



avec 



(i6 bis) 



cosi(' — [0.) -f- 3 [J. 



{X ces i — Z sin i) X 
r2 



R3 



i-H i ttX: 



Supposons l'aiguille mobile dans le plan horizontal qui ren- 
ferme le centre de la sphère. Nous aurons alors 2 = 0, et la for- 



CHAP. II. — AIMANTATION UNIFORME DANS UN CHAMP UNIFORME. l35 

mule (i6) prendra la forme beaucoup plus simple 



tang'j = 






I — 1^ -4- 3 (^ - 



Soit cp l'angle que fait avec l'axe des x la direction OM {Jig. 17) 

Fig. 17- 




B ' 



joignant le centre de la sphère au milieu de l'aiguille BA. Nous 

aurons 

X . y 

CCS o — -, sin » = " > 

^ r ' r 

et la formule précédente deviendra 

3[Ji sinœ coso 



(17) 



tangu 



(I-'X) (^H-.^-liLcOS2çj 



D'après cette formule, l'angle u est égal à o lorsque la ligne qui 
joint le centre de la sphère au milieu de l'aiguille est parallèle ou 
perpendiculaire au méridien magnétique. L'angle u passe par un 
maximum au moment où l'angle o prend une valeur déterminée 
par l'égalité 



(18) 



COt^çp 



i -t- 2[JL 



La quantité a, définie par l'égalité (16 bis), est positive et in- 



, R' 



férieurc à — * Si la dislance rest très grande par rapport à R, pi dt 



l36 LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON. 

vient très petit; l'égalité (i8) se réduit à 

COt^çp — I, 

et le maximum de u a lieu sensiblement au moment où la ligne 
OM est bissectrice de l'angle XOY. 

Pour déterminer la constante k, on observe la valeur de u qui 

correspond à (p = - • On a alors 

3 

- I^ 
(19) tangu = 



(l-f.)(T-f-.^-^ 



Cette égalité permettra de déterminer jx, et, partant, d'après 
l'égalité (16 bis), le coefficient d'aimantation k. Les expériences 
faites par divers expérimentateurs sur diverses espèces de fer 
doux ont donné pour valeur de la quantité 



i + i^/c 



un nombre un peu inférieur à l'unité. 



§ 4. — Détermination de l'inclinaison par la mesure de déviations 

horizontales. 

La formule (16) fournit un moyen de déterminer l'inclinaison 
magnétique en observant l'angle dont une aiguille, mobile autour 
d'un axe vertical, est déviée du méridien magnétique par une 
sphère qu'aimante le champ magnétique terrestre. La formule ( 1 6 ) 
peut s'écrire 

3 fi. (xcosi — zëini)y 

i — fj. ;'2 CCS i 

tangu = - 



ou bien 



3 |Ji (xcosi — zsmi)c[; 
' ^^ 1 — [X r'^ CCS i 

tangu 3(JL xcosi — zsini 



y — a; tangu 1 — [j. r'^cosi 



On observe la valeur de l'angle u pour deux positions de l'ai- 
guille, symétriques par rapport au plan horizontal contenant le 



i 



CIIAP. n. — AIMANTATION UNIFORME DANS UN CHAMP UNIFORME. iSy 

centre de la sphère. Si la première valeur observée, u, est donnée 
par la formule précédente, la seconde, w, sera donnée par la for- 
mule 

lanfïtv 3[j. X cosi-{- z sini 

y — X tang w i — [x r'^ ces i 

Les deux formules que nous venons d'obtenir donnent 
tang'j tangw 6 a x 

-I — — , 

y — X tangu y — x latig w i — ;j. r^ 

taneu tan'^rw (y\x z 



y — a? tan g u y — ;iLaiigi^i^ i — [jl r 

On déduit de là 

tanjr»' tangu 



(20) tangi=- -^ H ./ h 



tanfffj' tansru 



y — rptangw y — a^tangu 

Cette formule permettra de déterminer l'inclinaison magnétique 
en observant seulement les déviations d'une aiguille mobile au- 
tour d'un axe vertical. Nous' nous contentons d'indiquer ici le 
principe de cette ingénieuse méthode, que l'on peut compléter de 
manière à tenir compte de la longueur de l'aiguille et de l'aiman- 
tation induite dans la sphère sous l'influence de cette aiguille (' ). 



(') F.-E. Neu-MANN, Vorlesungen ûber die Théorie des Magnetismus , g 20; 
Leipzig, 1881. 



l38 LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSOX. 



CHAPITRE III. 

SPHÈRE CREUSE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE UNIFORME. 



§ 1. — Aimantation d'une sphère creuse dans un champ magnétique 

uniforme. 

Les deux exemples que nous avons examinés au Chapitre précé- 
dent ont été traités directement en prenant pour point de départ 
les équations qui lient les composantes de l'aimantation en un 
point d'un corps parfaitement doux aux dérivées partielles de la 
fonction potentielle magnétique. Une méthode aussi directe ne 
s'applique qu'aux corps qui prennent, dans un champ uniforme, 
une aimantation uniforme; les seuls corps connus qui possèdent 
cette propriété sont la sphère pleine et l'ellipsoïde plein. 

Dans tous les autres cas, il sera nécessaire de prendre pour 
point de départ les méthodes analytiques que nous avons indiquées 
au Chapitre I. Nous allons donner un exemple d'application de 
ces méthodes, en traitant l'aimantation prise dans un champ uni- 
forme par une masse de fer doux comprise entre deux sphères 
concentriques. Cette aimantation a été déterminée par Pois- 
son ('). 

D'après l'égalité (12) du Chapitre I, le problème se ramène à la 
recherche d'une fonction 'f uniforme, finie, continue dans tout 
l'espace et vérifiant, en tout point du corps aimanté, l'égalité 

dans laquelle ^ représente la fonction potentielle magnétique des 



(') Poisson, Mémoire sur la théorie du magnétisme, § III {Mémoires de 
l'Académie des Sciences, t. V, p. 247; années 1821 et 1822). 



CHAP. m. — SPHÈRE CREUSE DANS UN CHAMP UNIFORME. I Sq 

masses agissantes. En tout point de la masse de fer doux, les com- 
posantes de l'aimantation seront données [Chap. T, égalités (9)] 
par les égalités 

do .. d^ ^ do 



(2) 



&\0 



ÔX 



Db 



ày 



Oz 



Une remarque au sujet de l'égalité (1). La surface S, qui limite 
la couche sphérique, se compose ici de deux surfaces distinctes 
{fig. 18) : une sphère extérieure S(, de rajon R,, et une sphère 

Fig. 18. 




intérieure S2, de rajon R2. Soient N, la normale extérieure à la 
première sphère, et N2 la normale extérieure à la seconde. L'é- 
galité (1) devra s'écrire sous la forme plus explicite 



(3) vj^ + ^ + ^C 






1 /'i 



rfSi 



S 



do I 

s. ^N2 r^i 



dSi 



La fonction ^, correspondant à un champ magnétique uniforme, 
est de la forme ^-^ 



(4) 



xj?) = - (Fa^ -t- GjK +- Hz + K), 



F, G, H étant les composantes constantes de l'action magnétique 
en un point du champ. 

Prenons l'origine des coordonnées au centre commun des deux 
sphères Si, S2. Au lieu des coordonnées cartésiennes x, y, z, 
prenons les coordonnées polaires p, 9, 'b (Jig. 19). Nous aurons 

/ 37— p sin({; cos6, 
(5) \ y — p sirnj; sinO, 

— p costj;. 



l4o LIVRE VUI. — LA THÉORIE DE POISSON. 

L'expression (4) devient alors 
(4 bis) '^ — — p(Fsin4^cos6 -+- Gsirn}; sinO -}- H cos4/) — K, 

Pour transformer l'égalité (3), nous remarquerons que, si l'on dé- 
signe par R,, Oi, '^i les coordonnées d'un point de l'élément dS^ 

Fig- '9- 



i/" 



-> 



et par Ro, O2} ^2 les coordonnées d'un point de l'élément «/Sa, 
on aura 



(6) 



r^— Rf-i- p2— 2pRi [cos'\i cos<j/i-f- sint]> sin(j;i ces (0 — 61)], 
ri — RI -h p- — 2pR2[cos4' cos({/2+ sii'î' sin'];2 ces (6 — 63)] , 

oJS2= R| sint]^2 ddi d'\i2. 



Pour obtenir tous les éléments dSi de la sphère S», on devra 
faire varier 9, de o à 2tc et (j^) de o à u. 

Ces formules transformeront l'égalité (3) en une égalité que 
nous désignerons par (3 bis) et qu'il est inutile d'écrire. 

Nous allons chercher à vérifier cette équation (3 bis), qui dé- 
termine une seule fonction (p, par une expression de la forme 

/ tp = p (M sinij; cosO 4- N sintj/ sinB -f- Pcos'l) 



(7) 



( 



— (m sint]; cos6 -+- re sirn}; sin6 -H/>cost|/) -+■ Q, 

P 



M, N, P, m, n, p, Q étant sept constantes. Si, par un choix con- 
venable de ces constantes, nous pouvons amener la fonction cp 
donnée par cette égalité (7) à vérifier l'égalité (3 bis), nous au- 



ClIAP. III. — SPHÈRE CREUSE DANS TJN CHAMP UNIFORME. l4l 

rons assurément déterminé, à l'intérieur du fer doux, la fonction C5 
que nous cherchons. 

L'égalité (7) nous donne 



(8) 



ip 



Soit L, la grandeur géométrique qui a pour composantes 
(9) M --^-3-, N-^, 

Soit La la grandeur géométrique qui a pour composantes 



P _^ 









Nous aurons 



Os, ^N, /-i Os, c^Na /-a 



cos (Li, R,) 



kU 



[R? + p2— 2pRiCos(p, Ri)p 

cos (L2, R2) 



l^S, 



ri cos 

^^* rR?-t- a2_ 



f/S, 



Posons 



[R2+p2_2pR2C0S(p, RO]^ 

(p,Ri) = M, (p,L,) = u. 



Désignons par p l'angle que fait un plan mené par les demi- 
droites p, R, avec un plan mené parles demi-droites p, L,. Nous 
trouverons sans peine que l'on a 



..,s 



cos (Li, Ri ) 



1 ' 



s. [Rf+p2_2pR,COS(p,R,)]2 
;r>.>r C^^ /''^ ( COS M COS'J -4- sill M sifl 'J COS)f) ) sifl U C?M <5?p 

=^A-RfLi / / 7 

-o ^^ (R2-+-p2_2pR, COS«)^ 

«in « cos/i du 



~- i-A'Rj Li cos'j / 



° (R2_(-p2_ apRiCosw)-^ 



l4i LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON. 

Une transformation analogue s'applique à l'intégrale 

ku S ^^i(!-Ri) ^ as, 

^^' [R|-t-p2— ■>.pR2COS(p,R2)]2 

et nous donne 

()o I „ , C\ ()o I 



Os, à^i n Os, 



dN, /■, 



' = 2TrA- Rf Li cos(p,Li) / —j du 

^^^^ \ L ° (Rf + p2 — 2pRiCosa)2 

r" sinMcosM 

— R| Lj cos(p, L2) / -du 

^° (R| + p2 — 2pR2COSM)2 

L'égalité (3 bis) doit être vérifiée pour les points de la couche 
sphérique. Pour ces points, on a 

R2 < p < Ri. 

On pourra alors, en posant 

COSM = /, 

eflfectuer les intégrations qui figurent dans l'égalité !(io). On 
trouvera 

k X -^ ~ dS, — A- V --'- — dS, 
Os. dNi ri SJ dNi r^ ^ 

= ^TrA pLiCos(p, L,) ^ L2COs(p,L2) • 

Si l'on se souvient que les composantes des grandeurs géomé- 
triques L,, L2 sont les quantités (9) et (9 bis), on trouve 

-^'-^î ["-^RT-(T)'("-i)]^'"*-'« 
-[''-^-(7)'(-^)j-*i- 



f 



CHAP. III. — SPHERE CREUSE DANS UN CHAMP UNIFORME. 

L'égalité (3 bis) devient alors 



43 



— p(Fsint{<cos6 4- G sintj^ sinô -h H cosij;) -f- K. , 

Cette égalité sera identiquement satisfaite si nous avons 

o =_4^/,R| p+p (ï+l^^" 
(^ Q = K. 

Les six premières égalités donnent 



o ^—^TzkniM^m 



rJc 



M 



I-f- -TT^ 



(lO 



i'-^HhH-^H'iw:) 



km 



et des valeurs analogues pour N, n, P, p. On trouve ainsi que la 



l.\\ LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON. 

fonction o a pour valeur, en tout point compris entre les deux 
sphères, 

^ / ■ .^ (Fsin'^cosÔ-+-Gsin4^sinô+Hcosf) + K, 



ou bien, en coordonnées cartésiennes, 



' + 3 






"•"-- éJ..X,.j..)-(j..)-0- ""'-"- 

De là, par les égalités (2), on déduira les composantes <vl), i)l), © 
de l'aimantation en tout point de la masse de fer doux. 

g 2. — Action de la sphère creuse hors de sa masse. 

Après avoir déterminé l'état magnétique d'une sphère creuse 
placée dans un champ uniforme, proposons-nous de déterminer 
l'action que cette sphère exerce sur un pôle magnétique placé hors 
de sa masse; ce pôle peut se trouver à l'intérieur de la cavité que 
renferme la sphère creuse, ou en dehors de cette sphère. 

La fonction cp nous étant connue par l'égalité (12) en tout point 
de la masse de la couche sphérique, nous ferons usage, pour dé- 
terminer la valeur de cette fonction en tout point étranger à cette 
couche, de l'égalité (3), qui peut s'écrire 

03) , + ,^ + A-C-L(Ç?) ^S,-A-C-L(^-2) ^S,==o. 

Soit t) la fonction potentielle magnétique de la sphère aimantée; 
la définition de la fonction cp nous donne 

o-\-\^ + -0 = o, 
ou bien 

(.3 6.-.) t) = /cSl-(?) ^S,-/cC-f^) ^S.. 

O ri \()p/p = R, O /•2 \c'?/p = R, 

Dans ces égalités (i3) et (i3 bis), les quantités (-r) ^^ 

(-Y-) sont calculées en prenant pour » l'expression (12). 



CHAP. III. — SPHÈRE CREUSE DANS UN CHAMP UNIFORME. l45 

Au lieu de déterminer cp par l'égalité (i3), nous déterminerons 
O par l'égalité (i3 bis). Pour les valeurs de p supérieures àR,, 
l'égalité (i3 bis) nous définira la fonction potentielle magnétique O 
de la couche sphérique en un point (p, 9, (j') de l'espace illimité 
situé en dehors de cette couche. Pour les valeurs de p inférieures 
à R2, l'égalité (i3 bis) nous définira la fonction potentielle ma- 
gnétique t) de la couche sphérique en un point (p, 0, ^) de la 
cavité que limite cette couche. 

Posons 



A,= 



I + ^Tzk 



Hk) 



(r4) 



A,= 



i 



l-~Ttk 

et l'égalité (12) nous donnera 

( -r- ) = Ai(F sin<li cosO -+- G sinJ^ sinO -4- H cos^l), 

\<^p/p = R, 

( -V-) — A2(F sin<L cosO + G sin<L sinO ■+- H cos'!')- 

V<^?/p = R, 

Ces égalités nous donnent 

j\ . n F sint{> cos6 -I- G sint}^ sin6 -f- H cos4' ,£, 

n Fsint]; cosô -I- G'sint|^ sinO -4- H cost}^ ,g^ ) 

-x,\^ 7, ^s^j- 

Soit T l'action magnétique en un point du champ, action dont 
la grandeur est donnée par 

(i5) T =(F2+G2^-H2)2. 

L'égalité précédente pourra s'écrire 

t) = kT\ A.^ c^^(f^^ .^S, 

( ^ [R?+p2-2pR,cos(p,R)]2 

. n cosCR. T) ,_ 

— A2 V jdSi 

[Rl + P''-2pR2Cos(p, R)]î 

Une transformation semblable à celle qui a été employée au 
D. - II. 10 



l46 LlVnK Vlll. — L.V THÉORIE DE POISSON. 

paragraphe précédent permet d'écrire 



t) =27:A-Tcos(p, T) R?Ai/ 

L J, (RÎ + ?2-2pRi 

;A2 / -^ , 

J, (Rl+p^-'^pR2COSa)-2^"J- 



- du 

j 

cosup 

(16) ^ 

— R^ 



Pour pousser plus loin le calcul, il est nécessaire de distinguer 
les points situés dans la cavité qu'enferme la couche sphérique de 
ceux qui sont situés dans l'espace illimité. 

Si le point (p, G, ^) est situé dans l'espace illimité, on a 

R2<Ri<p| 
et l'égalité (16) donne pour XD l'expression 

4 ,^ , ^, AiR? — A,Ri 

J r 

qui peut encore s'écrire, d'après les égalités (14)5 



1%= i-r^k 



(i4-|7tA-)(R?-Rl) 



f F sin li^cosG -H G sintl/sinO -4- H cosJ; 

\ ' p2 

Si le point (p, 0, tl/) est situé dans la cavité qu'enferme la sphère 

creuse, on a 

p < R2< Ri) 

et l'égalité (16) donne pour t) l'expression 

t)/ = |7r/rrcos(p, T)(Ai-A2)p, 
qui peut encore s'écrire, d'après les égalités (16), 



XO/^ i:T.k 



x(Fsiinj;cosô -h Gsin!J;sin6 + H cos(}^)p. 



CHAP. III. — SPHERK CREISE DANS UN CH\MP UNIFOBME. 

Posons, pour abréger, 



M7 



('9) 



f^ = 






et nos formules (17) et (18) deviendront 

aCi-h [jiVR^ — R?") F sind^ cosO + GsinJ; sin6 -t- H ros(!/ 



Ve = 



I -f- a — 2 ix^ =— 



R2 



Ri 






ou bien, en coordonnées cartésiçnnes, 

(i- bis) V 



'Il cosO 4- Gsiii'^ sinÔ -i- H cos<]/)p 



fjL(i-l-fi.)(R? — R») Fa:-t-G.y-4-Hz 






(18 6w) 



U,- = 



-^i'-m] 



•1 \x 



{¥x-^Gy^Yiz). 



Ces formules donneront, par différentiation, les composantes de 
l'action mag^nétique exercée par la sphère creuse en un point 
étranger à sa masse et situé soit dans l'espace illimité qui lui est 
extérieur, soit à l'intérieur de la cavité qu'elle renferme. 

Discutons les conséquences les plus remarquables de ces deux 
égalités (i; bis) et (18 bis). 

Nous avons vu, au Chapitre précédent, que la quantité a diffé- 
rait très peu de l'unité pour les diverses espèces de fer doux. Si, 
comme première approximation, nous faisons u. =r i dans l'égalité 
([7 bis)., nous trouvons 

R? 



t).= 



{¥x-hGy-\-nz). 



La fonction potentielle magnétique, dans l'espace illimité ex- 
térieur à la sphère, devient indépendante du rayon Ro de la cavité. 



I^a LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON. 

Ainsi, si [x était rigoureusement égal à l'unité, une sphère magné- 
tique pleine et une sphère magnétique creuse ayant même rayon 
extérieur exerceraient la même action magnétique dans l'espace qui 
les environne. Barlow ( ^ ), qui avait reconnu ce fait par expérience, 
l'avait interprété en admettant que les fluides magnétiques se por- 
tent à la surface des corps aimantés. La véritable interprétation 
fut donnée par Poisson (2). 

La quantité [j. est, en réalité, un peu inférieure à l'unité. Si 

nous posons 

[j. = i — Ç, 

l'égalité (17 bis) deviendra 

On voit sans peine que celte valeur de XD^ diff'ère d'autant plus 
de la valeur limite qu'elle prend pour ^ = o ou ij, = i que R2 est 
plus voisin de R). La sphère creuse n'exercera donc à l'extérieur 
la même action que la sphère pleine que si la cavité qu'elle ren- 
ferme n'est pas trop grande. C'est, du reste, ce qu'a observé 
Barlow. 

La formule (18 bis) nous montre que le champ engendré par 
une sphère creuse à l'intérieur de la cavité qu'elle renferme est un 
champ uniforme dont les lignes de force ont la même direction, 
mais non le même sens que les lignes de force dvi champ par lequel 
la sphère est aimantée. Les intensités de ces deux champs sont 
dans un rapport constant l'une avec l'autre. Ce rapport serait égal 
à l'unité si [x était égal à l'unité ; iji différant peu de l'unité, on voit 
que le champ engendré par la sphère creuse à l'intérieur de la 
cavité qu'elle renferme a sensiblement la même intensité que le 
champ dû aux actions magnétiques étrangères. Une aiguille ai- 
mantée, suspendue à l'intérieur d'une semblable cavité, est sen- 
siblement asiatique. 

Si nous posons 



(') Barlow, An essay on magnetic attractions. 2« édition Londres, 1823. 
(») Poisson, loc. cit. 



r 



CHAP. III. — SPHÈRE CREUSE DANS UN CHAMP UNIFORME. 149 

l'égalité (18 bis) deviendra 

t5, = (F^ + Gj + H^) j I - [i + 4 (1^)'] ^ -i-. . . j. 

On voit que l'aiguille magnétique enfermée dans une sphère 
creuse sera d'autant plus voisine d'être asiatique que l'épaisseur 
de la couche de fer doux qui forme la sphère sera plus grande. 



l5o LIVRE VIII. — LA THEORIE DE POISSON. 

CHAPITRE IV. 

AIMANTATION DANS UN CHAMP QUELCONQUE. MÉTHODE DE BEER. 



§ 1. — Aimantation dans un champ quelconque. • 

Nous venons d'exposer la solution, donnée par Poisson pour 
quelques cas particuliers, du problème de l'aimantation par in- 
fluence dans un champ magnétique uniforme. A ces exemples, il 
conviendrait de joindre l'étude de l'aimantation prise dans un 
champ uniforme par une masse comprise entre deux ellipsoïdes 
homofocaux. Cette étude a été donnée récemment par M. Green- 
hiU ('). 

L'étude de l'aimantation dans un champ magnétique uniforme 
présente un haut intérêt, car elle donne les lois de l'aimantation 
parla terre. C'est à cette étude que l'on doit la solution d'un pro- 
blème dont l'intérêt pratique est considérable, le problème de la 
régulation et de la compensation des compas à bord des navires. 
Ce problème, entamé par Barlow et par Poisson, a été complète- 
ment résolu par Sir W. Thomson (^). 

Toutefois, le problème de l'aimantation dans un champ ma- 
gnétique uniforme n'est qu'un cas très particulier du problème 
général de l'aimantation par influence; il nous faut maintenant 
dire quelques mots des eff'orts entrepris pour résoudre ce dernier 
dans toute son étendue. 

Par l'emploi des fonctions sphériques, Poisson (^) est parvenu 



(') Greenhill, Sur le magnétisme d'un ellipsoïde creux {Journal de Phy- 
sique pure et appliquée, t. X, p. 3()4; 1881). 

(^) Voir à ce sujet : A. Collet, Traité théorique et pratique de la régulation 
et de la compensation des compas, avec ou sans relèvement ; Paris, 1886. 

(') Poisson, Mémoire sur la théorie du magnétisme, § III {Mémoires de 
l'Académie des Sciences pour 1821-1822, t. V, p. 2^7). 



CH.VP. IV. — MÉTHOnE DE BEER. l5l 

à délerminer l'aimantation qu'une sphère pleine ou creuse prend 
dans un champ quelconqvie. M. F.-E. Neumann (*) a rendu cette 
solution plus parfaite et en a fait diverses applications. 

M. F.-E. Neumann (2) a étendu à un ellipsoïde de révolution 
quelconque la méthode par laquelle Poisson avait déterminé l'ai- 
mantation prise par une sphère dans un champ magnétique quel- 
conque. 

Si l'on fait croître indéfiniment le grand axe de l'ellipse méri- 
dienne en laissant fixe le centre et le petit axe, l'ellipsoïde de 
révolution se transforme en un cylindre indéfini; mais, en géné- 
ral, les formules de M. F.-E. Neumann perdent toute signification 
lorsque l'excentricité de l'ellipse méridienne croît au delà de toute 
limite; l'aimantation du cjlindre de révolution indéfini est donc 
un problème qui doit être traité directement. C'est ce qu'a fait 
G. Kirchhofi" (^) dans un important Mémoire que nous aurons 
plusieurs fois occasion de citer. 

Lipschitz (^) a résolu le problème de l'aimantation prise, dans 
un champ quelconque, par un ellipsoïde à trois axes inégaux. 

Le problème de l'induction magnétique de deux sphères sou- 
mises à des actions données a été traité par M. Chwolson (s) et 
M. Cari Neumann (^). 

Les solutions de ces divers problèmes sont trop compliquées 
pour qu'il nous soit possible de les exposer ici. Nous nous con- 
tenterons d'indiquer un très beau théorème, dû à M. F.-E. Neu- 



(') F.-E. Neumann, Vorlesungen iiber die Théorie des Magnetismus, nament- 
lich iiber die Théorie der magnetischen Induction; Leipzig, 1881. 

(•) F.-E. Neumann, Entwickelung der in elliptischen Coordinaten ausge- 
drûckten reciproken Entfernung zweier Punkte in Reihen, welche nach La- 
place 'schen \^"^ fortschreiten; und Anwendung dieser Beihen zur Bestimniung 
des magnetischen Zustandes eines Rotations-Ellipsoïdes welches durch ver- 
theilende Kràfte erregt ist {Journal de Crelle, t. XXXVII, p. 21; 1848). 

(0 G. KiRCHHOFF, Ueber den inducirten Magnetismus eines unbegrenzten 
Cylinders von weichem Eisen {Journal de Crelle, t. XLVIII, p. 348. Kirchhoff's 
Abhandlungen, p. igS). 

{*) Lipschitz, Determinatio status magnetici viribus inducentibus commoti 
in ellipsoïde {Dissertation; Berlin, i853). 

(') Chwolson, Ueber das Problcm der magnetischen Induction auf zwei 
Kugeln {Schlômilch's Journal; Jahrgang XXIV, p. 4o). 

(•) Carl Neumann, Hydrodynamische Untersuchungen nebst einem Anhange 
iiber die Problème der Elektrostatik und der magnetischen Induction; Leipzig. 
i883. 



l5'2 LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON. 

raaun (<), par lequel on peut déterminer immédiatemenl le mo- 
ment magnétique pris par un ellipsoïde quelconque sous l'action 
d'un champ quelconque. 

Si JId, 1)1), S sont les composantes de l'aimantation au point 
{x,y, z) d'un corps, le moment magnétique de ce corps a pour 
composantes [Livre VII, Cliap. I, égalités (i3)] 



= fj{.dç, B= f\\\>di>, c= Ce 



dv. 



Si le corps est un corps parfaitement doux aimanté par influence, 
nous avons [Livre VIII, Ghap. I, égalité (9)] 

X — k-~, i)b = A- -i- » S = A: -t^ 

ox oy oz 

et, par conséquent, 

(,) A = ./^-|*. B = ./|... C==A-/g*. 

L'identité de Green nous permet de transformer ces expres- 
sions. Si U et V sont deux fonctions régulières dans l'espace 
considéré, si dS est un élément de la surface qui limite cet es- 
pace, on a 

dY 



/-v* = -/||Si||..-Su 



.N, ''S- 



Faisons, dans cette égalité, 

V = X, V = C5 

et remarquons que la fonction (^ est harmonique à l'intérieur du 
corps aimanté, nous aurons, en désignant par |, v), ^ les coordon- 
nées d'un point de l'élément <^S, 

et, par conséquent, 



(') F.-E. Neumann, Vorlesungen iiber die Théorie des Magnetismus, § 43; 
Leipzig, 1881. 



CIIAP. IV. — MÉTHODE DE BEER. l53 

Revenons maintenant à l'équation [Livre VIII, Chap. t, éga- 
lité (12)] 



qui a lieu en tout point (.r, jk, s) intérieur au corps. Dans cette 
égalité, ^ est la fonction potentielle magnétique des masses 
étrangères à l'aimant, /• est la distance du point (^, y, z) au 
point (Ç, 71, "Ç) de l'élément dS. 
De cette égalité, on déduit 



dx 



r)cp 
dx 



00 r 



k S ^^ ~- éS 



dN; dx 



ou bien 



ce qui, par un changement dans l'ordre des intégrations, peut 
s'écrire 



/^*-/â*-^s 






dS = o. 



Mais 



r 



d- 
r 



dx Oç 

en sorte que l'égalité précédente peut s'écrire 

V étant la fonction potentielle ordinaire d'une masse homogène 
ajant même forme que l'aimant. 

Dans le cas où l'aimant a la forme d'un ellipsoïde, cette égalité 
se simplifie. Dans ce cas, en effet, on a [Livre 1, Chap. VI, éga- 
lités (i5)] 

os 



i54 



LIVnE vin. — LA THEORIE DE POISSON. 



L, M, N étant [Livre I, Chap. VI, égalilés (i3)] trois constantes 
"k, [j., V, pour les points intérieurs à l'ellipsoïde, et trois fonctions 
de ^,y, ^, pour les points extérieurs. 
L'égalité précédente devient alors 



J dx J dx O d'^i 



En vertu des égalités (i) et (2), cette égalité nous donne la pre- 
mière des trois relations 



It-^ 



(3) 



I -r- 2 X- X 

B = - -J^ f^ d., 

1 -T- -J. A (J. J Oy 






ôz 



di> 



Les deux dernières s'obtiennent d'une manière analogue. Ces 
égalités fournissent immédiatement les composantes du moment 
magnétique pris par un ellipsoïde de fer doux dans un champ 
donné. 

Dans le cas où l'ellipsoïde se réduit à une sphère, on a 



2 



et les égalités précédentes deviennent 



A = - 



()X 



(4) 



J 'Of 



i + -^.k 



G = 



4 _ ,. J 



i + 3^A- 



Oz 



dv, 



dv. 



dv. 



2. — Méthode de Béer. 



Les travaux que nous avons mentionnés au paragraphe précé- 
dent n'ont fourni la solution du problème de l'aimantation par 
influence que pour un nombre de cas extrêmement restreint. 



i 



r.liW. IV. — METHODE DE BEER. 1 55 

Beer(') adonné une méthode qui permet de résoudre le pro- 
blème de l'aimantation par influence pour tout aimant terminé 
par une surface de second rang non biétoilée. Béer s'était contenté 
d'énoncer son algorithme. M. Cari Neumann (2), dont les re- 
cherches sur la méthode de la moyenne arithmétique ont été pro- 
voquées par la Note de Béer, a démontré la légitimité de l'algo- 
rithme créé par ce physicien. 

La méthode de Béer serait, dans la plupart des cas, rendue 
inapplicable par la longueur des calculs. Mais elle a du moins 
l'avantage de prouver, pour une classe très étendue de corps, 
l'existence d'une solution au problème de l'aimantation par in- 
fluence. 

Nous avons vu [Chap. I, égalité (12)] que la difficulté du pro- 
blème de l'aimantation par influence consistait essentiellement à 
trouver une fonction <p, vérifiant en tout point intérieur à l'ai- 



mant l'égalité 



<^) «'-^-^Ssiv;^ 



"" ' dS 









ô'. 






S 


\Ç' 


/• 


dS, 


4~ 


■s 


^' 


r 


dS, 



VÇ> étant la fonction potentielle qui définit le champ magnétique. 
Au moyen de la fonction ^^, formons la série de fonctions 



(6) 



Si la surface qui limite le corps magnétique est une surface de 
second rang non biétoilée, nous savons (Livre II, Chap. IX, § 5) 
que la série 

sera uniformément convergente. Pour un corps magnétique ou 



(') A. Béer, AUgemeine Méthode zur Bestimmung der elektrischen und 
magnetischen Induktion {Poggendorff's Annalen, Bd. XLVIII, p. 187; i856). — 
Einleitung in die Elektrostatik , die Lehre von Magnetismus und die Elektro- 
dynamik, p. i58 et suiv. ; Brunswick, i865. 

(") C. Neumaxn, Untersuchungen iiber das logaritlimische und Newton'sche 
Potential, Ch. VI; Leipzig, 1877. 



l66 LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON. 

paramagnétique, mais non diamagnétique,absolumentquelconque, 
la quantité 



est un nombre positif et inférieur à i . Jja série 

^ |_ ï-\-\'Kk \i-t-47rA:/ \i-\-^-Kk/ J 

sera aussi une série convergente. 

Mais, d'après l'identité de Green, on a 

,,«,._,,,. S ^'I. s, 

Multiplions les deux membres de la première de ces égalités 

par — 7-: les deux membres de la seconde par ( -, — 7 ) ; • • • 

et ajoutons-les membre à membre. Nous trouverons 

i-)-4tiA:^ \-\- \T.kVJ d'^i r 
Si donc nous posons 

1 -t- 4^"- 

la fonction co, déterminée par les égalités (7) et (8), vérifiera l'é- 
galité (5) en tout point intérieur au corps aimanté. 

La fonction cp étant ainsi déterminée en. tout point du corps 
aimanté, les composantes de l'aimantation seront données par les 
égalités 

ox oy oz 

Pour les points extérieurs au corps aimanté, la fonction cp sera 
déterminée par l'égalité (5) 



CHAP. IV. — MÉTHODE DE BEER. iSy 

Au lieu de déterminer la fonction 'j, on pourra déterminer la 
fonction potentielle magnétique V) du corps aimanté. La défini- 
tion de la fonction o donne 

L'égalité précédente devient donc 

O àhi r 
En vertu des égalités (7) et (8), cette dernière formule devietit 

( N ,., _ A- o fà^ ^ fjizk dw / f^r.k yd^>" ■^l 

La couche fictive équivalente au corps aimanté a donc pour 
densité superficielle 



(10) !J = - 



\'dX^) ^ 4-Â- d^' ( 4 -A- \^dW 






La méthode de Béer s'applique, quelle que soit la valeur positive 
de k, à tout corps magnétique limité par une surface de second 
rang non biétoilée. M. Cari Neumann a montré que, si l'on se 
donnait un corps magnétique limité par une surface quelconque, 
on pouvait assigner un nombre positif K, dépendant de la forme 
de la surface, tel que la méthode de Béer s'applique à ce corps 
magnétique pour toute valeur de k inférieure à K. 



LIVRE IX. 



L'AIMANTATION PAR INFLUENCE 
ET LA THERMODYNAMIQUE. 



CHAPITRE PREMIER. 



LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE D'UN SYSTÈME AIMANTÉ. 



1. — Défauts de la théorie précédente. 



Nous venons d'exposer, au Livre précédent, quelques-uns des 
développements analytiques auxquels donne lieu la théorie de 
l'aimantation par influence imaginée par Poisson. Il s'en faut bien 
que les conséquences de cette théorie soient, de tout point, d'ac- 
cord avec l'expérience. 

Prenons les équations mêmes sur lesquelles repose toute cette 
théorie [Livre VIII, Chap. I, équations (2)]. al,, 1)1, S étant les 
composantes de l'aimantation en un point du corps parfaitement 
doux, xg> la fonction potentielle magnétique de ce champ, XD la 
fonction potentielle magnétique du corps doux, k son coefficient 
d'aimantation, ces équations sont 



°^=-K^ 



(0 



1)1 






dx 
dz ]' 



Multiplions par une constante arbitraire X les composantes du 



l6o LIVRE IX. — AIMANTATION liT THERMODYNAMIQUE. 

champ en chaque point, c est-a-dire les quantités -t— > -r— ? — -; 

multiplions aussi par la même constante \ les composantes X, i)b, G 
de l'aimantation; cette dernière opération aura pour effet de mul- 
tiplier par X la valeur de XD en chaque point, et, par conséquent, 

les valeurs en chaque point de -r— ? ■—-, -r-* bi donc les équa- 
tions (i) étaient vérifiées avant cette opération, elles le sont 
encore après. Ainsi se trouve démontrée la proposition suivante : 

D'après la théorie de Poisson, si un corps parfaitement doux 
déforme déterminée occupe une position déterminée dans un 
champ dont les lignes de force ont une forme déterminée , 
son aimantation varie proportionnellement à l' intensité du 
champ. 

L'expérience montre, au contraire, que, lorsque l'intensité du 
champ augmente au delà de toute limite, l'aimantation du fer doux 
tend vers un état limite que l'on nomme Y état de saturation. 

La contradiction qui existe entre la théorie de Poisson et l'expé- 
rience peut également se manifester de la manière suivante, qui 
n'est qu'une autre forme de la précédente. 

Supposons que l'on détermine le coefficient d'aimantation k du 
fer doux par la méthode indiquée précédemment [Livre VIII, 
Ghap. II, § 3). Au lieu de trouver, comme valeur de A", un nombre 
indépendant du champ magnétique employé à l'aimantation du fer 
doux, on trouve un nombre qui varie avec ce champ et qui est 
d'autant plus petit que le champ est plus intense. 

Les équations (i) qui représentent, dans la théorie de Poisson, 
les conditions de l'équilibre magnétique, ne peuvent être conser- 
vées, du moins en général. G. Kirchhoff (*), dans une remarque 
qui termine son beau Mémoire sur l'aimantation d'un cylindre in- 
défini, a montré comment on pouvait modifier ces équations. Au 
coefficient d'aimantation constant k, il a proposé de substituer une 
fonction magnétisante F(OIL) variable avec l'intensité 31L de l'ai- 



( ' ) Kirchhoff, Ueber den inducirten Magnetismus eines unbegrenzten Cylin- 
ders von weichem Eisen. Anhaiig {Crelle's Journal, Bd. XLVIII, p. 348; i854. — 
Kirchhoff' s gesammelte Abhandlungen, p. 217). 



CHAP. I. — LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'aIMANTS. i6[ 

manlalion . Les égalités ( i ) sont alors remplacées par les sui- 
vantes : 






Le corps est magnétique ou paramagnétique si la fonction F(3'TL) 
est positive; diamagnétique, si la fonction F(3TL) est négative; 

G. Kirchhoff a montré comment on pouvait, une fois ce point 
de départ donné, réduire le problème de l'aimantation par influence 
à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles. Nous exami- 
nerons cette réduction dans un Chapitre ultérieur, et nous verrons 
que les équations données par G. Kirchhoff ne sont plus, comme 
les équations de Poisson, en désaccord avec l'expérience. 

Les équations (2) sont introduites d'emblée par G. Kirchhoff 
comme une hypothèse première que ne justifie aucune considéra- 
tion préliminaire; or elles sont assez complexes pour que cette 
hypothèse, que rien ne prépare, rebute quelque peu l'esprit. 
D'autre part, il est fort difficile d'en trouver des vérifications 
expérimentales qui ne soient pas très indirectes et détournées. Il 
serait donc désirable de déduire les équations (2) de quelques 
hypothèses plus simples; c'est ce que la Thermodynamique (^) va 
nous permettre de faire; elle nous fournira, en outre, l'explication 
d'un grand nombre de phénomènes qui se relient directement ou 
indirectement à l'étude de l'aimantation par influence. Nous allons 
donc, en nous aidant de la Thermodynamique, reprendre l'étude 
des systèmes aimantés à partir de ses premiers principes. 

§ "2. — Le potentiel thermodynamique interne d'un système aimanté. 

Un corps aimanté est défini par la connaissance de la valeur et 
de la direction que prend, en chaque point de ce corps, une cer- 



(') P. DuiiEM, Théorie nouvelle de l'aimantation par influence, fondée sur 
la Thermodynamique {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. II, 

1888). 

D. — II. II 



l62 LIVRE I\. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

taine grandeur géométrique que l'on nommeV intensité d' aiman- 
tation en ce point. 

Considérons un système de corps isotropes ou non qui peuvent 
être électrisés et aimantés et proposons-nous de déterminer la 
forme du potentiel thermodynamique interne de ce système, po- 
tentiel que nous désignerons par la lettre ^. 

Nous avons obtenu [Livre IV, Ghap. II, égalité (i5)] l'expres- 
sion de ce potentiel en supposant l'intensité d'aimantation égale 
à o en tout point. Nous avons trouvé que l'on avait, dans ce cas, 

.f ^ E(r - TS)-f-W-4-y ery, 

E étant l'équivalent mécanique de la chaleur; 

r l'énergie interne du système désélectrisé et désaimanté; 

S l'entropie du système dans les mêmes conditions ; 

T la température absolue ; 

W le potentiel électrostatique ; 

q la charge qui se trouve en un point; 

une quantité qui dépend de la nature que le système désaimanté 

présente autour de ce point ; enfin le signe N indiquant une som- 
mation qui s'étend à toutes les charges du système. 

L'expression du potentiel thermodynamique interne d'un sys- 
tème aimanté quelconque doit, d'après ce que nous venons de dire, 
être de la forme suivante 

(i) # = E(r-T2)-HW-(-2e^ + .f', 

rf étant une certaine quantité qui se réduit à o si l'intensité d'ai- 
mantation devient égale à o en tout point. C'est la forme de cette 
quantité # qu'il s'agit de déterminer. 

Divisons le système en un nombre illimité n d'éléments infini- 
ment petits, de forme quelconque, que nous désignerons par dç,, 
dv-i, ..., dç,i- Éloignons infiniment les uns des autres ces divers 
éléments. Le système étant dans cet état, le potentiel thermody- 
namique interne pourra être pris égal à la somme des potentiels 
thermodynamiques internes de chacun des éléments d^^^, dç^, .... 
dç,i considérés isolément. Si nous désignons ces derniers poten- 



CHAP. I. — LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d' AIMANTS. l63 

tiels par #,, ^2> • ■ -i ^/o t^ovls aurons, lorsque le système est dans 
cet état, 

(2) § = ^i-h^2^...+ ^n- 

Soient OÏL,, OTlo, •••> ^^n les valeurs de l'intensité d'aimanta- 
tion en un point des éléments d^i, dv^^^ ..., dvn- Nous pourrons 
écrire 

^2 = ?2-+-^2, > 



3) 



9 II — 9/i+ ^'«) 



(p,, çpa, . . ., »«, ne dépendant pas de OÏL,, Dli'2, . . ., OIL^, tandis que 
^'j devient égal à o en même temps que STL, , §'^ en même temps 
que JTLo, . . ., ^,j en même temps que OTU,,. 

Or la détermination du potentiel thermodynamique d'un sys- 
tème non aimanté repose sur cette hypothèse (Livre IV, Ghap. II, 
§ 1) que, dans l'état considéré du système. 



E(r — TS) + w-i-y eg- = (fi 



?«• 



Les égalités (i), (2), (3), jointes à cette dernière égalité, mon- 
trent donc que, lorsque les divers éléments du système sont infi- 
niment éloignés les uns des autres, on a 

^'=^; + ^'2 + ...-4-^;. 
On a donc, en général, 

(4) i'=^i\-^t^^..•+in-^P'. 

it" dépendant de la disposition des divers éléments du système les 
uns par rapport aux autres et devenant égal à o quand tout le 
système est désaimanté. 

Nous pourrons toujours écrire, au moins d'une manière, 

(5) r=§\ + §\-^...^ra, 

i\ devenant égal à o en même temps que OIL^, §\ en même temps 
que OKo, . . ., #^ en même temps que ^«. Nous supposerons que, 
parmi les diverses formes que l'on peut donner à une semblable 
égalité, il en est une vérifiant une hypothèse que nous allons 
énoncer. 



164 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQt'E. 

Pour la commodité du langage, dans l'énoncé de celte hypo- 
thèse, nous nommerons la quantité J^j potentiel magnétique du 
système sur Vêlement dvt, la quantité c^'^ potentiel magnétique 
du système sur l'élément dVi-, 

Imaginons que, sur l'élément c?^,, nous placions des quantités 
positives ou négatives p.,, p.',, {ji.'(, ... d'un fluide fictif [fluide 
magnétique), de manière que les conditions suivantes soient 
vérifiées : 

1° On a 

tjti -1- [J.J -4- ijl'( -+-...= o. 

1° Si {x^y, z), {x',y, ;'), (^",y, z"), ... sont les positions 
des masses u.^, a'j, a'|, . . ., on a 

[Xi a? -+- ix\ x' -I- ;ji 1 x" -\- . . .= -.U, dv\ , 

|Xi s + [ji'i z' -h </[ z" -h. . .= Si dvi , 

Xi, 1)1),, 8» étant les composantes de l'aimantation OU, en un 
point de l'élément <:^c'4 . 

Une semblable distribution de fluide fictif prendra le nom de 
distribution équivalente à l'élément magnétique <fp,. 

Il est facile de trouver une distribution équivalente à l'élé- 
ment dVi. Prenons deux points M,, M'^, situés à l'intérieur de 
cet élément, et tels que la direction M, M', coïncide avec la direc- 
tion /, de l'aimantation en un point de l'élément dvi. Plaçons au 
])oint M, une masse — p., et au point M', une masse u,, la gran- 
deur |Ji, étant définie par l'égalité 



(6) fXi.MiM'i = 01li<^(^i. 

Nous aurons une distribution magnétique équivalente à l'élé- 
ment dv\. On peut imaginer une infinité d'autres distributions 
équivalentes. 

Ces définitions posées, arrivons à l'énoncé de l'hypothèse qui 
nous occupe. 

Soit une distribution quelconque équivalente à l'élément dv^ , 
formée par des masses [j., , p.', , p.", , . . . concentrées aux points M, , 
M', , M'^ , .. . de cet élément. Le potentiel magnétique du système 



CHAP. I. — LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'aIMANTS. i6S 

sur cet élément peut s^ écrire 

(7) ^"1 = 4^1+ <V'i + fi -+-•••, 

'|, dépendant seulement : 

1° De la masse jx, ; 

2" De l'état du système formé par les éléments dv^^ ... , di'n ; 

3° De la situation du point M, par rapport à ce système. 

Les quantités ^\ , 'b] , . . . dépendent des variables correspon- 
dantes. 

Cette hypothèse conduit tout d'abord au théorème suivant : 

La quantité <{;, est proportionnelle à [jl,. 

Ce théorème se démontre sans peine en remarquant que, si, dans 
une distribution équivalente à l'élément dvi, deux masses u.,, u' 
sont situées en deux points M,, M', dont la distance est infini- 
ment petite par rapport aux dimensions de dçi, on obtiendra une 
nouvelle distribution équivalente à l'élément d^'^ en supprimant ces 
deux masses et en les remplaçant par une masse unique (|J-) H- [x',) 
placée au point M, . 

On peut donc écrire 

(8) <|.,=:if.,'(?„ 

t.'^, dépendant seulement du système des éléments dç.2: •••? dvn-, 
et de la position du point M, par rapport à ce système. '(?, est ce 
que nous nommerons la fonction potentielle magnétique du 
système au point M, . 

Supposons que nous considérions la distribution fictive parti- 
culière à laquelle se rapporte l'égalité (6). Le point M, a pour 
coordonnées Xt, yi, 5, ; le point M', a pour coordonnées 



Xi 



^M,M'„ 



71- 



^-^^mTm;, 



dzi 



Au point M,, la fonction potentielle magnétique du système des 
éléments dv-i, . . . , dvn a pour valeur 

Au point M', , elle a pour valeur 



10' _V') _;_/'^f^^^f^ 

^ • ~ ^ ' V dj-, dl^ ây, dix 



dVi dzr 



dz 



rir)^- 



l66 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

D'ailleurs, les égalités (7) et (8) donnent 

^'; = l(fx,'c?'i-[^,-C^), 

ou bien, en vertu de la dernière égalité, 

^„ I /cK^i da-i dt?i dyi d<)i dz^\ -—— 
^'= 2 U^T clh "^ ^ di; -"- d7, dfj t^'-^Jt^ii • 

Si l'on tient compte de l'égalité (6), on trouve 

Occupons -nous maintenant de la détermination de la fonc- 
tion 'C?,. 

A l'égard de cette fonction, nous ferons les hypothèses sui- 
vantes : 

1° La fonction "Ci peut s'écrire de la manière suivante 

(10) t,')i=«i2Hnt)l3-f-...^0,„, 

X')4 2 dépendant uniquement des paramètres qui définissent 
l'élément dv^ et sa situation par rapport à M, ; 

2° Soit une distribution fictive quelconque, équivalente à 
l'élément dv^- Elle est formée par des masses [jlo, [x!,, jji'I, . . . de 

fluide magnétique concentrées en des points Mo, M'.,, M'^, 

On peut écrire 

(11) '^^M = Z12 + X'i 2 + X'i 2 + • • • > 

^,2 dépendant uniquement de la masse p.2 et de la situation 
respective des deux points M,, Mo. 

Par une démonstration analogue à celle qui nous a servi à éta- 
blir l'égalité (8), nous prouverons que "^,2 est proportionnel à jjl2. 
D'ailleurs, la situation respective des deux points M,, M2 dépend 
uniquement de leur distance ri 2. On aura donc une égalité de la 
forme 

(12) Xl2= Î^2^(ri2). 

Parmi les distributions fictives équivalentes à l'élément dv2^ 
considérons-en une analogue à celle à laquelle l'égalité (6) se rap- 



r 



CHAP. I. — LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE D' AIMANTS. 167 

porle. Le point Ma a pour coordonnées œ-i, y-2, ^2 1 le point M'„ a 
pour coordonnées 



dx« 



x'^= xj,-v- ^^-INJjM'a, 



Si donc on a 



on aura 



72=72- 



dU 



M, m: 



dz. 
dl 



- M2 M'2 . 



MiIVl2=: r,,, 



M.M; = r;,^r,,+ -^-^ + 



ldr\<i, dx<i dr\=i dji dr^ dz^ 
\ dXi dli dy<i dl% dz-y dl^ 



M, m;. 



Or les égalités (11) et (12) donnent 
ou bien, en vertu de la dernière égalité, 



t')l2 = 



')œ(/-i2) dx^ ^ do(ri^) dy^ ^ «^çC^î) dz^ 



ôx-i dli dy-i dl^ di 

Comme d'ailleurs, d'après l'égalité (6) 



t]-'-*^ 



[i., . M2 M 2 = OIL2 d^i, 



on a 

(i3) 



Wi 



.1,. 



d o(ri2) 



0)1, 



ào(nz) 



ÔX2 ' "^ dy^ 
es égalités (10) et (i3) donnent 






dvo. 



(>4) 



\'^i = 



j^ ^?(^12) 

^ dx^ 



dçi 



.Iv 



A^n 



0X3 



dx,i 



dvii-T 

dVn- 



Les égalités (5), (9) et (r4) ne laissent plus à déterminer, dans 
l'expression de la quantité ^7", que la fonction <p(r). 

Lorsque l'on déplace les uns par rapport aux autres les divers 
éléments dvi, dv^, ..., dv,i du système, sans changer la forme, 
l'aimantation ni l'état de chacun d'eux, chacune des quantités .?',, 
.f.,, . . . , â'i^ demeure invariable. Dans une semblable modification, 
la variation de la quantité ê se réduit à la variation de la quan- 
tité J". Dès lors, le principe des déplacements sans changements 
d'état nous conduit sans peine au théorème suivant : 

Les forces qui s^ exercent dans un système aimanté inva- 



l()8 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

riable d'état et d'aimantation s'obtiennent en adjoignant 
aux forces qui agiraient dans le système non aimanté un 
groupe de forces ayant pour potentiel la quantité ^" définie 
par les égalités (5), (9) et (i4)- 

Soient, en particulier, deux aimants A,, Ao dont chacun est 
invariable de forme, d'état et d'aimantation, mais qui peuvent se 
déplacer l'un par rapport à l'autre. 

Soient 

dv^ un élément de volume de l'aimant A, ; 

(X| , jKi > -S( ) un point de cet élément ; 

dv-i un élément de volume de l'aimant Ao ; 

(^25 JK21 ^2) un point de cet élément; 

X}^ la fonction potentielle magnétique de l'aimant A, ; 

'Oo la fonction potentielle magnétique de l'aimant Ao. 

Il est aisé de voir que la partie variable de ^" se réduit à 



— / Jv>i 






di>i-+- 









en sorte que cette quantité peut servir de potentiel aux actions 
mutuelles des deux aimants. 
On a d'ailleurs identiquement 



1} 



dxt 



âXi 



l 



di>2, 



en sorte que le potentiel mutuel des deux aimants A,, A2 peut 
prendre l'une des deux formes équivalentes 



çp= rilx,^ d,,= f 



<uV); 



àx. 



dv<i 



C'est le résultat auquel nous sommes parvenus, par une tout 
autre méthode, au Livre VIT, Chapitre I, égalités (10) et (10 bis). 
On pourrait donc replacer ici tous les développements déduits de 
cette égalité et qui constituent le Livre VII tout entier. En parti- 
culier, les expériences de Gauss, exposées au Livre VII, Cha- 
pitre II, nous conduisent à prendre 



9{r) 



CHAP. I. — LK POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'aIMANTS. 169 

L'égalité (i4) nous montre alors que la fonction potentielle 
magnétique \'> (^, r, z) au point (^, JK, -) pourra s'écrire 



(i5) \'>(.r,jK,z) 



dil 
^^••^! 



dv, 



(i, Yl, J^) étant un point de l'élément dv, (A^iih, G) l'aimantation 
en ce point et la sommation s'étendant à tous les éléments dç 
volume du système. Elle sera identique à la fonction potentielle 
magnétique étudiée au Livre VII, Chapitre III. 
Les égalités (5) et (9) donneront 



(.6) -''--fh? 

■2 J \\ dx 



dv. 



(a^,jK, s) étant un point de l'élément dv et (.JL, iftj, G) l'aimanta- 
tion en ce point; l'intégration s'étend à tout le système. Cette 
fonction rî" ne diffère pas du potentiel magnétique ^ défini et 
étudié au Livre VII, Chapitre III. Dorénavant, nous remplacerons 
le symbole j" par le symbole ^. 

Les résultats que nous venons d'obtenir suffisent, comme nous 
l'avons déjà fait remarquer tout à l'heure, pour qu'il soit possible 
de reprendre tous les développements qui forment le Livre VII ; 
mais, pour pousser plus loin, il nous faut déterminer la forme des 
quantités -T',, i'.^^ . . . , "5'^^. 

rf', dépend de tous les paramètres qui définissent l'élément dv^ 
considéré isolément. Cet élément, dans le cas le plus général, n'est 
pas isotrope; les diverses directions que l'on y peut tracer se dis- 
tinguent les unes des autres; supposons-les rapportées à un cer- 
tain trièdre de référence invariablement lié à la substance de l'élé- 
ment, le trièdre des axes principaux de dilatation. 

L'élément dvi est défini par 

1° Son volume c/p, ; 

2° La forme de sa surface et son orientation par rapport aux 
axes d'élasticité ; 

3° Un certain nombre de paramètres a,, p,, ... (sa densité, sa 
température, parexemple), qui fixen t son état physique et chimique ; 

4° Les composantes ^,, S,, C, de l'aimantation suivant les 
trois axes principaux de dilatation ; 

5° L'état d'éleclrisation; 



lyo LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Relativement à cette dernière classe de paramètres, nous admet- 
trons, comme nous l'avons déjà fait dans l'étude de l'électricité 
que, pour définir l'état de l'élément dv^^ il suffit de connaître la 
charge totale q^ d'électricité qu'il porte, sans avoir besoin de con- 
naître la distribution de cette charge. 

Cette hypothèse faite, nous allons démontrer en premier lieu 
que la quantité §\ est proportionnelle à dv\ et qu'elle ne dépend 
pas de la forme de la surface qui limite l'élément ni de son orien- 
tation par rapport aux axes de coordonnées. 

Comme la distribution de la charge q^ que porte l'élément dv^, 
n'influe pas sur la valeur de §\^ nous pouvons, pour démontrer la 
proposition précédente, supposer cette charge distribuée unifor- 
mément à l'intérieur de l'élément o^c, avec une densité solide p,. 

Choisissons une fois pour toutes un cube-type, dont les dimen- 
sions soient infiniment petites par rapport à celles des éléments 
dv\, dv2i • • • 1 ^^/f Divisons l'élément dçf en cubes égaux au cube 
tjpe, ayant tous leurs arêtes parallèles aux axes principaux de di- 
latation. 

L'élément dvy renfermera un nombre illimité k de semblables 
cubes. Soient <iV<, û^Vo, . . . , dY^ ces cubes. Soienlf\,f'^^ . . . , /'^. 
ce que deviennent, pour ces divers cubes, les quantités analogues 
à rf j. La fonction potentielle magnétique de l'élément dç^ tout 
entier a pour valeur u en un point {x, y, z) de l'élément dV. Il 
est évident, d'après la définition de éF'j, que l'on aura 



dx 



dY, 



la sommation s'étendant à tous les éléments secondaires dV en 
lesquels l'élément dçi a été décomposé. 

Mais, d'après ce qui a été démontré au Livre Vil, Chapitre III, 

la quantité 

ru Au 

d\ 



I\ 



du 

CAD -; — 

ox 



sera infiniment petite par rapport à dVi. Si donc on ne garde dans 
l'expression de S\ que les termes de l'ordre de dv^^ on aura 

ou bien encore, nos k petits cubes étant identiques entre eux. 



f 



CHAP. I. — LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'aiMANTS. 171 

k est évidemment proportionnel à dçi ; f\ ne dépend ni de dv^ 
ni de la forme de la surface qui limite cet élément. La proposition 
énoncée est donc démontrée. 
Nous poserons 

(17) ê\=\^dv^. 

Nous allons prouver maintenant que À, ne dépend pas de la 
charge électrique q^ que porte l'élément (^f,. 

La quantité d\ et, par conséquent, la quantité \^ ne dépendent 
pas de la distribution qu'affecte celte charge q^ sur l'élément dv^ . 
Divisons cet élémenl dvt en deux autres, dç2, dv^, ayant l'un et 

l'autre pour volume -^ • Supposons que la charge </, se trouve 

tout entière dans l'élément dv2 et que l'élément dç^ ne renferme 
aucune charge. 

Nous aurons évidemment 

ff\ = j; + J'3 

ou 

Xi dvi = X2 clv^ -+- X3 f/Ps, 



ce qui, à cause de l'égalité 
peut s'écrire 



dv^ — di>-i = — - > 
1 



2X1= X2 



Or Ào ne diffère pas de )v,, car tous les paramètres dont dépend 
la quantité \ ont la même valeur pour l'élément dvi et pour l'élé- 
ment dv2- On a donc 

ce qui nous enseigne que la quantité ). a la même valeur pour l'é- 
lément dv^ qui renferme la charge ^, et pour l'élément dv^ qui ne 
renferme aucune charge. Ainsi, comme nous l'avions annoncé, la 
quantité )v, ne dépend pas de la charge qi distribuée sur l'élé- 
ment c^t^i. 

Nous pourrons donc, mettant en évidence les paramètres dont 

dépend X, , écrire 

X,= (J(SVi,l3„Ci, a„ p„ ...) 

et, par conséquent, en vertu de l'égalité (17), 
(•8) J;=:g(5l, J3, C, a,,p,. ...)dv,. 



17* LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Cette égalité (i8), jointe aux égalités (i), (4) et (i6), détermine 
la forme du potentiel thermodynamique interne d'un système 
électrisé et aimanté. Cette forme est la suivante 

(19) .? = E(r - TS) + W +^Bg + ^+Jq(3K, U, €, a, p, . . .) di'. 

^ désigne le potentiel magnétique. L'intégration s'étend à tous les 
aimants. On doit se souvenir que la quantité Ç ne dépend pas des 
charges électriques distribuées sur les aimants. 



§ 3. — Corps hémimorphes, holomorphes, isotropes. 

La fonction Çi{^, |15, C), dans l'expression de laquelle nous 
sous-entendrons les paramètres a, ^, . . . , doit devenir égale à o 
lorsque l'aimantation devient égale à o, c'est-à-dire lorsque l'on a 

5V = o, 3J = u, C=o. 

On peut donc écrire 

(20)! -+-cpii(5V, 13, €)5V2+tp22(^, Î3, €)l32-f-cp33(5V, îl, C)C2 

( +2023(5V, 13, C)î3(!l-t-2c?3i(5^, B, €)C5l + 2cpi2(5l, % C)5VI9, 

\ [Ji, V étant trois constantes, et les quantités cp^^ ne croissant pas 
au delà de toute limite lorsque %, M, C tendent vers o. 

Mais cette forme générale de Çj {^, M, C) subit, dans la plu- 
part des cas intéressants, de notables simplifications. Elle ne 
demeure exprimée par l'égalité (20) que pour les substances pour 
lesquelles on peut distinguer, en chaque point, une direction de 
la direction opposée. Si un cristal est formé d'une pareille sub- 
stance, il sera dépourvu de centre. Il présentera cette hémiédrie 
particulière que présentent la tourmaline, la calamine, ... et que 
nous nommerons Vhémimorphie{^). C'est donc seulement pour les 
substances hémimorphes que la fonction Ç(J3l, IP, C) sera don- 
née par la formule (20). 



(') Nous entendons ici par hémimorphie toute hémiédrie qui prive le cristal 
de centre; les cristallographes donnent en général à ce mot une signification 
plus restreinte. 



CHAP. I. — LE POTENTIEL THERMODYNAMIQUE d'aIMANTS. lyS 

Prenons maintenant une substance holomorphe, c'est-à-dire 
une substance telle qu'en chaque point une direction et la direction 
opposée soient équivalentes. Si une pareille substance forme un 
cristal, ce cristal aura un centre. Ce cas est, au point de vue du 
géomètre, un cas particulier; mais presque toutes les substances 
connues rentrent dans ce cas particulier. 

La fonction (j'(/3l, IP, C) ne devra pas changer si l'on remplace 
l'aimantation par une aimantation égale, mais orientée en sens 
contraire, c'est-à-dire si l'on remplace respectivement /SI, %, C 
par — ^, — lu, — C Cette condition exige que l'on ait 

X = O, }X = O, V = o, 

en sorte que, pour les substances holomorphes, ^(J^t, jD, C) est 
donné par la formule suivante : 

i q{%, U, C) = oh(51, B, (ir)5^2-^ c?23(^, 13, €)B2+ 033(3, B, «t)C2 
^^''^i -+-2923(51, Î3, C)l3C-f-2?3i(^, B, C)(!:5H-2çi2(5V, 13, <L)^%. 

Parmi les substances holomorphes se trouvent les substances 
isotropes qui, tout en formant, au point de vue géométrique, un 
cas extrêmement particulier, forment, dans la nature, la classe de 
corps la plus nombreuse. Pour de semblables substances, toutes 
les directions sont équivalentes. La fonction (j'(^, JD, C) ne doit 
jias varier si l'on fait varier ^, JP, C, sans faire varier la quantité 

On doit donc avoir, d'après l'égalité (21), 

(22) g(5V, B, C) = DÎL2o(01L), 

!p(01L) ne croissant pas au delà de toute limite lorsque OÏL tend 
vers G. Pour abréger, nous écrirons simplement 

(23) 0rL2 9(01L) = #(01L). 

Dès lors, d'après les égalités (19), (22) et (28), le potentiel ther- 
modynamique interne d'un système dont tous les corps aimantés 
sont isotropes s'écrira 

(24) § = ^{r—'ï'L) + ^-^^Qq+^^ǧ{^V^)dv. 

La fonction §{3\L') dépend non seulement de l'intensité d'aiman- 



174 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

talion oit, mais encore des paramètres a, j3, ... qui fixent l'étal 
physique et chimique de l'élément dv, mais non des charges élec- 
triques distribuées sur les aimants. 

Le présent Livre sera consacré à l'étude des corps aimantés iso- 
tropes. Nous aborderons, au Livre suivant, l'étude des cristaux 
aimantés. 



CIIAP. TI. — LES EQUATIONS DE L EQUILIBRE. I7'> 



CHAPITRE II. 

LES ÉQUATIONS DE L'ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE. 



g 1. — Équations fondamentales de l'aimantation par influence. 

Nous allons, dans ce Chapitre, chercher à déterminer la gran- 
deur et la direction de l'aimantation en chaque point d'un corps 
dénué de force coercitive, ou parfaitement doux, soumis à 
l'action dî' aimants permanents. Commençons par définir ces deux 
mots d'une manière précise. 

Considérons un système renfermant un corps susceptible de 
s'aimanter et cherchons à quelles conditions le travail non com- 
pensé, effectué dans une modification isothermique virtuelle quel- 
conque de ce système, sera nul ou négatif; parmi ces conditions, 
qui sont les conditions d'équilibre fournies par la Thermodyna- 
mique, nous en trouverons qui expriment la proposition suivante : 
L'aimantation a, en chaque point du -corps considéré, une certaine 
grandeur et une certaine direction. Si, en chaque point du corps, 
l'aimantation a cette direction et cette grandeur, cette aimantation 
ne peut plus subir aucune variation; l'équilibre magnétique est 
absolument établi. 

Mais, un corps étant placé dans certaines conditions, il pourra 
se faire que l'équilibre magnétique ne s'établisse sur ce corps 
qu'au bout d'un temps plus ou moins long; il pourra se faire que, 
pour certains corps, ce temps soit extrêmement long, en sorte 
que, pendant un temps appréciable, l'aimantation de pareils corps 
demeure sensiblement indépendante des conditions dans lesquelles 



176 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

ils sont placés. On est conduit ainsi à définir deux formes limites 
de corps magnétiques. 

Nous dirons qu'un corps est parfaitement doux ou qu'il est 
dénué de force coercitive, si, en toute circonstance, l'aimanta- 
tion en chacun des points de ce corps prend, au bout d'un temps 
très court, la grandeur et la direction indiquées par la Thermo- 
dynamique, 

Au contraire, nous dirons qu'un aimant est permanent si l'ai- 
mantation en chaque point conserve une grandeur et une direc- 
tion invariables en quelque circonstance que cet aimant se trouve 
placé. 

Les aimants permanents et les corps parfaitement doux forment 
les deux limites extrêmes de la série des corps magnétiques. Il va 
sans dire que tous les corps magnétiques que nous présente la na- 
ture viennent se ranger entre ces deux limites, sans jamais réaliser 
complètement ni l'une ni l'autre d'entre elles. Néanmoins, ces 
deux limites correspondent aux seuls cas dont l'étude théorique 
puisse être faite complètement; nous pouvons étudier complète- 
ment les aimants permanents parce que leur état magnétique peut 
être censé donné arbitrairement, et les corps parfaitement doux 
parce que cet état est défini à chaque instant par les propositions 
de la Thermodynamique. 

Envisageons un système formé d'aimants permanents et de 
corps dénués de force coercitive. 

En un point (^,, j-,, s,) de ces derniers, l'aimantation a pour 
composantes A,i, ^S\y^^ G,. On peut imaginer que, sans changer la 
position, le volume, la forme, l'électrisation, l'état physique ou 
chimique des divers corps qui constituent le système, on fasse, au 
sein d'un élément dvi, varier JU,, ^S^)^, 3), de quantités infiniment 
petites arbitraires oJl9^, ûiib», ô3,. L'équilibre sera établi sur le 
corps parfaitement doux, si cette variation isothermique n'en- 
traîne, pour le système, aucun travail non compensé. 

Tous les corps du système demeurant invariables de volume, de 
forme et de position, les forces extérieures appliquées au système 
n'effectuent aucun travail. Le travail non compensé effectué se 
réduit alors à la variation changée de signe du potentiel thermo- 
dynamique interne. 

Ce dernier est fourni par l'égalité (24) du Chapitre précédent j 



Cn.\l>. II. — LKS EQUATIONS DE L EQUILIBRE. I77 

il a pour valeur, en conservant les notations de ce Chapitre, 



(0 



§ = E(V - T2) -^ W -^2®'' ^ -T-^ T-'^C^l^, «,?,-• 



)dv. 



Cherchons la variation subie par cette quantité lorsque, au sein 
de l'élétnent Je,, <.l.,, i)î),, 3, varient respectivement de 8x,, Sill»,, 
88,, tous les autres paramètres qui fixent l'état du système de- 
meurant invariables. 

La quantité 

E(r — Ts) + w+Ve'7 



ne subit, dans ces conditions, aucune variation. 

Soient dvi^ dv-i^ ..., dva les éléments en lesquels le système 
est décomposé; soit 'C', la fonction potentielle magnétique au 
point (^,, j^,, ^,) de l'élément f/c,; soit V.^ la fonction potentielle 
magnétique au point i^x^^yi^ ;;2) de l'élément 0^(^25 •••• 

D'après l'égalité (16) du Chapitre précédent, on a 



^-\ 



dx. 



dvi 



îHoi 



dxi 



dvo 



J\sn 



âXn 



dv„ 



On a. donc 



('i) 



>,v ' ('^'^'^7,^ _u^^'^>;^.i. _^-^^''';?-^ 

X \ Oxi dfi àzi 



) 

Ox, 



dvi 



^looO 



Ox, 



dv 



Mais on peut écrire les égalités suivantes 



vlo„ - — 

Ox,, 



dv 



,.), 



(>\'>, 


à 


Oxi 


Oxi 


0<', 





Oxi 


~ àxi 



0^ 




0-^- 


^^•'^ Ox, 


dv, -\- 


-1.3 /■'•' 




Ox, 



■M 



Ox, 



dvi 



M 



— 
Ox, 



dv-i — . . . -I- 



dV: 



^l.« 



'•u, 



Oxn 



dx,, 



dv, 



Ox,, dXn \ 
D. - 



.1 



Oxi 



dvi 



«.ta- 



— 
OXî 



dv,^. 



- 



'l«-i 



OXn 



dv„-< j. 



178 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Ces égalités donnent 



0- — = 0, 



dx2 àx-2 



0-Jv>i 



dx\ 



di>i = 



ÔXi 



ôJ- 



OÂoi 



dxo 



dvi, 



dXn dXa 

On en déduit 



oJl,i 



dxi 



di>i 



dxi 



OcAoi 



r.l)lO 



dxi 



dvi 



.l,,8 



.d-Ç, 



àxi 



dv=, 



cwo 



dxi 



oX 



àxn. 



dvi dvi +...-I- 



XnO 

àx,i 



OXi 



àXn 



dVn 



oX\ 



di>i 



àXn 



dvi dvn 



— \ Sjlni 



dx\ 



^^^ 



dv^ 



'"dF,. 



dVn 



dv^ 



= -. — o.ti-t- T-^ol)bi-i- -—1 oS, \dv 
\dx^ dji dzi 7 

L'égalité (2) devient alors 

(3) 5.5 = 

Enfin on a 



Ojlai \\dVi. 

dxi I 



8y^(oiL,a,p,...)^.=^-^('^^',:-'^ ^V-^ox, 



Mais l'égalité 
donne 



dDï^i 



D\il = X]-h^^^-i-ej 



WoAdI 



dvi. 



en sorte que l'on peut écrire 



<Â>i SoiUi \\dvi 



CHAP. II. — LES ÉQUATIONS DK L'ÉQUILIBRE. 1 79 

Les égalités (i), (3), (4) conduisent à l'égalité 






011 1 Û\Lt 



~Adi I ÔaAoi 



dvi. 



Cette quantité ô^f doit être égale à o quelles que soient les varia- 
tions Za>{, ôi)b|, o2,. Si donc on pose 



I 



(5) F(OR,a,p, 



d.l(D\'^,ac, p, ■■■) 
dOÏL 



on devra avoir, en tous les points d'une masse dénuée de force 
coercitive et soumise à l'aimantation 

X= -F(01L, a, !3, ...)^, 



(6) \ Olb-— F(01L,a, 3, 



Ces équations sont les équations fondamentales de l'équilibre 
magnétique; elles ont la forme admise, à titre d'hjpothèse, par 
G. KirchhofT (Chap. I, § 1). Avant de leur faire subir aucune 
transformation, nous allons en déduire quelques remarques im- 
portantes. 

Ces équations donnent 



dx 


ày 


dz 


CAB 


Db 


~ e 



ce qui signifie que V aimantation en un point d'une masse iso- 
trope dénuée de force coercitive et la grandeur géométrique 
dont les composantes sont 

&0_ &Q dV 

dx dy dz 

sont dirigées suivant la même droite. Cette proposition se re- 
trouve dans toutes les théories de l'induction magnétique propo- 
sées depuis Poisson; elle est une conséquence plus ou moins 
immédiate des hypothèses sur lesquelles reposent ces théories. 



O LIVRE IX. -^ AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Les équations (6) donnent encore 

d-çy /à-çy /d-<?Y 



(7) . ^'^\.,llLer' =FM3r... „....., 

Le rapport de la grandeur géométrique précédente à l'in- 
tensité d'aimantation dépend de l'intensité d'aimantation et 
de la nature de la substance. 

Cette conséquence est conforme aux hypothèses faites par 
G. Kirchhoff sur l'aimantation par influence; toutes les théories 
de l'aimantation, autres que celles de G. Kirchhoff, conduisent à 
regarder le rapport précédent comme indépendant de l'intensité 
d'aimantation; nous avons vu que, par là, ces théories se met- 
taient en désaccord avec l'expérience. 

Le coefficient F (OÏL, a, [3, . . .) porte, comme nous l'avons déjà 
dit, le nom àe fonction magnétisante . 

Si la fonction magnétisante est positive, l'axe magnétique et la 

1 , , • 1 1 d-Ç d-Ç dt' 

orandeur géométrique dont les composantes sont ^-j ^-> — 

° " ^ ^ ax dy dz 

sont orientés en sens contraire ; le corps est dit alors magnétique 
si la fonction magnétisante est grande, et paramagnétique si la 
fonction magnétisante est petite. 

Si, au contraire, la fonction magnétisante était négative, l'axe 
magnétique et la grandeur géométrique dont les composantes 

sont --, — > — - seraient diriges dans le même sens, le corps serait 

dit diamagnétique. 



§ 2. — Le problème de l'induction magnétique se ramène 
à la détermination de la fonction "Q^Xyy, z). 

Nous allons maintenant examiner comment, en supposant con- 
nue la forme de la fonction magnétisante F(01'L, a, P, ...), on pour- 
rait mettre en équation le problème de l'induction magnétique. 
La méthode à suivre a été indiquée par G. Kirchhoff ('). 



(') G. KiRCiiiiOFF, Ueber den Magnetismus eines unbegrenzten Cylindcrs voit 
weichem Eisen (Crelle's Journal, t. XL VIII, p. 348; i8j4. — Kirchhojff's ge- 
sammelte Abhandlungen, p. igS). 



CHAP. II- — LES ÉQUATIONS DE L'ÉQUILIBRE. l8l 

Posons, comme nous en sommes convenus [LivreVII,Ghap.in, 
égalité (19)], 



n^=(-^)^(^)^(^^y 






L'égalité (7) peut s'écrire 

<^'") [ F(.^.,t^...., ]'="^''- 

Si la fonction F est connue, cette équation (7 bis) pourra se ré- 
soudre par rapport à OÏL, et donnera 

(8) OÏL =a(n\'^a, p, ...)• 
Posons maintenant 

(9) X (n t;), a, p, ...)=- F [^(ntp, a, p, . . .), a, p, . . .]. 

Nous voyons que, toutes les /ois que la fonction F a une forme 
connue, la forme de la fonction \ est déterminée. 

Moyennant les égalités (8) et (9), les égalités (6) deviennent 

V"; ■ '\l!, = X(n\'>, a, p, ...)^\ 

\ G = X(nx:), a, p, ...);^- 

Ces égalités montrent que, lorsqu'on connaît la forme de la 
fonction magnétisante, il suffit de connaître la fonction 'Q 
pour pouvoir déterminer les composantes de V aimantation en 
chaque point du corps parfaitement doux. 

Nous avons remarqué, il j a un instant que, lorsqu'on connais- 
sait la forme de la fonction magnétisante F(01L, a, ^, . . ,), on con- 
naissait la forme de la fonction \ (H''?, a, p, . . .) ; réciproquement, 
si Von connaît la forme de la fonclionXiJl'Ç ., a, p, ...), on peut 
déterminer la forme de la fonction magnétisante F(01L, a, ^8, . . .). 

Fn effet, les équations (10) permettent d'écrire 

0iL2=X2(nx:^ a, i3, ...)nt?. 
Si l'on connaît la forme de la fonction À, on peut résoudre 



l82 LIVRE IX. — AIMANTATION F.T THERMODVNAMIQUE. 

cette équation par rapport à n"Ç, ce qui donne 

(II) n-C) = a'(orL., a, [3, ...). 

Il est alors facile de voir que l'on a 

(I?-) FiDK, a, p., . . .) = n<y'{0\L, a, p. . . .), =^, ?, . . .], 

ce qui démontre la proposition énoncée. L'importance de celle 
proposition réciproque apparaîtra dans un Chapitre ultérieur. 

§ 3. — Équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait 
la fonction \>(x,y,jz). 

Nous avons vu que la fonction "^Ç^, y, z) satisfaisait, en tous 
les points de l'espace non situés sur la surface de séparation de 
deux corps magnétiques différents, ou d'un corps magnétique et 
d'un milieu non magnétique, à l'équation suivante [Livre VH, 
Chap. III, égalité (8)], 



^ ' ^ \ôx dy (Jz 

De là, on peut déduire la forme de l'équation aux dérivées par- 
tielles du second ordre à laquelle satisfait t? en tous les points de 
l'espace, sauf aux divers points des surfaces limites. 

1° Dans la partie de l'espace non occupée par les milieux ma- 
gnétiques, l'équation précédente se réduit à l'équation de La- 
place 

(i4) ^■<> = o. 

2° A l'intérieur des aimants permanents, l'aimantation en chaque 
point est censée connue; en sorte que le second membre de l'é- 
quation (i3) est une fonction connue de x, y, z. Si nous dési- 
gnons cette fonction par — 4''^?(^7 JK, z), la fonction "Ç vérifiera, 
en tout point intérieur aux aimants permanents, l'équation aux 
dérivées partielles du second ordre 

(i5) A\')^-4-n:p(:r, 7, ^) = o. 

3° Envisageons maintenant un point intérieur à l'un des corps 
parfaitement doux. En ce point, les composantes =.1., ilV, 3 de l'ai- 
mantation sont données par les égalités (lo). La première de ces 



CIIAP. II. — LES ÉQUATIONS DE L'ÉQUILIBRE. 

égalités, différentiée par rapport à x^ donne 



i83 



dx 



[ 



axrn-C), a, p ) âac ()X(n\'>, g , ^, ...) ap irro 

~^ " \ ûx 



.)0l 
dx 



les termes de la seconde ligne disparaissant d'eux-mêmes lorsque 
substance 
Mais on a 



la substance est homogène. 



duo 
dx 



d-Ç d^-Q dp d'--Ç &0 d^O \ 
dx dx^ dy dxdy dz Oxùzj 



àUV 



dX 



Remplaçons '^^^ par cette valeur dans l'expression de -r-; for- 



aub de 



mons de même -;-) -y; ; ajoutons ces trois quantités en tenant 
compte de la relation (i3), et nous aurons 



[t — 4-À(n\'^a, 3, ...)]At;> — 2 



du. V 



(16) 



l\àx) 'àx^'^\dy) 'ôy^ '^ \dz } Oz'^ 



dt) d^:) 


an') 


d-<> d-<> d^-<' a\'> dp d'-X^ 
dz dx dz dx "^ dx dy dx dy 


dX(nV->, a. 3. ...) 


dx d<> 


1 ax(n-c), a, p, ...) 


a^ dp 


OOL 


dx dx 


1 aji 


dx dx 



Si l'on se souvient de la signification de n\'^, on voit que l'on 
a ainsi une équation aux dérivées partielles du second ordre, de 
forme connue lorsqu'on connaît la fonction \ (Hxp, a, [3, . . .), que 
doit vérifier la fonction P en tout point pris à l'intérieur d'un 
corps parfaitement doux. 

Les équations (i4)> (i5) et (16) représentent donc les équations 
aux dérivées partielles du second ordre que la fonction p doit 
vérifier dans les diverses régions de l'espace séparées les unes des 
autres par les surfaces limites. 



§ 4. — Conditions aux limites auxquelles satisfait la fonction P^x,y, z). 

Cherchons à quelles conditions satisfait la fonction 'C^(.r, y-, z) 
en un point de l'une des surfaces limites. 



'84 LIVRE IX. — AIAIATNTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Supposons qu'une surface sépare deux milieux, dont l'un, au 
moins, soit magnétique. Soient, en un point de cette surface, 
]N( la normale dirigée vers l'intérieur du premier milieu et Na la 
normale dirigée vers l'extérieur du second milieu. Soient X,,i)b|, 
G( et Xa, i)î)2, ©2 les composantes de l'aimantation au sein de 
chacun des deux milieux et au voisinage de ce point. Nous aurons 
[Livre VII, Chap. III, égalité (9)] 

^''^ 4^(1^ + IS) = Il -^^ '^'(^^' ^)" "^ Il ^^^ ''''(^^^ "'^ll- 

Les surfaces que l'on peut avoir à considérer sont de cinq espèces 
différentes : 

1° Surface de séparation d'un aimant permanent et d'un milieu 
non magnétique; 

2" Surface de séparation de deux aimants permanents ; 

3" Surface de séparation d'un corps parfaitement doux et d'un 
milieu non magnétique; 

4" Surface de séparation de deux substances dénuées de force 
coercitive; 

5° Surface de séparation d'une substance dénuée de force coer- 
citive et d'un aimant permanent. 

1° ^ la surface de séparation d\in aimant permanent et 
d^un milieu non magnétique, voyons ce que devient la rela- 
tion (17). Supposons que l'indice 1 se rapporte à l'aimant et 

l'indice 2 au milieu. Remplaçons les symboles -r^-, -^ par les 

symboles, plus souvent usités en pareil cas , ^^- et -r^« A 1 inté- 
rieur du milieu non magnétique, nous avons 

Jlo2=o, 1)1)2=0, ©2=0, 

tandis qu'à l'intérieur de l'aimant les quantités ^A,, i(î),, G, sont 
censées connues d'avance. La relation (17) devient donc 

S [Xj y, s) étant une fonction dont la valeur se déduit immédiate - 
ment des données du problème. 

2° De même, à la surface de séparation de deux aimants, la 



i85 



CHAP. II. — LES ÉQUATIONS DE L EQUILIBRE. 

relation (17) devient 

Si {x, y, z), 52 (x, y, z) étant deux fonctions dont la valeur se dé- 
duit immédiatement des données du problème. 

3° A la surface de séparation d'une substance dénuée de 
force coercitive et d'un milieu non magnétique, examinons ce 
que devient la relation (17). Supposons que l'indice 1 se rapporte à 
la substance magnétique et l'indice 2 au milieu non magnétique. 
Remplaçons les symboles N,, N2 par les symboles N/, N^. 

A l'intérieur du milieu non magnétique, nous avons 

,^1,2=0, 1)1)2=0, Qi— o. 

Au contraire, à l'intérieur de la substance dénuée de force coer- 
citive, X,, il'oi, S, sont donnés parles égalités (10). L'égalité (17) 
devient donc 



(20) 



[i + 47rX(IlX?,a, p, ...)] 



d^i ' dN, 



4" De même, à la surface de séparation de deux substances 
dénuées de force coercitive, la relation (17) devient 

{11) [i + 47rXi(n-C),aiPi,...)j||^+[i+4^>^2(n-C>,a2, !32, ...)]^ = o. 

5° Enfin, Cl la surface de séparation d'un aimant perma- 
nent 1 et d'un corps dénué de force coercitive 2, la relation (17) 
devient 

^^^^ ^ +[i + 4^>^2(n^?, a, p, ...)] ^ = — \T.Si{x,y, z), 

Si[x^ y, z) étant une fonction dont la valeur se déduit immédiate- 
ment des données du problème. 

Si nous ajoutons qu'à l'infini on doit avoir 



(23) 



dx 



'Ç = o, 



dy 



= o, 



àz 



nous aurons énoncé toutes les conditions aux limites qui achèvent 
de déterminer le problème de l'aimantation par influence. 



l8(> LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

§ 5. — Approximation de Poisson. 
Nous avons vu [Ghap. I, égalité (23)] que l'on avait 

.f(ort)=,m2cp(DiL), 

'j(311L) ne croissant pas au delà de toute limite lorsque OÏL tend 
vers o. Pour les petites valeurs de DIL, nous pouvons écrire 

(24) J(.')1L)= OlUcpCo). 

L'égalité (5) du présent Chapitre 



c^.T(orc) 



dDïU 
devient alors 

F(DH)= — ' 

20(0) 

Pour les petites valeurs de l'aimantation, la fonction ma- 
gnétisante prend une valeur Ji nie, indépendante de l'intensité 
d' aimantation. 

Les égalités (6) deviennent alors 

i ï ' ^^'' 

I tt/U, = — 



(25) <l(l, = - 



I dK> 



I dt) 



•2C3(0) éZ 

Ces égalités concordent avec les conditions d'équilibre données 
par la théorie de Poisson [Livre VIII, Chap. I, égalités (i)], pourvu 
que l'on prenne pour coefficient d'aimantation la quantité 

(26) k = 



20(0) 



Ainsi l'aimantation des corps faiblement aimantés est 
donnée par la théorie de Poisson. 

Les égalités (24) et (26) montrent, en outre, que, toutes les fois 



Cn.VP. II. — I.ES EQUATIONS DE L FQL'ILIBRE. 

que la théorie de Poisson est applicable, on a 



(27) 



:fiDXi)= —r' 

•1 /l 



Cette remarque sera pour nous d'un fréquent usage. 

Moyennant cette remarque, l'expression (i) du potentiel ther- 
modynamique interne d'un système qui renferme des aimants de- 
vient 



(2) 



,7 = E(r — T2}-f-W+> 0,/-4-;J-+- 



2: 






Cette expression du potentiel thermodynamique interne est équi- 
valente à celle qui a été souvent introduite dans les recherches 
sur les propriétés des aimants par des auteurs qui n'en ont ordi- 
nairement pas défini la nature et justifié l'origine ('). 



(') J. Stefan, Ueber die Gesetze der elektrodynamischen Induction {Sitz- 
ungsberichte der Akad. der Wissenschaften zu Wien, LXIV. 2' Ablheil, p.igS; 
1871); Zur Théorie der magnetischen Krâfte {Ibid., LXIX, 2° Ablheil, p. i63; 
1874) ; Ueber die Gesetze der magnetischen und elektrischen Krâfte in magne- 
tischen und dielektrischen Medien, und ihre Beziehung zur Théorie des 
Lichtes {ibid., LXX, 2° Abtheil, p. 589; 1875). — W. Thomson, General probleni 
0/ magnetic induction {Beprint of papers on electrostatic and magnetism, 
n<" 700 et seqq., 1872, 2» édition, p. 549). — Voir aussi les écrits de MM. E. Betti, 
Korleweg, von Ilelmholtz, Boltzmann, Adler, G. Kirchhoff, Cari Neumann et E. 
Beltrami. 



l88 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 



CHAPITRE III. 



LE PROBLÈME DE L'AIMANTATION PAR INFLUENCE ADMET UNE 
ET UNE SEULE SOLUTION. 



§ 1. — Existence d'une solution. 

Nous avons vu, au § 1 du Chapitre précédent, que le 'problème 
de l'aimantation par influence se ramenait à celui-ci : Trouver une 
distribution magnétique qui rende minimum la quantité 



(I) 



V=V)-^ ǧ{m\,oi,^,...)dv, 



V intégration s^ étendant à toutes Les substances magnétiques. 

Existe-t-il toujours une semblable distribution? C'est la ques- 
tion que nous nous proposons d'examiner. 

Nous avons [Livre VII, Ghap. III, égalité (17 his)\, 

l'intégration s'étendant à tout l'espace. L'égalité (i) peut donc 
s'écrire 

.f'= /.fi(Ort,a, p, .. :)dv^ 

(2) '; -\- ^ Cu-Çdv,^ ^ jUt^dv, 

les deux premières intégrales s'étendant à tous les éléments û?p, 
du volume des aimants permanents, la troisième intégrale s'éten- 
dant à tous les éléments dv-i de l'espace occupé par le milieu non 



CIIAP. ni. — LX ET UN SEUL ETAT D EQUILIBRE. 189 

magnétique, la quatrième, enfin, s'étendent à tous les éléments di'^ 
du volume des corps parfaitement doux. 

La première intégrale a une valeur indépendante de la distri- 
bution qu'affecte le magnétisme sur les corps parfaitement doux. 
Quelles que soient les variations de celte distribution, elle garde 
une valeur constante C. 

La deuxième et la troisième intégrale ont une valeur qui ne peut 
jamais devenir négative, quelle que soit la distribution du magné- 
tisme sur les corps parfaitement doux. 

De l'égalité (5) du Chapitre II, qui définit F(,')nL, a, |i. . . .\ on 
déduit 

(3) .T(Dli,a,?, ...)= / ,. -dDK. 

Par conséquent, la quantité J(OTl, a, ^i, . . .) est toujours positive 
pour les corps magnétiques et toujours négative pour les corps 
cliamagnétiques. 

Cette circonstance ne nous permet pas de prévoir le signe que 
prend, pour un corps diamagnétique, la quatrième intégrale figu- 
rant dans l'égalité (2); mais, pour les corps magnétiques, nous 
pouvons affirmer qu'elle n'est jamais négative, et, de plus, qu'elle 
n'est égale à o que si l'aimantation est égale à o en tout point. 

Par conséquent, dans le cas où toutes les substances dénuées de 
force coercilive que renferme le système sont des corps magné- 
tiques, l'égalité (2) revient à la suivante 

C étant une quantité indépendante de la distribution que le ma- 
gnétisme affecte sur les substances dénuées de force çoercitive, et 
P une quantité qui ne peut jamais être négative, quelle que soit 
cette distribution. 

Cette égalité nous prouve que la quantité §' est une quantité 
dont les variations sont limitées inférieurement. 

De là, pouvons-nous conclure qu'il existe au moins une distri- 
bution magnétique correspondant à une valeur de ^' plus petite 
que toutes les autres, et, par conséquent, à un état d'équilibre 
stable? En le faisant, nous ne ferions que suivre la voie tracée par 
Gauss pour démontrer qu'il existe un état d'équilibre électrique 



igo iivui; IX. — aimantation et tiikumodvnamiql'e. 

sur les corps conducteurs (Livre II, Chap. II, § 2; Livre III, 
Ghap. V, § 2). Mais nous savons que cette déduction présente un 
défaut de rigueur; car, de ce que les variations d'une quantité 
sont limitées inférieurement, il ne résulte pas que cette quantité 
présente un minimum. C'est donc sous une réserve semblable à 
celle qui pèse sur le principe de Dirichlet que nous énoncerons la 
proposition suivante : 

Des corps magnétiques quelconques étant soumis à l'action 
d'aimants quelconques, on peut trouver sur ces corps au moins 
une distribution magnéticiue cjui satisfait aux lois de l'aiman- 
tation par influence et qui demeure stable si l'on maintient 
invariables la position, la forme et l'état des divers corps du 
système. 

§2.-11 n'existe, pour les corps magnétiques, qu'une seule solution 
au problème de l'aimantation par influence. — Elle correspond à 
une aimantation stable. 

Les équations du problème de l'aimantation par influence 
expriment simplement l'égalité à o de la variation première subie 
par le potentiel thermodynamique interne S lorsque, en chaque 
point des substances dénuées de force coercitive que renferme le 
système, on fait varier les composantes -l), ilij, © de l'aimantation 
de quantités arbitraires ôn^l>, oil'o, oS. Cette égalité à o de la varia- 
tion première de § peut-elle avoir lieu pour plusieurs distribu- 
tions magnétiques distinctes? Lorsqu'elle a lieu, la fonction éf est- 
elle minimum, de telle façon que la distribution magnétique soit 
stable? Telles sont les questions que nous allons maintenant exa- 
miner. 

La solution de ces questions découle de l'étude de la variation 
seconde de rf , dont nous allons d'abord former Fexpression. 

Supposons que, en chaque point {x,y, z) des masses dénuées 
de force coercitive que renferme le système, les composantes .^l), 
1)1), 3 de l'aimantation varient de oX,, h^S\>, o3, et posons 

8\)î) = b ot, 
oC — - c o/. 



Cn.VP. in. — UN ET UN SEUL ETAT D ÉQUILIBRE. I9I 

«, b, c étant trois fonctions finies de x^ y, z, et ot une quantité 
infiniment petite indépendante de x^ y, z. 

§ éprouve une variation première qui peut s'écrire 



(4) 



Lf ^ o.y-i- 5 Ci{dXL, a, P, . . .)dv. 



Si l'aimantation avait varié seulement dans l'élément c?p,, IJ aurait 
subi une variation oi^] si elle avait varié seulement dans l'élé- 
ment dv-i^ !J aurait subi une variation o-y'^^ . • • et l'on a 



(5) 



oiT-oizr+o\^. 



o«?T, 



dVi^ dv2, • ■ ■ ■) d^n étant les éléments en lesquels se décomposent 
les masses dénuées de force coercitive. 



L'égalité 



^-J 



-\o 



dx 



dv 



-U 



.\o 



dx' 



dv', 



dans laquelle la première intégration s'étend à tous les corps 
dénués de force coercitive et la seconde à tous les aimants per- 
manents, nous donne 



(6) 



'■s^=:Kt*-^- ¥;■"••"-§ '=•)*■ 



-,l)iOi -T — \\dvi-i- 
axi W 



[oi Oi 

axi 



C/V2 Oi 



dx'. 



dvi +...- 
dv',-\-...- 



àx„ 



dVr. 






dç\, dv'.,, . . . , dv sont les éléments en lesquels sont décomposés 
les aimants permanents; 5, désigne toujours une variation obtenue 
en changeant seulement de 8jl>i, 8\fti, 83, les composantes de 
l'aimantation dans l'élément dv\. 

Mais des calculs analogues à ceux qui, au Chapitre précédent, 
ont servi à établir l'égalité (3), nous prouveront : 



192 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

1° Que l'on a 



-T— 0-_l,i + - — oljbi -4- ^-^ oSi 
()xi dyi àzi 



■+- 






di'i -I- 



1 8 ^"^^^ 






A 3 ^^'^" 

OX II 



' 0, ^' 



C/\£>r, 






a'* Que l'on a 



-l-l 0] -r— 

dxi 



c-la 



' (Jo:-! 



-i,; 



dx\ 



5.1,1 



0M.M 



dxi 



()x\ 






di'i dv-i 



dvy dv\ 



d.), 



-Xn 



dxi 



O-,!»! 



àXn 



M 



dxi 



à-7- 



a-A-M 



àx'n 



dvi dv'„ 



dvx dv'p. 



Le second membre de cette dernière égalité peut encore s'écrire, 
en se souvenant que 

o-loi = ai 8/, Z^S\)l= bi^it, oCi = Ci 8/, 



--,:, 


«1 /"'-^ d,, 

àxt 




'^''dx\ 


a, !'''dv, 
dxi 





dXn 








à ! 





6t. 



L'ensemble de ces calculs transforme l'égalité (6) en 



015" = 



-i,. 



âx» 



d — 

«1 -^; — ■ d^'^ 
âxi 



4.,'. 



"dx' 



^^-àr''-^ 



'o/; 



80^, • • • , o«-T Ofit des expressions analogues. Nous pourrons donc 



CHAP. ill. — UN ET UN SKUL ÉTAT D'ÉQUILIBRE. 

remplacer l'égalité (5) par la suivante 



'93 



LJ = of ' 



'^'é-\ 


d-L- 


dv.^-^ 


dL 

ÔX-i 


di'3-h. 


.+ 


Ô-L 

àXn 


dVn J 


dv\ 




«1 - — 


dvi -- 


az-T— 

OX;, 


di>3 + . 


.+ 


^ ''2' 

dxn 


dVnJ 


dvi. 




ÔXi 


dvi -)- 


d ' 

âx.y 


di.2 -H . 


..+ 


àx„ 


dVn j 


dv'i 



Supposons que, sur le corps parfaitement doux, on distribue 
une aimantation dont les composantes au point (.r,jK, ^) aient des 
valeurs <7, 6, c. Soit Q la fonction potentielle magnétique de 
cette distribution, fonction définie par l'égalité 



(7) 



d 
r 

c'.r 



dv. 



On voit sans peine que l'égalité précédente peut s'écrire 
(8) 5:T= / .1, - di-^ / \\X'~, dA^t. 

\J II àx\ J II dx / 

D'autre part, on a 



àO\<, 



oOli, 



ou bien, en vertu de l'égalité [Chapitre II, égalité (5)] 

OU 



(9) 



F(OR, a, ,3, ...) 



8.f(DR,a,p, ...) 



(^JfOlL. a, 3, ...) 



.OTL 



oOlI. 



F(Orc, a, p, ...) 
On peut donc, en vertu des égalités (4), (8) et (9), écrire 



(10) 






dv' ) 0/, 



D. — II. 



ri 



t94 LIVRK IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Donnons de nouveau à JL, i)b, S les variations 

^A, — a^t, 01)1)= è S/, o3 = c8f, 

et cherchons la variation ù^^ subie par 5î. 
Nous aurons 



(M) 

et 



'S r\\ . , àQ\\ , , 

; UHo' — -, \\di> — o 

J II «^37 II 

^ r\\ . à9.\\ , ^ r\\ dQ 

/ \\ X-T- \\ di> = et I a -r- 

J I <^^| J I ^^ 



rfi'. 



Cette dernière égalité peut s'écrire, en désignant par du un élé- 
ment quelconque de l'espace extérieur au corps parfaitement 
doux 



(12) ^J 

D'ailleurs 



X 



<ip = ^ ( fuQdv -H / na daj . 



<i3) 



[f(oil;«%,...)H 



D1L 



F(Oll,a, p, ...) 
l I 



02 31L 



;)!!■ 



|F(JIL, a, p, ...) [F(01L, a, p, ...)J-^ 
Mais l'égalité 

nous donne, en premier lieu, 

(M) 

et, en second lieu, 



dF(i-)]1, g, p, ■■ I) 



o;)ll)2. 



80]L = ^" + y-^^' 5. 



,§2 011^ ^ ^ ' ;;^ + ^ 8^2- ,;;: son s^ 



OIL 



0112 



ou bien, en posant 



8011 = m^t 
et en tenant compte de l'égalité (i4)) 

82 011 = — Ot. 



CIIAP. m. — UN ET UN SEUL ÉTAT D'ÉQUILIBRE. igS 

L'égalilé (i3) devient donc 



('[, 



{DU, a, fJ, ...) 



oOXL 



('5) { / c)F(JlL,«,p, ...) ) 



lF(yii, a, Ji, ...) [F(OIL, a, ^, . . )J2 

Les égalités (lo), (i i), (12) et (i 5) donnent alors 

Cette expression peut encore se transformer. 
L'égalité (i4) nous donne 

01i2/,i2^ (..l,a + l)b^>+3c)2 

— (ilbc — 36)2— (3a — A"C)2— (^1,6— ||i,«)2 
ou bien 

([-) m^ — a^- -^ b' -{- c- — — ^^ -• 

Dès lors, l'égalité (16) peut s'écrire 



' . j o<2 / /* r 

I P3 = — - ( i UQdu+ \ WQdv 



0]^lF(DlL,a,p, ...) 



(J.')1L (ill,c— 36)2-t-(3a— Xc)2+(.A.,è— ili,«)2 ' 



[F(i)lL, a, p, ...)J2 OIV 

Discutons le signe de cette quantité ô^cf, en nous bornant au cas 
des corps magnétiques. 

Le terme qui commence le second membre de l'égalité (18) est 
assurément positif ou nul; il ne peut jamais être négatif. 

Pour les corps magnétiques, la quantité F(3TL, a, [3, ...) est 
positive ; en général, cette quantité décroît lorsque Oli- augmente; 
on est alors assuré que la quantité S^j", donnée soit par l'éga- 



dv. 



196 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

lité (16), soit par l'égalité (18), est positive, à moins que l'on n'ait, 

en tout point, 

« = 6 = c = 0. 

Pour certains corps magnétiques tels que le fer doux, F (Dit, a, ^, ...) 
croît avec OÏL pour les faibles valeurs de 01i ; mais les accroisse- 
ments de cette quantité ne sont pas extrêmement grands, et, comme 
OTL a en même temps de petites valeurs, la quantité 

()F(01L, g, i3, ...) 



[F(J1L, a, p, ...)p D\V^ 

a une valeur beaucoup plus faible que 

ôk [ F(JlL,a%, ...) ] i-'-^b^'-^c^-), 

en sorte que S^^jr est encore positif. 

On peut donc dire que, pour tous les corps magnétiques co/i- 
nus, h^^est toujours positif. 

De là cette première conséquence : 

S ides corps magnétiques sont placés en présence d'aimants 
permanents, toute distribution magnétique répandue sur ces 
corps, conformément aux lois indiquées au Chapitre précé- 
dent, correspond à un état d'équilibre stable. 

De plus, 8^,^ étant toujours fini et positif, ou voit qu'il ne peut 
exister deux distributions magnétiques distinctes telles que 

OrT = o. 

Donc, sur de semblables corps magnétiques, il ne peut exister 
plus d'une distribution d'équilibre. 



CH4P. IV. — THEOREMES SUR LES CORPS MAGNETIQUES. 197 



CflÀPITRE lY. 

QUELQUES THÉORÈMES SUR L'AIMANTATION DES CORPS 
MAGNÉTIQUES. 



§ 1. — Les corps parfaitement doux ne présentent pas de magnétisme 

rémanent. 

Avant d'aborder l'étude des corps dlamagnétiques, nous allons 
déduire, pour les corps magnétiques, quelques conséquences des 
propositions précédentes, et particulièrement de la dernière : // 
n'existe qu une seule distribution magnétique convenant à Cé- 
quilibre sur un corps magnétique parfaitement doux soumis à 
r action d^ aimants permanents. 

Soient ^ la fonction potentielle magnétique qui définit le champ 
dans lequel le corps est placé et ï!) la fonction potentielle magné- 
tique de l'aimantation distribuée sur ce corps. Les équations de 
l'équilibre magnétique seront les suivantes : 

Supposons, en particulier, le corps parfaitement doux placé 
dans un champ magnétique dont l'intensité soit nulle en tout point. 
Nous aurons identiquement 



igo LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

et les équations précédentes deviendront 

x= — F(orL) ~, 

ox 

Ift. = — F(DrL) v^, 
ày 

az 
Observons maintenant : 
i*^ Que la fonction X) devient identiquement nulle si l'on a, en 

tout point, 

cAo = o, 'ift) = o, G = ; 

2° Que la fonction F(OrL) ne croît pas au delà de toute limite 
lorsque OÏL tend vers o. 

Nous verrons alors que les équations précédentes sont satisfaites 

si l'on a 

Jlu = o, \)î) = o, G ^ o. 

Comme il existe une seule distribution magnétique satisfaisant à 
ces équations, cette distribution est connue. 

Ainsi : un corps magnétique parfaitement doux étant placé 
dans un champ magnétique dont l'intensité est nulle en tout 
point ne présente aucune aimantation. En d'autres termes, un 
corps magnétique parfaitement doux ne présente pas de ma- 
gnétisme rémanent. 

1% — Corps qui s'aimantent uniformément dans un champ uniforme. 

Il est d'une grande importance, pour l'étude de l'aimantation 
par influence, de connaître la fonction 

F(D1L, a, p, ...) 
ou, ce qui revient au même (Cliap. Il, § 2), la fonction 

X(n\'>, a, p, ...). 

Nous allons voir ici sur quels principes on en peut fonder la 
détermination. 

Prenons un corps homogène, auquel correspond une fonction 
magnétisante F(OIL). Plaçons-le dans un champ magnétique où il 



CH\P. IV. — THÉORÈMES SUR LES CORPS MAGNÉTIQUES. 199 

s'aimante uniformément. L'intensité d'aimantation a alors une va- 
leur M indépendante de .r, y^ z. 

Les composantes A, i)î), S de l'aimantation vérifient les éga- 
lités 



oy dy I 



— F(M) L 



F(M) est, comme M, une quantité indépendante de .r, y, z. Or 
ces équations ne sont autre chose que les équations qui défi- 
nissent la distribution d'équilibre prise, dans Je champ considéré, 
par un corps de même forme que celui que l'on étudie et ayant 
un coefficient d'aimantation constant /<:, dont la valeur serait pré- 
cisément égale à F(M). Si l'on se souvient que ces dernières équa- 
tions déterminent une distribution unique, on arrive au théorème 
suivant : 

Si un corps homogène, possédant une fonction magnétisante 
déterminée F (OÏL), s'aimante uniformément dans un champ 
déterminé, de manière que son aimantation ait en chaque point 
l'intensité M, un corps de même forme, placé dans le même 
champ et ayant un coefficient d'aimantation constant A , donné 

par l'égalité 

A- = F(M), 

s' aimantera de la même manière. 

A ce théorème correspond une réciproque, bien importante 
pour l'objet de nos recherches. Cette réciproque, qui se démontre 
comme le théorème précédent, s'énonce ainsi : 

Imaginons un champ magnétique et un corps magnétique 
qui, dans ce champ, s'aimante uniformément, quelle que soit 
la valeur k du coefficient d'aimantation constant qu'on lui 
attribue. L' intensité d' aimantation dV^ q a' il prend alors est liée 
à k par la relation 

(I) d^^^ik). 

Si l'on attribue à ce corps une fonction magnétisante quel- 



200 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

conque F (OÏL), variable avec V intensité d' aimantation, il s^ ai- 
mante encore uniformément, et son aimantation est la même 
que s'il avait un coefficient d' aimantation constant défini par 
V égalité 

(2) F[|(/0]-A-o. 

Une sphère, un ellipsoïde, placés dans un champ magnétique 
uniforme, s'aimantent uniformément quel que soit leur coefficient 
d'aimantation. Le théorème précédent peut donc s'appliquer à ces 
corps. 

Proposons-nous, par exemple, de trouver l'aimantation prise 
par un ellipsoïde dont la fonction magnétisante est F(Dl'L) dans 
un champ magnétique uniforme, dont la fonction potentielle est 

F, G, H, K étant quatre constantes. 

Si l'ellipsoïde a un coefficient d'aimantation A", les composantes 
de l'aimantation sont données par les égalités [Livre VIII, Chap. II, 
égalités (i i)]. 






■2 A IX 



7-"' 



"k^ [X, V étant trois constantes qui dépendent de la forme de l'ellip- 
soïde. On déduit de là 

I F2 G2 H2 1 

01^2 = .1,2+ D!,2+ 32 = /,2 _^ + r , l ^i • 

L(h-2A:X)^ {i-h-2kii)^ (i-l-2A-v)2J 
La fonction <^ (k) est donc définie ici par l'égalité 

r F2 G2 H2 y 

(4) ^(/c) = /, [^—7^-^)^ + (i+/.A-[.)^ ^ (1+ 2X-v)2j ' 

et l'on a 

"^~ i-f-2XF(orc) ' 
(5) \ ^''>- — ^ttWtG, 

^ ' I i -t- 2 [a F (OÏL) 

\ "" I + 2V F(OIL) ' 



CHAP. IV. — THEOREMES SIR LES CORPS MAGNETIQUES. aoi 

avec 

(Sbis) DTL ^ F(;)rt) } î7ip^p|-^)p - h^.^^F(OIL.)p ^ L' + '^ vT(;;iL)J^ f " 

Les équations (5) et (5 bis) nous détermineront l'aimantation 
de l'ellipsoïde lorsqu'on connaîtra la forme de la fonction F(DÏL). 
En effet, l'égalité (5 bis)^ résolue par rapport à OÏL, nous fera con- 
naître en fonction de F, G, H la valeur de l'intensité d'aimanta- 
tion prise par l'ellipsoïde. Cette valeur de OÏL une fois connue, on 
calculera la valeur correspondante de F(OIL), et les égalités (5) 
feront alors connaître les composantes de l'aimantation en chaque 
point. 

Le volume de l'ellipsoïde sera 

- -abc, 

<7, b, c étant les trois demi-axes. Les composantes du moment 
magnétique auront alors pour valeur . 

/ A 4 , F (.OÏL) „ 

A =: - TT abc \ ■-, , .,,■■ , F, 

l J I -t- 2 X 1^ ( OIL ) 

^A^ R 4 , F(OIL) 

(t») \ B — ;r 11 abc / G, 

\ 3 1+ :2fJL F(OIL) 

G = - T^abc „ .„. . H. 

En un point extérieur à l'ellipsoïde, la fonction potentielle ma- 
gnétique de ce corps aura pour expression [Livre VIII, Chap. Il, 

égalité (9)], 

2F(DV^)LFx 2F(01L)MGjK 2F(01L)NH2 



(7) X)ia;,y,z)=. 



i-t-'2XF(01L) r + 2iJLF(0IL) i-h2vF(0IL)- 



L, M, N étant trois fonctions de x, y, z. 
Pour une sphère de rajon R, on a 



a 


= 


b 


= 


c 


= 


H 








>. 


= 


F 


= 


V 


•-= 


i 
3 


TC 


2 

3 


ttRs 


r. 


— 


\i 


— 


N 


— 










(^2_^^2 



202 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Les égalités précédentes deviennent donc 



(8) 



<Âa = 



■Dl) 



Fcm) 



F (OÏL) 



H-|7rF(01L) 

F (.m) 
i + |-TrF(Ort) 



F, 
G, 
H; 



(8 bis) 



DrL = 



F (011) 



(F^N-G2^H2)2; 



i-i-^7rF(01L) 



(9) 



i7rF(0lL) 



R3F, 



i + |7:F(01L) 



B = 



7rF(01L) 



K^G, 



i-f-iTTF(01LO 



i7rF(0lL) 
G = ^— R3H; 

H-^7rF(DlL) 



(10) t){x,y,z) 



TtF(DlL) 



R5 



I+^7rF(01L) (^■2-+-j2^z2)2 



-(F^+ Gj'-i-H2). 



Cette dernière égalité permet de montrer que la méthode indi- 
quée au Livre VIII, Chapitre II, § 4, pour déterminer l'inclinaison 
magnétique par les déviations qu'une sphère de fer doux fait su- 
bir à une aiguille de déclinaison, demeure légitime, même si l'on 
admet que le fer doux, au lieu de présenter un coefficient d'ai- 
mantation constant, présente une fonction magnétisante variable 
avec l'intensité d'aimantation. Jl faut seulement, pour que cette 
méthode donne des résultats exacts, que la sphère soit homogène 
et, condition plus difficile à réaliser, que le fer qui la constitue 
soit parfaitement doux. 



CHAP. IV. — THÉORÈMES StR LES CORPS MAGNÉTIQUES. 203 

Cette formule permet encore, par la méthode indiquée au 
Livre VllI, (Chapitre II, § 3, de déterminer la valeur particulière 
que prend F(OIL) pour une sphère de fer doux placée dans le champ 
magnétique terrestre ; cette valeur une fois connue, l'égalité (8 bis). 
fournit la valeur correspondante de la variable 011. 

§ 3. — Détermination de la fonction magnétisante. — Saturation. 

La méthode précédente ne fait connaître qu'une valeur particu- 
lière de la fonction F(OIL), tandis qu'il serait d'un haut intérêt do 
connaître les valeurs de cette fonction pour un grand nombre de 
valeurs de la variable. On peut y parvenir de la manière suivante : 

Un ellipsoïde est soumis à l'action d'un champ uniforme, d'in- 
tensité variable F, dirigée suivant son grand axe. Cet ellipsoïde 
prend un moment magnétique, dirigé aussi suivant son grand axe, 
et dont la grandeur est déterminée par la première des égalités (9). 
La mesure de ce moment magnétique fait connaître F (OÏL); la 
valeur correspondante de Oll/ est donnée par l'égalité (8 bis). 

Des mesures de ce genre ont été effectuées par W. Weber (*). 
Un barreau cylindrique, que l'on peut assimiler à un ellipsoïde 
très allongé, est placé à l'intérieur d'une spirale parcourue par un 
courant qui engendre un champ uniforme (-); l'appareil agit sur 
un magnétomètre soumis à l'action d'une seconde spirale qui com- 
pense l'effet de la première. 

Des expériences de W. Weber, G. Kirchhoff (^) a déduit les 
valeurs de F(01l/) en fonction de 011/, ou plutôt les valeurs de 

)v(n'C) en fonction de (11'^)-. Voici les résultats de ce calcul, en 
unités C.G.S. On a posé, pour abréger, 

i 



(') w. Weher, Elektrodynamisc/ie Maasbestimmungen, p. 629. 

(») Voir Livre XV, Chapitre VII, § 1. 

(') G. KincHHOFF, Ueber den inducirleii Magnetismus eines unbegrenzten 
Cylinders von weichem Eisen {Journal de Crelle, Bd. XLVIII, p. 348; i854. — 
KirchhoJjTs Abhandlungen, p. 221). 



204 



LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 



u. 


>.(«). 


3oi 


—23,5 


823 


— 13,5 


1184 


— 10,2 


l5l2 


- 8,4 


1773 


- 7,4 


2080 


- 6,4 


2397 


- 5,7 



8. 

9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 



u. 


Mu). 


2484 


— 5,6 


1975 


-6,7 


i583 


-8,1 


1297 


— 9,5 


967 


— 12,0 


612 


- iG,9 


296 


->.5,o 



Pour le champ magnétique terrestre, on aurait 

u = I ,78. 

On voit, par les résultats expérimentaux que nous venons de 
rapporter, que )^(n\'^) décroît rapidement en valeur absolue 
lorsque W'Ç croît au delà de toutes limites. D'après G. KirchhofF, 
on peut écrire 

la fonction fijl"^^) tendant vers une limite finie et positive P 
lorsque W'Ç croît au delà de toute limite. 

S'il en est ainsi, on peut démontrer la proposition suivante : 

Si une masse de fer doux de forme quelconque est placée 
dans un champ magnétique dont l'intensité croit au delà de 
toute limite, l' intensité de cette aimantation tend vers une 
limite P qui dépend exclusivement de la nature du fer doux; 
de plus, la direction limite de l'aimantation coïncide avec la 
direction du champ. 

Dans ces conditions, la masse de fer doux est dite saturée. 
Les équations de l'équilibre magnétique sont, en effet, 



Dl) 



dx 



e = X(nt,,)^|. 

Soient X3 la fonction potentielle magnétique de la masse de fer 
doux et '^ la fonction potentielle magnétique du champ. D'après 



CIIAP. IV. — THEOREMES SUR LES CORPS MAGNÉTIQUES. 

l'égalité (il), les égalités précédentes pourront s'écrire 



tX, = — p{ 



T dx 



(upy 



dx 



(i-i) 



llï, = - 



= -p{ 



L(n\'>)^ 
p{nv)\ T ^7- IV 



Posons 



(i3) 



ï = 



âx 

(nxg))2 

dz 



T - ,, . , ^-^ cm asÇ) r)^t?; 

Imaeinons que 1 une au moins des quantités ——5 -r— , -r;— croisse 

^ >■ 1 dx oy dz 

au delà de toute limite, mais que chacune des trois quantités a, 
|S, Y tende vers une limite finie. L'intensité du champ croîtra au 
delà de toute limite, mais sa direction limite sera déterminée^ ses 
cosinus directeurs seront les limites «, 6, c des quantités a, P, y 
définies parles égalités (i3). 

Il est facile de voir que, si l'on suppose infinie l'une au moins 

> -— > les égalités (12) seront vérifiées en 



dx dy dz 



A. = P: 



des quantités 
posant 

(l4) jlli, =:PP, 

ce qui démontrera la proposition énoncée. 

En effet, ,^1,, li'o, 3 tendant, d'après ces égalités (i4)j vers des 

,. . P . ., 1 A I dV) dXD dXn . ' . . rr , 

limites finies, il en sera de même de -r— > -r— ^ -— : la quantité IlV 

' dx df dz ^ 

croîtra au delà de toute limite, et son rapport à II \g) tendra vers 
l'unité; enùn p(\lV) tendra vers P. Les égalités (12) seront donc 
vérifiées. 



206 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Ce théorème qui, comme lous ceux qui ont été développés dans 
ce Chapitre, est dû à G. KirchhofF, explique le phénomène de la 
saturation que nous avions renconiré au début de ce Livre IX 
comme une grave objection à la ihéorie de Poisson. 

Nous venons de voir que, pour les grandes valeurs de (IIQ)-, la 

P 

fonction ).(nO) relative au fer doux tend vers o comme - 



(nû)2 



pour les faibles valeurs de (ITO)-, cette quantité a, au contraire, 
une valeur absolue croissante. Lord Rajleigh (' ) a trouvé que, pour 

ces faibles valeurs de (IIO)-, la fonction }.(nQ), relative à iin fer 
de Suède recuit, pouvait être représentée par une expression de la 
forme 

).('nQ) = --[6,4 -^ '5,i2(nî2)^J. 

M. Paul Janet (-) a trouvé, par une méthode différente, pour 
un autre fer doux, 

X(nQ) = -[6,3 + 3,9([mr-]. 

Ces résultats montrent que la fonction F (011) croît tout d'abord 
avec OR, lorsque DIL part de o, passe par un maximum, puis dé- 
croît et tend vers o comme -r^r lorsque DIL tend vers B. 

Récemment, M. E. Beltrami (■') a proposé, pour la fonction 
À (nQ) relative aux grandes valeurs de IIQ, la forme suivante : 

PK 



v/p-^-t-K2.rii2 

p étant l'intensité d'aimantation maxima et K une constante. Cette 

formule, d'après les calculs de M. P. Pizetti , représente très 

exactement les résultats des expériences de W. Weber, si l'on 

y fait 

P = i3i35 ,2 ± 2o3,9, K = 29,0369 ± 0,55. 



(') Lord Rayleigh, Philos. Magazine, t. XXIIf, p. 225; 1887. 

(') Paul Janet, Étude théorique et expérimentale sur l'aimantation trans- 
versale des conducteurs magnétiques, p. 83. 

(') EuGENio Beltrami, Considerazioni sulla teoria matematica del magné- 
tisme {Memorie délia Reale Accademia délie Scienze dell' Istituto di Bolo- 
gna, série V, t. I; 1891). 



CHAP. V. 



EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES AIMANTS. 



207 



CHAPITRE V. 

ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT D'UNE MASSE MAGNÉTIQUE EN PRÉSENCE 
D'AIMANTS PERMANENTS. 



^ 1 . — Équations générales du mouvement d'un corps parfaitement 

doux. 



Considérons un système ioriné par des aimants permanents, que 
nous désignerons par l'indice 1, et par un corps parfaitement doux 
que nous désignerons par l'indice 2. Proposons-nous de déter- 
miner les lois du mouvement du corps 2, ou, en d'autres termes, 
de chercher les forces qui agissent sur le corps 2. 

Ce corps 2 peut être quelconque : solide ou fluide, compres- 
sible ou non; il est seulement assujetti à porter à chaque instant 
la distribution magnétique qui convient à l'équilibre; en sorte 
qu'à chaque instant, on doit avoir, en tout point {x^ty^-, ^2) du 
corps 2, 



(') 



1 -- 


-F(Dll2,a,p, . 




1 


-F(31U,a,?, . 




{->- 


-F(Dll2,a, ^, . 





"Ç étant la fonction potentielle magnétique de tout le système. 

Cela étant, cherchons quelles forces extérieures il faut appli- 
quer au corps 2 pour le maintenir en équilibre; les forces qui 
agissent sur le corps 2 seront les forces capables de faire équi- 
libre à celles-là. Si nous savons déterminer les premières, nous 
connaîtrons par cela même les dernières. 

Soit 3" le potentiel thermodynamique interne du système; soit 
0^ la variation qu'il éprouve lorsque l'on imprime aux divers 



2o8 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

points du corps 2 un petit déplacement, accompagné de petites 
variations d'aimantation telles que les équations (i) demeurent vé- 
rifiées. 

Soit ûS le travail effectué, dans le déplacement considéré, par 
les forces extérieures appliquées an corps 2. Si ces forces main- 
tiennent le corps 2 en équilibre, la modification infiniment petite 
que nous venons de considérer sera réversible, et l'on aura 

5G Ort = G. 

Les forces extérieures qu'il faut appliquer au corps 2 pour le 
maintenir en équilibre effectuent, dans tout déplacement virtuel 
du corps parfaitement doux, un travail égal à la variation totale 
de cF. Ces forces sont destinées à faire équilibre aux forces qui 
agissent sur le corps 2. Les forces qui agissent sur le corps par- 
faitement doux 2 ont donc pour potentiel le potentiel thermo- 
dynamique interne du système. 

Parmi ces forces, celles que l'on peut regarder comme d'origine 
magnétique auront pour potentiel la quantité 



(2) 



^ -H r#i ( OK 1 ) dVy 4- l'.f 2 ( Dli 2 ) dv^. 



L'aimantation des aimants permanents ne subissant aucune varia- 
tion, la quantité 



J' 



demeure invariable durant les déplacements que l'on peut imposer 
au corps 2. 

Soient t)( la fonction potentielle magnétique du corps 1 et ï')2 
la fonction potentielle magnétique du corps 2. Nous aurons 



Le terme 



Al 









cl,2 



dx. 



X. 



<JX\ 



d^- 



d(>i 



u\ 






dv9. 



ne varie pas dans les déplacements et déformations imposés au 
corps 2. 

Si l'on remarque alors que l'on peut retrancher du potentiel 
des forces qui agissent sur le corps 2 les termes que les déplace- 



CIIAP. V. — lÎQUILIBRE ET MOUVEMENT DES AIMANTS. 209 

ments el déformations du corps 2 laissent invariables, on voit que 
l'on pourra remplacer l'expression (2) de ce potentiel par l'expres- 
sion 



(3 



> '--Il 



.1,. 






dvi 



'J\ 



.l>2 , 



dV, 



0X9 



dvi 



-J^2{1 



d'(i',)dVi. 



Dans le cas où le corps 2 s'aimante conformément à la théorie de 
Poisson, on a, en désignant par k-i son coefficient d'aimantation 
[Chap. II, égalité (27)], 



2 AO 



et l'égalité précédente devient (') 



.« r=/| 



-Uo 



Oxi 



dv^ 



If 



1 àV, 

-VS2 ^ — 
0X9 



dv-i 



-:/ 



u^t 



- dv-i. 



Cette expression même peut se transformer. 
On a, en effet, 

D'ailleurs, si le corps 2 s'aimante conformément à la théorie de 
Poisson, les égalités (i) deviennent 



s^ia-T — '12 

\)l,2 — — A2 

W2 — — A 2 



dxi 

— ^/2 ' 



On a donc 



c^.r2 



dvi. 



dVi, 



•y ''^2 J W 

et l'égalité (4) devient 

Or, si le corps 2 était un corps rigide et si l'aimantation qu'il porte 
(Hait supposée permanente, les actions mutuelles des deux aimants 



(') GoTTLiEB Adler, Ucber cUe Energie inagnetiscli polurisirter Korper,nebst 
Anwendung der beziiglichen Formeln au/ Quincke's Méthode zur Destim- 
tnung der Magnetisirungszahl {Sitzungsber. der Akad. der ff issenscha/te.i 
zu Wien. XCII, 2' Abth.; i885. — Wiedetnann's Annalen. Bd. XXVIII, p. Socj ; 
i8s6). 

D. — II. i4 



210 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

1 et 2 auraient pour potentiel [Livre YII, Chap. I, égalité (lo)], 
la quantité 

(6) (^=f\\j[,,^ 

La comparaison des égalités (5) et (6) 



dvi 



(7) 



$ = 2é?. 



Lorsqu'un corps parfaitement doux, placé en présence d'un 
aimant permanent, s'aimante conformément à la théorie de 
Poisson, le potentiel des actions magnétiques qu'il subit à un 
instant donné est la moitié du potentiel des actions mutuelles 
qui s'exerceraient à cet instant entre les deux corps, si le corps 
doux était, à cet instant, transformé en un aimant permanent 
et indéformable. 

Cette proposition est due à M. J. Stefan ('). Elle n'est exacte 
que pour les corps qui s'aimantent conformément à la théorie de 
Poisson. 

Revenons au c^s où le corps 2 est un corps parfaitement doux 
quelconque; l'égalité (3) peut s'écrire 



'-Rh 



^(r),-4-t%) 



àx^i. 



ii{3\i'i)\ dv-i— - mU=>2 



ou bien, en vertu des égalités (i), 









dvt. 



di>i, 



D'après une transformation connue [Livre VII, Chap. III, éga- 
lité (17 bis)], nous aurons 



(9) 



ij II dX'i 8-!zJ 



l'intégration qui figure au second membre s'étendant à tout l'es- 
pace. 



( • ) J. Stefan, Ueber die Gesetze der elektrodynamischen Induction {Silzungs- 
berichte der Akademie der Wissenschaften zu Wien, LXIV, 2° Abth., p. 19.3 ; 

1871). 



CHAI'. V. — EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES AIMANTS. 211 

Posons 

"iTi - 

et l'égalité (8) deviendra 

(11) r=— -^- fuXD^di-^ fWi{D\L2)di^2. 

La fonction W2(^1^2)7 définie par l'égalité (lo), se représentera 
souvent dans nos calculs; indiquons en brièvement les propriétés. 
Si l'on se souvient que l'on a [Chap. II, égalité (5)], 

on voit que l'on peut encore écrire 

ou bien, en désignant par pi2 une certaine valeur de 011-2 comprise 
entre o et OU 2, 

i" Considérons en premier lieu les corps diamagnétiques. 
Pour ces corps, la fonction F2(011'2) est négative. Si sa valeur ab- 
solue est indépendante de OlLo, décroît lorsque OIL2 croît, ou croît 
faiblement avec OTL2, on sera assuré que la valeur absolue de 
F2(0n.2) est inférieure à la valeur absolue de 2F2(|i.2). On aura 
donc 

(i4) ^2(an.2)<o. 

Ainsi, pour un corps diamagnétique dont la fonction ma- 
gnétisante est, en valeur absolue, indépendante de Oli, faible- 
ment croissante avec 01L2> ou décroissante lorsque SÏL^ croit, 
la fonction ^r2(01L2) est négative. 

2° Considérons en second lieu les corps magnétiques. Pour 
ces corps, la fonction F2(0Tl2) est positive. On voit alors sans 
peine que, pour un corps magnétique dont la fonction magné- 
tisante est indépendante de D]1.2, faiblement croissante avec D\Lo, 



212 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

OU décroissante lorsque 0112 croit, la fonction W2{3\i2) est posi- 
tive : 

(l5) T2(01i2)>O. 

Nous pouvons admettre l'hypothèse suivante, dont nous ferons un 
fréquent usage : 

Pour tous les corps magnétiques, la fonction ^F(,')ll) est po- 
sitive. 

Dans le cas où l'approximation de Poisson peut être acceptée, 
la fonction magnétisante F2(<01L'2) peut être remplacée par un coef- 
ficient d'aimantation k^^ indépendant de DlLo- L'égalité (3) donne 
alors 

(i6) XF,(01V2) = ^^- 

En comparant celle égalité à l'égalité (27) du Chapitre II, on voit 
que l'on a, dans ce cas, 

(17) ^^{d\l^) = fu_{d\L,). 

Moyennant les renseignements que nous venons d'obtenir sur 
la fonction ^'*2(5l^2)> l'égalité (i i) nous donne la proposition sui- 
vante : 

La fonction j" est toujours négative pour un corps magné- 
tique (^mais non diamagnétique) quelconque, placé à distance 
finie d'aimants permanents quelconques. 

Si le corps magnétique parfaitement doux 2 est situé à une dis- 
tance infiniment grande des aimants permanents 1, il n'est plus 
aimanté, et le second membre de l'égalité (11) est égal à o. La 
quantité J" prend donc sa plus grande valeur lorsque le corps par- 
faitement doux magnétique est infiniment éloigné de tout aimant 
permanent. 

Si l'on observe maintenant que, d'après les propriétés du po- 
tentiel thermodynamique interne, les forces magnétiques qui 
agissent sur le corps doux tendent toujours à le déplacer de ma- 
nière que la quantité J" passe d'une valeur plus grande à une va- 
leur moindre, on voit que l'on arrive à la loi suivante : 

Un corps magnétique parfaitement doux, placé à une dis- 



Cn.VP. V. — ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES AIMANTS. 21 3 

tance très grande d'aimants permanents, tend toujours à 
s'approcher de ces aimants. 

Celle proposilion justifie le nom de substances attirables à 
l'aimant, souvenl donné aux subslances magnétiques pai'faitement 
douces. 

L'égalilé (i6) montre que, dans le cas où le corps magnétique 
s'aimante d'après la théorie de Poisson, l'égalité (i i) peut s'écrire 

(.8, r.-fJno,*-.;/i|l*,. 

Cette forme a été souvent employée par les auteurs qui ont traité 
du magnétisme. 

Revenons à l'égalité (2) qui donne, dans le cas le plus général, 
l'expression du potentiel §' des actions magnétiques qui agissent 
sur le corps parfaitement doux 2. 

Lorsqu'on donne au corps parfaitement doux 2 un déplacement 
infiniment petit compatible avec les liaisons auxquelles il est assu- 
jetti, les composantes X^^ DÎjo, ©2 de l'aimantation en chacun de 
ses points subissent des variations ^X^, Bi)î)25 ^^2, de telle sorte 
que les égalités (i) continuent d'être satisfaites. Ces variations de 
position, de forijie et d'aimantation du corps 2 entraînent une va- 
riation totale 8j' de la fonction 3' . 

Cette variation peut être regardée comme la somme de deux 
autres. 

Imaginons que l'on imprime au corps 2 le déplacement et la 
déformation que l'on veut étudier, mais que chaque point, en se 
déplaçant, entraîne son aimantation sans que celle-ci change de 
grandeur ni d'orientation par rapport aux axes de coordonnées. 
La quantité §' subirait une variation 8, §' . 

Supposons d'autre part que, laissant le corps 2 immobile, on 
fasse varier en chaque point les composantes X^, i)î>25 ©2 de l'ai- 
mantation de 8cAo2, 8i)l)2, 8^2- La quantité §' subirait une variation 
82^'. On aura évidemment 
(19) Zt=^J'-^^J'. 

Mais on a, en reproduisant les raisonnements exposés au Cha- 
pitre II, 



21 4 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODVNAMIQUE. 

OU bien, d'après les égalités (i), 

Zii'= o. 

L'égalité (8) devient donc 

(20) 8.f'=â,.f'. 

LorsqiCun corps parfaitement doux se déforme et se déplace 
dans un champ magnétique, les forces magnétiques qui lui 
sont appliquées effectuent un travail égal au signe près à la 
variation que subirait la quantité ^' si chaque particule du 
corps 2 entraînait son aimantation sans en changer ni la gran- 
deur ni la direction. 

Au lieu de supposer que, dans la première modification, l'ai- 
mantation de chaque point est entraînée en gardant une grandeur 
invariable et une direction invariable dans l'espace, on pourrait 
supposer que l'aimantation en chaque point est entraînée en gar- 
dant une grandeur invariable et une orientation invariable par rap- 
port à trois axes liés à la particule matérielle dont ce point fait 
partie. La proposition précédente demeurerait exacte. 

La nouvelle forme que prend la proposition précédente s'ap- 
plique aisément au cas où le corps 2 est un solide indéformable. 

Le déplacement de ce corps résulte d'une translation dont les 
composantes parallèles aux axes sont ox, ojk, 05, et de trois rota- 
tions ùk, B^u, Sv, autour des trois axes de coordonnées. 

Dès lors, on déduit aisément de la proposition précédente l'é- 
galité 

8^' = 



(21) 



8x 1 ( wlas 




-f- \l'02 


dx^ây^ 


— I— C*^2 

àx^ ai 


'il 




dz2 âx-i 
• (^K2 àXi 


+ 1)1)2 
-4-1)^5 


'■ àyl 







Cette expression de oJ' redonne, pour expression des actions ma- 
gnétiques qui agissent sur le corps 2, les expressions données 
par les égalités (12) du Livre VIT, Chapitre L 



CHAP. V. — ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES AIMANTS. 21 5 

§ 2. — Instabilité de l'éqviilibre d'un corps magnétique en présence 
d'aimants permanents. 

L'égaillé (21) va nous permettre de répondre d'une manière 
entièrement générale à une question posée par les recherches de 
Sir W. Thomson (') et résolue par lui pour un corps très petit et 
très peu magnétique. Cette question est la suivante : Une masse 
magnétique indéformable et dénuée de force coercitive, placée en 
présence d'aimants permanents, est soumise à des forces exté- 
rieures qui se réduisent : 

1° A une pression normale et uniforme en tout point de sa sur- 
face; 

2° A une force constante en grandeur et en direction appliquée 
à chacun de ses éléments. 

C'est sensiblement le cas pour une masse placée dans l'air et 
soumise à l'action de la pesanteur. 

Celte masse prend une position d'équilibre déterminée par les 
considérations dévfiloppées au paragraphe précédent. Cette posi- 
tion d'équilibre est-elle stable? 

Les forces extérieures admettent un potentiel W. Le système 
admet alors un potentiel thermodynamique total cp qui est la 
somme du potentiel thermodynamique interne § et du potentiel 

W des forces extérieures 

o = .f -t- W. 

Si, pour toutes les modifications virtuelles qui laissent invariables 
la forme et l'état physique et chimique des diverses parties du 
système, © subit une variation positive, le système est en état d'é- 
quilibre stable. La variation première de cp est identiquement nulle, 
puisque nous supposons réalisées les conditions d'équilibre étu- 
diées au paragraphe précédent, qui, toutes, découlent de l'égalité 

0-)' Oto = O 

ou 

8i+oW = o. 



(') Sir W. Thomson, Remarks on the forces experienced by inductively ma- 
gnetized ferromagnetic or diamagnetic non-crystalline substances ( Philoso- 
phical Magazine, t. XXXVII, p. 241; iS5o. — Beprint 0/ papers on electrostatics 
and magnelism, n' édition, p. 5i4). 



2l6 LIVRE IX. - AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Nous sommes donc amené à chercher si la variation seconde de 'f 

est positive. 

Nous commencerons. par recherclier si 0-0 est positif, non pas 
pour tout déplacement virtuel du corps dénué de force coercitive, 
mais seulement pour toute translation virtuelle; dans ces con- 
ditions, il n'est pas difficile de voir que 

et que la question se ramène à chercher si 0- j" est toujours positif. 
Si les seules forces intérieures au système sont les forces magné- 
tiques, nous aurons 

(22) ^Ki = ^^^'. 

En vertu de l'égalité (21), nous avons 






' dx\ âX2 ày^ ' dx^ d 

dx^ ôy^ ôyi (^^2 àz^ ) 

Imaginons que Ton imprime au corps 2 une seconde fois la 
translation (0^, qy, §5). Désignons par 0' J-o, o'oIÎjo, o'S2 les varia- 
tions que, d'après les égalités (i), une semblable translation fait 
éprouver à X2, i)l)2, ©2» en observant que ces variations sont des 
fonctions de 8^, Sj^, ùz et ne doivent pas être confondues avec les 
variations arbitraires que nous représenterons par ô^l>2, Si)l)25 '^^i- 
L'égalité précédente nous donnera 



^y ^z I \ 



Xi ^ ^ h 1)J>2 , „ , -1- G2 -; e-s- 1 dvi 



(23); 



8./( 

^^J\dx,dy,—' ' dyl - -- ■ dy.dz, 

J \dx2dz-î oyidz^ dzl ) 



—-ri 0' X^ 4- ;, -— r^ ô' iJla + -. T^ Ô Gj ) ^1^2 

Oa^l 0372 0/2 00^2 ''-32 

tf 0.^2+ -^-5- oalli2+-^ T— ûG2 \dvi 



CHAP. V. — EQUILIBRE ET MOUVEMENT DES AIMANTS. 217 

Celle expression de 8^J' peut se transformer. 

-l.o, iil)2? ^2 doivent, à chaque instant, vérifier les égalités (i); 
cette condition peut encore, si l'on se reporte à la méthode suivie 
pour établir les égalités (i), s'énoncer de la manière suivante : 

On a à tout instant, quels que soient ô^lo, ôilbo? ^So» 



/ 



Ox-i 



0x9 






Ù-X>9 dv» =: O. 



Cette condition doit être vérifiée lorsque Je corps 2 occupe sa 
position initiale avec son aimantation initiale; elle doit encore 
être vérifiée après que l'on a fait subir au corps 2 la trans- 
lation (5.C, Sj', Ss) et à l'aimantation (^Xi, 1)1)0, Sa) la variation 
(3'al,2, 8'\li)2, ô'So)' Le premier membre de cette égalité éprouve 
donc, lorsqu'on impose celte translation au corps 2 et cette varia- 
tion à l'aimantation qu'il porte, une variation qui doit être égale 
à o, quels que soient 8.A>2, oïl^a, SSo- 

On doit donc avoir, quels que soient ùâo^i Si)l)2, 080, 







-~ 8 1)1)2 + ^ r^ 8S9 1 dv^ 



C)X2 (^^2 




y (Jv92 
2 

- A^ "^^^'i.-^^'^ (5jl,2 8'cil>2+ SH''>2 8'DÎ'2-(- 8328'S2)^«'2 
^ 1/1^2 «1/1^2 

Cette égalité, devant avoir lieu quels que soient So,l,2i Sil^a, 882, 
aura lieu encore si l'on pose 

8JI02 = û'cilo2, 8\)b2 = 8''l)l)2, 882= 8' S2. 

La forme qu'elle prend par cette substitution, comparée à l'éga- 



(■>.5) 



•218 LIVRE IX. 

lité (23), donne 



AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 



82 -F' z 



/(^ '^''' 



dj.2 



•i oy oz 









dx\ ôy^ (J.Z2 
dxl ÔZ-2 
âxi oy^ 



aPo2 

a)î.2 

\\\ 



^72 c*^! 
àyi àz^ 



' C'*"2 't>^2 <^-32 



dx'^ dzi 
'- dyl ôZi 

''■ dy^ dzl 



■ dx.^ dy<i 






dv^ 


(> 


dvi 


(^) 


dv-2 


(3) 


dV2 


(i) 


dv.2 


(5.) 


dv<i 


(6) 



c/ Il 



-o'DÎ,2 



t7t''.> 



dv» 



112 <:/tJlt2 



[( 5M>2 )2 + ( a' 1)1,2 )- + ( 0' S2 )2 ] C/P2 



J OIL2 <iJlt2 L^lt-2 <a^Jlt2 J 



(7) 



(H 



320'32)^^''2. (9) 



Celle forme de 0- J' se prête à une inlerprélalion très simple. 

Supposons que, sans jamais faire varier V aimanLation en 
chaque point , nous imprimions deux fois de suile au corps dénué 
de force coercilive 2 la translation (û.^, oj', 83); il en résulterait 
pour rî' une variation seconde o^rf représentée par les termes (i), 
(2), (3), (4), (5), (6). 

Supposons d'autre part que, sans jamais déplacer le corps 2, 
nous imprimions deux fois de suite à son aimantation en chaque 
point la variation (o'oiUa, S'uba, S'Sa)- H en résulterait pour §' une 
variation seconde ô'.,-^'', et l'ensemble des termes (7), (8), (9) a pré- 
cisément pour valeur, d'après les calculs faits au Chapitre III, 
( — ù.f^'). On a donc 

OU bien, en vertu de l'égalité (22), 

(•26) S2#= 0f#'— O'/J'. 

Examinons en premier lieu la quantité o;J' représentée, comme 
nous l'avons vu, par les termes (i), (2), (3), (4), (5), (6). Cette 



CHAP. V. — ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES AIMANTS. 219 

expression est une forme homogène et du second degré de ox, o^, 
03. La somme des coefficients de oj:*, o/-, oz- peut s'écrire 



/( 



Xî Al')i -*- Tli,2 AOi -4- 82 T- At)i ) fi^t'a 

CX2 '^J'2 "^2 



Mais, en tout point du corps 2, on a 

AUi = o 
et, par conséquent, 

d d d 

— At)i=o, — Al'Ji = o, ^AOi = o. 

dXi C72 (^^2 

La somme des coefficients de ox-, oy-, ùz-, dans la quantité 3^^', 
est donc égale à o; par conséquent, ou bien la quantité ^'^3' est 
identiquement nulle, ou bien il existe des translations pour les- 
quelles elle est négative. Dans tous les cas, on peut affirmer qu'elle 
ne saurait être positive pour toute translation. 

Si l'aimantation prise par le corps 2 est une aimantation stable, 
la quantité 5*' éprouvera une variation seconde certainement posi- 
tive lorsqu'on donnera deux fois de suite la variation 0X2, 3it5>25 
082 à l'aimantation en un point du corps 2, et cela quels que soient 
oJl92, ôi)l)2, 532, pourvu qu'ils ne soient pas identiquement nuls. 
Cela aura lieu en particulier si l'on fait 

à moins que ô'^Ag^, 0' \\\,2i o'So ne soient identiquement nuls. 

La quantité o.'f ^' esl donc positive, à moins que l'on n'ait, en tout 
point du corps 2, 

0''Â>2=O, 0'l)i)2=O, 0'32=O. 

D'après l'égalité (24), ces dernières égalités ne peuvent avoir 
lieu, à moins que l'on n'ait, en tout point du corps 2, 

d^Vi (JHOi d^Vi 

—^ — r = O, — = O, — — 7- = o, 



c'est-à-dire à moins que le champ dans lequel le corps 2 est placé 
ne soit uniforme. Dans ce cas, les deux quantités SJ J', ù'^ê' sont 



220 LIVRE IX. — AIMANTATION KT THERMODYNAMIQUE. 

identiquement nulles, et il en est de même des variations de tous 
les ordres de ^' . 

Nous arrivons ainsi aux conclusions suivantes: 

1° Si le champ magnétique dans lequel le corps se trouve 
placé est uniforme, l'équilibre du corps est indifférent. 

2" Si le champ magnétique dans lequel le corps se trouve 
placé n^ est pas uniforme et si V aimantation prise par ce corps 
est stable pour la position quUl occupe, il existe certainement 
des translations pour le quelles 0^ ^ est négatif, et V équilibre 
du corps est instable. 

Nous avons vu que, sur tous les corps magnétiques connus, 
placés dans une position déterminée, l'aimantation prend une dis- 
tribution stable; l'équilibre d'un corps magnétique, indifférent 
dans un champ uniforme, est instable dans un champ non uni- 
forme. 



CHAP. VI. — IMPOSSIBILITE DU DI.VMVGNETISME, 



CHAPITRE VI. 

IMPOSSIBILITÉ DES CORPS DIAMAGNÉTIQUES. 



Nous avons laissé de côté, dans les trois Chapitres précédents, 
les corps dlaniagnétiques, c'est-à-dire les corps pour lesquels la 
fonction F(OIL) serait négative; revenons maintenant à l'étude de 
ces corps. 

Un corps parfaitement doux immobile étant placé en présence 
d'aimants permanents, la variation seconde du potentiel thermo- 
djnamiqùe interne du système a pour expression [Chap. III, éga- 
lité (i6)J, 



oKj = — 1 IIQ du 

HtcJ 



^y^àF(:)]1,a,^,...) 



les diverses lettres que renferme cette formule gardant la significa- 
tion qui leur a été donnée au Chapitre III. 

Supposons que le corps soit un corps diamagnétique ; sa fonc- 
tion magnétisante F(.')IL) est alors une quantité négative. 

Supposons, en outre, que ce coefficient ait une très petite va- 
leur absolue. 

Les équations de l'équilibre magnétique 



dx 

G^-F(,m,a,,3,.,.)A 



X^-F{0\i,oi, ^, 

Dl, = -F(Oll, a, 3, ...) 



222 LIVRE IX. — AIMANTATION ET TIIERMODyNAMIQLE. 

montrent que la valeur de DM. est une quantité très petite du même 
ordre que F(01l, a, ^, . . .). 
Les quantités 

~ fnadu, 4- f^^dv 

OTT y oit J 

sont des quantités finies. 
La quantité 

-J F(OIL,a,p, ...)^'^ 
est une quantité négative dont la valeur absolue, très grande, est 
de l'ordre de „ , ,. ,^ ^ • 

Si la fonction F(orL) varie peu, de telle sorte que la quantité 

d ¥ (DXl) . , |. 111 I • , T-. / NI 

,...- — soit négligeable devant la quantité r (OU), la quantité 

r ()F(,m,a, 3. ■■■) 

J = ~ / , ,-, , ..., r, TV- "^ dv 

J [l^(Oll,a, 3, ...)J^ 

sera négligeable devant la quantité J. Si — -^ — n'est pas négli- 
geable devant F(Oli), il n'en sera plus de même. 

Si la valeur absolue de F(D1L) décroît lorsque OÏL croit, J' est 
très grand et négatif. J' est très grand et positif si la valeur abso- 
lue de F(OllL^) croît avec DU. 

Donc, pour un corps diamagnétique dont La fonction ma- 
gnétisante a une valeur absolue toujours très petite, qui de- 
meure constante , croit très faiblement ou décroît lorsque 
V aimantation croît, ù-^ est toujours négatif. ^ peut admettre 
un maximum et un seul, mais ne peut admettre de mini- 
mum. 

Sans avoir à se préoccuper du sens de la variation de F(Oli), 
on peut arriver à une conclusion intéressante, quoique moins 
complète que la précédente. 

On peut toujours imposer à l'aimantation du corps parfaitement 
doux une variation telle que l'on ait en tout point 

m — o. 

Si l'on se souvient, en effel, que m est défini par l'égalité 

oOlL = m ot. 



CHAP. VI. — IMPOSSIBILITE DU DIAMAGNÉTISME. 223 

on voit qu'il suffira, pour parvenir au but que nous venons d'in- 
diquer, de faire varier en tout point l'orientation de l'aimantalion 
sans en faire varier l'intensité. 

Pour une semblable variation, on aura 

J'^o. 

On peut donc énoncer la proposition suivante : 

Un corps diamagnétique, dont la fonction magnétisante a 
une valeur absolue très petite, étant pris dans un état d'ai- 
mantation quelconque, on peut toujours imposer à cette ai- 
mantation une variation telle que la quantité 8-ef soit néga- 
tive. 3' ne peut donc, pour un semblable corps, présenter de 
minimum. 

Les propositions que nous venons de démontrer conduisent à la 
conclusion que voici : 

-5"///* un corps diamagnétique dont la fonction magnétisante 
a une valeur toujours très petite, il ne peut pas exister de dis- 
tribution magnétique correspondant à un équilibre stable. 

Cette conclusion doit encore demeurer vraie pour un corps dia- 
magnétique dont la fonction magnétisante n'est pas très petite ; 
c'est ce que nous allons démontrer, en nous servant des propriétés 
de la fonction ^^'(Dri), établies au § 1 du Chapitre V. 

Considérons un sjstème formé par des aimants permanents, 
que nous désignerons par l'indice 1 et par un corps dénué de force 
coercitive que nous désignerons par l'indice 2. 

Le potentiel thermodynamique interne de ce système peut 
s'écrire, en désignant par ^^^ la fonction potentielle magnétique 
des aimants permanents 1 en un point de ces aimants; par XJP2 ^^ 
fonction potentielle de ces aimants en un point du corps 2; par 
X)^ la fonction potentielle du corps 2 en un point de ce corps, et 
en supposant le système non électrisé 



à'^Ai , riK à^ 



">■.) Il dxi II J 



cl,. 



dxi 



dvi 



"i- J II ^^2 II c/ J 

Cette expression est générale; elle est exacte, en particulier, si la 



224 LIVUE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

distribution magnétique sur le corps 2 est une distribution d'équi- 
libre. 

Considérons le corps diamagnétique et les aimants dans une 
certaine position, et supposons que l'on ait trouvé, sur le corps 
diamagnétique, une certaine distribution d'équilibre stable cor- 
respondant à une valeur minima J'o du potentiel ihermodj'namique 
interne; puis, supposons que, les corps étant placés dans la même 
position, on donne à toutes les particules de la masse 2 la même 
aimantation, sauf à la particule 

dx^ dy^ dz^ = dv^-, 

que l'on supposera non aimantée. Le potentiel thermodynamique 
interne du système prendra alors une nouvelle valeur ,?,, et l'on 
aura 

dv-i-^ .'fi{Ù\\,_)d\>z, 



rfa—^- 






les quantités qui figurent au second membre ayant toutes les va- 
leurs qu'elles ont dans l'état d'équilibre considéré. Or, dans cet 
état d'équilibre, on a 

àXa 



o\.2 = - i%(orL2) 



Dî,, 



F^c-mo 



-F.iOTL,) 



De ces égalités on déduit 









;)ii? 



^''i{0\U) 



et, par conséquent, 



[•■ 



j, = ,T2(3rt5 



nrL2 



dVr, 



F, (OU 2). 
ou bien, d'après l'égalité (i) du Gliapitre précédent, 

.fo- J,=.-VF2(,m2)^i^2. 

Si le corps 2 est vin corps diamagnétique dont la fonction magné- 
tisante est indépendante de 011, croît faiblement en valeur absolue 
avec 011, ou décroît en valeur absolue lorsque OÏL croît, on aura. 



CHAP. VI. — IMPOSSIBILITÉ DU DIAMAGNÉTISME. 225 

d'après l'inégalité (4) du Chapitre précédent, 

■^0— ■•'?i> o. 

On voit, d'après cela, que, si, pour un des corps diamagné- 
tiques vérifiant les restrictions précédentes, on considérait une 
distribution magnétique d^ équilibre correspondant à un mi- 
nimum du potentiel thermodynamique, on pourrait toujours 
trouver une distribution dans laquelle le potentiel thermodyna- 
mique aurait une valeur moindre que dans l'état considéré. 

Il est, d'après cela, très vraisemblable que, pour de semblables 
corps, il n'existe aucun minimum du potentiel thermodynamique 
interne, proposition que nous savons être vraie lorsque la fonc- 
tion magnétisante est très petite. 

Mais voici une démonstration entièrement générale de ce fait 
que, sur un système dont une portion quelconque est diamagné- 
tique, le potentiel thermodynamique ne peut jamais présenter de 
minimum. 

Soit dv un élément de volume pris dans une région diamagné- 
tique. Faisons tourner l'aimantation de cet élément de volume, 
de telle façon que ses composantes JU, ilî), S varient de Sol>, oiJl), 
o3, sans que l'aimantation Oit change de grandeur. Nous aurons 

( i ) X S^.b -T- \)l) 01)1) -)- 3 58 = o 



et 



o.j" = -— o-.Id + ,— oi)b + -— o3 dv. 
^ ox ay oz 



De cette dernière égalité, on déduit 

\ox oy oz I 

OU bien, en vertu des conditions d'équilibre, 

ox 

C =-F(01L)^, 



D. - II. 



226 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Mais l'égalité (i) donne 

X B^X -h M\> o2Db + G 82S + (0.1,)'--+- (oi)'o)24- {oBy-=o 
et l'on a, par conséquent, 

s^ ^ = p^ [( 5.1, y -H ( 8Di y + ( sa)2 ] ^^,. 

Si F(Ol'L) est négatif, il en est de même de 8-rf. Ainsi, 5/, dans 
un système, une région, si petite soit-elle, est diamagnétique , 
il ne peut y avoir sur ce système d'équilibre magnétique stable. 
Nous pouvons donc énoncer, sans rectriction, la proposition 
suivante : 

Les principes de la Thermodynamique ne permettent pas 
qu'il existe de corps diamagnétiques, c'est-à-dire de corps dont 
la fonction magnétisante soit négative. 

Indiquons brièvement ici les recherches qui ont conduit les 
physiciens à cette proposition. 

Nous avons donné (*), dès 1887, l'expression de S^^, mais sans 
remarquer que cette quantité devait être négative pour les corps 
diamagnétiques. Plus tard (2), nous avons remarqué que, si l'on 
supposait l'équilibre établi sur un système renfermant des corps 
diamagnétiques, on pouvait toujours définir un état du même sys- 
tème correspondant à une valeur moindre du potentiel thermody- 
namique interne. Mais, au lieu d'en conclure l'impossibilité d'une 
aimantation stable sur les corps diamagnétiques, nous en avons 
simplement conclu qu'il ne pouvait y avoir, sur ces corps, un état 
d'équilibre unique, conclusion qui nous semblait conforme à cer- 
taines expériences de M. Joubin, dont il sera question au Cha- 
pitre VIII, § 3. C'est cette conclusion que nous exposions dans 
notre Théorie nouvelle de l'aimantation par influence, fondée 
sur la Thermodynamique ('). 

Peu après, M. Parker ('•) a reconnu qu'il y avait contradiction 



(') P. DuHEM, Sur l'aimantation par influence {Comptes rendus, t. CV, 
p. 798; 3i octobre 1887). 

{") P. DuHEM, Sur l'aimantation des corps diamagnétiques {Comptes rendus. 
t. CVI, p. 786; 12 mars 1888). 

(') Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. II; 1888. 

{*) John Parkkr, On diamagnetism and concentration of energy {Philoso- 
phical Magazine, S" série, t. XXVII, p. 4o3; mai 1889). 



CUAP. VI. — IMPOSSIBILITÉ DU DIAMAGNÉTISME. 227 

entre l'existence des corps diamagnéliques et le principe de Car- 
not-Clausius; mais, au lieu d'en conclure l'impossibilité des corps 
diamagnéliques, M. Parker a proposé de modifier le principe de 
Carnot-Clausius. 

C'est alors que nous avons développé (') les considérations que 
l'on vient de lire. 
. Au moment où nous publiions ces considérations, nous n'avions 
pas connaissance d'une Note remarquable (2) que M. E. Beltrami 
avait publiée peu de temps avant le Mémoire de M. Parker. 

Dans cette Note, M. E. Beltrami démontre que, pour un sys- 
tème entièrement diamagnétique, la quantité 






qui représente, en adoptant l'approximation de Poisson, la partie 
magnétique du potentiel thermodynamique interne (M. E. Bel- 
trami dit l'énergie) est négative. « Ce résultat, ajoute M. E. 
Beltrami, en entraîne un autre, qui n'est pas moins invraisem- 
blable. On sait que, si, à la distribution magnétique induite dans 
un corps par des actions magnétiques externes, données et inva- 
riables, on superpose une autre distribution magnétique quel- 
conque, le potentiel de tout le système augmente d'une quanlité 
qui est simplement égale au potentiel de la distribution super- 
posée à la distribution induite. Il résulte de là, en tenant compte 
du résultat précédent, que, si le corps induit est paramagnétique, 
le potentiel augmente quand cesse l'équilibre d'induction, mais 
au contraire que, si le corps est diamagnétique, le potentiel di- 
minue. Dans le premier cas donc, le potentiel total serait mini- 
mum dans l'état d'équilibre; dans le second, au contraire, il serait 
maximum, en sorte que l'équilibre d'induction magnétique serait 
instable. » 



(') P. DuHEM, Sur l'impossibilité des corps diamagnétiques {Comptes ren- 
dus, t. CVIII, p. 1042; 20 mai 1889). — Des corps diamagnétiques {Travaux 
et Mémoires des Facultés de Lille, Mémoire n° 2; 18S9). 

(') E. Beltrami, Note fisico-matematiche, lettera al prof. Ernesto Cesàro 
{Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. III; séance du 10 mars 
1889). 



228 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 



CHAPITRE YII. 

AIMANTATION D'UN CORPS MAGNÉTIQUE AU SEIN D'UN MILIEU 
MAGNÉTIQUE. 



§ 1. — Historique. 

La Thermodynamique conduit à rejeter l'existence des corps 
diamagnétiques, tout comme la théorie de l'aimantation par in- 
fluence imaginée par Poisson. Mais, tandis que l'incompatibilité 
des corps diamagnétiques avec la théorie de Poisson avait simple- 
ment amené la plupart des physiciens à rejeter les hypothèses sur 
lesquelles repose la théorie de Poisson, leur incompatibilité avec 
les principes de la Thermodynamique doit forcément amener à re- 
jeter leur existence, à moins que l'on ne veuille rejeter les axiomes 
de Clausius et de Thomson, c'est-à-dire admettre la possibilité de 
créer, avec des corps diamagnétiques, des instruments capables 
de produire un mouvement perpétuel. 

Il ne peut donc pas exister de corps diamagnétiques propre- 
ment dits, c'est-à-dire de corps dont la fonction magnétisante soit 
négative. 

Cependant la nature nous présente des corps, le bismuth par 
exemple, dont la fonction magnétisante paraît être négative. Com- 
ment doit-on interpréter l'existence de semblables corps? 

La réponse à cette question semble avoir été donnée par 
Edmond Becquerel ('). 

D'après Edmond Becquerel, tous les corps sont magnétiques; 
mais ils sont tous plongés dans un milieu éthéré qui est également 
magnétique; ils semblent alors être magnétiques ou diamagné- 



(') Edmond Becquerel^ De l'action du magnétisme sur tous les corps 
( Comptes rendus, séance du 21 mai 1849. — Annales de Chimie et de Physique, 
3» série, t. XXVIII, p. 288 ; i85o). 



CHAP. VII. — AIMANTATION AU SEIN d'uN MILIEU. 229 

liques selon qu'ils sont en réalité plus ou moins magnétiques que 
le milieu dans lequel ils sont plongés. Voici en quels termes 
M. Edmond Becquerel énonce celte hypothèse : 

« Un corps placé à dislance d'un centre magnétique est attiré 
vers ce centre avec une force égale à la différence qui existe entre 
le magnétisme spécifique de ce corps et celui du milieu dans le- 
quel il se trouve plongé. Ou, en d'autres termes, l'action du ma- 
gnétisme sur un corps est la différence des actions exercées 
sur ce corps et sur le milieu ambiant déplacé. » 

M. Becquerel ajoute : 

« On peut rendre compte de ce principe à l'aide d'une démon- 
stration analogue à celle qui est en usage pour prouver le principe 
d'Archimède. 

» Soit A un centre magnétique placé au milieu d'un espace 
rempli d'un fluide allirable à l'aimant. Dans cette position, il se 
produira un certain état d'équilibre, d'après lequel chaque point 
de ce fluide sera en repos, et il n'j aura qu'un accroissement de 
pression à mesure que l'on s'approchera de A, pression exercée 
par le milieu qui sert à transmettre les actions magnétiques. 
D'après cela, si l'on considère une masse isolée M de ce fluide, 
cette masse sera attirée vers A avec une force que l'on peut re- 
présenter par y"; or, puisqu'il y a équilibre en tous les points du 
milieu lorsque le fluide environne A, il est donc nécessaire que 
l'action du centre magnétique A sur le fluide environnant M donne 
une résultante égale à y et dirigée en sens inverse : cela équivaut 
à une répulsion égale à — f. Supposons maintenant que l'on sub- 
stitue à la masse M une autre substance de même volume ; la force 
attractive de M vers A sera plus grande ou plus petite qne/, sui- 
vant que cette substance sera plus ou moins magnétique que le 
milieu. Représentons celte force par F; la force en vertu de la- 
quelle la masse se portera vers le centre A sera donc (F — /), la 
répulsion — / existant aussi bien dans ce cas que précédemment, n 

PliickerC), en étudiant en même temps qu'Edmond Becque- 



(') J. Pllcker, Ueber den Einjluss der Umgebung eines Kôrpers au/ die 
Anziehung oder Abstossung, die er durch eineii Magnet erfàhrt {Poggen- 
dorff's Annalen der Physik und Chemie, t. LXXVII, p. 678; 1849). 



23o LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

rel les actions magaétiques exercées sur un corps plongé dans 
un liquide magnétique ou diamagnétique, arrive à une idée ana- 
logue. Voici, en effet, la proposition qu'il énonce : 

« L'attraction exercée sur un corps magnétique, que l'on plonge 
dans un fluide magnétique ou diamagnétique, augmente ou di- 
minue d'une quantité précisément égale à la répulsion diamagné- 
tique ou à l'attraction magnétique qui serait exercée sur le fluide 
dont il vient occuper la place. Au contraire, la répulsion exercée 
sur un corps diamagnétique que l'on plonge dans le même liquide 
augmente ou diminue d'une quantité égale à l'attraction magné- 
tique ou à la répulsion diamagnétique qui serait exercée sur le 
fluide dont il vient occuper la place. » 

Mais Pliicker, en énonçant cette loi pour l'action d'un liquide 
sur un corps magnétique ou diamagnétique qu'il baigne, se refuse 
à considérer l'éther comme susceptible d'exercer de pareilles ac- 
tions, et à expliquer ainsi le diamagnélisme. Il ne veut pas faire 
entrer en ligne de compte dans ses théories des forces appliqviées 
à un agent impondérable, et qui n'ont point jusqu'ici d'ana- 
logue. 

Nous allons étudier les phénomènes que présente un corps ma- 
gnétique plongé dans un milieu magnétique; les propositions 
auxquelles nous parviendrons nous montreront qu'en admettant 
l'existence d'un milieu impondérable répandu dans tout l'espace 
et susceptible de s'aimanter, il est possible d'expliquer toutes les 
propriétés des corps, comme le bismuth, auxqviels on avait d'a- 
bord attribué une fonction magnétisante négative. 

Dans le présentChapitre, nous nous contenterons d'établir les lois 
de l'aimantation d'un corps magnétique plongé dans un milieu 
magnétique et soumis à l'action d'aimants permanents. Nous étu- 
dierons ultérieurement les forces auxquelles un semblable corps 
est soumis. 



§ 2. — Aimantation d'un corps parfaitement doux plongé dans un 
milieu parfaitement doux. 

Imaginons que des aimants permanents, désignés par l'indice 1, 
et un corps parfaitement doux, désigné par l'indice 2, soientplon- 



CHAP. VII. — AIMANTATION AU SEIN D UN MILIEU. 23l 

gés dans un milieu magnétique s'étendant assez loin pour qu'on 
puisse le regarder comme indéfini, que nous désignerons par l'in- 
dice 3. 

Nous supposerons, dans le présent Livre, que ce fluide soit 
homogène, incompressible et parfaitement doux. Nous exami- 
nerons, dans un autre Chapitre, s'il y a lieu d'étudier des fluides 
non parfaitement doux. Quant à l'aimantation des fluides non 
compressibles, nous l'étudierons au Livre XTL 

Le fluide étudié pourra être un fluide pondérable; il pourra 
être aussi le fluide impondérable dont l'existence est invoquée par 
M. Edmond Becquerel pour expliquer les propriétés des corps 
diamagnétiques en apparence. 

Si nous désignons par "Ç* la fonction potentielle magnétique du 
système, et si nous conservons les notations toujours employées 
dans les Chapitres précédents, le potentiel "thermodjmamique in- 
terne du système que nous considérons aura pour valeur 

,f = E(V- TS) -+- W + y e<7 + n i II -Xi ^ Il + ^1 (OlLi)l dv, 
•^" J L.'-* Il "^1 II J 

"/ [ï II ''" S Ih ' *"'^''] ''"' V[.î II •'•' S II * '*'<"'• '] *■• 

La dernière intégrale s'étend à un domaine illimité. Nous ad- 
mettrons néanmoins qu'en toutes circonstances les quantités t? 
et DlLa s'annulent à l'infini, de telle sorte que cette intégrale con- 
serve une valeur limitée. 

En raisonnant sur cette expression selon la méthode indiquée 
au Chapitre II, nous établirons les conditions d'équilibre magné- 
tique sur le système. Si nous posons 

Fa (OIL2) = , /'^^ , F3 (OIL3) = , J^^ , 

ces conditions d'équilibre s'exprimeront de la manière suivante : 
En tous les points du corps parfaitement doux, nous aurons 

,^=-F2(01Ij) ^, 111.2= - F^CDIU) ^^, e^=.-¥^{d^^) ||. 

En tous les points du milieu, nous aurons 

Jl,3=_F3(0Il3)^» 'Db3 = -F3(^1L3)?^» a3 = -F3(01L3)^- 

ux-i oy-i 0Z3 



23-2 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Une méthode analogue à celle que nous avons suivie au Cha- 
pitre II permettra de ramener la détermination de ..Lo, iti'a, Ca, 
«1)3, iliïs, 83 à l'intégration d'équations aux dérivées partielles. 

Cette détermination se fera en employant deux certaines fonc- 
tions X2 (H'C^), )vs(n\'^), qui ne sont autre chose que les expres- 
sions de — F2 (OTl/a), — F3 (OIL3), en fonction de Ilt.'^ 

Il est inutile de donner ici la forme de l'équation aux dérivées 
partielles que vérifie la fonction 'Ç (x, y^ z) en chacune des trois 
régions 1, 2, 3. Il nous suffira d'indiquer la forme des conditions 
aux limites qu'elle vérifie sur chacune des surfaces qui délimitent 
ces régions. 

Sur la surface de séparation des régions 1 e< 3 on a 

s (x, y, z) étant une fonction connue par les données du pro- 
blème, en vertu de l'égalité 

5 {x, y, z) = — [ 0.1)1 cos(Ni, x) -+- ill)iCos(Ni, jk) + ©i cos(Ni, z)'\. 

Sur la surface de séparation des régions 2 e^ 3 on a 

(2) [,_ 4^X2 (n^'^)]|^^+[,- 4^X3 (n\';)] 1^ = 0. 

On démontrerait sans peine, par la méthode suivie au Cha- 
pitre III, que ces équations déterminent une et une seule fonc- 
tion "Ç" et que l'aimantation définie par cette fonction "v? est une 
aimantation stable, pourvu que les fonctions magnétisantes du 
corps 2 et du milieu 3 soient positives et vérifient les conditions 
accessoires indiquées au Chapitre III. 

Plaçons-nous dans le cas particulier où le corps magnétique et 
le milieu qui l'entourent s'aimantent tous deux conformément à la 
théorie de Poisson. Dans ce cas, on a 

F3(DlL3)=-X3(nx:^)=^A-3, 

A"2, A"3 étant deux coefficients d'aimantation constants. 

Soient O,, ÏD^, 1^3 les fonctions potentielles magnétiques des 
trois régions aimantées I, 2 et 3. Nous aurons 

\') .= t5i4-t)2+ W3. 



CHAP. VII. — AIMANTATION AU SEIN d'lN MILIEU. 9.33 

La fonclion i:)< élant connue par les données du problème, il 
nous suffit de déterminer la fonction 

Celte fonction est harmonique en chacune des trois régions 1, 2 
et 3. Sur la surface de séparation des régions 1 et 3 elle vérifie 
l'égalité 

(3) _^(, + 4„/„)j^^ = o. 

Sur la surface de séparation des régions 2 e^ elle vérifie l'égalité 

(4) (t+- 4-1^^-2) j^ -+-('-+- 4 T^^a) ^ =o. 

D'après Maxwell (') et É. Mathieu (2), cette fonction ^^i^) est 
identique à la fonction potentielle magnétique d'une masse occu- 
pant la place du corps 3, plongée dans un milieu non magnétique, 
et dont le coefficient d'aimantation k serait donné par l'égalité 

H-47:/.2 

I -h 471/1 = — — • 

1 -h- 471/13 

Or cela ne serait exact, comme on le voit aisément, que si l'é- 
quation (3) était remplacée par l'équation 

La proposition de Maxwell et de É. Mathieu ne peut donc être 
conservée. 

Les équations de l'équilibre magnétique sur le sjstème peuvent 
s'écrire 



^2 = - Fa (OU 2) 
Dl,2= — FaCDRî) 






dy 

^ ^n . a. 
= -F2(0rc2) 



O _ T7 /<vi^ , d(0, +l')2+t'),0 



dZi 



(') Maxwell, Traité d'électricité et de magnétisme, t. II, p. 09 de la traduc- 
tion française. 

(») E. Mathieu, Théorie du potentiel et ses applications à l'Électrostatique 
et au Magnétisme; 1' Partie, Électrostatique et Magnétisme, p. i63; Paris, 
1886. 





àx-i 








à(l^i 


+ -Oi 


-4- 


l')3 


i) 




Ofi 








à(V)i 


-4- V), 


+ 


V); 


.) 



234 LIVRE IX. — VIMANTATIOX ET THERMODYNAMIQUE. 

Ift,3=--F3(01l3) 

33^-F3(;)ll3) 

Supposons, comme nous le ferons souvent dans les applica- 
lions, que le corps 2 et le milieu 3 soient peu magnétiques; les 
deux fonctions F2(D1L2) et F3(DrL:i) seront alors très petites. Il 
est aisé de voir, dans ce cas, que, si l'on néglige les quantités de 
l'ordre de [1% (OIL2)]-, [F3 (Olis)]-, Fo (OHo) F3 (OIL3), on pourra 
remplacer les égalités précédentes par celles-ci 

.^=._F,(nii,)g, .^3^-F3(0iu)g, 

lit,, = - F, ( ;)1L , ) ^ , \)l,3 =: ^ F3 ( OrC3 ) ^ , 

3, = _F2(,m,)Ç^S 33--F3(01L3)^- 

Ces égalités conduisent à la proposition suivante : 

Dans an milieu peu magnétique sont plongés des aimants 
permanents et un corps peu magnétique dénué de force coer- 
citive; le corps parfaitement doux prend V aimantation qu'il 
prendrait sous V influence des aimants permanents, si le mi- 
lieu oit il est plongé n'était pas magnétique; le milieu prend 
l'aimantation cju'il prendrait sous V influence des aimants 
permanents, s'il ne renfern-iait aucun corps autre que ces ai- 
mants. 

Cette proposition est contenue implicitement dans celles qu'ont 
énoncées Edmond Becquerel et Pliicker. 



F 



CIIAP. VIII. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. 235 

CHAPITRE YIII. 

PRESSION D'UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. 



î; 1. Comment, dans un fluide incompressible aimanté, se disposent 
les divers éléments magnétiques. 

Nous avons montré, au Chapitre précédent, suivant quelles lois 
s'aimantait un système qui renferme un corps magnétique dénué 
de force ooercitive entouré par un fluide également dénué de force 
cocrcitive. 

Nous devons maintenant rechercher quelles actions un sem- 
blable fluide exerce sur le corps qui y est plongé; c'est, en effet, 
l'étude de ces forces qui doit, d'après les idées de M. Edmond 
Becquerel, nous fournir l'explication des phénomènes présentés 
|)ar les corps soi-disant diamagnétiques; nous avons donc à con- 
stituer l'hydrostatique des fluides aimantés dénués de force cocr- 
citive. 

Ce problème, à son tour, peut être étendu : nous pouvons 
chercher à constituer d'une manière générale l'hydrostatique des 
lluides aimantés, que ces fluides soient ou non dénués de force 
coercitive; mais le sens même qu'il convient d'attribuer à cet 
énoncé ainsi généralisé nécessite quelques explications qui équi- 
valent à la définition de ces mois Jluide aimanté. 

Nous dirons qu'un corps aimanté est fluide s'il est possible de 
lui imprimer toutes les déformations virtuelles qui n'altèrent pas 
le volume de ses différentes particules, et dans lesquelles l'aiman- 
tation de chaque particule demeure invariablement liée à la ma- 
tière qui forme cette particule. 

Il se peut que les modifications virtuelles ainsi définies ne soient 
pas les seules que le fluide puisse présenter : par exemple, si le 
fluide est compressible, on pourra lui imprimer des déformations 



236 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

qui altèrent le volume de ses différentes parties; mais, lorsqu'on 
veut définir les modifications virtuelles que le fluide peut présenter, 
en outre de celles qui entrent dans la définition générale du fluide 
aimanté, on se trouve en présence de plusieurs systèmes de défini- 
lions, dont chacun caractérise un fluide doué de propriétés diffé- 
rentes. Ainsi l'on peut convenir que, dans les modifications vir- 
tuelles où le volume d'une particule varie, le moment magnétique 
de cette particule demeure invariable, en sorte que l'aimantation 
en chaque point diminue dans le même rapport que la densité; on 
peut supposer, au contraire, que l'aimantation en chaque point 
demeure invariable en grandeur, en sorte que le moment magné- 
tique d'une particule qui se dilate augmente dans le même rapport 
que le volume de celte particule. 

On voit donc que, tandis qu'une définition unique se présente 
à l'esprit lorsqu'il s'agit de fixer la notion générale de fluide 
aimanté, on aperçoit plusieurs manières de définir d'une manière 
générale \ç. fluide compressible aimanté, sans qu'aucun motif pré- 
pondérant puisse faire préférer une de ces définitions à l'autre. 

Cette ambiguïté cesse lorsqu'on veut traiter des fluides ai- 
mantés dénués de force coercitive; dans la définition de ces 
fluides, on est convenu de ne plus imposer aucune restriction aux 
variations virtuelles de la densité et de l'aimantation. 

La définition des fluides compressibles dénués de force coerci- 
tive étant complètement donnée, on pourra faire l'étude complète 
de ces fluides; on ne pourra pas étudier les propriétés des fluides 
compressibles non dénués de force coercitive tant qu'on n'aura 
pas convenu de choisir entre les différentes définitions que l'on 
peut donner de ces corps; mais on peut étudier, et c'est ce que 
nous allons faire, les propriétés communes à tous les fluides 
aimantés, puisque l'on a fixé les caractères que l'on regardera 
comme communs à tous ces corps. 

Cette étude n'est pas inutile : outre l'intérêt logique qu'elle pré- 
sente, elle a une importance pratique; nous verrons, en effet, que 
tous les phénomènes présentés par les corps diamagnétiques s'ex- 
pliquent en admettant, avecEdm. Becquerel, l'existence dans tout 
l'espace d'un fluide aimanté. Mais il serait impossible de repré- 
senter quelques-uns de ces phénomènes si l'on voulait que ce fluide 
fût dénué de force coercitive. 



CHAP. VIII. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. 287 

Imaginons qu'un système renferme un fluide aimanté; soient .A-, 
Dî>, 3 les composantes de l'aimantation au point (x, y, z) de ce 
fluide; soit dv le volume d'un élément de ce fluide tracé autour 
du point (^, jKî ^)- ^et élément est soumis à des forces étrangères 
au magnétisme ayant pour composantes 

pXdv, p'V dv, pZdv, 

étant la densité du fluide en un point de l'élément dv, et X, Y, 
Z étant certaines fonctions de (^, j', z). 

Supposons tout d'abord que l'élément dv ait la forme d'une 
sphère infiniment petite, ayant pour centre le point (x,y,z)', 
imaginons que cette petite sphère, entraînant avec elle son ai- 
mantation, éprouve une rotation infiniment petite autour de son 
centre. 

Dans un semblable déplacement, les forces étrangères au magné- 
tisme n'effectuent aucun travail. Si donc le fluide est en équilibre 
stable, on aura, pour tout déplacement virtuel de ce genre, 

(i) ^f—o 

et 

(2) o^f'>o. 

La rotation de notre petite sphère fait varier de 8 l-, 5itî>, oS les 
composantes de l'aimantation au point (x,y,z). On a donc, en 
désignant par %*) la fonction potentielle magnétique de tout le sys- 
tème, 

O-f = -— O'X H Olll) -f- -T— oc- H r-— OJII OTC. 

\^ox Oy ôz odK J 

Mais les quantités o-l., oill», o3 ne sont pas quelconques. La 
petite sphère entraîne son aimantation dont la grandeur ne varie 
pas, ce qui donne 





oOPl = o 


ou 




(3) 


5.1> oX -f- Uî) o\li) + S o3 = o 


On a donc 




(4) 


\ Ox oy OZ 



d,, 

et, moyennant la relation (3), cette quantité doit devenir égale à o. 



238 LIVRE IX. — AIMANTATION KT TIIERMODYNAMIQUi: . 

D'après un principe connu du calcul des variations, il faut el il 
suffit, pour qu'il en soit ainsi, que l'on puisse trouver une fonc- 
tion 0(^, y, z) telle que l'on ait, en tout point du iluide, 



[ol,-hO(^,j,5)^']8.l.>, 



quels que soient Ovl., ôilï), oC, ce qui exige qu'il existe une fono 
tion 8(:r,jK, z) telle que l'on ait, en tout point du fluide, 

(5) |ill,=.-6(a-,j',s)^\ 

Un fluide aimanté ne peut être en repos si l'aimantation 
n'est, en chaque point, tangente à la ligne de force. 



De l'égalité (4), on déduit 



-^ C>2 1)1) + -^ 



B^ê = f-^^ij{,-i- I21^2^i,_|_ ir52£) ^t, 



OU bien, en vertu des égalités (5), 

82 i = — — — ' ( .1, S2c.i 4- 0)!, 52 1)1, -^ 3 52 S ) dv. 

D'ailleurs, l'égalité (3) donne 

Jl,o2„l, + Dbo2ill, -+- 8o2£ -t-(oX)2 4-(oDl,)2+(o3)2= o, 
ce qui permet d'écrire 

et transforme l'inégalité (2) en 

(6) ^{x,y,z)>o. 

La fonction 0(^, y, 5) est forcément positive. 



CHAP. VUI. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. îSq 

Ce résultat met de suite en évidence une proposition impor- 
tante. Les égalités (5) donnent 

chacune de ces deux intégrations s'étendant au volume entier du 
fluide. 

Supposons que le système soit dépourvu de tout aimant perma- 
nent et ne renferme d'autre corps magnétique que le fluide. Dans 

ce cas, la quantité / U^;r- d*^ représente le potentiel magné- 
tique du système et est essentiellement positive, à moins que l'ai- 
mantation ne soit nulle en tout point. 11 en est de même, en vertu 

/OU - 
T- T\-lV' L'égalité (7) est 

donc impossible, à moins que l'aimantation ne soit égale à o en 
tout point; d'oiî le théorème suivant : 

Un fluide magnétique quelconque, soustrait à l'action d'ai- 
mants, ne peut être en repos si V aimantation n'est, en tout 
point, égale à o. 

Ces premiers théorèmes obtenus, nous allons nous poser la 
question suivante : 

A l'intérieur d'un fluide aimanté, nous traçons une surface 
fermée S. Les divers éléments du fluide que renferme cette sur- 
face sont soumis à certaines forces données, étrangères au magné- 
tisme; ces forces qui subsisteraient si l'on réduisait à o l'aimanta- 
tion en chaque point de ses éléments, sont d'origine intérieure à 
la masse fluide qu'enferme la surface S ou d'origine extérieure. 
Soient 
(8) ç>\dv, pXdv, pZdv 

les composantes de la force extérieure de ce genre appliquée à 
l'élément dv de densité p. 

Les corps aimantés extérieurs au fluide que renferme la sur- 
face S exercent aussi des forces sur les divers éléments intérieurs 
à celte surface. 

Si xJP(.r,j, 5) est la fonction potentielle magnétique de ces 
corps aimantés extérieurs à la surface S en un point {x^y^z) 
de l'élément dv intérieur à la surface S ; si ,.1., Kl>, a sont les com- 



:>.40 LIVHE I\. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

posantes de raimantation au point (^,^, z), dans toute modifica- 
tion où chaque élément dç se déplacera en entraînant avec lui son 
aimantation, les forces dont il s'agit effectueront un travail élé- 
mentaire qui a pour valeur 



(y) 



cB 



-iA= 



dx 



\% 






dz ) 



dv, 



l'intégration s'étendant à tout le volume qu'enferme la surface S. 

Imaginons que, sans rien modifier aux forces extérieures qui 
inennent d' être énumérées, on supprime les obstacles que la pré- 
sence de corps extérieurs à la surface S oppose aux déformations 
du fluide que celte surface renferme. Sera-t-il possible de main- 
tenir en équilibre le fluide, supposé incompressible, que renferme 
la surface S, au moyen de forces convenablement choisies, appli- 
quées aux divers éléments de la surface S? 

Pour résoudre celte question, qui constitue le problème fonda- 
menlal de l'hydrostatique pour les fluides aimantés, nous sviivrons 
une méthode analogue à celle que M. J. Moutier(*) a employée 
pour étudier le problème classique de l'Hydrostatique. 

Sur la surface S {fiig- 20), considérons deux éléments quel- 



FÏK. 20. 




conques AB ou ofS, et A'B' ou dS' . Le premier est soumis à une 
force OP ou P<iS, le second à une force O'P' ou V dS' . 



(') J. MouTiER, Cours de Physique, t. I. — P. Duhem, Sur les principes 
fondamentaux de l'Hydrostatique {Annales de la Faculté des Sciences de 
Toulouse, t. IV; 1890). 



CHAP. VIII. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. 241 

De l'élément dS à l'élément dS', traçons, à l'intérieur du fluide, 
un canal infiniment délié de forme quelconque AFGHA', et pro- 
longeons ce canal d'une petite longueur au delà de A'B'. 

Par des sections ab, a'b', a"b", ..., divisons ce canal en tran- 
ches infiniment petites, ayant toutes le même volume lo. Formons 
une dernière tranche de même volume co dans la partie du canal 
qui dépasse A'B'. Nous aurons ainsi 

vol.ABah = vol. ab a' h'— . . . = vol. a„-i b,i-i A'B'= vol. A'B'a^ = to. 

Imaginons que l'on impose au fluide enfermé dans la surface S 
la modification virtuelle suivante : 

Le fluide qui se trouve dans la tranche a,, (^«.(A'B' vient 
occuper la tranche A'B'afi; le fluide qui occupe la tranche pré- 
cédente vient occuper le volume laissé libre, et ainsi de suite, 
jusqu'au fluide de la tranche AB a6 qui vient occuper la 
tranche aba' b' . 

Chaque tranche fluide, en se déplaçant, entraîne avec elle son 
aimantation. On peut supposer que chaque particule fluide, en se 
déplaçant, n'éprouve aucune rotation. L'aimantation entraînée 
par chacune d'elles conservera alors non seulement une grandeur 
invariable, mais encore une orientation invariable dans l'espace. 

La modification virtuelle ainsi conçue est compatible avec les 
liaisons imposées au système; elle peut être effectuée en sens in- 
verse : il faut donc, pour l'équilibre du fluide, qu'elle n'entraîne 
aucun travail non compensé, ou, en d'autres termes, que l'on ait 

(10) 8rT — d(sc — o, 

o.T étant la variation que cette modification fait éprouver au 
potentiel thermodynamique interne du fluide que renferme la 
surface S, et d(Be le travail effectué par les forces extérieures 
appliquées à ce fluide. 

Ces forces sont de trois sortes : 

\° Les forces P appliquées à la surface S. Soient 

N la normale intérieure en un point de l'élément c/S ; 
N'ia normale intérieure en un j)oint de l'élément dS' \ 
% la distance normale des deux surfaces AB, ab; 

D. - II. 16 



242 LIVRK IX. — AIMANTATION ET TIlERMODYNAMIQUIi" 

s' la dislance normale des deux surfaces A'B', a, ^[ 
D la direction Aa; 
D' la direction A'a. 

(^e travail aura pour valeur 



d^^ P dS cos(P, D) . -.,— ,^; — P'rfS'cos(P', D') r^T7-îv,\* 

^ ' ^ cos(N, D) ^ ' ^cos(N', D') 

Mais on a 

£ dS = z' dS'—: w, 
cos(P, D) = cos(P, N) cos(N, D) -+- sin(P, N) sin(N, D) cosN, 
cos(P', D') = cos(P', N') cos(N', D') 4- sin(P', N') sin(N', D') coslv^ 

Le travail précédent s'écrira donc 

\ d?j'= j [cos(P, N) -+- tang(P, N) sin(N, D) cosN^]P 
("M 

( — [cos(P', N')-^ tang(P', N')sin(N', D') cos"i\'']P' | w. 

2" Les forces dont les composantes sont données par les ex- 
pressions (8); leur travail aura pour valeur 

(12) dy'—tol p ( X dx -+- Y dy -h Z dz). 

•^AFGIIA' 

3" Les forces magnétiques extérieures; leur travail aura pour 
valeur, d'après l'égalité (9), 

^"^«^AKGiiA' L \ ^^^ "" dxdy ^ dxdz) 

ox oz oy dz di 



Le travail extérieur dîEe a pour valeur 

( 1 4 ) d^e = dxi -T- d^-h dy . 

Évaluons maintenant la variation 04 subie par le potentiel llier 
modynamique interne du fluide enfermé dans la surface S. 



CHAP. VIII. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. 

Si ce fluide n'est pas électrisé, â a pour valeur 



243 



,T = E(V — TS) 



■^-f 



rl(D\V)dv, 



les diverses lettres qui figurent dans cette formule ayant la signi- 
fication que nous leur attribuons ordinairement; on a donc 

(i5) 5.f = Eo(V- TS) + 8.5-^-0 rj(01I)rfp. 

1" Le déplacement considéré est un déplacement sans change- 
ment d'état. La quantité 

— Eo(V — TS) 

représente donc le travail effectué par les forces étrangères au 
magnétisme et qui sont intérieures au fluide enfermé par la sur- 
face S. 

La force de ce genre qui agit sur l'élément c/p a pour compo- 
santes 

0; dç, pr, dv, p^ dv. 

On aura donc 



1(5) 



EoO"- T^) = — w f pi^dx-hr^df^ ^dz). 
•^ AFGIIA' 



•1'' La grandeur de laijnanlation de chaque particule, son vo- 
lume, sa nature, demeurant invariables dans la modification con- 
sidérée,. on a 



(■7) 



3/^(;: 



)rL ) dv = o. 



3" Reste à évaluer la quantité 0^. 

Si O est la fonction potentielle magnétique de l'aimantation dis- 
tribuée à l'intérieur de la surface S, nous aurons 



1 J W àx 



dv. 



Pour trouver la variation subie par cette quantité, nous décom- 
poserons en trois phases la modification considérée : 

(A). Nous supprimons l'élément ABa6 : ij subit une variation 



(18) 



X 



&0 
dx 



dx 



244 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

désignant la valeur que prend cette quantité en un point 

de l'élément dS. 

(B). Novis ajoutons au système l'élément A'B'a[5 : ?T subit une 
variation 

dV 



(19) 



82-7 = 



dx 



rfS' 



(C). Nous remplaçons chacune des tranches du filet infiniment 
délié par la tranche précédente. Supposons que le Jluide ne pré- 
sente, dans la région que traverse le filet, aucune surface de dis- 
continuité; que l'aimantation varie d'une manière continue tout 
le long de la ligne AFGHA'. La tranche en un point de laquelle, 
avant cette opération, l'aimantation avait pour composantes al., 
i)b, G présente, après cette opération, une aimantation dont les 
composantes sont 



.i- 


dA. , 

r— dx - 

dx 


d.%, _, d-% ^ 
— ; — cly r— az. 

dy -^ dz 


Dl)- 


r— dx - 

dx 


dy -^ dz 


c - 


dB , 

r— dx - 

dx 


- 3- dy d^, 

dy -^ dz 



dx, dy, dz étant les composantes du déplacement d'un point de 
la tranche considérée. Cette troisième modification impose à .5 
une variation 



I 

(•20) 

Nous aurons 

(•iO 



«^AFGIIA'L 



fdXl d_X 
\ dx dx 

dV djV 
dx dy 

fdV d^ 
\dx dz 



dV djA, 
dy dx 
dV c»lll, 
dy dy 
dV} d\\\^ 
dy dz 



dy dZ 



dV) d3\ , 
dV) d3\ , 1 



O-T = Oi^" + O-^rr -r- 83^7. 



Les égalités (11) à (21) nous permettraient de donner une forme 
explicite à l'égalité (10); mais, auparavant, nous transformerons 
l'égalité (i3) au moyen d'une intégration par parties, et nous 



CHAP. VIII. 



l'écrirons 



FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTE. 



245 



ca = 



.\> 



dx 



Us 



(23) 



/ [ ( 

t/AFCIlA' L \ 



dx 

âx dx 

\ dx dy 
/d^ d^ 
\ dx dz 



(/s- 



d^ ()lft) 

dy dx 
d^ d^o 
dy dy 

dy dz 



à^ d^ 
dz dx 

d^ d3 
dz dy 

d\9 dj. 
dz dz 



dx 



dy 



") -] 



Si nous posons maintenant 

(•24) •<) = XJJ) -f- 10, 



t? étant la fonction potentielle magnétique de toute Taimantalion 
agissante, les égalités (i i) à (24) nous permettront de transformer 
l'égalité (10) en 



/ 



dx 



(15) 



[cos(P, N)^lang(P, ^)sin(N, D)cosn]p-+- e.U 

r -^1 II d<^ 

- [cos(P', N')^- tang(P', N')sin(N', D')cosN'J P' — 1| -X, — 

+ f__] [?(X+^) 



'afgha 



L 



p(z+:)+"^"-^" 



&Ç dX 
dx dx 

d^ dX 
dx dy 
0^ àX 
dx OZ 



dx ||,/s' 

dp àei ^^ 

dz dx J 

"^ f 1 dy 

dz dy j -^ 



&Q d^ 

dy dx 

d^ dJU 

dy dy 

dp d\\\, dp à^l , 

•- -■ \ dz 

dy dz dz dz J 



Cette égalité doit avoir lieu quelle que soit la forme du canal infi- 
niment délié qui relie, au travers du fluide^ les deux éléments dS 
et dS'. Elle doit donc demeurer vraie si l'on remplace, dans la gé- 
nératrice AFGHA' de ce canal, l'arc FGH par l'arc FKH. Il n'est 

pas malaisé d'en conclure que la quantité sous le signe / doit être 

la dififérentielle totale d'une fonction de :r,y, xî, continue et uni- 
forme en tout point du fluide. 

Supposons en particulier le fluide homogène et incompressible, 
en sorte que p ait, en tout point de ce fluide, la même valeur. Sup- 
posons, en outre, que les forces étrangères au magnétisme admettent 
une fonction potentielle, c'est-à-dire qu'il existe une fonction Q, 



•i46 LIVRE IX.. — AIMANTATION KT THERMODYNAMIQUE. 

continue et uniforme à l'intérieur du fluide telle que l'on ait 

, du 

\ âx 

\ ' "^ dz 

Enfin, tenons compte des égalités (5), qui doivent avoir lien pour 
que l'équilibre soit possible. La quantité sous le signe / pourra 
s écrire 

I r / ^.H, rir^a. „^ 

-(- G — — I dx 



\i{x,y,z)\_ \ ôx dx dx I 

=il. — - -1- llî) 3-^) dy 

. ci/ âj ày ) •' 



ou bien, en remarquant que 

X dx ^ lll) d\\\y + 8 c?S = .m d^\l . 

(27 ) -pdii- ,.^ '^^^ . «?orL . 

Ù{x,y,z) 

Pour que cette quantité soit une différentielle totale, il faut et il 
suffît que la fonction Q(.r, i', z) ne dépende pas de x, r, z, si ce 
n'est par l'intermédiaire de l'intensité d'aimantation OU. 
Posons donc 

(28) %(x,y, z)==^e(D]L). 
Les égalités (5) deviendront 

dx 

(29) ^,)î,=_e(oiL)^, 

Si nous nous souvenons que, d'après l'inégalité (6), la fonction 
ô(.r, j-, z) et, partant, la l'onction 6(01i) est positive, nous arri- 
vons au résultat suivant : 

Lorsqu' un Jliiide incompressible, homogène, aimanté, dénué 



CIIVP. VIII. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. 247 

OU non de force coercilive, est en repos, les particules magné- 
tiques y présentent exactement la distribution cju' elles présen- 
teraient dans un corps homogène qui aurait la même forme 
que ce fluide, serait soumis à l'action des mêmes aimants, se- 
rait dénué de force coercitive, et présenterait une fonction 
magnétisante convenablement choisie 0(O1L). 

Si le fluide est dénué de force coercilive, la comparaison des 
égalités (29) avec les conditions de l'équilibre magnétique montre 
que la fonction 0(O1L) est déterminée et égale à la fonction ma- 
gnétisante F(0\u) propre au fluide. 

Si, au contraire, le fluide n'est pas dénué de force coercitive, 
rien dans ce que nous savons jusqu'ici ne nous détermine la fonc- 
tion 0(Orc). Nous verrons, au § 3, l'importance de cette remarque. 

§ 2. — Pression exercée par un fluide aimanté. 

Revenons à l'égalité (aS). 

La quantité sous le signe / doit être dillerentielle totale d'une 

fonction de x, )', :; finie, continue et uniforme à l'intérieur du 
fluide. Désignons par — n(.r,j'j ^) cette fonction. L'égalité (25) 
deviendra 



(3o) 



( [cos(P, N) — tang(P, N) sin(-\, D; cosi\ J P -^ 
I _[cos(P', N')^tang(P'. N')sin(\', D')cos^'Jp' — 



C/ v> -, — 
OX 

1A9 — - 

ax 



— n' = o. 



Les directions D, D' sont arbitraires. L'égalité précédente doit 
donc avoir lieu quelles que soient les quantités 



sin(i\, D)cosl\, sin(N', D') cos i> . 

Cela exige que l'on ait 

tang(P, N) — o, tang(P', N') — o. 

Les forces quil faut appliquer aux divers éléments de la 
surface S pour maintenir le fluide en équilibre sont donc nor- 
males à la surface S. 



2 j8 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Désignons par P t/S la force normale appliquée à l'élément c/S, 
en la complant positivement quand elle est dirigée vers l'intérieur 
du fluide. L'égalité (3o) deviendra 



dx 



_^n — P'— 



ùx 



n'= G. 



Désignons par OIl et Oit' les intensités d'aimantation en un point 
des éléments <iS et ûfS', tenons compte des égalités (5) et nous 
verrons sans peine que l'égalité précédente conduit au résultat 
suivant : 

ILexiste une quanlité K ayant lamême valeur^ en tout point 
de la surface S, telle que l'on ait, en tout point de cette sur- 
face, 

0112 



(3l) Pr:=K-n 



0(37,7, z) 



Par une démonstration analogue à celle que nous avons indi- 
quée dans notre travail Sur les Principes fondamentaux de 
V Hydrostatique et que nous ne voulons point reprendre ici, on 
prouverait que la quantité K. doit être choisie de telle façon que 
le second membre de l'égalité (3o) ne prenne de valeur négative 
en aucun point ni de la surface S, ni du fluide enfermé à l'inté- 
rieur de cette surface. On prouverait ensuite que les conditions 
ainsi trouvées ne sont pas seulement nécessaires, mais suffisantes 
pour assurer l'équilibre du fluide aimanté en admettant qu'il soit 
incompressible et que l'aimantation de chaque particule soit inva- 
riablement liée à la matière qui forme cette particule. 

En un point (^x, y^ z) intérieur au fluide, le second membre de 
l'égalité (3i) prend une valeur parfaitement déterminée qui est la 
pression au point {x,y, z). 

Prenons le cas particulier d'un fluide incompressible homogène. 
Dans ce cas, on a, d'après l'égalité (28), 

e(a-, jK, z)= 0(011). 

D'autre part^ la quantité II doit avoir pour difTérentielle totale, 
d'après l'expression (2^), 

0(37, JK,^) 



CHAP. Vm. — II.UIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. ^49 

On peut donc prendre 






et l'expression de la pression hydrostatique à V intérieur d un 
fluide incompressible, homogène, aimanté, est la suivante : 

'W 2 /'Dit •^w , 

Si le fluide est dénué de force coercitive, la quantité 0(DÎL) de- 
vient identique à la fonction magnétisante F(;3nL). Nous aurons 
alors 



,( 






Si nous posons, comme au Chapitre V, égalité (lo), 

nous aurons pour expression de la pression hydrostatique à 
l'intérieur d'un fluide aimanté, dénué de force coercitive, 
homogène et incompressible 

(33) P = lv-p.2 + -t'(;)lL.). 

Lorsqu'un corps solide est plongé dans un fluide aimanté, on 
peut traiter l'équilibre de ce corps solide comme s'il était affranchi 
de toute liaison à condition d'ajouter aux forces données, tant 
magnétiques qu'étrangères au magnétisme, qui agissent sur lui, 
des poussées normales dont la grandeur, en chaque point de la 
surface du solide, est donnée, suivant les cas, par l'une des for- 
mules (3i), (82) ou (33). 

§ 3. — Expériences de M. P. Joubin. 

Des aimants permanents 1, ayant une position déterminée et 
une aimantation déterminée; un corps parfaitement doux 2, ayant 
une forme déterminée et une position déterminée, sont placés au 
sein d'un fluide illimité 3 que nous supposons homogène et incom- 
pressible, mais qui peut être doué de force coercitive. 



25o LIVnE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Lorsque le fluide est en repos, l'aimantation est la mcnie sur le 
système que si l'on avait substitué au fluide 3 un fluide homogène, 
incompressible, dénué de force coercitive, ajant une fonction 
magnétisante convenablement choisie 0(O1L). 

Si le fluide 3 est dénué de force coercitive, cette fonction 0(011) 
est identique à sa fonction magnétisante F3(0rt); elle d('pend donc 
uniquement de la nature de ce fluide 3. 

Il n'en est plus de même si le fluide 3 est doué de force coerci- 
tive. Dans ce cas, la fonction 0(O1L) peut dépendre non seulement 
de la nature du fluide 3, de sa forme, de sa position et de l'aiman- 
tation des solides auxquels il confine, mais encore de toute la 
série des modifications qui ont amené le système à son état ac- 
tuel. 

Cela posé, prenons le système dans un état déterminé ; la fonc- 
tion 0(011) a une forme déterminée; l'aimantation du fluide 3 et 
du solide 2 est déterminée; les forces qui agissent sur le solide 12 
sont déterminées. 

Faisons subir au système une série quelconque de variations, 
après quoi nous ramenons les aimants permanents 1 à la même 
position et à la même aimantation, le corps 2 à la même position. 

Si le fluide est dénué de force coercitive, le fluide et le solide 
reprendront la même aimantation qu'ils avaient au départ; les 
forces exercées sur le solide reprendront la même grandeur et la 
même direction. 

Si, au contraire, le fluide est doué de force coercitive, la nou- 
velle fonction 0(O1L) pourra ne pas être identique à la fonction 
0(OTL) primitive; l'aimantation du fluide et du solide, les forces 
exercées sur le solide ne seront pas forcément les mêmes dans 
l'état initial et dans l'état final. 

Ainsi, si un corps parfaitement doux, placé dans une posi- 
tion déterminée en présence d^ aimants permanents déterminés 
de position et d^ aimantation, est plongé dans un fluide illimité 
doué de force coercitive, les forces qu'il faut appliquer à ce 
solide pour le maintenir en équilibre peuvent dépendre de la 
manière dont le corps est arrivé à sa position, dont les aimants 
permanents sont arrivés à leur position et à leur aimanta- 
tion. 

Un seul cas fait exception : c'est celui où le système ne renferme 



CHAP. Vni. — FLUIDE INCOMPRESSIBLK AIMANTÉ. 2.5 1 

pas d'aimants permanents. Dans ce cas, il suffira de répéter une 
démonstration analogue à celle qui a été exposée au § 1 pour arriver 
à la |)roposition suivante : 

Si un corps parfailement doux, plongé dans un fluide doué 
de force coercitive, est soustrait à l'action de tout aimant per- 
manent, il ne peut y avoir de repos dans le système s'il n'est 
pas entièrement désaimanté. 

Nous avons admis, avec M. Edmond Becquerel, que les pro- 
priétés des corps diamagnétiques en apparence, tels que le bis- 
muth, devaient s'expliquer en admettant l'existence d'un fluide 
impondérable, homogène, incompressible ; il suffît de supposer ce 
tluide doué de force coercitive. pour expliquer les expériences sui- 
vantes, qui sont dues à M. Paul Joubin (') : 

(c Un petit barreau de bismuth, muni d'un léger miroir, était sus- 
pendu par un bifilaire entre les deux pôles d'un électro-aimant. 
Sous l'influence des forces magnétiques et du couple de la sus- 
pension, il prenait une nouvelle position d'équilibre trèspeu diffé- 
rente de la première, d'où l'on comptait déduire la valeur du 
champ. Mais il fut immédiatement évident que, pour ce but, la 
méthode ne valait rien. 

» En elTet, pour un même courant, c'est-à-dire pour un même 
champ, la position du barreau dépendait de la suite des modifica- 
tions magnétiques qu'on lui avait fait subir. Si l'on trace une 
courbe en prenant comme abscisse l'intensité du courant et comme 
ordonnée la déviation, le point figuratif se déplace sur une ligne 
droite quand on fait croître les intensités de o à 4o ampères; mais 
si, à partir de ce moment, on diminue graduellement le courant, 
le point se déplace sur une autre ligne droite très inclinée par 
rapport à la précédente, de telle sorte que, lorsqu'on revient à 
i5 ampères, la déviation est presque double de celle qui corres- 
pondait primitivement au même courant. Si l'on fait croître de 
nouveau le courant, le point figuratif se déplace sur une troisième 
droite presque parallèle à la première. 

» Si l'on ouvre ensuite le circuit et si l'on recommence l'expé- 



(') P. JouBix, Sur la mesure des champs magnétiques par les corps dia- 
magnétiques {Comptes rendus, t. CVI, p. 735; 1888). 



252 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

rience, on retrouve Ja série des déviations représentées par la pre- 
mière droite. 

)) Le même fait s'est produit avec un simple miroir de verre rec- 
tangulaire, qui s'aimante comme le bismuth, mais plus faible- 
ment. L'augmentation du moment magnétique pour un même 
courant atteignait encore, dans ce cas, le quinzième de sa valeur, 
changement bien considérable pour pouvoir être attribué à. une 
variation dans la grandeur du champ. » 

§ 4. — Forme de la surface de séparation de deux fluides aimantés. 

Dans la théorie exposée aux §§ 1 et 2, nous avons supposé que 
la surface fermée S enveloppait un fluide continu. Il nous est 
facile maintenant de déterminer les conditions particulières qui 
sont relatives à une surface de discontinuité séparant deux fluides 
magnétiques différents. 

La pression hydrostatique doit avoir, on s'en assure aisément, 
la même valeur de part et d'autre de cette surface. Si donc on dis- 
tingue les quantités relatives aux deux fluides par les indices 1 
et 2, on trouve, en vertu de l'égalité (32), 

Kl — iii-f- 5 — - = K2— ri-2-t- 



ou bien, en désignant par C,2 la quantité Ko — K,, qui a une 
même valeur en tout point de la surface de séparation consi- 
dérée, 

Si les deux fluides 1 et 2 sont homogènes et incompressibles, 
cette égalité devient 

(35) p2i22- pit2i — A2(0rt2) + A,(Orti) = Ci2, 

en posant, en général, 

(3C) AOit)=^-^^-^^-^ ëw""'"- 

Si le fluide 1 est dénué de force coercitive, on devra faire 

(37) Ai(Drti) = Wi(Drii); 



CHAP. VIIl. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. 253 

et, de même, si le fluide 2 est dénué de force coercitive, on devra 
faire 

( 3; bis ) Ax ( DR 2 ) = ^'2 ( 01T.2 )• 

Enfin, si les deux fluides s'aimantent conformément à la théorie 
de Poisson, et si A', et Ao sont leurs coefficients d'aimantation, on 
aura [Chap. V, égalité (16)] 

et l'équation (35) de la surface de séparation des deux fluides 
deviendra, en tenant compte des égalités (37) et (3^ bis), 

I /-Tel orc?\ 



Dans ce dernier cas, on a, en désignant par '^^ la fonction poten- 
tielle magnétique des aimants permanents, par O,, Do les fonc- 
tions potentielles magnétiques de deux fluides 

Mais, si les deux fluides sont peu magnétiques, t),, t)^ sont 
négligeables devant ^)\ on a simplement 

et l'égalité (38) devient 



(ig) p2<2,-p,Qi= ^^—^ 



('^V+/— V+ /^^Vl 



\àx) \dyj \dzj 



Celte dernière formule est due à Béer ('). 

Faisons une application de ces égalités. 

Un tube en U {fig- 21) renferme un liquide pesant, de densité 
Oo, dénué de force coercitive, placé dans l'éther magnétique impon- 
dérable 1. Il est soumis à l'action d'un champ magnétique de telle 



(') A. Béer, Einleitung in die Elektrostatik, die Lehre vom Magnetismus 
und die Elektrodynamik, p. 217 (Brunswick, i86.j). 



254 LIVRIÎ IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

manière que sa branche B soit plus fortement aimantée que sa 
branche B'. 

Soit IIH' un plan horizontal arbitraire. Soil z la distance d'un 



Fis;. 21. 




point quelconque au-dessus de ce plan. On aura, en désignant par 
g l'intensité de la pesanteur, 

Ui:.. o, <>2-^-. 

Soil Z la distance au plan HfF du niveau du liquide dans la 
branche B; soit Z' la distance au plan HH' du niveau du liquide 
dans la branche B'. 

En un point de la surface de niveau dans la branche B, nous 

aurons 

P2^Z + Ai(;)Hi) — »F2(;)H2) --- Cl,. 

En un point de la surface de niveau dans la branche B', nous 
aurons 

D'où, eu retranchant membre à membre, 

( 40 ) p, ff{Z — Z')=^ W, ( on 2 ) - U% ( iVil', ) - A, ( ;)H , ) ^ A, ( DM \ ). 

Il s'établira donc en général, entre les deux branches, une dif- 
férence de niveau donnée par l'égalité précédente. 

Supposons, en particulier, la branche B' située dans une région 
où le champ magnétique soit peu intense, de telle façon que, dans 
cette région, les fluides soient peu aimantés. L'égalité précédente 
se réduira à 



(40 



p,g{Z~Z') = W, ( ;)rt2 ) - A, ( OK 1 ). 



CHAP. VIII. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. 255 

Si la quantilé 

V2(;)lL2)-A,(Dlli) 

csl positive, le liquide s'élèvera plus dans la branche aimantée que 
dans l'autre branche; l'inverse aura lieu si la quantité 

^i'-2(0li2)-A,(;^ll,) 
est négative. 

Supposons, pour un instant, que l'éther soit, lui aussi, dénué 
de force coercitive, et que les deux fluides s'aimantent faiblement 
et suivant la théorie de Poisson. L'égalité (4i) deviendra alors 



Piff{Z—Z )=r-- ~ 



l\àxj '^[ôfj '^[dzj J 



Pliicker (') a donné des expériences qui s'accordent avec cette 
relation; Quincke eu a fait usage pour déterminer l'excès du 
coefficient d'aimantation d'un fluide sur le coefficient d'aimanta- 
lion de l'élher. Cette métho le perd sa valeur si, comme semblent 
le montrer les expériences de M. Joubin, l'élher n'est pas dénué 
de force coercitive. 



(') Plucker, Expérimental Untersuchungen iiber die Wirkung der Ma- 
gnete auf gasfôrniige und tropfbare FLiissigkeiten ( Poggendorff's Aniialen, 
l. LWIII, p. 549; i848). 



256 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

CHAPITRE IX. 

ACTIONS EXERCÉES SUR LES CORPS PEU MAGNÉTIQUES. 



§ 1. — Formule fondamentale. 

Imaginons un corps peu magnétique plongé dans un milieu peu 
magnétique; supposons ces deux corps dénués de force coercitive; 
soumettons-les à l'action d'aimants permanents puissants. Un 
semblable système se prête à une étude très complète et très élé- 
gante, dont les principes ont été indiqués par Béer ('). Nous al- 
lons exposer ici celte étude dont les conclusions permettent l'in- 
terprétation d'un grand nombre de phénomènes physiques. 

Quelques-unes des propositions auxquelles nous allons parvenir 
peuvent s'étendre au cas où le milieu est supposé pourvu de force 
coercitive; mais nous ne nous arrêterons pas à discuter ce cas. 

Supposons un corps parfaitement doux 2 plongé dans un milieu 
illimité, dénué de force coercitive 3 et soumis à l'action d'aimants 
permanents 1. Si O), Oo, ^s sont les fonctions potentielles ma- 
gnétiques des corps 1 , 2, 3, le potentiel thermodynamique interne 
du système, supposé privé d'électricité, sera 






1 ij W ôxx -i.J II ÙX-i ij 

,. 1 , m J ^ g' ) 1+1'):.) Il ; ^rlk <^(Wl+t%)||, 

(i) + / U^ ^- UA-2+/ Ul.3 . \dv^ 

1 ..-'11 "■* 2 I I J W "■^'i I I 

f -+■ I ^i{ 0)Vi ) dvi + I S\ ( Oli 2 ) dvi -f- j $i{ on 3 ) dvi 



(') Béer, Einleitun g in die Elektrostatik, die Lehre vont Magnetismus und 
die Elektrodynamik. Lehre vont Magnetismus, Cli. VI, p. 2i3; Brunswick, i865. 



CHAP. IX. — CORPS PEU MAGNÉTIQUES. 267 

Supposons le corps 2 et le milieu 3 très faiblement magné- 
tiques; nous pourrons, comme nous l'avons vu à la fin du Cha- 
pitre VII, négliger, dans l'expression de §, les termes 



/ 




dVi, 


f 




dvi, 


/ 




dvz, 


f 


àxs 


di>3. 



Nous pourrons aussi écrire 



(2) 



A>,^-F,(DXL,)^^, 


oA»3 — 


-FsiDTLz) 


i)î„ = _F2(D1L0^' 


llîja^ 


-Fs(DXis) 


Q,=-F,{D\L,)^-^, 


©3 = 


-F3(D1V3) 



àxs 



équations qui expriment, comme nous l'avons vu au Chapitre VII, 
que le corps 2 et le milieu 3 s'aimantent comme si chacun d'eux 
existait seul en présence des aimants permanents. 

Si nous posons alors, conformément à l'égalité (lo) du Cha- 
pitre V, 



W.OIL3) = 
l'égalité (i) deviendra 

•? = E(r-TS)-^y 



F.,(Jrc2) 

FaCOlU) 



^T^3(01i3), 



.1,, 



dXx 



dvi 



■Js.ii 



DIV 1 ) dvi 



- r ¥2 ( DU 2 ) ^i^2 - r ^3 ( Dit 3 ) dv3 



Supposons que l'on déplace infiniment peu le corps 2 dans le 
milieu 3, et que l'on fasse en môme temps varier l'aimantation du 
corps et du milieu de manière que les conditions d'équilibre de- 
meurent satisfaites; supposons, d'ailleurs, que cette modification 
ne change rien à l'état physique et chimique des divers éléments 
du système. 

Dans ces conditions, les forces données, intérieures au système 
et étrangères au magnétisme, efTectuent un travail d^i donné par 

rf5,=— ES(r — TS). 
D. - II. 17 



258 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

La quantité 

n'éprouve aucune variation. On a donc 

(3) 8#=:_c?S/— 8 fWi(D]U)di>^—^ f ^2{DTi3)di^3. 

Cette formule très simple est susceptible d'une légère transfor- 
mation. 

Les formules (2) définissent les quantités X^^ 1IÎJ3, 83, ^3, 
même pour un point (.To, y^^ 2^2) du volume occupé par le corps 2. 
Les quantités ainsi définies sont les composantes et la grandeur de 
l'aimantation qui se produirait au point (.2^2? J'2j -^2) si, le corps 2 
étant enlevé, on le remplaçait par un fluide de même nature que 
celui qui remplit l'espace 3. 

Considérons la quantité 

Elle représente la valeur que prendrait la quantité 

J^'3(0]U)dv, 

étendue à tout l'espace extérieur aux aimants permanents si l'on 
supposait cet espace rempli exclusivement par le fluide 3. Cette 
quantité a une valeur indépendante de la position du volume 2; 
elle ne varie pas quand on déplace ce volume. On a donc 

8 r ^3 (0103)^^3 -1-8 r ^3 (31^3)^^2=0, 

ce qui permet de remplacer l'égalité (3) par la suivante : 

Telle est la formule fondamentale sur laquelle reposent les théo- 
ries que nous allons développer. 



CHAP. IX. — CORPS PEU MAGNETIQUES. iSg 



§ 2. — Théorème d'Edmond Becquerel. 

L'égalité (4) montre que le travail des actions magnétiques 
qui tendent à déplacer le corps 2 peut être regardé comme ex- 
primé par l'égalité 

(5) dr = ci f [W,{D]l'i)-Ws(DJL3)]dv.2. 

Si le corps 2 était placé dans la position qu'il occupe par rap- 
port aux aimants permanents, sans être entouré par le milieu 3, 
les actions magnétiques tendant à déplacer ce corps correspon- 
draient à un travail virtuel dont l'expression, trouvée de la même 
manière, serait 

Si le volume 2 était rempli par le fluide 3 et que l'espace qui 
l'environne fût vide, cette masse de fluide 3 aurait, en chaque 
point, l'aimantation désignée par Df^s dans la formule (5). Les ac- 
tions magnétiques tendant à la déplacer efi"ectueraient un travail 
virtuel 

d-cs'-^o Cw3iDK3)dvi. 

L'égalité (5) peut donc s'écrire 

dx =^ dxi — <fx3 

et la proposition qu'elle exprime s'énoncer de la manière sui- 
vante : 

Lorsqu un corps faiblement magnétique est plongé dans un 
milieu éthéré faiblement magnétique, les actions magnétiques 
exercées sur le corps parfaitement doux s'obtiennent en com- 
posant les actions qui seraient exercées sur ce corps si le mi- 
lieu magnétique n'existait pas, et les actions égales et direc- 
tement opposées à celles qui seraient exercées sur une masse 
d'éther magnétique, remplissant le volume du corps parfaite- 
ment doux et supposée isolée du reste de Véther magnétique . 

C'est la loi énoncée presque en même temps {voir Chap. VII, 



■26o LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

§ 1) par Edmond Becquerel et par Plûcker pour un corps plongé 
dans un fluide magnétique. 

§ 3. — Loi de Faraday. 

L'égalité (4) prend une nouvelle forme remarquable si le corps 
et le milieu, tous deux très peu magnétiques, s'aimantent confor- 
mément à la théorie de Poisson. Dans ce cas, en effet, si k^ et k^ 
sont les coefficients d'aimantation du corps et du milieu, on a 
[Chap. V, égalité (i6)] 

^ A 2 2 A3 

Mais, d'autre part, les égalités (2), où l'on doit remplacer Fo (0112) 
par ki et F3 (DTI3) par k^, donnent 

3\Ll = kin-Oi. 
On peut donc remplacer l'égalité (4) par la suivante 

(5)' l§^ — d^i — ^^ ~ "^'^ fuXDi dvi. 

Cette forme, démontrée par Béer dans l'Ouvrage que nous avons 
cité, est riche en conséquences. 

Supposons que les seules forces agissantes soient les forces ma- 
gnétiques, c'est-à-dire que dtSi soit constamment égal à o, ainsi 
que le travail exLerne. Faisons passer le corps 2 d'une position 
initiale o à une position finale i. Le potentiel thermodynamique 
interne du système subira un accroissement 

f «- h = - ^^ [/n X9, rf.2] \ 

Supposons, en parlicalier, (|ue la position i soit infiniment 
éloignée des aimants pcrmanenls. La valeur finale de 



/- 



n Vtdv^ 

sera égale à o, et nous aurons 

d'o — '•)'l — 



—^ [/"«■"•■'].• 



CHAP. IX. — CORPS PEU MAGNÉTIQUES. 261 

Comme la quantité flO, est essentiellement positive, on voit 
•que celte variation du potentiel thermodynamique interne est du 
signe de (A"2 — k^). Si l'on se souvient d'ailleurs que, pour qu'une 
modification soit possible, il faut qu'elle corresponde à un travail 
non compensé positif, on arrive sans peine à la proposition sui- 
vante : 

Si le coefficient d^ aimantation d'un corps est supérieur au 
coefficient d' aimantation du milieu, ce corps, placé à une 
très grande distance d' aimants permanents et soumis aux 
seules forces magnétiques, s' approchera des aimants perma- 
nents ; placé à distance finie de ces aimants, il ne pourra, sous 
l'action des seules forces magnétiques, s'en éloigner au delà 
de toute limite. 

L'inverse aura lieu si le coefficient d' aimantation du corps 
est inférieur à celui du milieu. 

La quantité 

(6) 12= - fuVidvo. 

représente la valeur moyenne, en un point de l'espace occupé par 
le corps 2, du carré de l'intensité du champ. Comme le volume v^ 
du corps 2 ne varie pas, dans les déplacements qu'on lui fait 
subir, l'égalité (5)' peut s'écrire 

( 7 ) 8.f = — dïBi — 'hZlJîl i,^ 312 



ou bien, dans le cas où les forces magnétiques agissent seules, 
{'; bis) S^:^— ^"-~^% .ûI2. 



Si le coefficient d'aimantation du corps est supérieur à celui 
du milieu, les forces magnétiques tendent à déplacer ce corps 
de manière à faire croître la valeur moyenne du carré de 
l'intensité du champ dans l'espace occupé par ce corps. Si le 
coefficient d' aimantation du corps est inférieur à celui du mi- 
lieu, les forces magnétiques tendent à déplacer ce corps de 
manière à faire décroître la valeur moyenne du carré de l'in- 
tensité du champ dans l'espace occupé par ce corps. 



26a LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODyNAMIQUE. 

Faraday avait tout d'abord caractérisé les petits corps diama- 
gnétiques comme des corps repoussés par les aimants permanents, 
à l'inverse des petits corps magnétiques qui sont attirés par les 
aimants permanents. Plus tard ('), il proposa de prendre pour 
caractère dislinctif celui-ci : un petit corps magnétique, placé 
dans un champ magnétique, tend à se mouvoir des points où l'in- 
tensité du champ est plus grande à ceux où elle est plus faible ; 
l'inverse a lieu pour un petit corps diamagnétique. Sir W. Thom- 
son (2) montra que les deux caractères s'expliquaient en admet- 
tant, pour les corps diamagnéliques, un coefficient d'aimantation 
négatif. Nous avons vu que cette explication ne pouvait être ad- 
mise. Mais les lois énoncées par Faraday s'expliquent aisément, 
comme nous venons de le voir, si l'on admet l'existence, dans 
tout l'espace, d'un éther magnétique : les corps magnétiques en 
apparence sont ceux dont le coefficient d^ aimantation est su- 
périeur à celui du milieu ; les corps diamagnéliques en appa- 
rence sont ceux dont le coefficient d' aimantation est inférieur 
à celui du milieu. Nous trouvons ainsi la justification de la 
théorie du diamagnétisme proposée par Edmond Becquerel. 

Supposons le volume v^ du corps 2 très petit; soit (.Ta, y^^ z-^) 
un point de ce volume. L'égalité (7 6w) pourra s'écrire, en dési- 
gnant par o-^a, 0/25 ^^a les composantes du déplacement de ce 
point. 

Les actions magnétiques tendent donc à imprimer au corps 2 le 
même mouvement qu'une force appliquée en un point [x-i^J'ii z^) 



( ' ) Faraday, On new niagnetic actions and on tlie magnetic action 0/ ail 
matter {continued) {Expérimental researches in electricity , XXI" série, § 2418. 
— Philosophical Transactions, année 1846, p. 4i)- 

(^) W. Thomson, On the forces experienced by small sphères under magne- 
tic influence; and on some of the phenomena presented by diamagnetic sub- 
stances {Cambridge and Dublin mathematical Journal, mai i847- — Papers 
on electrostatics, art. XXXIII). — Remarks on the forces experienced by in- 
ductively magnetized ferromagnetic or diamagnetic non-crystalline sub- 
stances {Philosophical Magazine , octobre i85o. — Papers on electrostatics, 
art. XXXIV). 



CIIAP. IX. — CORPS PEU MAGNÉTIQUES. 203 

de ce petit corps, et ayant pour composantes 



(8) 






P2- 





•X 




dxi 


k. 


— 


A-3 


ant"), 




2 




àyi 


h 


— 


hi 


dnoi 



dz-i 



Ces expressions conduisent à un énoncé que l'on peut, sous la 
forme suivante, étendre à un corps de volume quelconque. 

Lorsqu'un corps peu magnétique 2 est plongé dans un mi- 
lieu peu magnétique 3, les actions magnétiques exercées sur 
ce corps '^peuvent être remplacées par des forces appliquées à 
chacun de ses éléments de volume et admettant pour fonction 
potentielle en chaque point la quantité 

-~.~[[^)^[^)-^[-dr) y 

Ces forces admettent pour surf aces de niveau les surfaces iso- 
dynamiques du champ. 

Ce beau théorème est dû à Béer (<). 



§ 4. — Instabilité de l'équilibre d'un corps peu magnétique. 

Considérons un corps peu magnétique placé dans un milieu peu 
magnétique. Deux cas sont à distinguer : 

Si le coefficient d'aimantation du corps est supérieur à celui du 
milieu, le corps est paramagnétique en apparence, ou, pour abré- 
ger, paramagnétique. 

Si le coefficient d'aimantation du corps est inférieur à celui du 
milieu, le corps est diamagnétique en apparence, ou, pour 
abréger, diamagnétique. 

D'après ce qui précède, un corps paramagnétique sera en équi- 
libre stable si la valeur moyenne du carré de l'intensité du champ 
dans le volume qu'il occupe est plus grande dans la position prise 

(') Béer, loc. cit., p. 2i5. 



-26 '\ LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

par ce corps que dans toute position voisine qu'il pourrait prendre 
sans rompre les liens qui l'assujettissent. 

Un corps diamagnétique sera en équilibre stable si la valeur 
moyenne du carré de l'intensité du champ dans le volume qu'il 
occupe est moindre dans la position prise par ce corps que dans 
toute position voisine qu'il pourrait prendre sans rompre les liens 
qui l'assujettissent. 

Ces deux règles ont été indiquées par Sir W. Thomson (*). 

Nous avons vu qu'un corps magnétique quelconque, soustrait 
à l'action de tout milieu et affranchi de tout lien, ne pouvait être 
en état d'équilibre stable. Cette proposition s'étend-elle à un corps 
paramagnétique ou diamagnétique lorsque l'on tient compte du mi- 
lieu dans lequel il est plongé? Cette proposition demeure vraie 
pour les corps paramagnétiques, mais elle ne l'est plus pour les 
corps diamagnétiques ; c'est ce qui résulte de la proposition sui- 
vante : 

Si le volume v^ est susceptible d^ éprouver tous les déplace- 
ments virtuels concevables autour de sa position actuelle, cette 
position ne peut correspondre à un maximum de la valeur 
moyenne P du carré de V intensité du champ à V intérieur du 
volume v^ ; elle peut correspondre à un minimum de la même 
quantité. 

Cette proposition est due à Sir W. Thomson (2) qui n'en a pas 
publié la démonstration; on peut la démontrer de la manière sui- 
vante : 

Donnons au volume v-2 une translation quelconque dont ùx, 



(') W. Thomson, On the forces experienced by small sphères under ma- 
gnetic influences ; and on some phenomena presented by diamagnetic sub- 
stances ( Cambridge and Dublin mathematical Journal, may 1847. — Papers 
on electrostatics, art. XXXIII). 

{") W. Thomson, Remarks on the forces experienced by inductively magne- 
tized ferromagnetic non-crystalline substances. On the stability of small in- 
ductively magnetized bodies in positions of equilibrium {Philosophical Maga- 
zine, octobre i85r. — Papers on electrostatics, art. XXXIV). 



CH.4P. IX. — CORPS PEU MAGNÉTIQUES. 265 

oy, 5^ soient les composantes; l^ éprouvera une variation 
?12 - l\ Sa: f(^ ^^ -4- — ^'^'^' + ^1 <^^t)i \ ^^ 

^-^J \ dx^ âxz ôy^ dyi dyl dz^ dz^ ày^ ) 

J \dXi dx^dz-i £^K2 dy^dz-i dz^ àzj J ']' 

Si nous redonnons une seconde fois au volume ç-2 la même trans- 
lation, P éprouvera une variation seconde ayant pour expression 

(9) 8-212= 1 (a 8372 _^. B8j24-G8^2 + 2D8j'83 -i- 2 E 82837 + 2F 83787 j 



avec 



(10), 



J 1 LW^I / Kàyzdxi) yôzidxi) J 

\dxo dxl dvz dy^dx^ ' dzz dz^dxl)] '' 

\dXi dXidyl dy<i dy\ àz^ àz^dy' 

^-J WXà^^^J ^K'dJ^J '^Vàzî) J 

\ ^372 0*372 '^^l '^J'2 ày^ dz\ dz2 àzl 

~J 1 L^^2 4^2 £^^2 (^^2 4r2 à^2 \ ày'i àzl J \ 

+ ~^; — -; ; ; i — ^ — ■; — :r^ ■ — ^ , ., ^ — ) ( "^'2' 



di\ 



dv^ 



dx^ dx^ dy^ Oz^ dy^ dyl dz^ dz^ dz\ dy<, 

J IL^J2^'^2 ^^2 «^372 dZ'iàx.i\ dz\ ^ dxl )\ 

/àXD_i à^XPr dO, (J^XD, àV^ d^Vi \ 

\dx-2 dxl dz2 4/2 dx^ày^dz^ àz^ dzldx^J 

~J IL'^^2'^^2 dZidy^ dxidy^X dxl ày\ )\ 

/d-Ox (^'O, àX3i dHO, dt\ d^V)i ',,, 



\dxï dxldy^ dy% àylàx^ dz^ dx^dy^dz^^ 
Peut-il se faire que la quantité S^I* soit négative pour tout dépla- 



266 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

cernent virtuel, et, en particulier, pour toute translation virtuelle? 
11 faudrait pour cela, d'après l'égalité (9), que l'on eût 

A<o, B<o, C<o 

et, par conséquent, 

A + B H- G < o. 

Or les égalités (10) donnent 



■/[ 



d^n^y /d^^Y /d^Vi' 



■)1 



dvi 



Mais, le volume v-^ étant extérieur aux aimants permanents, on a, 
en tout point de ce volume 



et, par conséquent, 



AtDi 



\ dXï I dx^ * ' 



V ^72 / ày^ 



UJ3, 



\ dz-i j dz 



= -,— A13i 



La quantité (A + B-hC) se réduit donc à une somme de carrés 
et ne peut jamais être négative. Il est donc bien démontré que, si 
le volume P2 est susceptible d'éprouver tous les déplacements vir- 
tuels concevables autour de sa position actuelle, cette position ne 
peut correspondre à un maximum de la valeur moyenne du carré 
de l'intensité du champ à l'intérieur du volume Ç2' En d'autres 
termes, un corps paramagnétique délivré de tout lien et 
soumis aux seules forces magnétiques ne peut être en équi- 
libre stable. Cette conclusion ne s' étend pas aux corps diama- 
g né tiques. 

Si le corps paramagnétique est soumis à certaines liaisons con- 
venablement choisies, il pourra présenter des positions d'équilibre 
stable. La proposition générale énoncée au début de ce paragraphe 
conduit sans peine au résultat suivant : 

Si deux corps, V un paramagnétique, Vautre diamagnétique. 



CHAP. IX. — CORPS PEU MAGNÉTIQUES. 267 

de même forme , soumis aux mêmes liaisons, sont placés dans 
un même champ magnétique, leurs positions d'équilibre seront 
les mêmes; mais les positions d'équilibre stable de chacun 
d^ eux seront, pour Vautre, des positions d'équilibre instable. 



§ 5. — La loi de Faraday s'étend-elle aux petits corps fortement 
magnétiques? — Critique de la méthode d'arrachement. 

Un corps paramagnétique très petit tend toujours à se déplacer, 
sous l'action des forces magnétiques, des points du champ où l'in- 
tensité est grande aux points où elle est plus faible. La même loi 
est-elle applicable à un corps fortement magnétique, pourvu que 
ce corps ait un volume très petit? Certains physiciens semblent 
l'avoir pensé. Il est aisé de voir la source de leur erreur. 

Les équations de l'équilibre magnétique sur ce corps sont 

^^•'^^-^'^ ^, ' 

1)!,2 = /i2 



--/t. 



dxi 



Si le milieu est très faiblement magnétique, on peut négliger les 

<^03 dX}^ d-Oi 
termes - — , --^ •. —— • 

0X2 y/2 "-52 

Le corps aimanté étant très petit, on serait tenté de négliger aussi 
les termes -r-^y -— =» - — Un aurait alors simplement 

OXi àf2 à^î 

et la démonstration établissant la légitimité de la loi de Faraday 
pour les corps fortement magnétiques très petits s'achèverait sans 
peine. 

Mais il est aisé de voir qu'à l'intérieur d'un corps aimanté très 

petit 2 les quantités 

t)t)2 at)2 dVi 
dXi ' dja ' àZi 

ne sont pas négligeables. 

On a en effet, en désignant par Nj, N3 les deux directions de la 



268 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

normale à la surface qui Hmile le volume Po? l'équation suivante 
en tout point de cette surface [Livre VII, Cliap. III, égalité (9)] 

^ + -Tj^- = 4Tr[X2 cos(N2, x) + 'i)b2 co?(N2, y) -+- G2 cos(N2, z)] 

-h 4tt[o1.3 C0S(N3, ce) + 1)1^3 C0S(N3, j) + ©3 C0S(N3, z)] 

avec 

En vertu des conditions de l'équilibre magnétique 

cA52 — — ft2 T — ' o^^3 — '»^3 "1 — ' 

'li!)2 = A-2 -,— J 1)1)3 — — A-3-^ ' 



dV, ^^ _ . dt> 

. - — ) C^3 - — A'3 -— . 

0Z2. Ozz 



celte égalité devient 



/ , / ,()(X')i-l-'0,+ t)3) , , , ^aCtOi + lO-H-lOs) 

^' + 4-^2) ^^ +(. + 4-A-3) ^^ =0, 

ou bien, en remarquant que ^3 et "O^ sont très petits et que 



f^Na ' (JN3 



= 0, 






Uette condition exige que - — > -r — ? -r — aient, en gênerai, des 

valeurs limes a 1 intérieur du petit corps aimante; que— — j -r — ? 

-r— ^ aient aussi des valeurs finies au voisinage immédiat de ce petit 
corps, ces valeurs devenant infiniment petites à une distance finie 
du petit corps. 

La loi de Faraday ne s'étend donc pas, en général, aux corps 
fortement magnétiques même très petits. 

11 est toutefois un cas où, comme l'a montré SirW. Thomson ('), 
cette loi s'étend à un corps très petit, même supposé fortement 
magnétique ; c'est le cas où ce corps a la forme d'une sphère très 
petite. 

(') W. Thomson, On the forces experienced by small sphères under magnetic 
influence; and on some on the phenomena presented by diamagnetic sub- 
stances {Cambridge and Dublin mathematical Journal, mai 1847). "~ Po-pers 
on electrostatics, art. XXXIII). 



CHAP. IX. — CORPS PEU MAGNÉTIQUES. 269 

Négligeons, en effet, les variations que présente le champ créé 
par les aimants permanents dans la très petite étendue de cette 
sphère ; négligeons aussi l'influence du milieu très peu magnétique 
qui l'entoure; les composantes de l'aimantation en un point de la 
sphère seront [Livre VIII, Chap. II, égalités (7)] 

f\D2 ^^ 



lft)9 



k. 


dXDi 


I-+- ^1T>^2 


dxi 


k. 


aoi 


1+ 5Tt>t2 


àf. 


k. 


dtDi 


i-t-lTrA-2 


dzi 



D'après les lois générales qui donnent les forces qui agissent 
sur un corps aimanté [Livre VII, Chap. I, égalités (12)], on voit 
que les actions magnétiques exercées sur cette petite sphère se 
réduiront à une force unique ayant pour composantes 

"" -A I J W-^2 àxl CJ72 àx^dji dz2 dx^dz^J '^' 

1+ -^T^f^i 



I -T- -TZKi 
~ 4 7 J \ (^^2 à^2 à^ï "^ ^^^2 <^J2 àz% àZ2 dz'l ) ^ ^' 

ou bien, en désignant par R le rayon de la petite sphère. 



Y = 



2 


tcA^o 








^ 






(^ 






\ I 


K» 


1^ 


llUi, 


I-l- 


^./:2 








•2 


^A"2 








^ 






ô 






-7 


K* 


^ 


lit),, 


j + 


\-Kk, 






2 
3 


Tr/C2 




^ 








K' 




Il V)i. 




4 . 




<>5 





71 A" 



270 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Ces égalités, de même forme que les égalités (8), justifient l'ex- 
tension de la loi de Faradaj à une petite sphère fortement magné- 
tique, dans la limite où le coefficient d'aimantation de cette 
petite sphère peut être regardé comme constant. 

Considérons un aimant permanent et une petite sphère de fer 
doux placé au contact de cet aimant. L'aimant exercera sur cette 
petite sphère une action dont la composante suivant la normale N^ 
extérieure à l'aimant aura pour valeur 

?>''^' d 

N= ^ R3 nOi. 

a 

Pour arracher celte petite sphère, il faudra lui appliquer, dans la 
direction de la normale N^, une force 



F= — 



2 



R3 j_r/£ËiV^/^>V 

d^e [\dx J ' \dy ) 



4 , ^Ne \\dx/ \ ày I ' \ dz 



En déterminant la valeur de cette force d'arrachement aux divers 
points de l'aimant, on aura des nombres proportionnels aux va- 
leurs de 

Jamin ('), qui a fait de nombreuses déterminations de ce genre, 
crojait obtenir des nombres proportionnels à 

et, par conséquent, susceptibles de servir à la détermination de la 
distribution fictive équivalente à l'aimant. On voit que la méthode 
de l'arrachement est impropre à ce but. 



(') Jamin, Sur la distribution magnétique {Comptes rendus, t. LXXV, 
p. 1672; 1872). — Sur la distribution dif magnétisme {/bid., p. 1672). 



CHAP. X. — LES SPECTRES MAGNÉTIQUES. 27 1 



CHAPITRE X. 

LES SPECTRES MAGNÉTIQUES. 



§ 1. — Spectres formés par des poudres faiblement magnétiques. 

Lorsqu'on place une feuille de papier dans un champ magné- 
tique et qu'on saupoudre cette feuille de papier avec de la limaille 
de fer, les parcelles de limaille forment des traînées qui constituent 
un spectre magnétique. La forme de ces traînées de limaille est 
donnée par une règle très simple : que l'on trace les lignes de ni- 
veau, c'est-à-dire les intersections de la feuille de papier et des 
surfaces de niveau du champ; les traînées de limaille répandues 
sur la feuille de papier couperont orthogonalement ces lignes de 
niveau. 

M. E. Colardeau (') a montré que, si Ion employait un champ 
très intense et si l'on remplaçait la limaille de fer par des poudres 
médiocrement magnétiques, telles que le fer oligiste cristallisé, 
soyeux et friable, l'oxyde rouge de fer, l'oxyde des battitures, les 
divers oxydes de nickel et de cobalt, les traînées qui constituent 
le spectre magnétique offraient une forme différente. M. Colardeau 
pense que les traînées de poudre dessinent, dans ce cas, les lignes 
de niveau elles-mêmes ; nous verrons que telle n'en est pas la loi. 

Nous commencerons par étudier ces spectres formés par des 
substances médiocrement magnétiques. 

Soient t3, la fonction potentielle magnétique des aimants per- 



(») E. Colardeau, Sur les spectres magnétiques produits au moyen de sub- 
stances peu magnétiques {Journal de Physique, 1' série, t. VI, p. 83). 



272 HVBE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

manents, ©2 la fonction potentielle magnétique des grains de 
poudre, 'Og la fonction potentielle magnétique du milieu. Si la 
poudre et le milieu sont peu magnétiques, les fonctions potentielles 
t^a et TO3 seront très petites par rapport à t!),. 

Dans ces conditions, une parcelle de volume v.^ sera soumise à 
une force dont les composantes seront données par les égalités (8) 
du Chapitre précédent : 



x,= 


h 


-k, 

1 


dxi 


'^1'. 


Yo — 


kl 


-k. 


àyt 


Vl 


*2 — 




2 


z„ = 


k^ 


-h. 


(^nio, 


fo, 



Supposons [k'i — A3 ) positif et la parcelle assujettie à glisser sur 
la feuille de papier. Il est aisé, par les formules précédentes, de 
trouver le sens de la force qui tend à la mettre en mouvement. 
Traçons, sur la feuille de papier, les lignes isodynamiques, c'est- 
à-dire les intersections de la feuille de papier avec les surfaces 
isodynamiques du champ magnétique créé par les aimants perma- 
nents. La force magnétique tangente au papier qui tend à mouvoir 
la particule V2 coupe orthogonalement la ligne isodynamique sur 
laquelle se trouve cette particule. Si, comme nous le supposerons, 
(A"2 — k^) est positif, cas auquel la particule est paramagnétique, 
cette force est dirigée du côté de la ligne isodynamique où le 
champ a une intensité plus grande que sur cette ligne même. 

Imaginons maintenant que la feuille de papier présente un 
obstacle : soit une aspérité de la feuille de papier, soit des parti- 
cules magnétiques qu'une cause quelconque a arrêtées. Il est clair 
que toute particule magnétique qui viendra buler contre cet obstacle 
en se trouvant du côté de cet obstacle où l'intensité du champ a la 
moindre valeur se trouvera arrêtée dans son mouvement. Elle 
formera elle-même un nouvel obstacle contre lequel viendront 
buter de nouvelles particules magnétiques; chaque obstacle se 
trouvera ainsi le point de départ d'une tramée, située du côté de 
cet obstacle où l'intensité du champ a la moindre valeur et dont la 
direction générale sera celle de la normale à la ligne isodynamique 
passant par l'obstacle. 



CHAP. X. — LES SPECTRES MAGNÉTIQUES. 278 

Ainsi, dans un spectre formé avec une substance faiblement 
magnétique, les traînées que la poudre forme sur le papier 
coupent orthogonalement les lignes isodynamiques . 



§ 2. — Spectres formés par des poudres fortement magnétiques. 

Il est beaucoup plus difficile d'étudier rationnellement les 
spectres formés avec une substance fortement magnétique. Nous 
ne parviendrons à faire cette étude que dans le cas où le champ 
créé par les électro-aimants est assez intense pour que les parti- 
cules de limaille soient aimantées à saturation. Nous supposerons 
en outre que, bien que l'intensité du champ soit très grande, les 
variations de cette intensité demeurent finies lorsqu'on passe d'un 
point à l'autre du champ, et qu'elles sont infiniment petites dans 
vm domaine dont les dimensions sont comparables à celles des 
grains de limaille. 

, . , dXD^, dïO, dXlli . , ,. , , 

Les quantités -r-^» t-^j —-^ seront, en tout point, négligeables 

. d-Oi dto, d'Oy .. . . 1 f • -Il 

par rapport a -^-^ -^ — ' ~Jr * V^^^'^'- ^ 1^ lonction potentielle ma- 
gnétique du milieu, il n'y a pas lieu d'en tenir compte. 

Les composantes JU, ii!>, 3 de l'aimantation en un point d'une 
particule de fer doux sont données par [Chap. IV, égalités (i3) 
et(i4)], 

/ a _ P ^^"^i 

(0 ;'it^2-- j-^, 




P étant une constante. 

Soient \'^2 la fonction potentielle magnétique des autres parti- 
cules de limaille, et 1JP2 Aa fonction potentielle magnétique de l'ai- 
mantation distribuée sur cette particule, dont le volume est v^. 
Lorsque l'on déplace cette particule, les actions magnétiques qui lui 
sont appliquées effectuent un travail égal au signe près à la varia- 
D. — II. 18 



274 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

tion subie par la quantité 



/("-^'^^ 



\)!)2 ^ i- S2 -.; — ) dVi 



<>y% àz^ 



Les égalités (i) nous donnent 

DU 2 := P. 
La quantité OlLo ayant une valeur invariable, on aura 

/ rf 2 (011 2 ) C?(''2 — O. 

Soient 3.37, B^K, Ss les composantes de la translation de la parti- 
cule V'i'i Sx, Su-, Sv les composantes de la rotation. Les variations 
éprouvées par le premier et le troisième terme de l'expression (2) 
seront en général de l'ordre de v^'^x, P2SJK, ..., v^ht. 

Il en sera de même, en général, de la variation subie par le se- 
cond terme. Toutefois, il est, à ce dernier énoncé, un cas d'ex- 
ception. Supposons la particule ç^o située à une très petite distance 
d'une autre particule p^ ^^ même ordre de grandeur. D'après ce 
que nous avons vu au § 4 du Chapitre précédent, les quantités 

— -^, -^, -r— > qui ont des valeurs finies au contact immédiat de 

àXï 0J2 dZi * 

la particule p^? prennent des valeurs très petites de l'ordre de v'.^ à 

une distance finie de celte particule. Donc, au voisinage de la 

.1 , , ,• , ■f.d'Çi ^dVi ^d-^i i j 1 

particule v^. les quantités 0- — , 6^^ — ? 0^-— ont des valeurs très 
r 25 T ^x<i dy^ dz^ 

grandes de l'ordre de - • Ainsi, en général, la variation de la quan- 
tité (2) est de l'ordre des produits v-i^x^ ^l'^ft •••, (^^Sv. Mais, 
dans le cas particulier oii la particule V2 est très voisine d'une 
autre particule v'.^ , cette variation est de l'ordre des quantités 

l^Sx,^Sj, ...,^Sv. 

v'i 't'a ^2 

Ainsi, dans les conditions où nous supposons placées les parti- 
cules de limaille, chacune d'elles subit, en général, des actions 
magnétiques de l'ordre de sa masse; mais, lorsque deux par- 



CHAP. X. — LES SPECTRES MAGNÉTIQUES. 175 

licules sont au voisinage l'une de l'autre, chacune d'elles subit 
des actions magnétiques très grandes par rapport à sa masse. Dans 
un déplacement virtuel de la particule Po, ces actions effectuent 
un travail dont le terme principal peut s'écrire, d'après (i) et (2), 



(3) 



dXDy 



dfi 



p 






2 ^ 



^ (nx9i)2 

Soit F, l'action magnétique exercée au point (xo, y^-, ^2) par 
les aimants permanents. Cette action a pour composantes 

Si la particule p^ se meut seulement au voisinage de la parti- 
cule v'.,, cette force conserve une direction sensiblement invariable 
pour tous les points (^07 y-ii ^2) c["e l'on a à considérer. 

Soit Fo l'action magnétique exercée au même point (^2? JV'2j ^2) 
par la particule v'^. Cette action a pour composantes 

_0l^?2 _^2^ _£^. 

dx^i dy2 dZi 

L'égalité (3) peut alors s'écrire 

d-z =Po rF2Cos(F2,Fi)o?P2. 

La particule ç-2 devra donc, pour l'équilibre, se placer au voi- 
sinage de la particule v'.,, de telle façon que la quantité 

(0 fF^cos{F^,Fi)dç^ 

ait une valeur maximum. 

Au voisinage d'une particule de limaille de position don- 
née v'.^, une autre particule de limaille V2 est en équilibre 
lorsque la valeur moyenne, dans le volume v^^ de la compo- 
sante suivant les lignes de force du champ de la force ma- 



9.7G LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

gnétique engendrée par la particule v'., a une valeur maxi- 



mum. 



Si la particule Vo. n'était assujettie à aucune liaison, cette 
condition exigerait qu'elle vînt se placer immédiatement au con- 
tact de la particule v'^. 

Supposons, en effet, la particule v-2 située à une distance petite, 
mais non nulle, de la particule v'^ et soustraite d'ailleurs à toute 
liaison. Donnons-lui deux fois de suite la translation (Sjc, Sy, 83), 
qui sera possible quels que soient ùx^ oy, Zz. Il est aisé de voir 
que la quantité (4) éprouvera une variation seconde de la forme 

les quantités A, B, G, D, E, F ayant des expressions faciles à 

écrire si on les réduit à leurs termes principaux. 

Pour que la quantité (4) eût une valeur maxima, il faudrait 

que l'on ait 

Â<o, B<o, C<o 

et, par conséquent, 

A + B + G <o. 

Or il est aisé de voir que l'on a 

(n wo' ( A ^ R ^- G) ^ Sï/,4 '-^'^ ^^^'^ + '-^.fw. "^'^ ^'^^ 









Mais 011 a, en tout point du volume v-,, 



et, parlant, 



: —AV. = 0, /- AV^. =: O , — ^'K^2 ■■ 

dx^_ 0/2 «^^2 



ce qui donne 



A + B + G = o. 



La quantité (4) ne peut donc être minimum tant que la parti- 
cule V2. n'est pas venue s'accoler à la particule t\,. 

Lorsque la particule v^, au lieu d'être affranchie de tout lien, 
est assujetties, à se mouvoir à la surface du papier sur lequel se 
forme le spectre, il devient fort difficile de donner aucun théo- 



CHAP. X. — LES SPECTRES MAGNÉTIQUES. 277 

rème général sur la position d'équilibre de cette particule. Pour 
obtenir quelques résultats précis, il est nécessaire de particula- 
riser le problème. Si, par exemple, les deux particules Ca et p^ ont 
la forme de deux sphères, dont l'une, v'.y, est arrêtée, tandis que 
l'autre, ç-2, se meut dans son voisinage, en cherchant la condition 
pour que la quantité (4) soit maximum, on trouvera que la sphère 
Co doit toucher la sphère ç'.^, et que la ligne qui joint le centre de 
la sphère Ç2 au centre de la sphère ç'.^ doit avoir même direction et 
même sens que la projection de l'intensité du champ sur le plan 
du papier. 

(blette proposition fait comprendre pourquoi les particules de 
limaille s'accolent les unes aux autres et dessinent des traînées 
qui coupent normalement les lignes de niveau. 

Nous avons traité les spectres magnétiques dans deux cas ex- 
trêmes : celui où la poudre employée à former le spectre est peu 
magnétique, et celui où elle se compose de grains fortement ma- 
gnétiques aimantés à saturation. Les cas intermédiaires, impos- 
sibles à étudier théoriquement, peuvent donner lieu, comme l'a 
montré M. E. Colardeau, à des spectres complexes formés par la 
superposition des deux genres de spectre que nous venons d'é- 
tudier. 



278 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 



CHAPITRE XL 

CHALEUR ET AIMANTATION. 



§ 1. — Chaleur mise en jeu dans le déplacement d'une masse 
magnétique. 

On sait (Livre IV, Ghap. I, p. 34 1) que l'énergie interne U d'un 
système est liée à son potentiel thermodynamique interne § par la 
relation 

(1) EU=.f-T^. 

D'ailleurs, si l'on désigne par o^Q la quantité de chaleur dégagée 
par le système dans une modification quelconque; par d(Be le tra- 
vail effectué par les forces extérieures; par 3 ^,— l'accroisse- 
ment de la force vive du système, le principe de l'équivalence de 
la chaleur et du travail s'exprime par 

E </Q + y ^ = _ E oU -h d^e- 

Cette égalité, comparée à l'égalité (i), donne 

(2) E ^Q + ôV — = S f T ^) - S^ H- dGe. 



1 \ àT ^ 

Si la modification est isothermique et réversible, on a 

8(3^ — d<£g = 0, 

.;2--=o 

et l'égalité précédente devient 

(3) E^Q==8(t^). 



CHAP. XI. — CHALEUR ET AIMANTATION. 279 

Faisons l'application de ces formules à quelques cas particu- 
liers intéressants. 

1° Un aimant permanent se meut dans un milieu non ma- 
gnétique sous l'action de forces extérieures et d'autres ai- 
mants permanents. 

Soient t) la fonction potentielle magnétique de notre aimant et 
\'> la fonction potentielle magnétique des autres aimants. La seule 
partie variable du potentiel thermodynamique interne § est la 
quantité 



I\ 



dx 



l'intégration s'étendant à l'aimant mobile. Dans cet aimant, le ma- 
gnétisme sera supposé indépendant même de la température. Dès 
lors, la quantité précédente ne dépend pas de la température ab- 
solue T. L'égalité (2) se réduit donc ici à 



E^Q-^-O^-^-^^^Ce-ô/l 



dx 



dv. 



D'ailleurs, on a, dans les conditions où nous sommes placés, 



'J\ 



dx 



di> = — dGi, 



d<£i étant le travail effectué par les actions des aimants perma- 
nents immobiles sur l'aimant permanent mobile. On a donc 

E f/Q + 8 y — -= rfSe -+ d^i, 

égalité qu'aurait pu faire prévoir le principe des déplacements 
sans changement d'état. 

2" Un corps parfaitement doux, non plongé dans un milieu 
magnétique, est placé en présence d'aimants permanents. Des 
liens le maintiennent immobile. A un instant donné, on sup- 
prime les liens. Le corps se précipite vers les aimants perma- 
nents. Dans sa course, il rencontre un calorimètre où sa force 
vive vient s'amortir. Quelle est la quantité de chaleur cédée à 
ce calorimètre? 



aSo LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Soient A l'état initial du système et B l'état final. 
Dans l'état initial comme dans l'état final, on a 



■^ mv 



L'égalité (2) donne donc 



d^\ 



di- 



L'état physique et chimique du fer doux étant le même dans 
l'état initial et dans l'état final, on aura 

f^K- ^B = ^A-.%+ IJriiDTL, ^)di']- If^iDXl, T^)d^]. 



On a donc 

EQ = ijA - -Tb -^/[^( ^^l^A, T ) - T 



-/[''' 



DKb, T)-T 



(j.T(,mA, T) - 
^.f(;)iLB. T) 

àT 



dv 



V'^l! 



dîse. 



Supposons en particulier que la position initiale soit très éloi- 
gnée des aimants permanents, de telle sorte que l'on ait sensible- 
ment 

OÏL A = u. 

On aura aussi sensiblement 



().T(OKa,T) 



dv = o, 



yri(3iu, T)-T 



dv. 



On a donc 



(4) 



EQ=- riiju^ dv—- rik 



- f\§{d\i, 



T) — T 



ôx 



()g^(,m ,T) 



\dv 



V'-^I' 



d(ô.. 



Les trois premiers termes se rapportent à la position finale de 
l'aimant. 



CHAP. XI. — CHALEUR ET AIMANTATION. 281 

Nous avons vu [Chap. V, égalité (i i)] que l'on avait 

rii ,.^|L/,_.i r||.i/-,^'|L/.-^ rs(DXL,T)d. 
j II t^-^ Il ^'j II à^ Il j 

= - g'- Cnvciv- fwi ;)ii , T)dv, 

la première intégrale s'étendant à tout le système et la seconde au 
fer doux; la fonction ^(Oli, T), définie par l'égalité (lo) du 
même Chapitre, est positive pour les corps magnétiques. 
D'autre part, 

/'Dit ;^n 

On a donc 

lEq=-^fu\Ddv-hfw{D\L,T)dv 

r — T/ / .,, .,., ,p —TiT^ — 'dDYidv-^ I dise. 

Cette égalité nous montre que, si la fonction magnétisante di- 
minue, demeure constante, ou augmente faiblement quand la 
température croit, la chaleur dégagée surpasse la chaleur 
équivalente au travail des forces extérieures . 

Si la théorie de Poisson est applicable au corps parfaitement 
doux considéré, on a 

'^^^^^' ^^ ^ -ilrri' ''^^"" '^^ " ^'^^^' 

et l'égalité précédente devient 

(6) EQ = ^/n O * + 1 [^L_ .__ T il j(V)]/^'^' * -X"'"'" 

3" Un corps parfaitement doux 2 est plongé dans un milieu 
magnétique^». Il est soumis à V action d^ aimants permanents 1 
et de forces extérieures quelconques. H se meut sans éprouver 
aucun frottement. On suppose que la distribution magnétique 
est, à chaque instant, sur le corps et dans le milieu, celle qui 
conviendrait à l'équilibre si l'on arrêtait le corps dans la po- 
sition qu'il occupe à cet instant. Quelle quantité de chaleur 
est, à chaque instant, dégagée par le système dont la tempé- 
rature demeure invariable? 



282 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Si l'on désigne par d(Bi le travail efleclué par les forces inté- 
rieures pendant le temps dt^ on aura 

8 \ — — = «?Ge-+- d^i, 

et l'équation (2) deviendra 

(7) E«?Q = -8(j-T^|)-.ZG,. 

Désignons par ô, § la variation que subirait le potentiel thermo- 
dynamique interne pendant le temps dt^ si les paramètres qui 
fixent la position des diverses parties du système variaient seuls, 
les autres paramètres, qui fixent leur aimantation, leur état phy- 
sique et chimique, demeurant invariables. Désignons par 60 3" la 
variation que subirait le potentiel thermodynamique interne du 
système si, au contraire, ces derniers paramètres variaient seuls. 
Nous aurons, d'une part, 

et, d'autre part, le principe des déplacements sans changement 

d'état nous donne 

d(li= - 81 J. 

L'égalité (7) deviendra donc 

E^Q--82éF-4-T8^. 

Mais, à chaque instant, l'état d'aimantation du système est préci- 
sément celui qui convient à l'équilibre. On a donc, à chaque in- 
stant, 

62^ = 
et, par conséquent, 

(8) E^Q = T8^, 

équation de même forme que l'équation (3) qui convient à un 
phénomène réversible, bien que la transformation considérée en 
ce moment soit réalisable et, par conséquent, non réversible. 

Le potentiel magnétique ne dépendant pas de la température, 
on a simplement 

4 =/-^4l^''-'--/^^lg^'^-=-- 



D'ailleurs 



CHAP. XI. — CHALEUR ET AIMANTATION. 283 



dD]l, F3(01L3,T) 

L'égalité (8) devient donc 

Supposons d'abord le milieu non magnétique. L'égalité (9) de- 
\ iendra simplement 

Si les variations de la fonction magnétisante sont de même 
sens que les variations de la température , le corps dégagera de 
la chaleur quand son aimantation diminuera et en absorbera 
quand son aimantation augmentera. VinKcrse aura lieu si 
les variations de la fonction magnétisante ne sont pas de même 
sens que les variations de la température . 

Supposons ensuite le corps et le milieu tous deux faiblement 
magnétiques et l'aimantation de tous deux donnée par la théorie 
de Poisson. Nous aurons en premier lieu, en désignant par A"2(T), 
^^(T) leurs coefficients d'aimantation, 

F2(3rt2, T) = A-2(T), 
FsC^Ks, T)=/f3(T). 

Nous aurons, en outre, 

01i| = X:|(T)nt),, 
01Ii=Â:l(T)ni!),. 

Nous aurons donc, au lieu de l'égalité (9), l'égalité 

Or, dans l'ensemble de l'espace {y 2+ ('3)) la fonction lO^ est har- 
monique. Si donc nous désignons par t/Si un élément de la sur- 
face du corps 1 , par N3 la normale à cet élément vers l'intérieur 



^84 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

du milieu 3, nous aurons 

Tn t), dv^ + ÇwOx di>3 + § X')i ^ ^S, = G. 

On déduit aisément de là que, dans tout déplacement de la 
masse 2, on a 

ù fu tOi dv2 -t- Tn t)i dvs = o. 

L'égalité (lo) devient donc 

(n) E«?Q=-^-^[^2(T)-A-,(T)j3ynt5,^P,. 

Soit V le volume du corps 2. Soit J^ la valeur moyenne du carré 
de l'intensité du champ dans l'espace occupé par le corps 2. 
Nous aurons 

J2V= fnVidi>i. 



L'égalité (i i) prend donc, en dernière analyse, la forme suivante 

Cette égalité peut s'énoncer de la manière suivante : 

Un champ magnétique, engendré par des aimants perma- 
nents, est rempli par un milieu peu magnétique dans lequel 
plonge un corps peu magnétique. On déplace ce corps de ma- 
nière que la moyenne du carré de l'intensité du champ aux 
divers points de l'espace qu'il occupe aille en croissant. Si 
l'excès du coefficient d' aimantation du corps sur le coefficient 
d' aimantation du milieu décroît quand la température croit, 
la modification entraine un dégagement de chaleur. Elle en- 
traine une absorption de chaleur si le même excès croit avec 
la température. 

Les résultats auxquels nous venons de parvenir ont été énoncés 
en 1878 par Sir W. Thomson (<). En i883, MM. E. Warburg et 



(') Sir W. Thomson, On the thermoelastic, thermomagnetic and pyroelectric 
propei-ties of malter,%l {Philosophical Magazine, 5" série, t. V, p. 4» 1878). 



CIIAP. XI. — CHALEUR ET AIMANTATION. u85 

L. Honig (*) les représentèrent par une formule qui n'est point 
exacte. La première démonstration exacte a été donnée en 1889 
par M. Paul Janet (2). 

§ 2. — Chaleur spécifique d'un corps aimanté. 

Plusieurs auteurs (^) ont étudié l'influence que l'aimantation 
exerce sur la chaleur spécifique du fer. Il est aisé d'étudier cette 
influence pour la chaleur spécifique sous volume constant. Celle- 
ci, en efl'et, est liée à l'énergie interne par cette relation très 
simple 

nj étant la masse du corps. 

Si l'on se reporte à l'égalité (i), cette relation devient 

D'après une transformation analogue à celle que nous avons fait 
subira l'égalité (4), si l'on désigne par y la chaleur spécifique du 
fer non aimanté, on a 

( Ev^ir -^i) ^- ~^_ ^ j'nV dv - ~ fw(DK , T) di> 



(') E. Warburg et L. Honig, Ueber die Wàrme, welche durch periodiscli 
wechselnde magnetisirende Kràfte im Eisen erzeugt wird ( Wiedemann's An- 
nalen, t. XX, p. 8i4; i883). 

(') Paul Janet, 5m/' la chaleur de combinaison du fer dans un champ ma- 
gnétique et sur les phénomènes thermomagnétiques {Journal de Physique, 
ï" série, t. VIII, p. 3i2; 1889). 

(') J. Stefan, Ueber die Gesetze der elektrodynamischen Induction {Sitzungs- 
berichte der Akad. d. Wiss. zu IFi'en, LX[V, 1' Abtlieil, p. igS; 1871). — 
A. Wassmuth, Ueber die specijische Wàrme des stark magnetisirten Eisens und 
dos mechanische ^Equivalent einer Verminderung des Magnetismus durch 
die Wàrme { S itzungsberichte der Akad. d. Wiss. zu If ic/?, LXXXV, 2" Abtheil., 
p. 997 ; 1882). — Ueber eine Anwendung der mechanischen Wàrme- théorie 
auf den Vorgang der Magnetisirung {Ibid., LXXXVI, 2" Abtheil., p. 539, 
1882). — Ueber die bei Magnetisirung erzeugte Wàrme {Ibid., LXXXIX, 
i' Abtheil, p. io4; iSS'i ). — J. Stefan, Ueber thermomagnetische Motoren 
{Wiedemann's Annalen, Bd. XXXVIII, p. 427; i^ 



a86 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

Deux cas sont à distinguer : 

1° Veut-on calculer la véritable chaleur spécifique du fer aimanté, 
c'est-à-dire la quantité c telle que c dT représente la chaleur qu'il 
faut fournir au fer pour élever sa température de (TV sans modi- 
fier son volume ni son aimantation? Les dérivées par rapport 
à T qui figurent en dehors des signes / sont alors de véritables 
dérivées partielles 5 on a 



^ / Ut") dv=-.o 



..fnv 

et, par conséquent, 

Si le corps suit la théorie de Poisson, on a 

W(0]\. T) = . 

^ ' ^ •>./t(T) 

F(Dll, T) = /c(T), 
et l'égalité précédente devient 

Si le corps est peu magnétique, on a 

orL2 = A-2(T)n\v, 

et l'égalité (i3) devient 
(i36a) E.(o-Y)=-j-^-T^A_J^;^[-^J ynxui.. 

2" Veut-on, au contraire, supposer que c dT est la quantité de 
chaleur nécessaire pour élever de dT la température du fer, son 
aimantation variant par le fait de la modification que le 
changement de température apporte au coefficient d^ aiman- 
tation. 

Dans ce cas, les différentiations par rapport à la température 

qui figurent hors des signes / dans l'égalité (12) doivent être prises 

en tenant compte de l'influence de T sur l'aimantation . Le résultat 
devient beaucoup plus compliqué. 



CIIAP. XI. — CHALEUR ET AIMANTATION. 287 

Supposons le corps faiblement magnétique, de façon à pouvoir 
négliger le terme 

(jui est de l'ordre da / 0]1'^ dç, tandis que les autres, si l'on admet 

la théorie de Poisson, sont de l'ordre de 7—777- • Remarquons en 

k{i) ^ 

outre que 

W(OR,T)=^-|g-) = ^n... 

F(OR,T) = ^(T), 
et l'égalité (12) deviendra 

Les deux valeurs de c, données par les égalités (i3 bis) et (i4)) 
sont différentes l'une de l'autre; elles diffèrent d'ailleurs de celles 
qvie les auteurs ont proposées. 

Quant à l'étude delà chaleur spécifique sous pression constante 
du fer placé dans un champ magnétique, elle est si compliquée 
que nous ne voulons point l'aborder ici. 

Ce serait ici le lieu de parler de l'influence que le Magnétisme 
exerce sur les phénomènes chimiques; cette influence, mise en 
évidence par les expériences de M. Ira Remsen (') et de M. Row- 
land (^), a donné lieu aux recherches théoriques de M. Th. Gross (^), 



(') Ira Remskn, Action chimique dans un champ électrique {La Lumière 
électrique, t. IV, p. 126; 1881). — H -V. Jueptner, L'in/luence du magnétisme 
sur les métaux au point de vue électroly tique {La Lumière électrique, t. X, 
p. 469; i883). 

(') FoiV Oliver J. Lodge, Sketch of the principal electrical papers read before 
Section A during the late meeting of the British Association at Manchester 1887 
{Electrical Review, 28 septembre 1887). 

(') Th. Gross, Ueber eine neue Entstehungsweise galvanischer Strôme durch 
Magnetismus {Sitzungsber. der Akad. d. Wiss. zu Wien, XCII, 2''Abtheil., 
p. 1378; i885). — Ueber die Verbindungswdrme des magnetisirten Eisens {Ver- 
handlungen der physikalischen Gesellschaft zu Berlin, 22 avril 1887). 



288 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE. 

de M. Nichols(*), de M. Paul Janet (2). Mais nous craindrions, 
en exposant ici la théorie de ces actions, d'étendre outre mesure 
les dimensions du présent Volume. Nous demanderons donc au 
lecteur de se reporter aux travaux que nous venons de citer et à 
ce que nous avons dit ailleurs (^) sur ce sujet. Nous ne parlerons 
pas non plus des changements de concentration que le voisinage 
d'un aimant fait éprouver à une dissolution renfermant un sel 
magnétique. Nous avons consacré à l'étude de cette question un 
Mémoire (^) auquel nous renverrons le lecteur. 



(') NiCHOLS, On the chemical beaviour of iron in the magnetic field {Silli- 
mann's Journal, 3' série, t. XXXI; 1886). 

(') P. Janet, De l'in/luence du magnétisme sur les phénomènes chimiques 
{Journal de Physique, 2° série, t. VI, p. 286; 1887). — 5m/' la chaleur de com- 
binaison du fer dans un champ magnétique et sur les phénomènes thermoma- 
gnétiques {Journal de Physique, 2" série, t. VIII, p. 812; 1889). 

{') Sur l'aimantation par influence, Chapitre VI, § 2 et 3 {Annales de la 
Faculté des Sciences de Toulouse, t. II, p. D.98). 

(*) Sur les dissolutions d'un sel magnétique {Annales de l'École Normale 
supérieure, 3' série, t. VIII, p. 289; 1890). 



LIVRE X. 

L'AIMANTATION DES CORPS CRISTALLISÉS. 



CHAPITRE PREMIER. 



ÉQUATIONS DE L'EQUILIBRE MAGNETIQUE SUR LES CORPS 
CRISTALLISÉS. 



§ 1. — Historique. 

Nous avons étudié en détail le problème de l'aimantation par 
influence des corps isotropes; nous avons maintenant à revenir au 
cas général de ce même problème, à l'étude de l'aimantation par 
influence des corps non isotropes quelconques, et en particulier 
des corps cristallisés. 

Poisson avait indiqué les caractères qui distinguent l'induction 
magnétique des corps cristallisés de l'induction magnétique des 
corps isotropes vingt-trois ans avant qu'un expérimentateur son- 
geât à vérifier ses prévisions. 

Nous avons vu (Livre VIII, Chap. I, § 1) comment Poisson était 
parvenu à mettre en équation le problème de l'aimantation par 
influence des corps parfaitement doux en admettant l'existence de 
particules magnétiques et en supposant en outre que, pour les 
corps isotropes, ces particules avaient la forme sphérique. Mais, 
pour les corps cristallisés, ces particules peuvent avoir une forme 
difi'érente de celle de la sphère, et il en résultera des effets diff'é- 
rents. Le passage où Poisson prévoit ces efl^els et indique la voie 
qui permettra de les découvrir mérite d'être cité. 

D. - II. i9 



ago LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

« Le rapport entre la somme des éléments magnétiques et le 
volume entier dans chaque corps aimanté, dit Poisson (*), n'est 
pas la seule donnée relative à ce corps, indépendamment de sa 
forme ou de ses dimensions, d'où puisse dépendre l'intensité des 
actions magnétiques; la forme des éléments pourra aussi influer 
sur cette intensité, et cette influence aura cela de particulier 
qu'elle ne sera pas la même en des sens différents. Supposons, 
par exemple, que les éléments magnétiques sont des ellipsoïdes 
dont les axes ont la même direction dans toute l'étendue d'un 
même corps et que ce corps est une sphère aimantée par influence 
dans laquelle la force coercitive est nulle; les attractions ou les 
répulsions qu'elle exercera au dehors seront diff'érentes dans le 
sens des axes de ses éléments et dans tout autre sens; en sorte 
que, si l'on fait tourner cette sphère sur elle-même, son action 
sur un même point changera en général en grandeur et en direc- 
tion; mais, si les éléments magnétiques sont des sphères de dia- 
mètres égaux ou inégaux, ou bien s'ils s'écartent de la forme 
sphérique, mais qu'ils soient disposés sans aucune régularité dans 
l'intérieur d'un corps aimanté par influence, leurs formes n'influe- 
ront plus sur les résultats qui dépendront seulement de la somme 
de leurs volumes, comparée au volume entier de ce corps, et qui 
seront "alors les mêmes en tout sens. Ce dernier cas est celui du 
fer forgé, et sans doute aussi des autres corps non cristallisés 
dans lesquels on a observé le magnétisme; mais il serait curieux 
de chercher si le premier cas n'a pas lieu lorsque les substances 
sont cristallisées. On pourrait s'en assurer par l'expérience, soit 
en approchant un cristal d'une aiguille aimantée librement sus- 
pendue, soit en faisant osciller de petites aiguilles taillées dans 
des cristaux en toute sorte de sens et soumises à l'action d'un très 
fort aimant. » 

Le problème de l'induction magnétique d'un corps cristallisé se 
traitera donc de la même manière, d'après Poisson, que le pro- 
blème de l'induction magnétique d'un corps amorphe; mais, tandis 
que, pour ce dernier, on pouvait attribuer la forme sphérique aux 
éléments magnétiques, pour le premier, on devra laisser quel- 



(') Poisson, Mémoire sur la théorie du magnétisme {Mémoires de l'Aca- 
démie des Sciences, années 1821 et 1822, t. V). 



/ 

1 d\a = 




1 in,= 




I — 





CHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. 29! 

conques la forme et l'orientation des éléments magnétiques, en 
supposant seulement que cette forme et cette orientation sont les 
mêmes pour tous les éléments. 

On trouve ainsi, d'après Poisson, que, en un point (x,y,z) 
d'un corps cristallisé, les composantes Jl>, olh, G de l'aimantation 
sont liées aux dérivées partielles de la fonction potentielle magné- 
tique par les équations 



(■) 



P> P'i P"i 9i ^'> ^"» ''5 ^'' 1 ''' étant neuf constantes qui, dans l'idée 
de Poisson, sont essentiellement positives. 

Poisson avait d'avance indiqué la voie par laquelle on parvien- 
drait à découvrir les phénomènes d'induction magnétique des cris- 
taux et les principes qui serviraient à expliquer ces expériences. 
C'est seulement vingt-trois années plus tard que les expérimen- 
tateurs découvrirent les phénomènes dont on leur avait signalé 
l'existence. 

En 1 847, Plûcker ( ^ ), ajant placé des cristaux diversement taillés 
entre les deux pôles d'un électro-aimant puissant, observa les posi- 
tions que prenaient ces cristaux et crut pouvoir en conclure une 
action exercée par le magnétisme sur les axes optiques, action dif- 
férente du magnétisme et du diamagnétisme. Voici la loi expéri- 
mentale par laquelle il résumait ses recherches : 

« Si l'on place un cristal uniaxe quelconque entre les deux 
pôles d'un aimant, l'axe est repoussé par chacun des deux pôles. 
La force qui produit cette répulsion est indépendante de la pro- 
priété magnétique ou diamagnétique de la masse du cristal; elle 
varie plus lentement avec la distance aux pôles de l'aimant que les 
forces magnétiques ou diamagnétiques provenant des mêmes pôles 
et agissant sur le cristal. » 



(') J. Plùcker, Ueber die Abstossung der optischen Axen der Krystalle 
durcfi die Foie der Magnete ( Poggendorff's Annalen der Physik und Chemie, 
t. LXXII, p. 3i5; 1847). 



292 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

En 1848, Faraday (*), ayant observé de son côté l'orientation 
d'une substance cristallisée entre les pôles d'un électro- aimant, 
indique incidemment que ces phénomènes pourraient s'expliquer 
« en supposant que le cristal fût un peu plus apte à l'induction 
magnétique, ou un peu moins apte à l'induction diamagnétique 
dans la direction de l'axe magnécrystallique que dans toute autre 
direction )). Cette explication, à laquelle Faraday ne s'arrêta pas 
alors, était celle de Poisson. 

Le travail de Faraday contenait des résultats en désaccord avec 
ceux de Pliicker. Celui-ci, reprenant l'étude des phénomènes qu'il 
avait découverts, publia deux Mémoires (2) dans lesquels, sans 
renoncer à sa première interprétation de ces phénomènes, il mo- 
difiait légèrement la loi qu'il avait cru démontrer dans son pre- 
mier Mémoire, en admettant que l'action d'un pôle d'aimant sur 
un axe optique était répulsive ou attractive selon que le cristal 
était négatif ou positif. 

Ce n'est qu'après tous ces travaux, poursuivis dans une voie 
inexacte, que Plûcker (3) d'une part, Rnoblauch et Tyndall ('') 
d'autre part, arrivèrent à reconnaître la véritable cause des phé- 
nomènes observés, et à attribuer ces phénomènes, comme Faraday 
l'avait indiqué, à une capacité d'aimantation des corps cristallisés 
variable suivant la direction. 

« Tous ces phénomènes que j'ai observés, dit Pliicker, s'expli- 
quent en supposant qu'une polarité magnétique ou diamagnétique 
(selon que la substance est magnétique ou diamagnétique) peut se 



(') Faraday, On the crystalline polarity of bismuth and other bodies, and 
on its relation to the magnetic form of force {Expérimental Researches on 
Electricity, série XXII, art. 2588; Philosophical Transactions, p. 1-41 ; 1849). 

( = ) J. Plucker, Ueber die neiie Wirkung des Magnets auf einige Krystalle, 
die eine vorherrschende Spaltungsflàche besitzen. Einjluss des Magnetismus 
auf Krystallbildung {Poggendorff's Annalen, t. LXXVI, p. 676; iS^g). 

J. Plucker, Ueber die magnetische Beziehung der positiven und negativen 
optischen Axen der Krystalle {PoggendorJ/'s Annalen, t. LXXVII, p. 44?; 1849). 

(') J. Plucker, Ueber die Fessel'sche Wellenmaschine , den neuen Bouti- 
gny'schen Versuch und das Ergebnii^s fortgesetzter Beobachtungen in betreff 
des Verhaltens krystallisirter Substanzen gegen den Magnetismus (Poggen- 
dorff's Annalen der Physik und Chemie, t. LXXVIII, p. 421; 1849). 

(*) Knoblauch et Tyndall, Ueber das Verhalten krystallisirten Kôrper 
zwischen den Polen eines Magnetes {Poggendorff's Annalen, t. LXXIX, p. 233: 
i85o). 



CHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. agî 

développer par induction dans les cristaux et s'y développe plus 
ou moins aisément suivant les diverses directions, fait qui est lié 
aux. variations de l'élasticité de l'éther. » 

Knoblauch et Tjndall concluaient ainsi leur Mémoire : 

« La loi de Plucker, qui attribue aux axes optiques la manière 
particulière dont se comportent les cristaux entre les pôles d'un 
aimant, ne peut être conservée sous sa forme primitive. 

» Tous les phénomènes présentés par le spath d'Islande s'ex- 
pliquent en supposant que les échantillons magnétiques sont plus 
faiblement magnétiques dans la direction du clivage, et que les 
échantillons diamagnétiques sont plus faiblement diamagnétiques 
dans la même direction. )> 

Les travaux ultérieurs de Faradaj, de Plucker et Béer, de Kno- 
blauch et Tyndall, de Hankel, de Matteucci ne cessèrent de con- 
firmer ces conclusions. 

La théorie, donnée par Poisson, du magnétisme des cristaux 
avait été laissée dans l'oubli par les auteurs de ces recherches ex- 
périmentales. Sir W. Thomson (') appela l'attention des physi- 
ciens sur cette théorie. Après avoir rappelé les idées de Poisson 
et transcrit les égalités (i) auxquelles l'illustre géomètre était par- 
venu, il ajoute : 

« Tout le reste de la théorie de Poisson se borne à la consi- 
dération du cas des substances non cristallisées; dans ce cas, il 
est démontré que les coefficients/?, q\ r" sont égaux entre eux et 
que les autres sont égaux à zéro. Mais cela n'indique rien sur la 
possibilité d'établir des relations générales entre les neuf coeffi- 
cients, quelle que soit la nature de la substance. J'ai trouvé que 
les relations suivantes, par lesquelles ces neuf coefficients se ré- 
duisent à six, devaient être remplies, quelle que soit la nature de 
la substance 

(2) j ^"=r, 

( q' = p- 



(') Sir w. Thomson, On the theory of magnetic induction in crystalline 
and non crystalline substances {Philosophical Magazine, 4' série, t. I, p. 177; 
i85i. — Papers on Electrostatics, art. XXX). 



•294 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

» La démonstration de ces relations est fondée non point sur 
une proposition incertaine ou sur une hypothèse spéciale, mais sur 
ce principe qu'une sphère d'une substance quelconque, placée 
dans un champ magnétique uniforme et capable de tourner autour 
d'un axe fixe perpendiculaire aux lignes de force, ne peut devenir 
une source inépuisable d'effet mécanique. » 

Cette démonstration a été exposée plus tard par Sir W. Thom- 
son (*). 

Cette remarque de Sir W. Thomson achevait de marquer les 
principes d'une théorie de l'induction magnétique des cristaux et 
d'en établir les équations fondamentales. Aussi Sir W. Thom- 
son (2) put-il confondre dans une seule et même étude la théorie 
de l'aimantation par influence des substances amorphes et cristal- 
lines. 

Auparavant Pliicker (^j avait donné des théorèmes intéressants 
sur les propriétés des cristaux faiblement magnétiques. A. Beer(*) 
avait intégré les équations différentielles du problème de l'induc- 
tion magnétique pour une sphère cristalline placée dans un chamj) 
uniforme. 

Malheureusement, dans le développement de la théorie de l'in- 
duction-cristalline, il a commis certaines inexactitudes analytiques, 
comme l'a fait remarquer E. Mathieu. 

E. Mathieu (^) est parvenu à des équations d'équilibre ana- 
logues à celles que l'on déduit de la théorie de Poisson; mais il y 
est parvenu par une voie qu'il nous est impossible d'analyser briè- 
vement ici. Remarquons seulement qu'elle est liée à une hypothèse 



(') Sir W. Thomson, Démonstration d'une proposition sur l'induction ma- 
gnétique des cristaux { Papers on electrostatics, art. XXX, 1872). 

(^) Sir W. Thomson, General problem of magnetic induction {Papers on 
electrostatics, art. XL, 1872). 

(') J. Plucker, Ueber die Théorie des Diamagnetismus, die Erklàrung des 
Ueberganges magnetischen Verhaltens in diamagnetisches und mathematische 
Begriindung der bei Krystallen beobachteten Erscheinungen {Poggendorff's 
Annalen, t. LXXXVI, p. i; i852). — On the magnetic induction of crystals 
{Philosophical Transactions, i858, p. 543), 

{*) Béer, Einleitung in die Elektrostatik, die Lehre vom Magnetismus und 
die Elektrodynamik^ Brunswick, i865. 

(') E. Mathieu, Théorie du potentiel et ses applications à l'Électrostatique 
et au Magnétisme. 1" Partie : Applications ; Paris, 1886. 



CHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. agS 

sur la manière dont les actions magnétiques s'exercent au sein 
d'une substance cristallisée et qu'elle conduit à une théorie qui, 
de l'aveu même de son auteur, ne peut subsister si les aimants qui 
agissent sur le cristal influencé ne sont pas formés de la même 
substance que le cristal. 

Nous allons voir que les principes posés au Livre IXj Chapitre 1, 
fournissent aisément la mise en équation du problème de l'aiman- 
tation par influence d'une substance cristalline. 

§ 2. — Surface d'induction magnétique. 

Considérons un système que, pour plus de simplicité, nous 
supposerons n'être pas électrisé. Ce système renferme un aimant 
permanent que nous désignerons par l'indice 1 et un cristal 
aimanté que nous désignerons par l'indice 2. Le potentiel thermo- 
dynamique interne de ce système aura pour expression [Livre IX, 
Chap. I, égalité (19)] 



(3) 






3i, J3, C étant les composantes de l'aimantation en un point sui- 
vant trois directions rectangulaires O^, Or,, O^, parallèles aux 
axes d'élasticité de la substance en ce point ou à trois directions 
invariablement liées à celles-là. 

D'après l'égalité (20) du même Chapitre, chacune des deux 
fonctions ^J{3^, M, C) est de la forme suivante : 

( Ç(5l, B, €) = X5^ -t- [xB + (^C 

(4) +cpn(5V, B, C)5V2+cp22(5l, jD, C)iî2 + (P33(5V,lî, C)(!l2 

( -4-2cp23(5l, B, (!l)B«r4- 2cp3i(5l, B, C)C5V4-2cpi2(iA, B, C)5lB. 

Les quantités \, [ji, v dépendent seulement des paramètres a, 
[3, ... qui fixent, en chaque point, la nature de la substance; les 
fonctions cpy,^ dépendent non seulement de ^, IP, C, mais aussi 
de ces paramètres a, p, .... Ces fonctions demeurent finies pour 

31 = 0, B = o, C = o. 



296 LIVRE X. — AIMANTATION LES CRISTAUX. 

Nous aurons souvent à considérer la surface 

(5) j +2Cf23(2t,l3, C)Tl^-h2Cp3i(5V,j0,C)C^ + 2Ç,2(5V,B,C)?7) 

Cette surface du second ordre, qui dépend de la nature et de 
l'aimantation de la substance au point considéré, est ce que nous 
nommerons la sur/ace d'' induction magnétique en ce point. La 
connaissance de cette surface, pour toute grandeur et toute direc- 
tion de l'aimantation, est la donnée nécessaire et suffisante pour 
fixer les propriétés magnétiques d'un milieu. 

Lorsque la substance considérée est holomorphe, on a 

X=0, [JL=0, v=o 

et l'équation (5) représente la surface d'aimantation rapportée 
à trois axes passant par son centre. 

§ 3. — Existence d'un état d'équilibre. 

L'aimantation sur le cristal parfaitement doux 2 sera une aiman- 
tation d'équilibre si elle fait prendre une valeur minima à la quan- 
tité § définie par l'égalité (4). On peut, dans certains cas, prévoir 
qu'il existe un minimum pour la quantité §, et, par conséquent, 
un état d'équilibre stable pour le système; les cas dont il s'agit 
sont ceux où sont vérifiées les conditions suivantes : 

1° La surface d'induction magnétique est, pour toute aimanta- 
tion du cristal 2, un ellipsoïde réel. 

2° La substance qui forme le cristal 2 est holomorphe. 

En effet, considérons l'expression du potentiel thermodynamique 
interne donnée par l'égalité (4)- Les variations que l'on peut faire 
subir à l'aimantation du cristal 2 ne peuvent faire varier les quan- 
tités 

E(r-TS) et A/i(5V, U, et, a, p, ...)rfPi. 

La quantité ^ ne peut jamais être négative, et il en est de même, 
d'après les hypothèses faites, de la" quantité 



J(^M^i î"» <^> «> P> ■•■)dVi. 



CHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. 297 

L'ensemble des valeurs que peut prendre la quantité § pour 
toute aimantation possible du corps 2 est donc limité inférieure- 
ment. Sans qu'il soit possible d'en conclure en toute rigueur 
l'existence d'un minimum pour la quantité §, on peut, du moins, 
prévoir cette existence, qui correspond à un état d'équilibre stable 
du système. 

§ 4. — Équations de l'équilibre magnétique. 

Supposons que, à l'intérieur de l'élément dv^ du cristal 2, les 
composantes %, jw, C de l'aimantation siiivant OÇ, Orj, O^ 
subissent des variations arbitraires S 31, 815, ù^. Si l'équilibre est 
établi sur le système, la variation subie par la quantité § sera égale 
à o. 

Les composantes X, ilî), 3 de l'aimantation suivant O^, Oy, 
O^ subissent des variations Sjlo, 8i)l), §3. Si '<? est la fonction 
potentielle magnétique en un point de l'élément dv, on aura 



8J=(^^8^-. 




5i)î) + —- 83 ) dv. 
dz ) 


ais on a l'identité 


^?8JU 

ax 


= 


^"^h^ 

^^^ 


1 


n pourra donc écrire 


a.==( 




-0^ 




- 8C ) d(^. 



Dès lors, on voit sans peine que, en égalant à o la variation 
subie par la quantité ^ et en exprimant que cette égalité doit 
avoir lieu quels que soient 8/3t, SU, 8C, on obtiendra les relations 
suivantes : 



dV d 



^^Çj,(%,fi,(tL,cc,^,...) 



Ce sont les équations fondamentales de l'équation magnétique 
sur une substance non isotrope. 

L'égalité (4) permet de transformer ces équations en les sui- 



298 




LIVRE 


X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 


vantes : 










d^ 
à^ 


+ X + i 


S-*^-»^'-«'^)* 






-^ 


S.-4ï-8^^'^«^^)i, 






+ 


S-^^-»'^-«^)«='>. 




dp 


-h [i + 


'c^"*^t^'>t^^t)^ 


(6) 




+ 


{^^«^^1w-^t^*t> 






+ 


h^'^-t-^t^-ty-"' 




dp 


-f-V -H 


{^^"-^t-''ië--ii> 






-t- 


K-*^-»^--'^')» 




1 


+ 


s--^^-''^-^'^)^='" 


Poson 


S 


4'!.= 


(^^■•'-*-s^-»t-'-^'s')' 


(7) 


< 


4^27 = 


(,,„^5.^^,^x.^c<|i), 






h'/=^ 


(.,.,.^^|î^B^|.^c^-g-î). 



(8) 



(9) 



(^ = 1, 2,3); 

<l^ll 4^21 4^31 

T = tj;i2 <];22 'l'sa 

4^13 4*23 4^33 
811=: 4^22 4^33—4^23 4^32, 
812= 4^23 4^31 — 4^21 4^33, 

813 = 4^21 4^32— 4^22 4'3i ; 

^21= 4^32 4^13 — 4^33 4^12, 
§22=^ 4^334^11—4^31 4^13, 
§23= 4^31 4'12— 4^324^11! 
831= 4'12 4'23— 4^13 4^22, 
832= 4^13 4^21 — 4*11 4^23, 
\ 833= 4*114^22- 4^12 4^21- 



CHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. 299 

Les égalités (6) deviendront 

Dans le cas où la substance n'est pas hémimorphe, on a 
X = o, IJ. = o, V = o, 
et les égalités précédentes deviennent 



I /. ()■(? ^ (Jt:> , dp 

tt = — ^ O31 -rp + 032 3- -t- O33 



(n) 19 =-4^ ^.,^+822^+823 



T V " c)^ <^^ (^C 

Supposons que le système ne renferme pas d'aimants perma- 
nents. Deux cas seront à distinguer : 

1° Le cristal est holomorphe. — Dans ce cas, }^, [jl, v étant 
égaux à o, il est facile de voir que les équations d'équilibre (6) ou 
(11) sont vérifiées en posant 

5\ = o, 13=0, C = o, 

car, s'il n'y a pas d'aimants permanents, ces hypothèses entraînent 

dp dp dp 

^^^' d^=°' ^=^- 

Ainsi un cristal holomorphe parfaitement doux se désai- 
mante si on le soustrait à V action de tout aimant permanent . 

2" Le cristal est hémimorphe. — Dans ce cas, les quantités X, 
jjL, V ne sont plus forcément égales à o. Si l'une au moins de ces 
quantités diffère de o, les équations (6) ne pourront plus être 
satisfaites si l'on fait 

5^ = 0, 13 =0, € = 0. 

Donc, en général, un cristal hémimorphe demeure aimanté 
si on le soustrait à V action de tout aimant permanent. 

Jamais l'expérience n'a constaté jusqu'ici sur les cristaux hémi- 



3oO LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

morphes ('), comme la tourmaline, la calamine, etc., ce magné- 
tisme subsistant naturellement, en l'absence de tout aimant per- 
manent, dont la théorie nous fait prévoir la possibilité. Il faut en 
conclure que, si les quantités X, pi, v ne sont pas égales à o pour 
les cristaux hémimorphes connus, elles ont, du moins, de très 
petites valeurs. 

D'après cette remarque, il serait inutile, dans l'étude du magné- 
tisme, de conserver ces coefficients "k, [*■■> ^] toutefois, nous les 
laisserons figurer dans nos formules, parce que ces mêmes for- 
mules nous serviront de nouveau dans l'étude d'un autre problème 
où les coefficients "k, jx, v joueront un rôle important. 

Les équations (i t) nous montrent que, dans un corps cristallisé 
holomorphe, la direction de l'aimantation ne coïncide plus, comme 
dans un corps isotrope, avec la grandeur géométrique dont les 

^ dp dp dp 
composantes sont -y^ -p > -r^- 

§ 5. — Détermination de la distribution qui convient à l'équilibre. 

Supposons que l'expérience ait fait connaître, pour un corps 
déterminé, de structure homogène ou continûment variable, la 
surface d'induction magnétique représentée par l'égalité (5). 

Les équations 7), (8) et (p) feront alors connaître T et les 8^^ 
en fonction de %, M, C et des coordonnées x, y, z du point 
auquel ces quantités se rapportent. Les quantités 1, [x, v pourront 
aussi s'exprimer en fonction de x, y^ z. Les relations (10) devien- 
dront des relations entre %, 15, C, -r^-» -j-i — > x^ y^ z. On 
pourra les supposer résolues en ^, jP, C, et écrire 

•^= 61 -3^' -T' "TÏF' ^' JK, -s 
\ o^ OTf aÇ, 

(12) "^^^^H"^'^'^'^'^'^ 

^ . /dp dp dp 



(») É. Mathieu {Théorie du potentiel, t. Il, p. 166) a indiqué le premier que 
les crislaux hémimorphes pouvaient, au point de vue du magnétisme, se distin- 
guer des cristaux hoiomorphes. 



r 



CHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. 3oi 

On voit alors que, moyennant ces équations, où les fonctions 9< , 
O2, O3 sont des fonctions dont la forme est déterminée lorsqu'on 
suppose connue la forme de la surface d'induction magnétique du 
cristal, la détermination de la distribution qui convient à l'équi- 
libre se ramène à la détermination de la fonction \'^. Voyons com- 
ment cette dernière est déterminée. 

Si, dans les expressions de T et des ùpq, nous remplaçons %, 
15, C par leurs expressions (12), T et les S^^ deviendront des 

„ . , d-Ç dO dp 

fonctions de -.^-, -r- > —5 ^-y, ^, et nous pourrons poser, en gé- 
néral, 

Les équations (10) deviendront alors 






(14) i3 = D„ (^|.^X) + D,, (^--^ I-) ^ D. 



Nous allons imposer à ces équations une dernière transforma- 
tion. ^, 13, C sont les composantes de l'aimantation suivant trois 
axes O^, Ot), O^, parallèles aux axes d'élasticité du cristal au 
point {x,y, z). Soient, en ce point, 

rt, a', a" les cosinus des angles de Ox avec O^, Or,, O^; 

b, b'j b" les cosinus des angles de Oy avec O^, Or,, O^; 

c, c', c" les cosinus des angles de O^ avec O^, Or,, OÇ. 

Ces neuf cosinus sont des fonctions de x, y, z, déterminées 
lorsqu'on connaît la nature et l'orientation de la substance en 
chaque point. 

Soient -A,, ill), G les composantes suivant Ox, Oy, O:; de l'ai- 
mantation au point {x,y, z). Nous aurons 

!5V ^ a oA.> 4- b Db -+- c 3, 
j3 = aM, -I- 6' m, -t- c' a, 



302 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

Nous aurons, d'autre part, 



(i6) 



à\ dx dy dz 

d-Ç ,d-Ç ,,d-Ç ^d'Ç 

ar^ dx dy dz 

à-Q „d-Ç ,„t)X? „d-Ç 

' OL, dx dy dz 



Ces égalités (i6) permettent de transformer la quantité 

■ d-Ç d-Ç d-Ç 



^"'^^-df' 'dy d^' ^'^' 



e ,- j à-Ç d-Ç d-Ç 
en une fonction de ::^, ^-, ^-, x^ y, z, 



dx dy dz ' 






Les égalités (i4), (i5), (i6) donnent alors 

+ (Cû?il -H c'di2 -H c" di3) ( 1- V 

\ dz 

a'X-hb'^ + c' e= (aâ?2i-(-a'c?22-(-«"^23) f— + X 

-+- ( 6 .ijl + 6' fl?22 + 6" C?23 ) ( ^ -f- ,a 



( c «^21 -H c' C?22 H- c" «?23 ) ( "^ 



a'M, + è"e + c"8 = (a ^3, + «'^32+ a" ^33) ( v^ + X 
-+-(bd,i + b'd,,-^b"d,,) (^+1^ 

+ ( c ^31 + c' fi?32 H- c" (3^33 ) /^ -p H- V 



ou bien, en désignant par (D„^ des fonctions de t^, t— . ^,^, r, ;, 



ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. 3o3 



faciles à former en fonction des dpq, 






^) 


+ CD,: 






^) 


+ (©2! 


/dp 




^) 


+ ©3; 


/d-Ç 



Il devient maintenant facile de former l'équation aux dérivées 
partielles que vérifie la fonction "Ç en toutes les régions de l'es- 
pace. 

A l'intérieur des aimants permanents 1 , on a 

et le second membre est une fonction censée connue de x, y, z. 
Dans l'espace compris entre les aimants permanents et le corps 
cristallisé, on a 

(19) \-Ç = o. 

Pour obtenir l'équation aux dérivées partielles que t? vérifie en 
tous les points du corps 2, difTérentions la première des égali- 
tés (17) par rapport à :r, la seconde par rapport à y, la troisième 
par rapport à z, et ajoutons membre à membre les résultats ob- 
tenus. 

Le second membre de l'égalité à laquelle nous parviendrons 
sera une fonction de.r, y, z et des dérivées partielles du premier 
et du second ordre de la fonction "Q. Le premier membre 



pourra être remplacé par 



Nous obtiendrons donc une équation aux dérivées partielles du 
second ordre que la fonction "C devra vérifier en tout point du 
cristal. 

Pour achever de déterminer la fonction "Ç, il faudra imposer à 
cette fonction des conditions aux limites. A l'infini, ou bien sur 
la surface de séparation des aimants permanents et du milieu non 



dx 


471 


+ 


dQ, 
dz 



304 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

magnétique, ces conditions seront les mêmes que si le corps par- 
faitement doux était isotrope. A la surface de séparation du corps 
parfaitement doux et du milieu non magnétique, on aura 

^. + ^ = 47: [-A cos(Ni, x) -f- Db cos(N:,^) + e cos(N/, z)], 

ou bien, en vertu des égalités (17), 

7^(|^ + ^)-[(©u'^os(N,-,a.) + ®2iCOs(N,-,7) + ®3iCos(N,,^)](g+x) 

(■-40) / — [(Di2Cos(N,-,a:)-i-(D22Cos(N,-,jK) + (D32Cos(N/,5)] f— +[xj 

— [(Qn cos (N, , x) -f- (D23Cos(^N,-,7) 4- (D33 cos(N,-, ^)] ( -^ + ^ ) =^ " • 

Ainsi est défini le problème que l'on aurait en général à inté- 
grer pour déterminer "Ç et, partant, d'après les égalités (12), la 
distribution qui convient à l'équilibre. 

§ 6. — Remarque sur les corps hémimorphes homogènes. 

Dans ce qui précède, nous n'avons rien supposé sur l'homogé- 
néité ou l'hétérogénéité du corps étudié. Dans le cas où la sub- 
stance qui forme ce corps a, en tout point, la même constitution 
et la même orientation, on peut joindre à ce qui précède une re- 
marque importante. 

Les axes d'élasticité O;, Ot), O^ ayant la même orientation en 
tout point (x, y, z), on peut supposer qu'on ait pris les axes Ox, 
OjK, O^ parallèles aux axes d'élasticité. Les égalités (10) pour- 
ront alors s'écrire 



x = 




Di, = 




3 ^ 


-4h(g-)-^K^ 






D'ailleurs, si le corps est homogène, "X, jjl, v sont indépendants 
de X, y^ z. On voit alors sans peine qnun corps hémimorphe 
homogène s aimante dans un champ donné comme s'il était 



CHAP. I. — ÉQUILIBRE MAGNÉTIQUE SUR LES CRISTAUX. 3o5 

holomorphe et quJon eût superposé au champ donné un champ 
unifoî'me dont la fonction potentielle magnétique serait 

\x -\- [i.y -\-v z. 

Celte proposition ramène, dans le cas où l'on étudie des cris- 
taux homogènes, l'étude générale des cristaux hémimorphes à 
l'étude plus particulière des cristaux holomorphes. 



D. -II. 



3o6 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 



CHAPITRE IL 

LA THÉORIE DE POISSON. 



§ 1. — Les deux surfaces d'induction magnétique. 

Nous avons vu que l'étude de l'aimantation par influence d'une 
masse cristalline supposait la connaissance de la surface d'induc- 
tion magnétique définie par l'égalité 

1^ -+- JXTj -f- V^ 

Cette surface est rapportée à trois axes O^, Ot), O^, dont les 
directions indiquent l'orientation delà substance au point (.r,jKj ^o 
ce sont, par exemple, les axes d'élasticité au point (x,y, z), ou 
trois directions rectangulaires invariablement liées aux axes d'élas- 
ticité. 

Jjappi'oximation de Poisson consiste à supposer que les quan- 
tités '-fpq sont, non pas des fonctions de %, |5, C, mais de simples 
constantes. La surface d'induction magnétique en un point ne 
dépend plus de l'aimantation en ce point, mais seulement de la 
nature en ce point de la substance dont le cristal est formé. 

Supposons que le cristal ait en chaque point la même constitu- 
tion; la surface d'aimantation sera, pour chaque point, la même 
surface du second ordre. 

Nous avons supposé jusqu'ici cette surface rapportée pour chaque 
point {x^y^ z) à trois directions rectangulaires quelconques O^, 
Orj, 0(^ invariablement liées aux axes d'élasticité au point {x,y, z). 



CHAP. II. — LA THÉORIE DE POISSON. '307 

Mais on peut choisir ces droites de telle manière que les termes 
en tX, ^i, iv] disparaissent de l'équation de la surface d'induction 
magnétique. Les trois droites rectangulaires O^, Oyi, O^, qu'il 
faut choisir pour cela, sont ce que nous nommerons les axes d'in- 
duction magnétique au point (x, j , z). 

L'équation de la surface d'induction magnétique rapportée aux 
axes d'induction magnétique sera de la forme 

(I) J._ + Jl_+ A_ 4.X^_l_f^r, +vC-l. 

aCTi 2T!T2 2T!73 "= l ' 

Si le cristal a non seulement la même constitution en chaque 
point, mais si, de plus, il ne présente ni macle, ni groupement 
par pénétration, les axes d'induction magnétique seront, en chaque 
point, orientés de la même manière par rapport aux axes Ox, Oy^ 
Oz. Dans toute question où la position du cristal dans l'espace 
ne variera pas, on pourra supposer que l'on ait pris pour axes 
fixes Ox, O^, 0-s les axes d'induction magnétique du cristal. 

Proposons-nous, par exemple, d'étudier l'aimantation du cristal 
en prenant pour axes de coordonnées les axes d'induction magné- 
tique Oç, Oyi, OÇ. Soient XD, la fonction potentielle magnétique 
des aimants permanents 1 efOa la fonction potentielle de l'aiman- 
tation répartie sur le crislal 2. La partie variable du potentiel ther- 
modynamique interne aura pour valeur 

,. 1 J W ^Ç2 2 J II dç, 

+ / — - -{ -{ ^ 4-X5V2+^i32-+- v€2)0?^'2• 
l J \2nJi 21^2 2TO3 ^ 

En égalant à o la variation que cette quantité ^ éprouve par 
suite d'un changement quelconque dans l'aimantation, on trouve 
les égalités 

a ^ _ ^, ^A ^ _ ^_ _ 
(3) ^fi=_^,(^^ + __ + _ 









3o8 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

Ces relations nous montrent comment doit être dirigée la grandeur 
géométrique qui a pour composantes 



— [x-t- 



dXDi 


-+- 


àXDA 


--%, 




+ 


dtl ) 


-h 


dXDi 


-4- 




= Y> 



pour que l'aimantation ait une direction donnée. La règle qui fixe 
la direction de la grandeur a, [3, y est la suivante : 

Par le centre Q {fig' ^2) ^^ ^^ surface d'induction magnétique 
on mène une droite QOIL ayant des cosinus directeurs propor- 

Fig. 22. 




tionnels à %^ W, C Par le point ù on mène un plan P conjugué, 
dans la surface d'induction magnétique, à la direction QOII. Enfin 
à ce plan P et du même côté que la droite QOll/, on mène une nor- 
male QF. Les cosinus directeurs de cette droite QF sont propor- 
tionnels à a, p, y. 

Lorsqu'on se donne la direction de la grandeur géométrique qui 
a pour composantes a, ^, y et que l'on veut obtenir la direction de 
l'aimantation, on peut répéter une construction en tout semblable 
à la précédente en faisant usage non plus de la surface d'induction 
magnétique, mais de la surface inverse d' induction magnétique, 
qui a pour équation 



(4) 



nTiç2_(_ nT.2rj2-i- 1573^2 = i. 



CHAP. II. — LA THÉORIE DE POISSON. Sog 

De l'une comme de l'autre de ces constructions, on déduit la 
conclusion suivante : 

Pour que la grandeur géométrique dont les composantes 
sont a, p, Y coïncide en direction avec V aimantation, il faut et 
il suffit que ces deux grandeurs géométriques soient dirigées 
suivant l'un des axes d'aimantation du cristal. 

Les trois quantités gt,, nT2, gts, qui sont liées par des relations 
très simples aux longueurs des axes des surfaces directe et inverse 
d'induction magnétique portent le nom de coefficients principaux 
d' aimantation du cristal, 

§ 2. — La détermination de l'aimantation ramenée à l'intégration 
d'une équation aux dérivées partielles. 

La fonction potentielle magnétique X!), des aimants permanents 
est censée donnée. Dès lors, d'après les égalités (3), la détermina- 
tion des composantes ^, w, C de l'aimantation se ramène à la 
détermination de la fonction Do. 

Différentions la première des égalités (3) par rapport à i, la 
seconde par rapport à rj, la troisième par rapport à J^, et ajoutons 
membre à membre les résultats obtenus, en observant que 

dHOa d'-'O'i ^HOn _ (d% d^ d€\ 

et que, en tout point du cristal, 

d^XDt ano, ()2X5, 



d^-^ dr,^ c^C'' 

nous aurons 



o; 



,,. , I , \cJ2€>2 ,/ I , \d^t% , / I \d^^ 

(4) 7^ + ^1 -Jfir -^ T- + ^2 -3rv- ^ 7^ + ^3 



Telle est l'équation aux dérivées partielles que la fonction tDj 
doit vérifier en tout point du cristal, tandis qu'en tout point 
extérieur au cristal, elle vérifie l'équation aux dérivées partielles 

d^t)i d^XDi à^^i 

La fonction XD-i est égale à o à l'infini comme une fonction 
potentielle ordinaire; elle est continue dans tout l'espace, même à 



(6) 



3 10 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

la traversée de la surface qui sépare le cristal du milieu qui l'envi- 
ronne. Il n'en est pas de même de ses dérivées partielles du pre- 
mier ordre. On a, en effet, à cette surface, 

équation qui devient, moyennant les égalités (3), 

L^.,)(:|3)_eos(N,,0+(^H-..)(^)^cos(N,,,) 

f'),.cos(N,,Ç) 



I 

4" 

1 
4^ 



TïTs 






I aOî 



Ces diverses conditions ne peuvent laisser d'indétermination 
dans l'expression de la quantité XD2- Supposons, en effet, qu'on 
puisse les remplir au moyen de deux expressions distinctes de t)2 
et soit % la différence de ces deux fonctions Og. La fonction 0, 
on le voit aisément, vérifiera une équation analogue à l'équa- 
tion (4) en tout point intérieur au cristal et, à l'extérieur, elle 
sera harmonique. Si du désigne un élément de l'espace illimité 
extérieur au cristal, on devra avoir 

-^/[(4Î^ -^ "0 9 -^ (4-^- "- "0 ^^" (4^ -^ "^) ?] ^ ^'^^ ^ " 

Si dS désigne un élément de la surface qui limite le cristal, une 
intégration par parties transformera cette égalité en 



Uli-!: 



i^ dNe 



I 

4tc 



Mais, les deux expressions de la fonction Dg vérifiant l'égalité (6) 



LA THÉORIE DE POISSON. 3ll 



en tout point de la surface S, on aura, en tout point de la sur- 
face S, 



4uc^N. ■ (4i;-^"0(l).-'''^'^''^^"^fe-^"0(^).'"'^'^''^^ 



4tî'^^7 \dri)i 
L'égalité précédente se réduira donc à 

Nous verrons tout à l'heure qu'il n'y a lieu d'étudier que les cris- 
taux pour lesquels les trois quantités ^i, Tn.21 ^3 sont positives. 
L'égalité précédente ne peut alors avoir lieu si l'on n'a, en tout 
point de l'espace, 

dS d9 de 

Si l'on ajoute que la fonction est continue dans tout l'espace et 
égale à o à l'infini, on voit que l'on doit avoir, dans tout l'espace, 

= 0, 

en sorte que les deux expressions de la fonction XD.2 sont iden- 
tiques. 

Ainsi, lorsque les trois coefficients principaux d^ aimantation 
sont positifs, il ne peut exister plus d'une solution au pro- 
blème de V aimantation par influence. D'ailleurs, ce qui a été 
dit aux §§ 3 et 6 du Chapitre précédent nous fait prévoir que, 
dans ce cas, ce problème admet toujours une solution. 

§ 3. — Stabilité de l'équilibre magnétique. 

La distribution magnétique déterminée par les égalités précé- 
dentes correspond-elle à un état d'équilibre stable? 

Considérons un élément de volume dv^ appartenant au cristal, 
et donnons deux fois de suite aux composantes^, ÎB, C de l'ai- 
mantation dans cet élément des variations arbitraires 85t, 8Î5, 8C. 

Les premières variations font croître 5* d'une quantité 



5cf = 



-~ -f- ---^ -H À H 1 ôJV 

0% aÇ T«Tj 



3li LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

Les secondes variations font varier 8é^ de 



82#: 



(851)2 (8îî)2 (S(jr)2 



CTi THj 



Si les trois quantités r;3<, nr^î ^3 ne sont pas toutes trois positives, 
il sera toujours possible de choisir les quantités ù%, ùM, 0^^ de 
manière que la quantité 8^ éf soit négative. Ainsi /'e^«/i7/6/-e ma- 
gnétique ne peut être stable sur un cristal que si les trois coef- 
ficients principaux d^ aimantation sont positifs. 

Réciproquement, si les trois coefficients principaux d^ ai- 
mantation d'un cristal sont positifs, l'équilibre magnétique 
est assurément stable sur ce cristal. 

Donnons deux fois de suite à l'aimantation en chaque point du 
cristal des variations arbitraires S^, SU, 8C Posons 

^\ = a dt, oj(3 = 6 dt. oC = c dt, 

dt étant une constante infiniment petite et a, b, c des fonctions 
uniformes finies et continues de ^, r,, "C^. 

Supposons qu'aux divers points du cristal on distribue une 
aimantation ajant pour composantes les quantités a, b, c. Soit Q 
la fonction potentielle magnétique de cette aimantation. En repro- 
duisant les calculs faits au Livre IX, Chapitre III, § 2, nous trou- 
vons sans peine que l'on a 

Si, comme nous l'avons supposé, les trois quantités ctj, nT2, W3 
sont positives, cette quantité S^J^ est essentiellement positive, et 
l'équilibre magnétique est stable. 

Ainsi, pour qu'on puisse déterminer sur un cristal, placé dans 
des conditions données, une distribution magnétique correspon- 
dant à un équilibre stable, il faut et il suffit que les surfaces d'in- 
duction magnétique soient des ellipsoïdes réels. Le cristal ne 
peut être diamagnétique dans aucune direction. 



CHAP. m. — CRISTAL DANS UN CHAMP UNIFORME. 3l3 



CHAPITRE III. 

ACTION D'UN CHAMP MAGNÉTIQUE UNIFORME SUR UN CORPS 
CRISTALLISÉ. 



g 1. — Aimantation d'une sphère ou d'un ellipsoïde cristallins dans 
un champ magnétique uniforme. 

A. Béer (') a montré que l'on pouvait aisément étendre la mé- 
thode par laquelle Poisson a étudié l'aimantation d'une sphère 
isotrope placée dans un champ magnétique uniforme au cas où la 
sphère est taillée dans une substance cristalline homogène. 

Pour résoudre ce problème, nous pouvons prendre les axes de 
coordonnées parallèles aux axes principaux d'aimantation de la 
substance et menés par le centre de la sphère. Les équations de 
l'équilibre magnétique seront alors [Chap. JI, égalités (3)], 



3V = — Toi ( X -h 

U = — TÎI2 ( |X + 



à', 


-)- 






+ 






+ 


ce 



Supposons que le champ, uniforme, corresponde à une fonction 
potentielle magnétique 

t!), = _(F$-f-Gvi + HÇ-i-K), 



(') A. Béer, Einleitung in die Elektrostatik, die Lehre von Magnetismus 
und die Elektrodynamik. Brunswick, i863. 



3l4 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

F, G, H, K étant quatre constantes. Les égalités précédentes de- 
viendront 



(0 |5=-n.,(fx-G+^) 



Ces égalités déterminent sans ambiguïté ^, M, C; or il est 
facile de voir qu'elles seront vérifiées par une distribution magné- 
tique uniforme répandue à l'intérieur de la sphère, et ayant en 
chaque point pour composantes, suivant les trois axes principaux 
d'aimantation 



(2) 



4 

I -i- ^ TTHJi 


7^2 


4 

I -4- - TTIHa 


7^3 


4 

1 ■+- - TTTÎTs 



€= 7 (H-v). 



Dans ce cas, en effet, on aura [Livre VIII, Ghap. II, égalité (5)] 

t)2(?,iri,!:)=^7:(5V$+î3Tl + CO, 

en tout point (Ç, r,, ^) intérieure la sphère cristalline. 

Une méthode analogue s'appliquera à l'étude de l'aimantation 
prise, dans un champ magnétique uniforme, par un ellipsoïde 
taillé dans un cristal homogène. 

Prenons pour axes de coordonnées les axes principaux de l'el- 
lipsoïde, Ox, Oy, Oz, lesquels ne coïncident pas forcément avec 
les axes principaux d'aimantation O^, Oy], O^ de la substance 
cristallisée. Les neuf cosinus des angles que font les droites du 
premier trièdre avec les droites du second seront dénotés confor- 
mément au Tableau suivant : 



CHAP. III. — CRISTAL DANS UN CHAUP UNIFORME. 
0$ Ot) OÇ 

Ox 



3t5 



O7 



Os 



a 


a' 


a" 


b 


b' 


b" 


c 


c' 


c" 



Dès lors, si nous désignons par .A.,, i)l), 3 les composantes de 
l'aimantation suivant O^, Oy, Os, nous aurons 



.A = 5la -1- j3a'H- €a", 
G = 51 c -+- 13 c' -i- C c", 



ou bien, en vertu des relations (i), 

oA =— [nj,(X — F)a -4-nT2([JL— G) «'m- T33(v — H)a"] 
nri — a + TîT^^a+nTs— a 



(3) 



Dî, = — [r;ji(X — F) 6 + nT2( [JL - G) 6'-+- TOs (v - H) 6"] 
-.(r.,-^b-^m,-^b+r^,-^b), 

G = — [mi (X — F) c + nT2 ( [J. — G) c'-}- W3(v — H) c"] 

dXDo 






^3 



Cherchons s'il est possible de satisfaire à ces équations en rem- 
plissant l'ellipsoïde par une distribution magnétique uniforme. Si 
l'ellipsoïde est uniformément aimanté, on aura [Livre VIII, Chap. II, 
égalité (10)], 



dx 



= 2X/, 



dy 



alJbm, 



dz 



= ikin, 



en désignant par /, m, n des constantes que nous avions désignées 
par X, [jL, V au Livre VIII, Chapitre II. 



3l6 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

Ces dernières égalités donnent 



— — - = 2 ( Jlg m 



^^~ = 2 {Xla'-h 1)1) m^' H- Bnc'), 
1 ( JU la -+- Dî, mh" -f- G ne"). 



^2 

dV 



Il suffira donc de déterminer X, i)b, G par les trois équations 
linéaires suivantes 



[i + aZ («uia^ -+-vj.2a'^ -i-rnsa"^)] JU 
-I- 2/n(nji«6 -I- rs^a' b' -+- xn^a" b" ) ift) 
-f- 2n (nji ac + TJÎ2 a' c'-f- T»j3a"c") S 
= cTi a ( F — X ) 4- 7IT2 a' ( G — [j. ) -;- CT3 a" ( H — v ), 

aZ (xni 6a-î- TOj 6'a'-i- 75T3è"a")(^l) 

-t- [ I + 2 m ( HTi 62 -f- TÎT, è'2 -H 77T3 //'2 ) ] 1)1, 
-t- 2/1 (tTTi èc — T!Ti 6'c' + Tx!ib"c") G 
= TjTi 6 ( F X ) H- 7TT2 6' ( G — [Jl ) + Tn3 6" ( H — V ) , 



(4) 



2 Z ( TJTi Ca + 7^2 c' a' -i- TO3 c" a" ) aH» 

M- 2 7n(T0i c6 -f- nT2 c' b' -T- nj3 c" 6 " ) 1)1) 

-l-[t-+-2« (tîTi C^ -!-7n2C'2 -t-7n3C"2)] G 

= TiTic(F — X) + nj2c'(G — [x) -~- m-ic" {H — v ). 

Ainsi, un ellipsoïde taillé dans une substance cristalline et 
placé dans un champ magnétique uniforme s'aimante uniformé- 
ment. 



§ 2. — Forces qui sollicitent une sphère cristalline dans un champ 
magnétique uniforme. 

Un corps cristallisé homogène étant placé dans un champ ma- 
gnétique quelconque, le potentiel thermodynamique interne du 
système, réduit à ceux de ses termes qui sont susceptibles de va- 
rier, est donné par l'égalité (2) du Chapitre précédent; cette éga- 
lité peut encore s'écrire 



73, 



dvi 



J W \ à^2 c^^2 ^1 / 2j II d^z 

Mais, d'après les conditions de l'équilibre magnétique, on a, à 



CIIAP. m. — CRISTAL DANS UN CHAMP UNIFORME. 

chaque instant, 

^2 = ^1 I A + -rz H -TTT- 1 ) 

c?r)2 dt\^ ] ' 



3i7 



CJ2 [Jl + 






L'égalité précédente se réduit donc à 



(5) 



2j H t^? 



512 



C?t'-2. 



Cette égalité est vraie, quelles que soient les particularités pré- 
sentées par le champ magnétique et quelle que soit la forme du 
corps cristallisé. 

Supposons, en particulier, que le champ soit uniforme et que le 
corps soit sphérique. La sphère s'aimantera uniformément et, en 
tout point (^, Y), X^ intérieur à la sphère, nous aurons 



t)2(?,ri,C)-f 7r(5l^ + iDri 



■-Q- 



L'égalité (5) deviendra donc, en désignant par R le rayon de la 
sphère. 



.f = -3^ 



TTTÏTi 



-5V2 



R3, 



ou, en remplaçant ^, W, C par leurs valeurs (2), 



(6) i=- 



[4 
4 
n-3^Tn, 



(F-X)2 



4 



l 4- - 7rTJT2 



•(G-[Jt)2. 



7 (H-v)2 

I+.-7rCT3 J 



Si l'orientation de la sphère varie dans l'espace, les compo- 
santes F, G, H de l'action du champ suivant les axes principaux 
d'induction magnétique du cristal subiront des variations, et la 
quantité i^ donnée par l'égalité précédente, subira une varia- 
tion '^i. La quantité ( — 8^) sera le travail effectué par les forces 
magnétiques auxquelles la sphère est soumise. 

Une translation virtuelle, non accompagnée de rotation, ne fait 
pas varier la quantité $. Les actions magnétiques que subit une 



3l8 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

sphère cristalline quelconque dans un champ magnétique uniforme 
sont donc réductibles à un couple. 

L'expression (6) est susceptible d'une interprétation géomé- 
trique. 

Considérons l'ellipsoïde (E') représenté par l'équation 



(7) 



Cet ellipsoïde a mêmes directions d'axes que l'ellipsoïde d'induc- 
tion magnétique. 

Si, par le centre O, on mène la grandeur géométrique dont les 

composantes sont 

F-X, G — IX, H~v, 

sa direction rencontrera cet ellipsoïde en un point M'. Soit p' la 
distance OM'. Soit P' le plan tangent en M' à l'ellipsoïde E'. 
Soit A' la distance du centre O à ce plan P'. On aura 



l^rr., 


- irnj2 ô ^^3 


-. $- + 

I H- i Tïnji 


4 ^''-^ 4 

1 -+- - TTTOi I -h - TITHs 



4 4 

— TTTIJi — TrT<J2 




I -+- - TTCJi I -+- ^ TTTnj 


4 

1 + - TTTOj 


et l'égalité (6) pourra s'écrire 




(^) ^- o .'2A'2' 





en désignant par L la grandeur géométrique ayant pour compo- 
santes 

F — À, G — II, H— V. 

Cette formule (8) peut encore prendre une autre forme. Considé- 
rons l'ellipsoïde E donné par l'équation 

4 4 4 

I ■+- - TlCTi I + -r TTCTa I ■+- r-. TtTTSs 

(9) -T^ ^'+-7^ r;^-^ — ^ r-=i. 

4 4 4 

- TITHi - T.Tn-2 - TCCÎs 

Cet ellipsoïde a encore mêmes directions d'axes que l'ellipsoïde 
d'induction magnétique. 



CHAP. III. — CRISTAL DANS UN CHAMP UNIFOBME. 3j9 

La droite OM' rencontre cet ellipsoïde en un point M ; soit o la 
distance OM; on démontre sans peine que 



I 

L'égalité (8) peut donc s'écrire 

(,o) ^ = __L.£-,. 

Cette formule conduit immédiatement à un certain nombre de 
conséquences dans le cas où Ton a 

X = o, [jt. = o, V = o. 

Ce cas, on le sait, est présenté par toutes les substances holo- 
morphes et aussi, du moins approximativement, par les substances 
hémimorphes. Dans ce cas, la quantité L n'est autre que l'inten- 
sité même du champ; elle est donc indépendante de l'orientation 

de la sphère; la quantité -, varie seule avec cette orientation. 

Si la sphère cristalline est soumise aux seules actions magnéti- 
ques, la quantité éf devra, pour l'équilibre, prendre la plus petite 
valeur qui soit compatible avec les liaisons auxquelles la sphère 

est assujettie; la quantité ^ devra donc avoir la plus grande valeur 

possible. 

Supposons que l'on ait 

Si la sphère est libre de s'orienter de toute manière, p* prendra 

4 4 
3^' . i + jj^i 
sa plus grande valeur — et p'^ sa plus petite valeur — 

lorsque ces deux directions coïncideront avec la direction de l'axe 
principal d'induction magnétique qui correspond au coefficient 
d'aimantation rn,. 

Ainsi, si une sphère cristalline holomorphe libre de s'orienter 
est soumise à l'action d' un champ magnétique uniforme, elle 
s' orientera de manière que l'axe de plus grande aimantation 
de la substance soit parallèle aux lignes de force du champ. 



320 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

On démontrerait de même la proposition suivante : 

Supposons la sphère crislalline susceptible seulement de 
tourner autour d'un axe parallèle à l'un des axes principaux 
d'aimantation et les lignes de force du champ perpendiculaires 
à cet axe. La sphère cristalline s'orientera de telle sorte que 
celui des deux autres axes d'aimantation qui correspond au 
plus grand coefficient d' aimantation prenne la direction des 
lignes de force au champ. 

Il peut arriver que l'ellipsoïde d'induction magnétique soit un 
ellipsoïde de révolution; dans ce cas, le cristal sera uniaxe au 
point de vue du magnétisme. En général, les raisons de symétrie 
qui obligent un cristal à être optiquement uniaxe obligeront aussi 
ce cristal à être magnétiquement uniaxe. Les cristaux optiquement 
uniaxes et les cristaux magnétiquement uniaxes seront donc, en 
général, les mêmes. Toutefois, dans certains cas particuliers, il 
pourra arriver que l'ellipsoïde d'induction magnétique ou l'ellip- 
soïde d'élasticité envisagé en Optique aient une sjmétrie supérieure 
à celle de la structure cristalline: l'un pourra être de révolution, 
tandis que l'autre ne le serait pas; le cristal pourra être magnéti- 
quement uniaxe et optiquement biaxe ou inversement. C'est ce 
qui arrive pour le sulfate de fer qui est magnétiquement uniaxe, 
quoique clinorhombique et optiquement biaxe ('). 

Si un cristal uniaxe ne peut que tourner autour d'une droite 
parallèle à l'axe magnétique et si les lignes de force du champ sont 
perpendiculaires à cette droite, aucun couple ne tendra, d'après 
ce qui précède, à donnera ce cristal une orientation plutôt qu'une 
autre. L'équilibre du cristal sera indifférent. 

Supposons, au contraire, que le cristal puisse seulement tourner 
autour d'une droite parallèle à l'équateur de l'ellipsoïde d'induc- 
tion magnétique, les lignes de force du champ étant perpendicu- 
laires à cette droite. Si l'ellipsoïde d'induction magnétique est un 
ellipsoïde de révolution allongé, cas auquel le cristal est magné- 
tiquement positif, l'axe magnétique du cristal se placera dans la 
direction des lignes de force; si, au contraire, l'ellipsoïde d'induc- 
tion magnétique est un ellipsoïde de révolution aplati, cas auquel 

(') V. Mallard, Traité de Cristallographie, l. II, p. 537. 



CHAP. III. — CRISTAL DANS UN CHAMP UNIFORME 321 

le cristal est magnétiquement négatif, l'axe magnétique du 
cristal se placera perpendiculairement à la direction des lignes de 
force. 

§ 3. — Vérifications expérimentales. 

Supposons que l'on suspende un cristal de manière qu'il ne 
puisse tourner qu'autour de l'axe O^ et que les lignes de force du 
champ soient normales à l'axe de rotation. Soit J l'intensité du 
champ et ^ l'angle que fait cette intensité avec Or,. Nous aurons 

F = o, G = J cos({/, H = J siii'^. 

Supposons, en outre, que Ton ail 

X = o, (J. — o, V = o. 

L'égalité (6) deviendra 

4 

cos-<]/-^ sin^']; 




Nous aurons donc 



4 
-un., 




ôîF = R'J'M -, , I sin J; costL d'il. 

\ . 4 '■ I . T T 

\ û 

L'équilibre a lieu au moment où l'axe Or, est dirigé suivant les 
lignes de force du champ, c'est-à-dire au moment où l'on a 

simj; = o, costj; = i. 

Si l'on écarte le cristal d'un angle d'^ de cette position d'équilibre, 
le couple qui tend à l'y ramener a pour moment 

/ 4 4 \ 

■*'■" — 4 -4— r*- 

y 1-4- - Trcja I -H Ty TrnJs / 

Le cristal, ainsi écarté de sa position d'équilibre et abandonné 
à lui-même, effectuera des oscillations isochrones, dont la durée 
D. — II. 21 



322 LIVRE X. — AIMANTATION DKS CRISTAUX. 

T( sera donnée par l'équation suivante : 



(II) 



^ 4__ 4 

I 



R3J2/ S"""^^ 3'''^' 



Tf Ti^K \ 4 4 

* r -H - t:tct2 I 4- ^ TTins 



K désignant le moment d'inertie de la sphère cristalline par rap- 
port à un axe passant par son centre. 

Si l'on faisait osciller la sphère autour de l'axe Ov], placé nor- 
malement aux lignes de force du champ, on aurait une durée d'os- 
cillation T2 donnée par 



(i I bis) 



Enfin, si l'on faisait osciller la sphère autour de l'axe O^, placé 
normalement aux lignes de force du champ, on aurait une durée 
d'oscillation T3 donnée par 





{il ter) yp- 



La comparaison des égalités (11), (11 bis), (ii ter) conduit à 
cette relation remarquable 

I _ 1 I 

* 2 ^1 ^3 

Plticker ('), qui a démontré cette relation (12), Ta soumise au 
contrôle de l'expérience. 

Dans un beau cristal de forniiate de cuivre, il fit tailler une 
sphère de i centimètre de diamètre environ; il la posa sur un petit 
anneau de mica très mince tenu par trois fils de soie, et la fit os- 
ciller successivement autour de chacun des axes d'aimantation en 
comptant le nombre des oscillations. Dans deux séries d'observa- 
tions, l'une faite en excitant l'électro-aimant avec six éléments 



(') J. Plucker, On the magnetic induction of crystals {Philosophical Trans- 
actions, t. II, p. 543; t858). 



CHAP. III. 



CRISTAL DANS UN CHAMP UNIFORME. 



323 



(le pile, l'autre en excitant l'électro-aimant avec douze éléments, 
il trouva les nombres d'oscillations par seconde que voici : 

Axes de suspension. 

Première série 22,5 à 23 

Deuxième série 3i à Si, 5 



Oïl. 


oç 


53 


49 


73 


67 



La première série donne 



--^Fp7= 2918, 



ïf 



La deuxième série donne 



Tl 



= 2809. 



jj -^ f^ = 5i66, 



^2 = 5329. 



La relation (12) est donc vérifiée avec une exactitude suffi- 
sante. 

Pliicker a indiqué une autre relation susceptible d'être vérifiée 
par l'expérience. 

Soient Or, Oj, Oz (Jig- 28) trois axes de coordonnées rectan- 
gulaires fixes. Le cristal peut tourner autour de l'axe O^. L'inten- 

Fig. 23. 




site du champ est dirigée suivant Ox. Oz est dans le plan tO^. 
Le plan ^O^ trace sur le plan a:0_y une droite Os qui fait un 



324 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

angle ^ avec Ox; cette même droite fait un angle » avec O^. On 
a alors les égalités suivantes : 



F 


= 


J 


COStp cost];, 


G 


= 


-J 


sin4/, 


H 


= 


- J 


sincp cost}'- 



Si l'on suppose ). ^ o, pi = o, v = o, l'égalité (6) deviendra 

/ 4 4 4 

J2 I cos-cp cos^J; H sin2 J; -] ■ siii^o cos^tL 

2 \ 4 4 '4 

\ I -)- - TITOi I + „ 7:7^2 I + ô ^^3 

Si l'on fait tourner le cristal d'un angle infiniment petit autour 
de 0-s, à augmentera d'une quantité d'il égale à celle dont le cris- 
tal a tourné, tandis que o ne variera pas; ^ éprouvera un accrois- 
sement 

4 4 4 \ 

R3 / 3 '''^' 3 ""^^ 3 ""^^ \ 

Orf = J^ I ; cos^o 1 sin-o j sin 9.(1; <f'l/. 

"4 ' 4 4 ' / 

14- - TITO 1 i-h-TTîn^ H---7rra3 / 

La condition d'équilibre s'exprime en écrivant que 

Sj^ = o, 

ce qui donne 

sina'l' = o. 

Suivant les grandeurs des diverses quantités qui figurent dans 
la parenthèse, l'équilibre stable a lieu lorsque OÇ est dans le 
plan .G O jr ou lorsque le plan 5 O ^ est perpendiculaire au plan zOx. 

Si le cristal est écarté d'un petit angle dil de sa position d'é- 
quilibre, le moment du couple qui tend à le ramener à cette posi- 
tion est égal en valeur absokie à 

4 4 „ 4 

- TrTIT2 ^ TITiTi - TTTTTa 

R2J2( COS^CD ^__ sin2o \dij. 

4 4 4 

I -h - Tzmi J -I- - TTTîT, 1 -t- - Trnjs 

Supposons que le cristal soit un cristal magnétiquement uniaxe et 
positif. Nous aurons alors 

HTj > 7372 = 7^3 , 



CIIAP. III. — CRISTAL DANS UN CHAMP UNIFORME. 325 

et le moment du couple aura pour valeur 



■ ^- 


4 

3^nT, 


4 

1 + - TTTIT, 


4 



R2J2 j _ jcosîçrf'];. 



La durée d'oscillation du cristal faiblement écarté de sa position 
d'équilibre aura une valeur T donnée par la formule 

C^) h = V^\^, ^)co.= ,. 

Supposons en particulier que O^ coïncide avec O^. Nous au- 
rons alors 

cp = 71, COSCp = — 1, 

et la durée d'oscillation Tq sera donnée, d'après l'égalité (i3), 
par la formule 

J__ R2J2 

On a donc 

(II) 

Cette remarquable égalité a été vérifiée par Plucker au moyen 
d'une sphère taillée dans un cristal de sulfate de fer. Nous avons 
vu que cette substance était magnétiquement uniaxe. 

§ 4. -- Action d'un champ uniforme sur un cristal faiblement magnétique 
plongé dans un milieu faiblement magnétique. 

Les divers théorèmes que nous venons de démontrer ne sup- 
posent rien sur la grandeur des coefficients principaux d'aimanta- 
tion du cristal. Nous allons exposer maintenant les propositions 
approximatives que l'on peut établir en supposant ces coefficients 
très petits. Cette théorie, donnée par Plucker (') en i858, pré- 
sente deux avantages : en premier lieu, elle peut s'établir en sup- 

(') Plccker, loc. cit. 



4 


— 


!-■ 


4 


4 
I + - TrnT2 


X2 

-Hcos^ 


?• 





326 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

posant le cristal plongé dans un milieu isotrope peu magnétique, 
hypothèse qu'il est nécessaire de faire pour rendre compte des 
propriétés des cristaux diamagnétiques: en second lieu, elle per- 
met d'étendre à des cristaux de forme quelconque des propriétés 
qui, dans la théorie précédente, n'étaient présentées que par les 
corps sphériques. Ces deux avantages justifient le développement 
que nous allons donner à l'exposé de cette théorie. 

Par des raisonnements analogues à ceux qui ont été employés 
au Chapitre VII du Livre précédent, on prouvera sans peine que 
le cristal peu magnétique et le milieu peu magnétique dans lequel 
il est plongé s'aimantent tous deux comme si chacun d'eux exis- 
tait seul. Les équations de l'équilibre magnétique, rapportées aux 
axes principaux d'aimantation du cristal, seront, pour le cristal, 

■--".('- 1)' 

(i5) { 132 = — T 



€2 = — THa 






et, pour le milieu, 



5I3 = — A-3 



(i6) ^^=-k3—-!-, 

( «t3--A3-^ 

Si le champ est uniforme, le corps et le milieu s'aimantent tous 
deux uniformément. Dans le milieu, l'aimantation est dirigée 
comme l'intensité du champ créé par les aimants permanents. Il 
n'en est plus de même dans le cristal. En reproduisant des consi- 
dérations analogues à celles que nous avons indiquées au Cha- 
pitre II, § 1, on arrive au résultat suivant : 

Dans l'ellipsoïde inverse d^ induction magnétique 

on mène une demi-droite D dont les cosinus directeurs soient 
proportionnels à 

-v^^r -\^-^-ô^r -y^-^)' 



CHAP. III. — CRISTAL DANS UX CHAMP UNIFORME. 827 

par le centre de V ellipsoïde, on mène le plan conjugué à cette 
direction D, et, du côté de ce plan où se trouve la direction D, 
on lui mène une normale N. Cette normale marque la direc- 
tion de l'aimantation. 

La partie variable du potentiel thermodynamique interne du 
système pourra s'écrire, en désignant par ^2 le volume du cristal 
et par ç^ l'espace illimité occupé par le milieu magnétique, 

J 11 ''^2 11 J 11 OZî i J 

J \2TCTi 2UT2 2X33 / 

Nous aurons d'ailleurs, en vertu des égalités (i6), 

f[ li^' ^ Il "^ ^'sC^r^a)] d^^z = -J^'zV^\U)dv3. 

De plus, en vertu d'un théorème démontré au Livre IX, Cha- 
pitre IX, § 1, la somme 

/Va ( OÏL 3 ) dv^ ^ fws ( Oit 3 ) dv^ 

ne varie pas. Enfin, d'après un calcul fait au § 3 du même Cha- 
pitre, on a 

fw3{DTi3)dv.2 =^ fnXDidi^i. 

Si nous conservons les notations des paragraphes précédents, nous 
aurons 

et le potentiel thermodynamique interne, réduit à ses termes 
variables, pourra s'écrire 

r r/ il =* àVt \ 3ii m, €1 . ^ 3, „ \ , 

s = I i \\%i-^ -\ -i H -i- X?l2-f- u.i32-l-v€2) dVi 

J \\\ d^2 I 2nTi 27^2 2TiT3 / 

-t-^ f{F^^G^^H^)dv2. 
Les égalités (i6) apportent à cette expression une dernière trans- 



328 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

formation et permettent d'écrire 

(,7) .f =— 2[T7Ti(F-X)5-+-nT.2(G-|JL)Mra3(H-v)2-A:3(F2 + G24-H2)]Vj. 

Lorsqu'on déplace le cristal, la quantité ^subit une variation Srf 
égale, au signe près, au travail des forces magnétiques qui agissent 
sur le cristal. 

La forme (17) de la quantité ^ nous montre, en premier lieu, 
que les actions magnétiques qui s'exercent sur le cristal sont ré- 
ductibles à un couple. 

L'expression (17) est susceptible, dans le cas (qui est seul inté- 
ressant pour l'étude du magnétisme) où l'on a 

X = O, [JL = O, V = O, 

d'une interprétation géométrique analogue à celle que nous avons 
donnée de l'expression (6). Dans ce cas, en effet, l'égalité (17) 
peut s'écrire 

(18) ^ = - '-[(T^,-/c,)¥^ + {v,,-k,)G^-^{m,-k,)H^]. 

Considérons les deux surfaces du second ordre S et S' défi- 
nies, la première par l'équation 

(19) — --r -^ —r-\ -T- = i> 

HTi — A'3 nj2 — A-3 THs — K3 

et la seconde par l'équation 

(20) (nîi.-A-3)^'2 + (nT2-A-3)r/2 + (T03-/t3)r=i. 

Ces deux surfaces ne sont plus forcément, comme les surfaces E 
et E', des ellipsoïdes réels; ce peuvent être aussi des ellipsoïdes 
imaginaires, ou bien encore des hjperboloïdes à une ou à deux 
nappes. 

Dans tous les cas qui ont été expérimentalement étudiés, les 
trois quantités 

^1 — "^3) ^2 — ""3i ^3 'î"3 

ont offert le même signe, en sorte que, dans tous ces cas, les sur- 
faces S et S' sont ou bien deux ellipsoïdes réels, ou bien deux ellip- 
soïdes imaginaires. Dans le premier cas, le cristal est dit parama- 
gnétique; dans le second cas, il est dit diamagnétique. 



CHAP. III. — CKISTAL DANS UN CHAMP UNIFORME. SîQ 

Menons, par le centre commun O des deux surfaces S et S' une 
demi-droite dirigée comme l'intensité du champ. Elle rencontre la 
première en un point réel ou imaginaire M et la seconde en un 
point réel ou imaginaire M'. Posons 

OMr=p, OM'=p'. 
Soit J l'intensité du champ. Nous aurons 



(21) i = 



t'îJî p2 



:i'2 ■ 



formule qu'il sera aisé de discuter comme nous avons déjà discuté 
l'égalité (lo). 

Supposons, en premier lieu, le cristal absolument libre de 
s'orienter. II atteindra sa position d'équilibre stable lorsque i 

aura pris sa valeur minimum, c'est-à-dire lorsque ^ aura pris sa 

P 
valeur maximum. Si l'on a 

TiTi > r;T2> TIT3, 

cette position sera atteinte au moment oià l'axe principal d'aiman- 
tation OÇ sera parallèle aux lignes de force du champ. 

Supposons, en second lieu, le cristal libre seulement de tourner 
autour de l'un des axes principaux d'aimantation, l'intensité du 
champ étant d'ailleurs normale à cette droite autour de laquelle le 
cristal est mobile. Les deux autres axes correspondront en général 
à des coefficients principaux d'aimantation d'inégale grandeur. 
Dans ce cas, celui des deux axes mobiles qui correspond au plus 
grand coefficient d'aimantation viendra se placer suivant les lignes 
de force du champ. 

Si le cristal est uniaxe au point de vue magnétique et si l'axe 
de révolution de l'ellipsoïde d'induction magnétique coïncide avec 
l'axe autour duquel le cristal peut tourner, l'équilibre du cristal 
sera indifférent dans toutes les positions. 

En général, les deux surfaces S et S', définies par les égalités (19) 
et (20), n'admettent pas les mêmes directions de sections circu- 
laires. Mais, dans la pratique, il se trouve que les plans des sec- 
tions circulaires de la surface S diffèrent très peu des plans des 
sections circulaires de la surface S'; tout comme, en Optique, les 



33o LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

axes de réfraction conique intérieure diffèrent peu des axes de 
réfraction conique extérieure. 

Cela posé, rendons le cristal mobile autour d'une droite qui 
diffère peu de la normale aux sections circulaires de la surface S 
et de la normale aux sections circulaires de la surface S' et suppo- 
sons les lignes de force du champ normales à cette droite autour 
de laquelle le cristal peut tourner. L'équilibre du cristal sera à peu 
près indifférent. 



ClIAP. IV. — LES CORPS PEU DÉFORMÉS. 33 1 

CHAPITRE IV. 

AIMANTATION DES CORPS PEU DÉFORMÉS. 



§ 1. — Aimantation d'un corps quelconque peu déformé. 

JNous avons vu que raimanlalion d'un corps parfaitement doux 
quelconque dépendait de la fonction 

(0 -f-cp„(5l,jB,€)5l2 +cp22(5l,ÎJ,C)ÎJ2 -4-033(-9l,îî,«D)r2 

( +cp23(5^,î9,C)î3C + cf3i(5l,ÎJ,C)€5V-f-cpi2(3i,j3,C)5VJ&, 

/3i, M, C étant les composantes de l'aimantation suivant trois 
droites rectangulaires dont l'orientation soit connue lorsqu'on 
connaît la nature du corps au point que l'on considère; ce peuvent 
être, par exemple, les axes d'élasticité de la substance au point 
considéré. 

Les trois coefficients \ [x, v et les six fonctions ^pq{^, H^, ^) 
changent si l'on modifie l'état de la substance au point considéré, 
si, par exemple, on la déforme; de là la nécessité d'étudier spécia- 
lement l'aimantation d'un corps déformé. Les formules auxquelles 
nous allons parvenir dans cette étude nous seront d'un grand usage 
pour les recherches qui seront exposées aux Livres XI et XIL 

Imaginons un corps qui, à partir d'un certain état initial, nommé 
état naturel, a subi une petite déformation. Prenons un point 
quelconque M à l'intérieur de ce corps. Par ce point menons les 
trois droites rectangulaires M^, Mri, M^, qui servaient d'axes 
d'élasticité à la matière qui se trouve en ce point avant la défor- 
mation. Supposons le corps homogène à l'état naturel, de sorte 
que ces trois droites aient môme direction en tout point du corps. 









d\] 


dY 




dW 












^V 


dri 


j 


ôC 








-+- 




dW 


-\- 






-h 





332 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

La déformation dont il s'agit a donné au point M, par rapport 
à un système de coordonnées fixe, un déplacement dont les com- 
posantes suivant M^, Mt), MÇ sont U, V, W. On sait alors que la 
très petite déformation subie par la substance qui se trouve au 
point M sera définie par la connaissance des six quantités 



(^) 



i, Tj, Ç étant les coordonnées du point M, par rapport à un sys- 
tème de coordonnées O^, Ot), O^ dont les axes sont parallèles à 
Mi, Mri,MC. 

Les trois quantités )v, p., v et les six fonctions ©^^ qui figurent 
dans l'expression (i) de (j(5l, lî, C) seront des fonctions des six 
déformations (2); on pourra les regarder comme des fonctions 
linéaires, si les six déformations sont toutes très petites. On 
pourra, par exemple, écrire 

les sept quantités "ko, /,, lo, I3, //,, /s, la dépendant de la nature 
de la substance à l'état naturel. 

On voit sans peine comment, de ce point de départ, on dédui- 
rait une théorie complète de l'aimantation des corps peu déformés. 
Nous n'avons pas l'intention de développer ici cette théorie dans 
son ensemble. Nous nous bornerons à insister sur quelques ques- 
tions particulièrement importantes. 

La première de ces questions est relative aux changements que 
peuvent subir les quantités X, pi, v par l'effet d'une déformation. 

Si la constitution de la substance à l'état naturel est holo- 
morphe, cas auquel un centre figure au nombre des éléments de 
symétrie de cette substance à l'état naturel, il est aisé de voir que 
la substance faiblement déformée est encore sensiblement holo- 
morphe. Donc, pour une substance dont la symétrie comporte 
un centre, A est égal à o quelles que soient les six déforma- 



CHAP. IV. — lES COaPS PEU DÉFORMÉS. 333 

lions (2); en d'autres termes, on a 

Xo = 0, /i = O, /» = O, ^3 — O, 

l\ = 0, /s = O, /g — O. 

Considérons maintenant les substances hémimorphes , c'est- 
à-dire les substances dont la constitution n'admet pas de centre 
de symétrie. Bien qu'une pareille substance, à l'état naturel, n'ad- 
mette pas de centre, il peut arriver que l'on ait, pour cette sub- 
stance, 

Xo = o, [^0 = o, Vo = o. 

En effet, le système formé par l'origine des coordonnées et l'une 
quelconque des surfaces d'aimantation représentées par l'équation 

/ \\ -^ ;jLr, -f- v^ 

(3) ^oh(5V,?, C)Ï2 -4-cp22(5V,i3,£)r,2 + cp33(5V,î', G)C^ 

doit toujours présenter une symétrie au moins égale à celle de la 
substance à laquelle il se rapporte. 

Or cette condition peut exiger que celte surface ait toujours 
pour centre l'origine des coordonnées sans que, pour cela, Je 
cristal ait un centre. 

Imaginons, par exemple, que la symétrie de la substance consi- 
dérée comporte un axe d'ordre quelconque, binaire, ternaire, 
quaternaire ou sénaire. 

Une rotation d'un angle égal ou inférieur à tt autour d'une 
droite parallèle à cet axe, menée par l'origine des coordonnées, 
devra ramener à sa position primitive la surface (3). Cela exige ; 

1° Qu'une parallèle à l'axe cristallograpliique considéré, menée 
par l'origine des coordonnées, passe par le centre de la sur- 
face (3) ; 

2" Que cette droite soit un des axes principaux de la sur- 
face (3). 

Si la substance admet un autre axe de symétrie, on pourra 
énoncer pour ce second axe des propositions analogues, et le 
centre de la surface (3) devra coïncider avec l'origine des coor- 
données. 11 en sera encore de même si la substance admet un plan 
de symétrie normal au premier axe. 



334 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

Ainsi, on peut avoir nécessairement pour une substance 
(4) l — o, [J. = o, V = o, 

lors même que cette substance n'admet pas de centre; il suffit 
qiHelle possède plus d'un axe de symétrie (\), ou un axe de 
symétrie et un plan de symétrie normal à cet axe. 

Si nous prenons, par exemple, le quartz plagièdre à l'état naturel, 
ce corps n'admet pas de centre; mais il admet un axe de s_ymétrie 
ternaire et un plan de symétrie normal à cet axe; les trois coeffi- 
cients )., [x, V seront donc égaux à o pour le quartz plagièdre à 
l'étal naturel. 

Les substances présentant les éléments de symétrie que nous 
venons de considérer se rapprochent, on le voit, des substances 
holomorphes par ce fait que, pour les unes comme pour les 
autres, on a 

, X — o, [J. = o, V = o. 

Mais une différence radicale les sépare. 
Pour une substance holomorphe, on a 

X = o, [J. = o, V — o, 

non seulement lorsque la substance est à l'état naturel, mais 
encore lorsqu'elle a subi une légère déformation; car il est aisé 
de voir qu'une substance qui présente, au nombre de ses élé- 
ments de symétrie, un centre dans l'état naturel, présente encore 
un centre lorsqu'elle a subi une déformation infiniment petite. 

Il n'en est plus de même pour les substances qui, sans admettre 
de centre, admettent plusieurs axes de symétrie, ou un axe de 
symétrie et un plan de symétrie normal à cet axe. Pour ces sub- 
stances, prises à l'état naturel, les égalités (4) sont vérifiées, mais 
elles peuvent ne plus l'être après une déformation infiniment petite 
altérant la symétrie primitive de la substance. 

Une remarque importante relative à ce cas est la suivante : 
Soit M {Jig. 24) i^in point pris à l'intérieur d'un corps qui, à 
l'état naturel, présente un plan de symétrie P; MN est la normale 



(') Voir Mallard, Traité de Cristallographie, t. II, p. 571. — D'après cela, 
les seuls corps où X, [x, v puissent différer de o sont les corps auxquels les cris- 
tallographes allemands réservent le nom à' hémimorphes. 



CHAP. IV. 



LES CORPS PEU DEFORMES. 



335 



à ce plan de symétrie. Faisons subir au corps une légère défor- 
mation. Le plan P vient en P', la direction MN en MN', celle-ci 
11^ étant plus normale au plan P'; il est facile de voir que le 
plan P' est, pour la substance déformée, au point M, un plan de 




symétrie oblique, la direction de sjmétrife étant MN'. On en con- 
clut aisément que la grandeur géométrique Çk^ Y-^^) '^'"^ P®^ ^^ 
composante suivant MN'; elle est normale à MN'. Comme, d'ail- 
leurs, la direction MN' diffère infiniment peu de MN, on peut dire 
aussi que la grandeur (X, [x, v) n'a pas de composante suivant MN. 
Ces diverses remarques, peu utiles dans l'étude du magnétisme 
où, jusqu'ici, l'influence des quantités X, p., v n'a pas été aperçue, 
ont une importance prépondérante dans l'étude des cristaux pjro- 
électriques et piézo-électriques, comme on le verra au Livre sui- 
vant. 

§ 2. — Aimantation d'un corps isotrope peu déformé. 

Considérons un corps solide, isotrope dans l'état naturel. Ima- 
ginons que ce corps éprouve une légère déformation quelconque. 
L'état de ce corps en un point est défini lorsqu'on connaît en ce 
point l'orientation des axes principaux de dilatation OX, OY, OZ 
et les grandeurs /, /', /" des trois dilatations principales. Rapportée 
à ces axes, la surface d'aimantation représentée par l'équation (3) 
doit se réduire à la forme 



(?u(Â, B, G)X2-+-cp,2(A, B, G)Y2+cp33(A, B, C)Z2=i, 



336 LIVRE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

A, B, C étant les composantes de l'aimantation suivant les trois 
axes principaux de dilatation. 

Les quantités (Çh (A, B, C), cooo (A, B, C), cpsj (A, B, C) sont 
des fonctions de /, /', /". Si les quantités /, /', /" sont très petites, 
on pourra admettre qu'elles figurent linéairement dans les fonc- 
tions dont il s'agit. Quelques considérations de symétrie montre- 
ront sans peine que l'on doit avoir 

cpii(A, B, C)= F(A, B, G) + Z G(A, B, G) + iU{X, B, G)^ /" H(A, G, B), 

ca22(A, B, G)= F(B, G, A)-+- /' G(B, G, A)+ rH(B, G, A)- / H(B, A, G), 
cp33(A,B,G)=F(G,A, B)+rG(G,A,B)-f-ZH(G, A, B)^-/'H(G,B, A). 

Supposons que Ton ait 

1 = l'= /"■ 

le corps, primitivement isotrope, sera encore isotrope après la dé- 
formation. La surface d'aimantation devra, dans ce cas, se réduire 
à une sphère et, en désignant par Dit l'intensité d'aimantation, 
avoir une équation de la forme 

[/(DrL)+3/^(DH)](X^-^Y2-.^Z2)^,. 
On doit donc avoir, quels que soient A, B, C, 

F(A, B, G)H- l[G{X, B, G) + H(A, B, G)^ H(A, G, B)] = /(Ole)-*- 3^^(011), 
F(B,G, A)^/[G(B, G,A)-f-H(B,G,A)4-H(B,A, G)]=/(^lI)-^3/^(Dll), 
F(G, A, B)-4- /[G(G, A, B)^ H(G, A, B)^H(G, B, A)] = /(.m)-^3 /«-(OU). 

Faisant d'abord /=o, on trouve 

F(A, B, G)=F(B, G, A)=F(G, A, B)-/(,m). 

11 reste 

G(A, B, G)-l-H(A, B, G)-t-H(A, G, B)=3ff(0\L), 
G(B, G, A)+H(B, G, A)-t-H(B, A, G)=3^(D1L), 
G(G, A, B)-^H(G, A, B)+ H(G, B, A)=3^(31L)., 

On satisfera à ces égalités si l'on pose 

H(A, B, G)=: n(A, G, B) 
= H(B, G, A).= H(B, A, G) 

= H(G, A, B)=H(G, B, A)=/i(01L.) 

et 

G(A, B, G)= G(B, G, A)= G(G, A, B)= h'iDK). 



CHAP. IV. — LES CORPS PEU DÉFORMÉS. 337 

Si nous prenons alors 

k{3\L)=h'(3\L)—h{DÏL), 

la surface d'aimantation, rapportée aux axes principaux de dilata- 
tion, aura pour équation 

(5) ] -^[A3ïL)^(l -h r -h l")h(DXl)^ r k(3ïL)]Y^ 

( +[/(31L) + (Z + r-^ r)h{DTL)-\- rA^(^L)]Z2 = r. 

Cherchons maintenant l'équation de cette surface rapportée à 
des axes rectangulaires quelconques O^, Ori, O^. Soient U, V, 
W les composantes suivant ces axes du déplacement qu'a subi le 
point auquel se rapporte notre surface. Adoptons les notations 
suivantes pour les cosinus des angles des axes OÇ, Ov), O^ avec 
les axes OX, OY, OZ. 

o^ Ot) oc 



OX 



OY 



OZ 



. ^i 


ai 


Cl 


Clî 


62 


^2 


«3 


63 


C3 



Nous aurons les relations suivantes, démontrées par Cauchy, et 
dont il est fait un fréquent usage dans la théorie de l'élasticité : 

i^i + i ____^_ + _, 

ail ^ ail' -^ ail" =^-^, , 



b\i-\-bii'^bir = 
c\i-^c\i' + cl r = 






bicj -^ b-iC^l' ^biCsl" = - -— 

2\dZ, 



I /dY dW\ 



àrj' 



c^aj -^ c-ia^l -^Cia^l' = - {'ZJÎ "^ Ir ) ' 

A / A /' /. 7. ï /^U ôY 

aibil -+- a^bil -h azbil — -( -r- 

2\07i 



dY\ 



D. — II. 



338 LIVBE X. — AIMANTATION DES CRISTAUX. 

et l'équation (5) de la surface d'aimantation deviendra 

dU 



+ ^ + -:ïf +^-(31^) 









à^ 



> 



k 



(-)^} 



^(31^)—]^^ 



[/(01L)+A(0rt)(^ 
-[/(01L)+A(DlI.)(^i^ 

Cette équation de la surface d'aimantation une fois connue, il 
devient facile d'étudier l'aimantation d'une substance isotrope 
légèrement déformée. 

Traitons seulement le cas qui correspond à V approximation de 
Poisson, c'est-à-dire le cas où l'on a 

/(01I.) = /, A(01L.)=A, k{d\-i)=k, 

f, h, k étant trois quantités indépendantes de l'intensité 3\L de 
l'aimantation. 

Nous aurons alors [Ghap. I, égalités (6)] 



(7) 






, /d\} ô\ d\\\ , ^Ul ^ 



j /du dV 

, /dW dU\^ dV 



dU d\ 






k^^V<&+ik{ 



df] J 






, /d\J dY 



5l=- 






r. j /dV dY dW\ ,dW\^ , /dW dl]\^ 



d^ dl 

, (dY d\Y\ -, d-0 



Telles sont les équations qui déterminent, dans ce cas, les compo- 
santes %, %, C de l'aimantation suivant les axes O^, Ori, OJ^. 



LIVRE XI. 

LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 



CHAPITRE PREMIER. 

POTENTIEL THERMODYNAMIQUE D'UN SYSTÈME RENFERMANT 
DES DIÉLECTRIQUES. 



g 1. — Potentiel thermodynamique d'un système qui renferme 
des corps diélectriques électrisés et polarisés. 

Après avoir exposé, dans les Livres précédents, les principales 
propriétés des aimants, nous allons revenir à l'étude des phéno- 
mènes électriques et examiner les propriétés des coi'ps diélec- 
triques; les calculs que nous avons eu à faire en exposant la 
théorie des corps aimantés pourront servir presque en entier à la 
recherche des propriétés des diélectriques. 

C'est, d'ailleurs, en imitant les représentations qui avaient été 
adoptées pour résumer les phénomènes présentés par les aimants 
que les physiciens sont parvenus à représenter aussi les phéno- 
mènes présentés par les corps diélectriques. 

Coulomb avait représenté les aimants comme un assemblage de 
petites particules conductrices pour les fluides magnétiques, ren- 
fermant chacune des quantités égales des deux fluides, séparées 
les unes des autres par un milieu imperméable aux fluides ma- 
gnétiques. Mossotti (') imagine de la même manière que les dié- 



(') Mossotti, /?ec/terc/ies théoriques sur l'induction électrostatique envisagée 
diaprés les idées de Faraday {Biblioth. universelle, Archives d'électricité, 
t. V, p. igS; 1847). — Discussione analitica sull' injluenza che l'azione di un 



34o LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

lectriques sont formés de petits corps conducteurs, dont chacun 
renferme des quantités égales des deux fluides électriques, et qui 
sont séparés les uns des autres par un milieu isolant 5 Faraday (') 
avait auparavant adopté cette opinion. 

Poisson, par une analyse qui n'est pas exempte de défauts, a 
déduit de l'hypothèse de Coulomb une théorie de l'aimantation 
par influence. Une analyse identique à celle de Poisson, appliquée 
à l'hypothèse de Mossotti, conduit Clausius (2) à une théorie de 
l'électrisation des corps diélectriques. 

Enfin, de même que Sir W. Thomson a rendu la théorie de l'ai- 
mantation par influence sauve de toute hypothèse sur la nature 
des aimants, on peut, en suivant les idées de Maxwell (^), rendre 
la théorie des milieux diélectriques sauve de toute hypothèse sur 
la constitution de ces milieux. 

Dans l'ensemble des études qui forment les six premiers Livres 
de cet Ouvrage, l'état d'électrisation d'un corps est regardé comme 
complètement défini lorsqu'on connaît la densité électrique solide 
en tout point intérieur à ce corps et la densité électrique super- 
ficielle en tout point de la surface de ce corps. Une semblable dé- 
finition suffit, dans un grand nombre de cas, à représenter les 
phénomènes présentés par un corps électrisé; mais elle ne suffit 
pas toujours. Pour faire rentrer dans la représentation adoptée 
un plus grand nombre de phénomènes électriques, on est amené à 
compléter cette représentation par l'introduction d'une nouvelle 
classe de paramètres. 

Dorénavant, nous admettrons que, pour connaître complètement 
l'état d'électrisation d'un système il faut connaître : 

i** En chaque point des surfaces de discontinuité qu'il renferme, 
la densité électrique superficielle; 



mezzo dielettrico ha sulla distribuzione delV elettricità alla superjizie dei 
più corpi elettrici disseminati in esso {Mémoires de la Soc.ital. de Modène, 
t. XXIV, p. 49; i85o). 

(') Faraday, Expérimental researches in Electricity, série XI, § 6; nov. 1887. 

(") R. Clausius, Sur le changement d'état intérieur qui a lieu pendant la 
charge dans la couche isolante d'un carreau de Franklin ou d'une bouteille 
de Leyde, et sur l'influence de ce changement sur les phénomènes de la dé- 
charge; i866 {Théorie mécanique de la chaleur, trad. Folie, i" édition, t. II, 
p. 86). 

(') MAxwKLt, Treatise on electricity and magnetism, passim. 



f 



CUAP. I. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE DES DIÉLECTRIQUES. 34 1 

2° En chaque point des volumes de constitution homogène ou 
variable d'une manière continue qui le forment : 

A. La densité électrique solide; 

B. Une grandeur géométrique, variable d'un point à l'autre 
d'une manière continue; nous donnerons à cette grandeur géo- 
métrique le nom à^ induction diélectrique. 

Nous allons chercher la forme que doit présenter le potentiel 
thermodynamique interne d'un semblable système; nous serons 
nidés dans cette recherche par les résultats déjà obtenus au 
Livre IX, Chapitre I. Les premières définitions des paramètres qui 
déterminent l'état d'électrisation d'un système sont, en effet, en- 
tièrement analogues aux premières définitions des paramètres qui 
déterminent un système électrisé et aimanté; V induction diélec- 
trique remplace simplement V intensité d^ aimantation ; mais les 
hypothèses ultérieures faites sur ces deux sortes de paramètres 
établissent ensuite entre eux des différences. 

Ces différences mêmes, comme nous Talions voir, ne portent 
que sur un point. 

Que l'on reprenne tout ce qui, au § 2 du Chapitre I (Livre IX), 
précède l'égalité (i i), en remplaçant seulement le mot intensité 
d' aimantation par le mot induction diélectrique et le fluide 
fictif magnétique par un fluide fictif diélectrique; puis, arrivé 
à l'hypothèse qu'exprime l'égalité (i i), que l'on modifie de la ma- 
nière suivante l'énoncé de cette hypothèse : 

Soit une distribution fictive équivalente à Vêlement dv^. 
Elle est formée par des quantités de fluide diélectrique fictif 
lia, pi.2, [x'^, ..., [jl!j"' concentrées en des pointsM.2^ Mg, M^, ..., M\^\ 
L'élément dv-i porte en outre des charges électriques libres 
Pl!j''+", . . . , jx'/' concentrées en des points M!f +' ', .. . , Wf. On peut 
écrire 

(I) i^.2=x.2+x'i2-+-xi2+---+xVy+2x'iV"-+-^x'A'; 

y','^' dépend uniquement de la masse p.!/"' et de la situation res- 
pective des deux points M,, M.j""5 il en dépend de la même ma- 
nière, QUE LA masse [X^"*' SOIT UNE MASSE DE FLUIDE DIÉLECTRIQUE 
FICTIF OU UNE MASSE DE FLUIDE ÉLECTRIQUE. 

En suivant alors la marche indiquée au Livre IX, Chapitre 1, 



342 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

§ 2, nous trouverons que l'on a . 



/.12 — !^2 ? {' n), 



puis, que l'on peut écrire 



(2) 



\'>^ 



oAoo ^; 



dv9 



cAo; 



à(firi^) 



dv^ 



àxz 
■i.qfù (r) -\~ iq'ta (r') 



àXn I 



q, q', ■•', q^P^ étant les charges électriques réparties sur le sys- 
tème, et r, /•', ..., r^P^ les distances de ces charges à un point de 
l'élément <ip, . 

Les égalités (5) et (g) (loc cit.) et l'égalité (2) du présent Cha- 
pitre ne laissent plus à déterminer, dans l'expression de 0", que 
la fonction <^ (/')", nous la déterminerons de la manière suivante : 

Tout d'abord nous verrons, comme au Livre IX, Chapitre I, § 2, 
que : 

Les forces qui s'' exercent dans un système de diélectriques 
invariables d^état de polarisation diélectrique et d^ électrisa- 
tion s^ obtiennent en adjoignant aux forces qui s^ exerceraient 
dans le système électrisé, mais dépourvu de polarisation dié- 
lectrique, un groupe de forces ayant pour potentiel la quan- 
tité §". 

Supposons en particulier que le système se compose d'un élé- 
ment diélectrique dvi polarisé, où l'induction ait pour compo- 
santes Jl),, 1)1),, ©,, et d'un autre élément «it^o, où l'induction 
électrique soit égale à o, mais qui porte une charge électrique q^. 
D'après ce qui pi'écède, les actions mutuelles des deux éléments 
dvx, dv-x auront pour potentiel la quantité 



(3) 



/ = ^2 dvx 






Nous admettrons l'hypothèse suivante : 

Pour obtenir les actions qu'un élément diélectrique polarisé 
exerce sur un autre élément électrisé, on peut remplacer l'é- 
lément diélectrique par une distribution équivalente de fluide 
fictif, puis imaginer que ce fluide fictif exerce sur le fluide 
électrique les mêmes actions que le fluide électrique lui-même. 



CHAP. I. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE DES DIÉLECTRIQUES. 343 

Si [Ji, pi', [t.", ... sont les charges de fluide diélectrique fictif qui 
forment la distribution équivalente à l'élément dvi] si r, r', /', ... 
sont leurs distances à un point de l'élément dç2} on voit que, 
d'après cette hypothèse, le potentiel des actions mutuelles des 
deux éléments dçi , dv.2 pourra s'écrire 

/-..(?-!^-^— )• 

Un raisonnement bien facile, et dont l'analogue se trouve au 
Livre IX, Chapitre ï, § 2, permet de transformer cette égalité en 
la suivante 



(4) 



/= zq^dvi 



.1,1 



dxi 



La comparaison des égalités (3) et (4) donne 



?(/■) 



Dès lors, si nous désignons par V< la fonction potentielle, en 
un point de l'élément dv^, de toutes les charges électriques ré- 
pandues sur le système; par D, la fonction potentielle diélec- 
trique au même point, c'est-à-dire la quantité définie par la for- 
mule 



(5) 

on aura 



oila' 



dxo 



dVq 



-Àsn 



OXn 



dVn, 



(6) t?,= £(î)i-i-2V,) 

et, par conséquent, d'après les égalités (5) et (g) (lac. cit.), 



(7) 



^"z 



I 



oJv) 



dx 



dv 



J II ^^ 



dv, 



les deux intégrations s'élendant au système tout entier. 

Cette détermination de la quantité i" repose essentiellement, 
on le voit, sur la possibilité, dans le calcul des actions extérieures 
d'un élément diélectrique, de remplacer cet élément par une dis- 
tribution équivalente de fluide électrique. 

La détermination des quantités que nous avons désignées par 



344 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

rf, , ^2, ..., ^',1 se fera exactement comme au Livre IX, Chapitre I, 
§ 2. Nous aurons de même 

(8) ^\=^(i (3^1,^1, «r„ ai, p„ ...)di>i, 

^i, Mi, ^i étant les composantes de l'induction diélectrique en 
un point de l'élément û^p, suivant trois droites rectangulaires inva- 
riablement liées à cet élément (par exemple ses trois axes d'élasti- 
cité); lx^, p,, ... étant des paramètres qui définissent l'état de 
l'élément dçf . 

Les égalités (i) et (4) du Livre IX, Chapitre I, et les égalités (7) 
et (8) du présent Chapitre déterminent la forme du potentiel 
thermodynamique interne d'un système renfermant des diélec- 
triques polarisés et électrisés. Cette forme est la suivante : 

(^" = E(r — T2) + WH-'yey 

(8) 

Cette forme rappelle la forme du potentiel thermodynamique in- 
terne d'un système éleclrisé et aimanté ; elle n'en diffère que par 
la présence du terme 

di> 



'■f\ 



d\3 -: — 
OX 



relatif aux actions mutuelles des éléments électrisés et des élé- 
ments polarisés. Le potentiel thermodynamique interne d'un sys- 
tème aimanté ne renferme aucun terme analogue, car, a priori, 
on a admis que les éléments magnétiques n'exerçaient aucune 
action sur les éléments électrisés. 

§ 2. — Corps diélectriques et corps pyro-électriques. 

Comme nous l'avons vu (Livre IX, Chap. l, § 3), on a, en 
général, 

( H-2Cp23(5V,B,(ïr)î3C + 2C53i(5V,|î,€)C5V+2Cpi2(5V,îî,(i!t)5lU, 

)., pi, V étant trois quantités indépendantes de ^, M, C, et les 
quantités (^pq étant des fonctions de ^, M, C, qui ne croissent 



CHAP. I. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE DES DIÉLECTRIQUES. 345 

pas au delà de toute limite lorsque les quantités %, Î5, C tendent 
vers o. 

Mais cette forme générale n'est pas, en réalité, la plus fré- 
quente ^ nous avons vu que, dans la grande majorité des cas, la 
symétrie de la substance exigeait que l'on eût 

(lo) X = o, (i»= o, V —G. 

Lorsque, povir une substance, ces égalités (lo) seront vérifiées, 
nous dirons simplement que la substance est diélectrique; lors- 
que, au contraire, pour une substance, l'une au moins des trois 
quantités )v, [jl, v est différente de o, nous dirons que la substance 
est pyio-électrique. 

Parmi les substances simplement diélectriques se trouvent, en 
particulier, les substances isotropes. Pour ces substances, on a 
simplement 

(II) g(5i, u, c) = .foiiL), 

Oro étant l'induction diélectrique et §{dXL) une fonction de cette 
induction qui est telle que le rapport 

^(31L) 

ne croisse pas au delà de toute limite lorsque OÏL tend vers o. 

Nous commencerons par étudier les substances simplement dié- 
lectriques en insistant spécialement sur les propriétés des corps 
isotropes; nous examinerons ensuite les propriétés des corps pyro- 
électriques. 

§ 3. — Transformations du potentiel d'un système renfermant 
des diélectriques. 

Reprenons l'égalité (8) qui donne l'expression du potentiel 
thermodynamique interne d'un système renfermant des diélec- 
triques électrisés et polarisés. 

Nous savons [Livre I, Chap. IX, égalité (9)] que l'on peut écrire 

l'intégration s'étendant à tous les éléments de volume du système. 



346 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

Nous avons de même (Livre VII, Chap. III, égalité (17)], 

Enfin un raisonnement analogue à celui qui a permis d'établir cette 
dernière formule donne 

/ /N r\\ 1 ^V I , I r/dY dV d\ dV dY dV\ , 

(i4) / N^ :j- «'^ = -T— / ■ — I r- -h , ) dv. 

J II ox \ ^TzJ \âx ôx ây ây dz ()z ) 

On a donc, en vertu des égalités (12), (i3) et (i4)) 



(i5) 



(W^s/I 



oiva 



dY 
dx 



dv 






1 '^^ IL 

v\d — dv 

ij I Ox\\ 






Si l'on adopte la notation définie au Livre VII, Chapitre III, éga- 
lité (18), le second membre peut s'écrire 

Alors, en vertu de l'égalité (10), l'égalité (8) devient 

( .f =E(r— TS)-+-y0^+ — Cu(Y^V)di> 
--yg(3l, JÔ, C, a, p, ...)rfp. 



(16) 



Cette forme du potentiel thermodynamique interne nous sera d'un 
fréquent usage. 

Voici maintenant une autre transformation qui nous sera égale- 
ment utile en plusieurs circonstances. 

Imaginons, pour simplifier, que le système renferme un seul 
corps électrisé et polarisé; soient 

1 l'espace intérieur à ce corps; 

2 l'espace illimité extérieur; 
S la surface du corps. 



Considérons la quantité 



XI 



J ^VIL 

cilg -r- dv. 

OX I 



CHAP. I. — POTENTIEL THERMODYNAMIQUE DES DIÉLECTRIQUES. 347 

Une intégralion par parties permet d'écrire 



mIjU ^ rft^ = — Q V[^l, cos(N,,iF) -+- 1)1) cos(Ni,jk)-<- 3 cos(Ni, z)] dS 
Or on a [Livre YIII, Chap. III, égalités (8) et (9)], 



\ ôx df dz j 






411 



JL cos(Ni, x) 



L'égalité précédente devient donc 

(17) /cil.-— flft'::^— — -VV -r^ + — ,- U?S — — - / V AtJ «3?P. 

J, !l <^37 4t^0 V^Ni (^Nj 47rJi 

Le théorème de Green, appliqué à l'espace 1, donne 

(18) Ç\ ^-^dv-^-^Y ^d?>^ f'^^ydv^^'^^d?). 

D'autre part, comme dans tout l'espace 2, on a 

AV = 0, AtJ = G, 
le théorème de Green donne 



(19) 



ô\ 






Les égalités (17), (18), (19) donnent 

Ji 11 àx 4^0 \d^i dNiJ 4îtJi 

Soient <T la densité superficielle de l'électricité en un point de la 
surface S et p la densité solide de l'électricité en un point de l'es- 
pace 1. Nous aurons 

dY dY 

AV = — ^Tzp 



348 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

et l'égalité (20) deviendra 

(21) ril^?" ^'^^ ^^=f^s 4- Ttup^P. 

si 1 on observe que l'on a 

(22) W = -^\<jdS+- fYpdv, 

on voit qu'en vertu des égalités (21) et (22), l'expression (8) du 
potentiel thermodynamique interne pourra s'écrire 

( ^" = E(r-TE)4-ye« + - r||.i,^||rft^ 

\ ^ J^ ^ ij W dx\\ 

(23) + rg(5V, Î3, C, a, p, ...)^i;+| |"(V-f-2lD)p^P 

\ -+-|C(V + 2t!1)crc;S 

ou, abréviativement, 



(23 bis) 



+ ifW ^^ ^ Il dv -^Ji^{%, % €, a, p, . . .)d,. 



CHAP. II. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 349 

CHAPITRE II. 

PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES CORPS DIÉLECTRIQUES. 



§ 1. — Équilibra électrique sur les diélectriques mauvais conducteurs. 

Un diélectrique est dit mauvais conducteur si toute charge 
électrique placée en un point de ce corps est assujettie à j de- 
meurer indéfiniment. Cette invariabilité des charges électriques 
n'empêche d'ailleurs nullement l'état de polarisation de ce dié- 
lectrique d'être variable. 

Un diélectrique est dit parfaitement doux s'il a, à chaque 
instant, un état de polarisation qui fasse prendre la plus petite 
valeur possible au potentiel thermodynamique interne du système 
qui renferme ce diélectrique. 

Il peut exister des diélectriques qui ne soient pas parfaitement 
doux, comme il existe des corps magnétiques qui ne sont pas par- 
faitement doux. Ces corps seront dits diélectriques doués de force 
coercitive. 

Proposons-nous de rechercher quel est l'état de polarisation d'un 
diélectrique mauvais conducteur et parfaitement doux soumis à 
l'action de corps électrisés et doués de polarisation diélectrique. 

Supposons, pour ne point trop compliquer notre étude, qu'il 
s'agisse d'un corps isotrope que nous désignerons par l'indice 1. 

Le potentiel thermodynamique interne du système se compose 
de termes qui varient avec l'état de polarisation du corps 1 et 
d'autres termes qui sont indépendants de l'état de polarisation de 
ce corps. Si l'on efface certains de ces derniers, ce potentiel aura 
pour expression, d'après les égalités (ii) et (i6) du Chapitre pré- 
cédent, 



35o LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

la première intégrale s'étendant à l'espace tout entier, et la 
seconde au volume du corps 1. 

Supposons la quantité ^(DTi) positive; nous verrons tout à 
l'heure qu'il en est forcément ainsi pour tous les diélectriques. 
Alors la quantité ^ sera assurément positive pour tous les états 
de polarisation du corps 1 ; l'ensemble des valeurs que prend la 
quantité ^ pour les divers états de polarisation du corps 1 forme 
donc un ensemble de valeurs limité inférieurement; si, par ana- 
logie avec ce qu'a fait Lejeune-Dirichlet pour démontrer le prin- 
cipe auquel on a donné son nom, on admet que la quantité ^ pré- 
sente un minimum, on arrivera à conclure que : 

Sur le diélectrique 1, soumis à l'action d'autres corps élec- 
trisés et polarisés, il existe au moins un état de polarisation 
correspondant à un équilibre. 

Cherchons les lois de cet état de polarisation. 

Pour cela, reprenons l'expression du potentiel thermodyna- 
mique interne du système donnée par les égalités (8) et (ii) du 
Chapitre I : 

7 0<7-+-£ / Lia-— 

^ J \\ àx 



E(r — TS)-+- W-f- 



dv 



2j il àx\\ J 



d{d'S^)dv. 



Supposons que, en tout point du corps 1, les composantes X, 
olb, G de l'induction éprouvent des variations Sjl., SiJb, 63, et éga- 
lons à o la variation qui en résulte pour Sj. 

L'ensemble de termes 



E(r — 


T2)-f- w+^e^ 


ne subira aucune variation. 


Nous aurons ensuite 


J àx\ 


Ji àx 


Û / dla-r- 

J àx 


di> = 2 1 -T- Ûoils 

Ji àx 



dv. 



di>, 



oDlL = ^ SJL -I- ^ SDb + ^ 88, 
d\L DYb OlL 



CHAP. II. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 35l 

On a donc 

d ,^. ^^ X rf.^(,mo" 






rft-. 



Cette quantité doit être égale à o quelles que soient les varia- 
tions arbitraires SJU, SiJb, §3. Si donc on pose 

(I) F(Oli)- 



rfif(OlL) 



1 0/ifi " 


-sF(OTl)A(V + -U), 


Dl, = - 


-£F(01L)^(V + Î)), 


f o 


-£F(aiL)^(V + îl). 



on voit que l'on devra avoir, en tout point du corps 1, 



(2) 



Telles sont les égalités qui définissent l'état de polarisation d'un 
diélectrique parfaitement doux. Ces égalités sont analogues à celles 
qui définissent l'état d'aimantation d'un corps parfaitement doux. 
Elles peuvent se traiter de la même manière. 

En reprenant les démonstrations données au Livre IX, Cha- 
pitre VI, on voit que, si la fonction F^DYL) était négative, 
U équilibre défini par les équations (2) serait instable. La 
fonction F(OIL) est donc forcément positive. 

Dès lors, comme, d'après l'équation (i), on a 



(3) ^(DlL)=r 



F(01L.) 



dSÏL, 



on voit que la fonction J^(Oli) est, elle aussi, positive pour tous 
les diélectriques. 

En reproduisant les démonstrations données au Livre IX, Cha- 
pitre III, on arriverait à la conclusion suivante : 

Si la quantité F(OIL) décroît lorsque DIL augmente, demeure 
indépendante de DR, ou croit faiblement avec OU, Cétat de 
polarisation défini par les égalités (2) est unique, et il corres- 
pond à un équilibre stable. 

Prenons un diéleclrique soustrait à l'action de tout corps élec- 



352 LIVUE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

trisé et ne portant lui-même aucune charge électrique. Les équa- 
tions d'équilibre seront évidemment vérifiées si l'on suppose la 
polarisation nulle en tout point du diélectrique. Or un seul état 
d'équilibre est possible sur ce diélectrique. Donc, lorsqu'un dié- 
lectrique parfaitement doux est placé hors d'un champ élec- 
trique, il ne présente aucune polarisation. 

La classique expérience de la bouteille de Leyde démontable, 
due à Franklin, montre que le verre, polarisé dans un champ 
électrique, peut demeurer polarisé lorsqu'on le place hors de ce 
champ. Matteucci a mis en évidence la polarisation résiduelle du 
blanc de baleine et des lames de mica. Cette polarisation rési- 
duelle, analogue à l'aimantation résiduelle d'un morceau de fer 
soustrait à l'action d'un champ magnétique, ne peut s'expliquer 
qu'en attribuant une force coercitive aux diélectriques étudiés. 

§ 2. — Du pouvoir inducteur spécifique. 

La fonction F(3TL) joue, dans l'étude des diélectriques, le même 
rôle que la fonction magnétisante dans l'étude des aimants. Nous 
lui donnerons le nom ûe fonction polarisante. 

Dans l'étude du magnétisme, il est fait grand usage de l'approxi- 
mation de Poisson qui consiste à regarder la fonction magnétisante 
comme indépendante de l'intensité d'aimantation ; de même, ici, il 
j a intérêt à faire l'approximation qui consiste à regarder la fonc- 
tion polarisante comme indépendante de l'intensité de polarisa- 
tion, et à la remplacer par un coefficient de polarisation con- 
stant k. Les équations (2) deviennent alors 

(4) J '\S'o= — tk~{Y-^m, 

\ oz ^ ' 

On donne le nom de pouvoir inducteur spécifique à la quan- 
tité D définie par l'égalité 

(5) D =i-f-4TOA-. 



CHAP. II. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 363 

C'est l'analogue de la quantité à laquelle Sir W. Thomson a donné, 
en Magnétisme, le nom àe perméabilité magnétique. 



§ 3. — Équilibre électrique sur un corps conducteur placé en présence 

de diélectriques. 

Imaginons maintenant un système renfermant un corps conduc- 
teur, c'est-à-dire un corps sur lequel les charges électriques sont 
susceptibles de varier. Ce corps peut, d'ailleurs, présenter une 
polarisation diélectrique. Cherchons à quelle condition l'équilibre 
électrique sera établi sur ce corps. 

Imaginons que l'on modifie la distribution sur ce corps sans 
changer son état ni sa polarisation diélectrique. D'après l'éga- 
lité (28 bis) du Chapitre précédent, les seuls termes variables du 
potentiel thermodynamique interne du système sont les termes 



n^ 



-(V+2Î1)J<7. . 
Il est facile de voir que l'on a 

enfin un calcul souvent fait nous donne 
On a donc 

(5) oj" = V [s(v-t-î))-+-e]Sg. 

Cette quantité doit être égale à o, mais non pas quelles que 
soient les quantités ùq. En effet, la variation imposée au système 
doit laisser constante la charge électrique du conducteur. On doit 
donc avoir 



2 



oq = o. 



Dès lors, d'après un théorème connu du calcul des variations, il 
D. - II. 23 



354 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

doit exister une constante C telle que la quantité 

V[£(V+î»)-i-e + C]ô^ 

soit égale à o quelles que soient les quantités ^q. En d'autres 
termes, /?OMr que Véquilibi'e électrique soit établi sur un corps 
conducteur, il faudra que l'on ait, en tous les points de ce 
corps, 

(6) e(V+ÎI)-He = const. 

Si le corps est à la fois un corps conducteur et un diélectrique 
parfaitement doux, l'équilibre ne sera établi sur ce corps que si 
les conditions (2) et (6) y sont à la fois satisfaites. 

Considérons un système formé : 

1° D'un ou de plusieurs corps 1, qui sont à la fois bons conduc- 
teurs et diélectriques parfaitement doux; 

2° D'vin ou de plusieurs corps 2, qui sont diélectriques parfai- 
tement doux, mais parfaitement mauvais conducteurs; 

3" D'un ou de plusieurs corps 3, dont l'état d'électrisalion et 
l'état de polarisation sont invariables. 

On démontrera sans peine, en suivant les méthodes que nous 
avons constamment employées dans l'étude de l'électricité et du 
magnétisme, que, sur un semblable système, un seul état d'équi- 
libre est possible et que c'est un état d'équilibre stable. 

Prenons un corps à la fois diélectrique parfaitement doux et bon 
conducteur. Les conditions (2) et (6) seront, nous l'avons dit, à 
la fois vérifiées pour ce corps. Or, d'après la condition (6), on a 

Les égalités (2) deviennent donc 

.%= F(31i)^, 
d:v 

\ oz 



CIIAP. H. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 355 

Dans le cas où le corps est homogène, ces égalités se réduisent à 
(8) X=o, ^S[> = o, S = o. 

Ainsi, dans un corps homogène qui est à la /ois bon con- 
ducteur et diélectrique parfaitement doux, il ne subsiste 
aucune polarisation diélectrique au moment de l'équilibre. 

On a, à l'intérieur de ce corps, d'après l'égalité (6), 

A(V + 15)=o. 

Mais, comme il n'y a, à l'intérieur de ce corps, aucune polarisation 
diélectrique, on a, en tout point intérieur à ce corps, 

On a donc aussi 

AV = o. 

Lorsqu'un corps à la fois bon conducteur et diélectrique 
parfaitement doux est en équilibre, il n'y a pas d' électricité 
libre à son intérieur . 

On voit donc que tous les résultats établis au Livre II pour la 
distribution électrique sur les corps homogènes qui sont bons con- 
ducteurs demeurent exacts, même lorsque l'on admet la possibilité 
d'une polarisation diélectrique, pour les corps à la fois bons con- 
ducteurs et diélectriques parfaitement doux. Lorsque nous com- 
plétons la théorie des phénomènes électriques en introduisant la 
polarisation diélectrique dans nos raisonnements, nous ne perdons 
aucun des résultats déjà acquis. 

§ 4. - Propriétés d'un condensateur à lame isolante diélectrique. 
Mesure du pouvoir inducteur spécifique. 

Imaginons un condensateur formé de la manière suivante : une 
surface fermée S, (^fig. 25) entoure un corps bon conducteur et 
diélectrique parfaitement doux 1, formant armature interne. 

A l'extérieur de la surface Si, un espace 2 est vide; il est limité 
par une surface fermée S2, enveloppant S,. 

Entre la surface S2 et une surface fermée S3 qui l'enveloppe est 
un espace 3 rempli par un diélectrique parfaitement doux, mais 
parfaitement mauvais conducteur. 



356 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

A la surface Sg succède un nouvel espace vide 4 que limite ex- 
térieurement une surface fermée S^ enveloppant la surface Sj. 

Entre la surface S4 et une surface fermée S3 qui l'enveloppe se 
trouve un espace 5 rempli par la même substance que l'espace 1. 

Fig. 25. 




Enfin l'espace illimité 6, extérieure la surface S5, est un espace 
vide. 

Le corps 4 est mis en communication par un fil de même sub- 
stance avec un corps très éloigné, également de même substance, 
maintenu au niveau potentiel U (source). 

Le corps o est mis en communication par un fil de même sub- 
stance avec un corps très éloigné, également de même substance, 
maintenu au niveau potentiel o (sol). 

Le corps 3 ne renferme aucune charge électrique. De plus, nous 
admettrons qu'il a un coefficient de polarisation diélectrique k 
indépendant de l'intensité de l'induction diélectrique. 

Nous nous proposons de déterminer l'état d'électrisation et de 
polarisation d'un semblable condensateur. 

Cette détermination se ramène évidemment à celle des deux 
fonctions V et tH. 

Ces deux fonctions sont continues dans tout l'espace et égales 
à o à l'infini à la manière d'une fonction potentielle. 



CHAP. II. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 357 

La fonction V admet, dans tout l'espace, des dérivées partielles 
du premier ordre qui sont finies et continues sauf sur les sur- 
faces 84 et S^ ; il est aisé, en effet, de voir que la surface S5 n'est 
pas électrisée; il suffit, pour cela, de remplacer le diélectrique 
polarisé par une couche superficielle équivalente et d'appliquer 
les théorèmes connus sur l'induction électrostatique des conduc- 
teurs creux. Dans chacune des régions 1, 2, 3, 4, 5, 6, la fonc- 
tion V est harmonique. 

La fonction M est harmonique dans chacune des régions 1, 2, 
4, 5, 6. Elle l'est aussi dans la région 3. Dans cette région, en 
effet, les égalités (3) sont satisfaites. Si l'on différentie la pre- 
mière de ces égalités par rapport à x, la seconde par rapport à j^, 
la troisième par rapport à z, et si on les ajoute membre à membre 
les résultats obtenus, on trouve 



Si l'on observe que l'on a, dans cette région, 

AV = o, 

on voit que l'on a 

(1 -^ ^Tzzk) AU = o, 

ou bien, puisque A" ne peut être négatif, 

At) = o. 

A V intérieur du conducteur 1, d'après ce que nous avons dit 
au paragraphe précédent, V aura une valeur constanteVi et W une 
autre valeur constante tili. De plus, comme il doit j avoir équi- 
libre entre le conducteur 1 et la source, nous aurons 

(9) V, + ll)i=U. 

Dans V espace % M continuera à avoir la valeur constante HIi, 
car ses dérivées premières n'éprouvent pas de discontinuité à la 
traversée de la surface S». Au contraire, V aura une valeur va- 
riable. 

Dans l'espace 5, V et tll auront des valeurs constantes. Comme 
les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions sont con- 
tinues sur la surface S5, ces fonctions auront encore les mêmes 



358 LIVRE XI. — LES CORPS DlÉLECTRIQUEr. 

valeurs constantes dans l'espace 6. Or, chacune d'elles étant égale 
à o à l'infini, on voit que, dans les espaces 5 et 6, on a 

V = o, 1I>=:0. 

La fonction tlJ a ses dérivées partielles du premier ordre conti- 
nues à la traversée de la surface S/,. Donc, dans V espace 4, on a 

encore 

D = o, 

tandis que la fonction V varie. 

Enfin, dans V espace 3, les deux fonctions V et tH sont variables. 
En un point de la surface S2, on a 

on a aussi 

an 

<JN2 

et 

L'égalité précédente devient donc 

(10) (,.^4^eA-)_ + 47r£X:^ = o. 

Une égalité analogue a lieu pour tous les points de la sur- 
face S4. 

Il nous est maintenant facile d'indiquer la marche à suivre pour 
résoudre le problème proposé. 

Soit V une fonction égale à i dans l'espace 1 et sur la surface Sj; 
à o dans les régions 5 et 6 et sur la surface S4; harmonique dans 
les régions 2, 3, 4. 

Soit w une fonction égale à i dans les régions 1 et 2 et sur la 
surface S2; à o dans les régions 4, 5 et 6 et sur la surface S3; 
harmonique dans la région 3. 

La détermination de ces deux fonctions s'obtient en résolvant 
deux fois le problème de Lejeune-Dirichlet. 

Quelles que soient les deux constantes tUj et V», les deux for- 
mules 

(n) V = Vi(^, U^lliw 



CHAP. II. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. SSg 

donnent la forme générale des fonctions satisfaisant à toutes les 
conditions que nous venons d'énumérer, sauf aux conditions ex- 
primées par les égalités (9) et (10). Si l'on observe d'ailleurs que 
le problème doit admettre une et une seule solution, on voit que 
cette solution sera fournie par les égalités (i i), pourvu que l'on 
détermine les constantes Vj et IHj de la manière suivante : 
1° On a 

{9 bis) Vi-i-î)i=U; 

2° Prenant un point P soit sur la surface S2, soit sur la sur- 
face S3, on a 

(10 bis) (, 4-4^/^)1), (^^-)^+ 4Tt.^V, (|^)p= o. 

Un cas intéressant est celui où le diélectrique remplit complè- 
tement l'intervalle des deux armatures. On a alors, évidemment, 



Les égalités (9 bis) et (10 bis) donnent 

On a donc, pour expression de la charge du conducteur i, 

La capacité du condensateur, c'est-à-dire la quantité -jr, a pour 
valeur 

4Tr£ 



C=-^ii^^^^k)^^^dS,. 



Si le diélectrique est remplacé par le vide, ce qui revient à rem- 
placer k par o, on obtient un nouveau condensateur dont la capa- 
cité, inférieure à la précédente, a pour valeur 



On a donc 



_ =:(n-4TrsA-)= D, 



D étant le pouvoir inducteur spécifique du diélectrique. 

La solution générale se simplifie dans le cas où les surfaces Sj, 



36o LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

S3, S4 sont des surfaces de niveau extérieures du conducteur 1. 
Soit W une fonction harmonique dans tout Fespace extérieur à 
la surface S), égale à o à l'infini et à i sur la surface Sj ; soient 
«2, 0L3, cLji les valeurs de cette fonction sur les surfaces Sa, S3, S4. 
Il est facile de voir que les deux fonctions désignées dans ce qui 
précède par v et w sont ici définies par les égalités suivantes : 

[ V = (dans les régions 2, 3, 4 

, ■ } I — a^ 

^'"^ 1 W-a3 

f w = ( dans la région 3). 

En un point quelconque P de l'une des surfaces Sa ou S3, on a 



di' 


I 




dW 


dN, " 


1 — 


«4 


dN, 


div 


1 

«2- 


-«3 


dW 



L'égalité (10 bis) devient donc 



-* tJi-f- Vi = o. 



Jointe à l'égalité (9 bis), celte égalité donne 

/ y ^ (l-f-4^£/0(l— «4) ^- 

) * (i-h47t£/t)(i — ai) — 4::£^(a2 — «3) ' 

i I, ^ 4 TTS^Cataj-os) ^ 

l * (iH- 4TrôX:)(i — ai) — 47rsÂ:(a2— a;j) 

Les égalités (i i), (12) et (i3) déterminent les deux fonctions V 
et tu, et, par conséquent, résolvent le problème que nous nous 
sommes posé. 

Cherchons la charge du conducteur 1. 

Cette charge Q aura pour valeur 

ou bien, en vertu des égalités (i i) et (12), 
^ /i-n ï- o^iiJ dNi 



CHAP. II. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 36l 

OU enfin, en vertu des égalités (i3), 

Q^_ 2 l-^^TZtk U C — rfS 

^ 471 (i + 4Tr£X:)(i — ai) — 4Ti£A:(a2— aa) U dN, '" 

Comme 

l'égalité précédente devient 

^ (H- 4Tr£/:)(i — ai) — 4Tr£/î(a2 — 01.3) 

La capacité du condensateur est le rapport de cette charge Qau 
produit eU de la constante des lois de Coulomb par le niveau 
potentiel de la source. Si C désigne cette capacité, on voit que 
l'on peut écrire 

. , X G = - i-f-4TC£^ ^ 

£ (i-H 47t£X:)(i — a») — 4Tr£/:(a2— as)* 

Faisons décroître au delà de toute limite l'épaisseur du diélec- 
trique; cette capacité tendra vers une certaine limite F qui s'ob- 
tiendra en faisant dans la formule (14)5 «2 = ^3. On aura donc 



C'est la capacité du condensateur privé de lame diélectrique. 
La formule (i4) peut alors s'écrire 

(i5) G= (i-^4iT£^)(i — «4) 



(i + 4Tr£A-)(i — ai) — 4i:£^(.a2— as) 



Cette formule montre comment la capacité du condensateur 
varie avec l'épaisseur de la lame diélectrique. Si la lame diélec- 
trique, d'abord supprimée, croît jusqu'à remplir entièrement l'in- 
tervalle des deux armatures, la quantité Ç0L2 — as) croît depuis o 
jusqu'à (i — a^) et la capacité du condensateur croît depuis F jus- 
qu'à la limite 

C'=(n-47t£A:)r. 

Cavendish avait découvert, dès 1771, que l'introduction d'un 
isolant solide entre les deux plateaux d'un condensateur augmen- 
tait la capacité de ce condensateur. Faradaj, qui ignorait ces re- 
cherches, publiées seulement en 1879 par Maxwell, retrouva de 
son côté le même fait en 1837. 



362 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

La formule (i 5) permet de déterminer la constante k et, par 
conséquent, le pouvoir inducteur spécifique 

D = (i-+-4'ir£A-). 

Prenons, en effet, deux condensateurs identiques, dont l'un 
renferme une lame diélectrique, tandis que l'autre n'en renferme 
pas. Le rapport de leur capacité peut être mesuré par diverses 
méthodes. Or ce rapport aura pour valeur, d'après la formule (i5), 

C_ (h-4tt£A)(i — «i) 



r {i -^ /\Tzz k) {i — d.'^) — ^Tzzk{a..i — as) 

La mesure de — fera donc connaître k si l'on connaît ao, as, a.,. 

Supposons que les surfaces Sj, Sa, S3, S4 soient des sphères 
concentriques de rayons R,, R2, R3, R,. Soit r la distance d'un 
point de l'espace au centre commun de ces sphères. On aura 

r 
Ri Ri Ri 

112 «3 1X4 

et l'égalité (16) deviendra 



(17) 



Par cette égalité, on peut déterminer le pouvoir inducteur spé- 
cifique. 

Si, comme Cavendish ou Faraday, on emploie deux condensa- 
teurs identiques dont l'un est dépourvu de lame diélectrique, tan- 
dis que, dans l'autre, le diélectrique remplit l'intervalle des deux 
armatures, on aura, quelle que soit leur forme, ainsi que nous 

l'avons vvi plus haut, 

V ^= w 

et alors, comme nous l'avons vu, 

(18) ^=:(i + 47r£Â:) = D. 



ï 



PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 363 



§ 5. — Causes d'erreur. — Expériences de Gaugain. 

La relation (17) permet, nous l'avons dit, de déterminer le pou- 
voir inducteur spécifique des corps solides; la relation (i 8) per- 
met de déterminer le pouvoir inducteur spécifique non seulement 
des solides, mais encore des liquides et des gaz. 

L'établissement de ces relations est subordonné à certaines con- 
ditions qu'il n'est pas toujours facile de réaliser dans la pratique, 
en sorte que la mesure des pouvoirs inducteurs spécifiques pré- 
sente de grandes difficultés.. 

Voyons quelles sont ces causes d'erreur : 

1° La théorie précédente suppose le diélectrique parfaitement 
mauvais conducteur. Or, tous les corps sont plus ou moins con- 
ducteurs. Dès lors, l'état que nous venons de décrire ne sera pas, 
pour le système, un état d'équilibre. Dans l'état d'équilibre, la 
distribution électrique sur le système sera indépendante de la na- 
ture du diélectrique ; elle s'obtiendra en appliquant au diélec- 
trique les lois de la distribution sur un corps conducteur. 

Si donc on charge un condensateur dont la lame diélectrique 
soit médiocrement conductrice, la distribution électrique et dié- 
lectrique sera, au début, définie par les formules précédentes; 
puis cet état se modifiera peu à peu et, au bout d'un temps plus 
ou moins long selon la nature du diélectrique, toute polarisation 
aura disparu; la distribution sur le système sera la même que si 
l'on remplaçait le diélectrique par un conducteur non polarisable. 

Ces considérations rendent compte des observations de Gau- 
gain ('). 

Reprenons le condensateur représenté par la y?^. aS; imaginons 
encore que les surfaces Sg, S3, S4 soient des surfaces de niveau 
du conducteur 1 ; mais supposons de plus que l'espace 3 soit rem- 
pli par un corps bon conducteur. On verra sans peine que la 
fonction V doit être continue dans tout l'espace, constante et 
égale à U à l'intérieur du corps 1 , harmonique dans l'espace 2, 



(') Gaugain, Mémoire sur la conductibilité électrique et la capacité induc- 
tive des corps isolants {Annales de Chimie et de Physique, 4° série, t. II, 
p. 276; 1864). 



364 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

constante dans l'espace 3, harmonique dans la région 4, égale à o 
dans les régions 5 et 6. De plus, la charge totale du conducteur 3 
est supposée égale à o. 

Ces conditions, on le sait, déterminent une et une seule fonc- 
tion V. 

Quelle que soit la constante K, on satisfait à toutes ces condi- 
tions, sauf à la dernière, en posant 

Dans la région 1 V = U 

Dans la région 2 V = W 

1 — a2 I — a. 

Dans la région 3 V = K 

Dans la région 4 V = (W — «i) 

«3 — «4 

Dans les régions 5 et 6 V = o 

Ces formules détermineront la fonction V si l'on choisit la con- 
stante K de manière que la charge totale du conducteur 3 soit 
égale à o. 

Or la charge de la. surface S^ est 

n _ ' C ^V ^« K-U n aw ,. 

^'--J^bW, '^^'- 47:(i-aO O àK, '^^'■ 

La charge de la surface S 3 est 

n _ ' C ^V ^« _ K C} àW ,^ 

^'-~J^^dN,'~~ 47r(«3-a.) O ml '^-'• 

Si l'on remarque que l'on a 

&5n;^S, = -S^^./S, = 4::, 
on voit que l'égalité 

Q2+Q3=0 

devient 

K— U K 

■ 1 = o 

i — «2 «3 — a^ 

OU bien 

K= "^~"^ U. 

i — y.., -\- 0L3 — a,, 



CIIAP. II. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 365 

On u alors 

Dans la région 1 V — U 

Dans la rÔRion 2 V = (W — a=>-4-a3 — ai) 

1 — 3(2+ as— ai' 

(iq) { Dans la région 3 V = U 

' I — «2-+- «3— «4 

Dans la région 4 V = U ( W — ai ) 

1 — aj -H as — ai ' 

\ Dans les régions 5 et 6. V = o 

Ces formules (19) déterminent la distribution électrique sur le 
condensateur à lame conductrice; elles déterminent aussi la dis- 
tribution limite qui s'établit au bout d'un temps plus ou moins 
long sur le condensateur à lame diélectrique. 

La charge du collecteur est 

^'-~lii!^dW,^'-~J^. I_a2-+-a,-ai0 Jn;"^^' . 
et, comme 



S 






(20) Q,== ^ 

I — «2+ «3— ai 

Dans les expériences de Gaugain, les surfaces S,, S2, S3, S, 
étaient des plans parallèles; d'une expérience à l'autre, on faisait 
varier l'épaisseur de la lame diélectrique, c'est-à-dire la distance 
des deux plans So, S3. Mais la distance des plans Si, S2, d'une 
part, et la distance des plans S3, Sj, d'autre part, étaient, par l'in- 
terposition de pastilles de gomme laque, maintenues les mêmes 
dans toutes les expériences. Dès lors, dans toutes les expériences, 
les deux binômes (i — aj) et (aa — ol^) reprenaient les mêmes va- 
leurs. 

La charge limite Q, devait, dans ces conditions, être indépen- 
dante de l'épaisseur du diélectrique et de sa nature; elle devait 
être identique à la charge immédiatement obtenue en remplaçant 
le mauvais conducteur par un bon conducteur. 

Les résultats obtenus par Gaugain sont conformes à ces indica- 
tions de la théorie; voici ces résultats : la charge du collecteur est 



366 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

mesurée par le nombre d'étincelles obtenues en le déchargeant au 
travers de l'électromètre-jauge. 



Disque interposé. Temps. 

Zinc Au bout de quelques instants 

Au bout de quelques instants 

Après une charge de 6 minutes 

Après une nouvelle charge de lo™.. 

Après une charge de quelques instants 
Après une nouvelle charge de 5" 
» » II" 



Charge 

du 

collecteur. 



Acide stéarique (épais- 
seur 6'"™) 



Acide stéarique (épais- 
seur 17""") 



Gutta-percha (épais- 
seur 6""") 



Gomme laque (épais- 
seur 6""") 



» » 20 .. 

» » 2'' iS".. 

» » î'Mo"".. 

Après une charge de quelques instants 
Après une nouvelle charge de 5*".. 

» » 10™. 

» » 20'".. 

Après une charge de quelques instants 
Après une nouvelle charge de 5™.. 
» » 20™. . 



Soufre (épaisseur 6"""). 



Après une charge de quelques instants 
Après une charge de 7''3o™ 



21 
i3 

20 
21 

9 
14 
14 
16 

>9 
■?.o 

i5 

17 
9.1 
22 

14 
20 
22 

i5 

21 



2° La difficulté que nous venons de signaler n'est pas la seule 
que présente la détermination des pouvoirs inducteurs spécifiques. 
Si, comme dans les expériences de Cavendish et de Faraday, le 
diélectrique est en contact avec les armatures du condensateur, 
et si, de plus, le diélectrique n'est pas parfaitement isolant, il y 
aura pénétration d'électricité dans le diélectrique, contrairement 
aux conditions supposées par la théorie précédente. 

3 " Enfin la théorie précédente suppose le diélectrique parfaite- 
ment douX; ce qui, comme nous l'avons vu, n'est loin d'être exact 
pour tous. 



§ 6. — Courant permanent dans un diélectrique. 

Si un diélectrique n'est pas parfaitement mauvais conducteur, 
il peut être le siège de courants électriques. Quelles seront les lois 



CHAP. II. — PnOPRlÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 367 

auxquelles obéiront de semblables courants parvenus au régime 
permanent? 

Nous fonderons l'établissement de ces lois sur l'hjpothèse qui 
nous a constamment servi, aux JJvres V et VI, dans l'étude de ce 
genre de questions. 

Nous calculerons l'expression du potentiel thermodynamique 
interne rf qu'aurait le système si, arrêtant à un instant donné tous 
les courants, on conservait au système son état d'électrisation et 
de polarisation. 

A une charge dq placée en un point M, nous donnerons une 
translation infiniment petite quelconque (5.r, 5/, 03). La quantité i 
subira une variation ùi. Nous admettrons que l'on a, quels que 
soient Sx, 8^, Ss, 

u^ t', w étant les composantes du flux électrique au point M et U la 
résistance électrique spécifique en ce point. 

Appliquons cette hypothèse. 

D'après l'expression (28 bis^ du potentiel thermodynamique 
interne, nous aurons 

S^-j ^[KV + tJ)+e]8;r 

^ [£(V + lH)+e]07 



^^U(y^^)^^\lz[dq. 



à y 

d 
Notre hypothèse conduira donc aux égalités suivantes 



'>êiU = 



dx ' dx 



ày ày 

ae ()(V-f-î)) 

U (V == — z ~ — - • 

dz dz 

En outre, si le diélectrique est parfaitement doux, les égalités (2) 
sont satisfaites eu tout point. 

Bornons-nous à étudier un diélectrique homogène, parfaitement 
doux, ayant un coefficient de polarisation constant. Dans ces con- 



368 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

ditions, les égalités (21), jointes à l'égalité 

du dv dw 

T" "•" T~ "*" IT" = O' 
ox ay oz 

qui exprime que le courant est uniforme, donnent 

{%i) A(V + î))=o. 

D'autre part, les égalités (4) donnent 

ou bien, à cause de l'égalité, 

dX d\JÎ) dB I .^ 

• 1 ■ -1- — - = — AtH, 

dx dy dz ^iz 

(23) (n-4TOA-)AD4-47t£/cAV = o. 

k ne peut jamais être négatif; dès lors, la comparaison des éga- 
lités (22) et (28) donne les deux égalités 

(24) ' AV==o, 

(25) ; AV = 0. 

L'égalité (24) nous enseigne que, dans un diélectrique homo- 
gène, parfaitement doux, à coefficient de polarisation con- 
stant, parcouru par un courant permanent, la polarisation est 
à la fois solénoïdale et lamellaire simple. 

L'égalité (26) nous enseigne qu'à V intérieur de ce diélectrique 
il n'y a pas d'' électricité libre. 

La comparaison des égalités (6) et (21) donne, pour un diélec- 
trique homogène, 

.[ X = kViu, 

( G =k'^w. 

D'après ces conditions, dans un semblable diélectrique, Vin- 
lensité de polarisation est, en chaque point, dirigée comme le 
flux électrique ; elle lui est proportionnelle en grandeur; le 
coefficient de proportionnalité est le produit du coefficient de 
polarisation diélectrique par la résistance spécifique. 

Les équations que nous venons de donner supposent essentiel- 
lement que le régime permanent est établi ; elles ne peuvent servir, 



I 



CHAP. H. — PROPRIÉTÉS DES DIÉLECTRIQUES. 36o 

du moins sans justification préalable, à étudier l'état variable d'un 
condensateur à lame diélectrique. 

Nous pourrions étendre indéfiniment l'étude des corps diélec- 
triques et reprendre pour eux la plupart des questions que nous 
avons traitées pour les aimants; nous ne nous y attarderons pas; 
c'est ainsi que nous laisserons au lecteur le soin d'étendre aux 
cristaux diélectriques ce que nous avons dit au sujet des cristaux 
magnétiques ( *). 

(') Voir au sujet des propriétés diélectriques des cristaux : Jacques Curie, 
Recherches sur le pouvoir inducteur spécifique et la conductibilité des corps 
cristallisés {Annales de Chimie et de Physique, 6° série, t. XVII, p. 385; 1889). 



D. - 11. 34 



370 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 



CHAPITRE m. 

ATTRACTIONS DES CORPS ÉLECTRISÉS PLONGÉS DANS UN MILIEU 
DIÉLECTRIQUE. 



§ 1. — Distribution électrique sur des corps conducteurs 
plongés dans un milieu diélectrique. 

Tout en laissant au lecteur le soin d'étendre aux corps diélec- 
triques les théories que nous avons développées en étudiant les 
corps magnétiques, il est une question que nous allons examiner 
ici en détail, parce qu'elle donne lieu à des remarques auxquelles 
ne prêtait pas l'élude des aimants : nous voulons parler de la 
recherche des lois auxquelles obéissent les attractions des corps 
électrisés plongés dans un milieu diélectrique. 

Nous avons vu (Livre IX, Chap. VIII et IX) que les propriétés 
des corps diamagnétiques ne pouvaient s'expliquer qu'en admet- 
tant, dans les espaces qui nous semblent vides, l'existence d'un 
fluide doué de propriétés magnétiques ; les expériences de 
M. P. Joubin (Livre IX, Chap. VIII) semblent même indiquer 
que ce fluide est doué de force coercitive. 

SI l'on admet l'existence d'un semblable fluide doué de pro- 
priétés magnétiques, il est naturel de supposer qu'il puisse être 
doué aussi de propriétés diélectriques; tous les corps électrisés 
que nous observons seraient donc plongés dans un milieu polari- 
sable. 

Alors se pose la question suivante dont l'importance, grande 
par elle-même, augmente encore par le rôle qu'elle joue dans la 
discussion de certaines théories : 

S i l' on suppose que les actions mutuelles des corps électrisés 
plongés dans un milieu isolant idéal, incapable des'électriser 
ou de se polariser, soient données par les lois de Coulomb, 



CHAP. III. — ACTION d'un MILIEU DIÉLECTRIQUE. Syi 

quelle perturbation apporte, aux conséquences de ces lois, la 
présence d'un milieu diélectrique dans lequel ces corps sont 
censés plongés? 

C'est celte question que nous allons examiner dans le présent 
Chapitre. 

Commençons par étudier les lois de la distribution électrique 
sur des corps conducteurs plongés dans un milieu diélectrique. 

Nous désignerons par V la fonction potentielle de la distribution 
électrique, et par tU la fonction potentielle de la distribution di- 
électrique. La condition d'équilibre sur un corps conducteur sera 
alors 
(i) £(V-f-tJ)-t-0 =: const. 

La densité électrique en un point delà surface de séparation du 
corps conducteur et du milieu diélectrique a pour valeur 

~ ^Tt \dni diie 
Comme l'égalité (i) donne 

drii dni z dn,- ' 
la relation précédente peut s'écrire 

^T^ \àne drii ) ^r^z d/ii 

D'autre part, en désignant par X, iJÎ), G les composantes de l'in- 
tensité de polarisation, on a, en un point quelconque de la sur- 
face de séparation considérée, 

-7 1- ^ — = 4i^[<A'i cos(rtc, x) -h oCo cos(ne, y) -h Q cos(«e, z)]. 

Si, dans celte égalité, on remplace Jlo, iJi), G par les valeurs que 
donnent les égalités (2) du Chapitre précédent, on trouve 

(3) «^[, + 4.sFOrt)]^^+4-F01V)^X = „, 

en sorte que l'égalité (2) devient 



37a LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

A l'intérieur du diélectrique, les fonctions tU et V vérifient les 
équations aux dérivées partielles 

(5) AV = o, Aî» ^ o. 

Les conditions (i), (3) et (5) déterminent les deux fonctions V 
et tu quand on se donne la nature des conducteurs et la charge sur 
chacun d'eux; on sait qu'alors sont connus l'état d'électrisation 
du conducteur et l'état de polarisation du milieu diélectrique. 

De ces équations générales ne se dégage aucune conclusion in- 
téressante; il n'en est plus de même dans le cas particulier défini 
par les hypothèses suivantes : 

i" On néglige les variations que la quantité présente à l'in- 
térieur de tous les conducteurs, même de ceux qui nous semblent 
homogènes; 

2° On néglige les variations de la fonction F(Oll) avec l'inten- 
sité de polarisation ; on la remplace par une constante k. 

Moyennant ces hypothèses, l'égalité (i) devient 

V-)- 11 — const. 
et l'égalité (4) devient 

i + 47r£/>- c)(Y + |i). 

(6) a = ^-^~~. 

Considérons la fonction 

(i + 47r£A-)(V + 11). 

Celte fonction est constante à l'intérieur des corps conducteurs ; 
d'après les égalités (6), elle vérifie l'équation de Laplace en dehors 
des corps conducteurs; elle représente donc la fonction potentielle 
d'une distribution qui serait en équilibre svir les corps conduc- 
teurs plongés dans un milieu non électrisable et non polarisable ; 
en un point de la surface de ces conducteurs, la densité aurait 

pour valeur 

_ J + 47r£A- ^V -+-t>) 

4 71 à Ile 

c'est-à-dire o-, d'après l'égalité (6); d'où la conclusion suivante : 

Moyennant les restrictions indiquées, V électricité se distri- 
bue sur un système de corps conducteurs plongés dans un mi- 
lieu diélectrique comms si ce milieu était remplacé par un 
milieu non polarisable. 



CHAP. III. — ACTION d'un MILIEU DIÉLECTRIQUE. SjS 

Ce ihéorème s'étend au cas où le milieu renferme un corps 
diélectrique parfaitement doux, dépourvu de toute charge élec- 
trique, et dont le coefficient de polarisation est constant. Dans ce 
cas, en effet, les fonctions V et liD vérifient les égalités données 
dans ce qui précède; de plus, à l'intérieur du corps diélectrique 

considéré, on a 

AV = o, AV = o, 

et, à la surface de ce corps, 

dY d\ 
orii aue 

(1-4- 4tc£A-)-— -t- (1 + \izzk )-T \- l^Tztk h4toA- — - = 0. 

diie orii one orii 

En vertu de l'avant-dernière égalité, cette dernière peut s'écrire 

La fonction U = (i 4- ir^ek) (V -t- tiî) satisfait donc aux condi- 
tions suivantes : 

Elle est continue dans tout l'espace ; 

Elle est harmonique à l'intérieur du corps diélectrique et dans 
l'espace extérieur au corps diélectrique et au corps conducteur ; 

Elle est constante à l'intérieur du corps conducteur; 

Elle vérifie, à la surface de séparation du diélectrique et du mi- 
lieu, l'équation 

i + 4Tr£A-' dU àV _ 
iH- 4 iî£ A: drii drig 

Considérons une quantité y définie par l'égalité 

. , , l-i-^TZtk' 

(7) l-l-4Tr£Y= -, 7' 

A l'intérieur du corps diélectrique, imaginons une polarisation 
dont les composantes aient pour valeur 

(8) \ B=-EY^=-sY(i+4^sA-)|;(V-+-îl), 
G = -eY^ =-£Y(i + 4^^A-)^(V4-î)); 



374 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

à la surface du corps conducteur, plaçons une distribution dont la 
densité ait pour valeur 



47: drii 4''^ ^^t 



(V + tH). 



Cette distribution, on le voit aisément, aurait pour fonction po- 
tentielle, tant électrique que diélectrique, la fonction U; de plus, 
elle assurerait l'équilibre du système supposé plongé dans un mi- 
lieu idéal, non électrisable et non polarisable. 

Or la densité de la couche électrique que le corps conducteur 
porte dans cette distribution est identique à la densité de la couche 
qu'il porte lorsqu'il est plongé dans le milieu polarisable. 

Lorsque le diélectrique est plongé dans le milieu polarisable, il 
prend en chaque point une polarisation dont les composantes ont 
pour valeur 



(9) 



Si l'on compare ces égalités (9) aux égalités (8), on trouve 
A = ^, (j-}-47r£X-)ol,, 
B = ■l(n-4Tr£Â-)lll>, 

C = 1,(1 + 4 TTC A-) S, 



l o/l) =- 


-s^'^(V + î.), 


..= 




1 


--zk'~{y^v). 



ou bien, en vertu de la relation [n), 



(10) 



ol, 


= 




k' 


A 


/.' 


— 


k'^' 


Dî> 


= 


k 


k' 


7c '^' 





__ 




k' 


-, C. 



k'-k 

On arrive ainsi à la proposition suivante : 

Supposons que l'on veuille trouver la distribution des 



CHAP. III. — ACTION d'un MILIEU DIÉLECTRIQUE. 3y5 

charges électriques et de la polarisation diélectrique sur un 
système formé de corps conducteurs et de corps diélectriques 
parfaitement doux, plongés dans un milieu diélectrique. Nous 
pouvons supprimer ce milieu diélectrique, chercher l'état d'é- 
quilibre des conducteurs et des corps diélectriques, en attri- 
buant à chacun de ceux-ci non pas son coefficient de polarisa- 
tion véritable, mais un coefficient fictif défini par l'égalité {'j). 
On obtiendra alors, sur les corps conducteurs, la densité élec- 
trique cherchée et, sur les diélectriques, une polarisation dont 
il suffira de multiplier les composantes par p — y pour avoir les 
composantes de la polarisation cherchée. 

Lorsque le système renferme non plus seulement des corps bons 
conducteurs ou des corps diélectriques parfaitement doux, mais 
encore des corps mauvais conducteurs électrisés ou des corps di- 
électriques doués de force coercitive, il n'existe plus aucune règle 
simple permettant d'en ramener l'étude à celle d'un système 
plongé dans un milieu isolant idéal. 

§ 2. — Attractions entre corps plongés dans un milieu diélectrique. 

Considérons divers corps électrisés, dont l'ensemble occupe un 
espace désigné par l'indice 1 et divers corps diélectriques dont 
l'ensemble occupe un espace désigné par l'indice 2, plongés dans 
un milieu diélectrique qui occupe autour d'eux l'espace illimité 3. 

D'après l'égalité (i6) du Chapitre I, si nous supposons que tous 
les diélectriques considérés sont isotropes, le potentiel thermody- 
namique interne du système aura pour expression 






Nous allons transformer cette égalité en admettant les hypothèses 
suivantes : 

1° Les corps diélectriques sont parfaitement doux et non élec- 
trisés. 



376 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

2° Leur coefficient d'induction diélectrique ne dépend pas de 
l'intensité de la polarisation. 

Soit /r le coefficient d'induction diélectrique du milieu; soit k' 
le coefficient d'induction diélectrique des diélectriques plongés 
dans ce milieu. Nous aurons 

'2 A. % K 

D'ailleurs les égalités 

ertas — — oA r J oiVuo — SA. r > 

ax OX 

*^3 — S/l ■)■ O2 — £/t r 

az oz 

donnent 

Oîl|= £2A'2 n(V + îl), ^L|= £2/t'2n(V-i-îl). 

Si l'on observe que k et k' sont positifs, ces égalités donnent 

'\Yt 2 ^2 '^TT 2 ^2 

^5 = -A'n(V-Hiii), :^ = '_/c'n(V + ti)), 

et l'on a 



(II) 



+ g^(i+4TOA-) 



Y étant défini par l'égalité (7). 

Aux restrictions déjà faites pour la démonstration de cette éga- 
lité (i i), ajoutons maintenant les suivantes : 

i" On peut négliger les variations que la quantité subit d'un 
point à l'autre d'un même corps électrisé. 

2° Les corps électrisés sont bons conducteurs. 

Soient A, B, . . . , L les divers corps électrisés du système; 
soient 0,^, 0^, . . . , 0l les valeurs de la quantité qui leur corres- 
pondent, valeurs invariables si l'état de ces conducteurs ne change 
pas; soient Q^, Qc, ..., Ql les charges invariables de ces con- 



r 



CHAP. III. — ACTION d'un MILIEU DIÉLECTRIQUE. 877 

ducteurs. Nous aurons 

2^5^ = Qa Qa -H e» Qb +. . .-t- et Ql . 

Le second membre est évidemment invariable. La quantité / Qy 

étant une constante, nous pouvons la faire disparaître de l'expres- 
sion du potentiel thermodynamique interne. 

Si tous les corps électrisés qui composent le système sont bons 
conducteurs, nous aurons, pour chacun de ces corps, 

£(V -t-î))-t- e = const., 

ou bien, puisque nous négligeons les variations de 0,. 

V + U = const., 

ce qui exige que l'on ait, en tout point de la région \ , 

n(v + U) = o 

et, par conséquent, 

(12) fu{Y-\-V)dvi^o. 

Posons 

(i3) U = (h-4toA")(V4-Î1). 

Nous aurons 

f =(' + 4TSi)|;(V+1.), 

Elevons au carré les deux membres de ces équations et ajoutons 
membre à membre les résultats obtenus; nous aurons 

nu = (i+4 7r£A:)2n(V + î>), 

et l'égalité (i i) deviendra, en tenant compte des diverses remarques 
que nous venons de faire, 

Donnons au système un déplacement infiniment petit; les forces 



378 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

intérieures effectueront un travail d^i] le potentiel thermodyna- 
mique interne subira une variation S.f ; comme l'équilibre élec- 
trique et diélectrique est établi sur le système, on aura 

dïBi -)- 83" — o 
ou bien 

^5,- = — 3E(r — TS) 



4 ioT fnUdvs-^ ( {1+ i'Kty)UU dvA 

41TSA- LJ3 J^ J 



La quantité 



oE(r — TS) 



représente le travail des forces intérieures qui agiraient dans le 
système à l'état neutre. La quantité 



(,4) d(^', = -- ' 



TT 1 -h l\TZS.k 



fuUdv3-}- r(i^-^Tzzy)UUdvA 



représente le travail des forces électriques. 

Considérons un système constitué de la manière suivante : 

Il est formé de conducteurs et de diélectriques ayant même 
forme et même position que dans le système précédent. 

Le milieu dans lequel ils sont plongés est impolarisable. 

Le coefficient d'induction diélectrique des diélectriques est la 
quantité v, définie par l'égalité (7). 

Sur les corps conducteurs, nous distribuons de l'électricité de 
la même- manière que dans le système précédent. 

Sur les corps diélectriques, les composantes de la polarisation 
sont liées aux composantes A, itl, G de la polarisation dans le 
système précédent par les relations 



(10) 



D'après ce que nous avons vu au paragraphe précédent, un 
semblable système est en équilibre; la fonction potentielle de la 
distribution tant électrique que diélectrique qu'il porte est U. 

En raisonnant comme nous l'avons fait dans le cas précédent, 



A 


= 


k 


— 


k 


lIj 






k' 




a\a, 


B 


= 


k 


~P 


k 


iPo, 


G 


= 


k 


k 


k 






CH.VP. m. — ACTION d'un MILIEU DIÉLECTRIQUE. 379 

on trouverait que, lorsqu'on impose une certaine variation à ce 
système fictif, les forces intérieures d'origine électrique elTectuent 
un travail . 

(i5) d(B'i = —^-^\ y^nU^/t's-^ /"(H- 4 ti^y) nuirai- 

La comparaison des égalités (i4) et (i5) donne cette relation 

d^'i= (i-{-4Tzzk)d(E"i, 
qui entraîne la proposition suivante : 

Les actions électriques cjiii agissent dans le système consi- 
déré s obtiennent en multipliant par (^\-\~^Tzzk) la grandeur 
des forces qui agissent dans le système fictif cjuc nous venons 
d'étudier, sans changer la direction de ces forces. 

Ce théorème nous permet de comparer entre elles les actions 
qui s'exercent dans un système plongé au sein d'un milieu impo- 
larisable et les actions qui s'exercent dans le même système plongé 
au sein d'un milieu polarisable dont A' est le coefficient de polari- 
sation. 

La présence du milieu polarisable ne change pas la direction 
des actions qui s'exercent entre deux conducteurs donnés portant 
des charges données; elle multiplie la grandeur de ces actions par 



i-\-^Tzzk 

Elle ne change pas la direction des actions qui s'exercent entre un 
conducteur donné, portant une charge donnée, et un corps diélec- 
trique dont le coefficient d'induction diélectrique A' est donné; 
elle multiplie la grandeur de ces actions par 

I k' 



I -f- 4t-£^ k' — k 

Elle ne change pas la direction des actions qui s'exercent entre 
deux corps diélectriques dont les coefficients d'induction A' et A" 
sont donnés et qui se polarisent sous l'action de conducteurs don- 
nés, portant des charges données; elle multiplie la grandeur de 

ces actions par 

I k'k" 



^Tzzk {k'—k)(k"—k) 



■^80 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

On peut encore donner du théorème précédent une interpréta- 
tion très simple et très intéressante. 
Posons 

(17) i + 4t:e'y'= i-+-47r£Y. 

En vertu des égalités (7) et (16), cette dernière égalité devient 
(.8) y'=>^'-/- 

En vertu des égalités (16) et (17), l'égalité (i4) devient 

D'ailleurs, en vertu des égalités (7) et (i3), les égalités (9) 
deviennent 

li'd = — z'k-r-, 

oz 
Ces égalités, jointes aux égalités (10) et (18), donnent 

(9.0) ^B = -sY-, 

U est, comme nous l'avons vu, la fonction potentielle d'une couche 
électrique, de densité a-, distribuée à la surface des conducteurs, 
et d'une polarisation, de composantes A, B, C, distribuée sur les 
diélectriques. 

Les égalités (20) conduisent alors à la conclusion suivante : 
Si le milieu diélectrique était supprimé, que la constante s des 
lois de Coulomb fût remplacée par la constante e', que le coef- 
ficient d'induction k' des corps diélectriques fût remplacé par le 
coefficient y', la distribution de l'électricité en équilibre sur les 
corps conducteurs ne serait pas changée, et la polarisation en un 



CHAP. III. — ACTION D UN MILIEU DIELECTRIQUE. 38 1 

point d'un corps diélectrique aurait pour composantes les quan- 
tités A, B, G. 

Ce premier résultat obtenu, la comparaison des égalités (i5) 
et (19) conduit à ce théorème fondamental : 

Dans un milieu diélectrique dont le coefficient d^ induction 
a la valeur /r, sont plongés des conducteurs portant des charges 
déterminées et des corps diélectriques ayant des coefficients de 
polarisation déterminés. La distribution électrique et diélec- 
trique sur ce système et les actions qui s'exercent dans ce sys- 
tème sont celles que Von calculerait si, faisant abstraction de 
V existence du milieu diélectrique , on attribuait à la con- 
stante e des actions électrostatiques non pas sa valeur réelle, 

mais la valeur fictive e'^ , , et, à chaque corps diélec- 
trique, non pas son coefficient d'induction réel, mais un coef- 
ficient fictif égal à l'excès de son coefficient réel sur le coeffii- 
cient du milieu. 

Ce théorème suppose que tous les corps électrisés du système 
sont des corps bons conducteurs et que les seuls corps diélec- 
triques sont des corps parfaitement doux. 

Cette dernière restriction est la raison pour laquelle un théo- 
rème analogue ne peut pas se rencontrer dans l'étude du magné- 
tisme, les systèmes étudiés ne pouvant pas se composer exclusive- 
ment de corps parfaitement doux. 

Ce théorème nous montre que, si l'on admet que le vide est 
susceptible de se polariser, on n'est pas obligé pour cela de rien 
changer aux lois de la distribution ou des actions électriques; on 
a seulement à modifier la valeur de la constante fondamentale des 
lois de Coulomb et des coefficients d'induction des corps diélec- 
triques. 

Il résulte de là qu'il n'est pas possible de déterminer la valeur 
de la constante £, ni la valeur du pouvoir inducteur k du vide, 
mais seulement la valeur de la quantité 



La constante k a-t-elle une valeur notable? Li quantité mesu- 
rable e' difTère-l-elle notablement de la valeur qu'il conviendrait 



382 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

d'attribuer à la quantité inaccessible à l'expérience e? Il n'est pas 
possible de répondre d'une façon formelle à cette question. 

11 est toutefois une remarque qui rend vraisemblable l'opinion 
suivante : le coefficient d'induction du vide est une quantité ou 
nulle ou très petite; la constante t' diffère peu de t. 

Nous avons vu que le coefficient d'induction apparent d'un 
diélectrique était lié à son coefficient d'induction vrai par la rela- 
tion 

Y'= ^'_ k. 

Si k avait une valeur notable, on n'aperçoit aucune raison qui 
puisse empêcher y' d'avoir, pour certains corps, une valeur néga- 
tive notable; de tels corps seraient, aux corps diélectriques, ce 
que les corps diamagnétiques sont aux corps magnétiques; ce 
seraient des corps dia-diélectriques. 

Ainsi, si le vide avait un coefficient d'induction notable, on 
observerait probablement des corps dia-diélectriques dont le 
coefficient apparent cV induction aurait une valeur négative 
notable. 

Or l'expérience ne nous a jamais révélé l'existence d'aucun 
corps dia-diéleclrique; s'il existe de tels corps, ils doivent avoir 
un coefficient apparent de polarisation très faible. Ce fait s'ac- 
corde bien avec l'iijpothèse que le vide a un coefficient de polari- 
sation très faible, sans cependant démontrer l'exactitude de cette 
hypothèse. 

De même, l'absence, dans la nature, de tout corps fortement 
diamagnétique donne à penser que le coefficient d'aimantation du 
vide est une quantité très petite; c'est ce que nous avons constam- 
ment admis aux Livres précédents. 

Cette hypothèse que le vide n'est que faiblement diélectrique et 
magnétique a d'autant plus de prix pour la théorie que, dans les 
expériences de M. Paul Joubin, le vide semble doué de force 
coercitive magnétique; il est donc possible qu'il soit doué aussi 
de force coercitive diélectrique; si ses propriétés magnétiques et 
diélectriques étaient notables, la théorie entière de l'électricité et 
du magnétisme serait remise en question. 



LES CRISTAUX PYRO-ÉLECTRIQUES. 383 



CHAPITRE IV. 

LES CRISTAUX PYRO-ÉLECTRIQUES. 



§ 1. — L'état d'équilibre d'un cristal hémimorphe homogène. 

Dans les Chapitres précédents, nous avons étudié l'état d'équi- 
libre de corps dont la structure vérifie les conditions exprimées 
par les égalités 

X = O, |JI. =^ O, V = o. 

Nous allons maintenant nous affranchir de cette restriction et 
étudier des corps diélectriques hémimorphes. Nous supposerons 
seulement, pour ne pas compliquer nos calculs, que le cristal 
étudié soit homogène. 

Prenons pour axes de coordonnées Ox, Oj, Oz les directions 
des axes d'élasticité de notre cristal. Si ce cristal est un diélec- 
trique parfaitement doux, en raisonnant comme nous l'avons 
fait au Livre X, Chapitre I, § 6, nous trouverons que l'on doit 
avoir, en tout point de ce cristal, 

Dans cette égalité, les quantités T et Opq sont des fonctions 
de -X, i)b, 3, liées aux coefficients de la surface d'induction dié- 
lectrique, comme on l'a vu au Livre X, Chapitre I, § 4. 

Ces coefficients satisfont à la condition 



384 LIVRE XI. — LUS CORPS DIÉLECTRIQUES. 

Si le cristal étudié est, en outre, bon conducteur, on devra 
avoir, en tout point de ce cristal, suivant la démonstration donnée 
au § 2 du Chapitre précédent, 

£(V4-11l) + e = const. , 
ou bien, à cause de l'homogénéité du cristal, 

(2) £(V-t-tII) = const. 

La condition (2) simplifie extrêmement les égalités (i), qui de- 
viennent 

X =— Tji (SiiX -}- 012p. + Ô13V), 

(3) . I !«>=— ;jî ( 821 X + 8221^+ Ô23V), 
G =— Tp (831X + 832(^-1- 833V). 

Les quantités \, pi, v ont la même valeur en tout point du cris- 
tal homogène; les quantités T et Zpq sont, en tout point de ce 
cristal, les mêmes fonctions de X., al\), S. Ces équations (3) con- 
duiront donc à prendre pour Jl, ilb, G les mêmes valeurs en tous 
les points du cristal. D'où la conclusion suivante : 

Lorsque V équilibre est établi sur un cristal hémimorphe et 
conducteur, il présente, dans toute sa masse, une polarisation 
diélectrique uniforme qui ne dépend que de sa nature et de sa 
température. 

Si l'on a, dans toute la masse du cristal, 

aHo = const., oPd = const., G = const., 
on a aussi 

dx dy dz 
et, par conséquent, 

L'équation (2) donne alors 

AV= o; 
d'où la conclusion suivante : 

Lorsque V équilibre électrique est établi sur un cristal lié- 



CHAP. IV. — LES CRISTAUX PYRO-ELECTRIQUES. 385 

viimorphe et conducteur, il ne renferme pas d^ électricité libre 
à son intérieur. 

Cherchons de quelle manière l'électricité est distribuée à la 
surface de ce cristal. 

La densité superficielle de l'électricité est donnée par la for- 
mule 

Mais l'égalité (2) donne 

d^i " ~ os] ' 
On peut donc écrire 

en remarquant que 

TZ. ( ^."^^j = Xcos(N/, a^) + -1)1,008 (N,-, 7) + 3 cos(N/, z), 

on voit que l'on a 

( 4 ) a = a' -f- or" 

avec 

/ a' = -A., cos(N,-, J7) -f- ill>cos(N-,7) -H 3 cos(N/, z), 

Il est aisé de donner une interprétation de ces deux densités a-', 
a/' définies par les égalités (5). 

La polarisation du cristal étant uniforme et, par conséquent, 
solénoïdale, on sait (Livre VII, Ghap. IV, § 2) que l'action que 
cette polarisation exerce sur les points extérieurs au cristal équi- 
vaut à l'action d'une couche superficielle ayant pour densité 

— [X cos(N/, a7)-i-i)î)Cos(N^, 7) + Gcos(N/, z)]. 

La densité cr' est égale et de signe contraire à la précédente, en 
sorte que l'action, aux points extérieurs au cristal, de la couche 
qui a cette densité, détruit exactement l'action exercée aux mêmes 
points par la polarisation du cristal. 

Pour interpréter la densité a", nous remarquerons que la fonc- 
tion ("Il -f- V), continue dans tout l'espace, admet à l'intérieur du 
D. — II. 25 



386 LIVRE XT. — LES CORPS DlÉLm TRIQURS. 

cristal une valeur conslanle A et est harmonique à l'extérieur 
du cristal. Dès lors, on voit que la densité a" est celle d'une 
couche qui, en équilibre d'elle-même sur un conducteur de même 
forme que le cristal, porterait ce conducteur au niveau poten- 
tiel A. 

Résumons ces conclusions : 

Un cristal héinimorphe cl conducteur en équilibre porte, à 
sa surface, une couche électrique. 

Cette couche peut être regardée comme formée par la super- 
position de deux autres couches. 

La densité de la première est, en tout point, égale et de signe 
contraire à la densité de la. couche fictive qui équivaut à la 
polarisation du cristal. 

La seconde est la couche cjui, en équilibre d^ elle-même sur 
un conducteur de même forme que le cristal, communiquerait 
à ce conducteur un niveau potentiel égal à la valeur constante 
de (V+ tîl) à U intérieur du cristal. 

L'action du cristal aux points extérieurs se réduit à fac- 
tion de cette dernière couche. 

Supposons, en particulier, le cristal en communication avec le 
sol ; on a alors 

V 4- 11=0, 

et la dernière couche disparaît. Si l'on observe que tout cristal est 
plus ou moins conducteur, on arrive sans peine à la conclusion 
suivante : 

Si un cristal hémimorphe, dont la température est maintenue 
constante, est mis en communication avec le sol pendant un 
temps d'une longueur suffisante, il ne manifestera plus aucun 
signe d'électricité. 

Des deux couches en lesquelles peut se décomposer Félectrisa- 
tion du cristal, la première a une masse nulle; pour que la se- 
conde ait une masse nulle, il faut qu'elle ait en tout point une 
densité nulle. Si donc on n'a communiqué aucune charge élec- 
trique à un cristal, si on le maintient à température constante 
et isolé, il cessera toujours, au bout d'un temps d'une durée 
suffisante, de manifester aucune action électrique. 



CH\P. IV. — LES CRIST.VUX PYRO-ÉLliCTRIQUES. 387 

Tout ce qui précède est général; adoptons maintenant, pour 
les phénomènes diélectriques présentés parles cristaux, une hypo- 
thèse approximative analogue à celle que nous avons adoptée pour 
les phénomènes magnétiques et que nous avons nommée l'approxi- 
mation de Poisson (Livre X, Chap. II). 

Prenons pour axes de coordonnées les axes principaux d^in- 
duction diélectrique; soient vji, Wo, ^s les coefficients princi- 
paux dHnduction diélectrique ; soient ^, JE5, C les composantes 
de l'induction rapportées à ces axes; nous aurons, au lieu des 
égalités (3), les égalités 

(6) < î» = — 7!l2[Jl, 

Dès lors, il est aisé de déterminer la direction de la polarisation 
du cristal. 

Prenons X ellipsoïde inverse dHnduction diélectrique du cris- 
tal, surface qui a pour équation 

TJTi;--+- CT2rj2-f- TJTa^^::^ I. 

Par le centre H de cette surface, menons un rajon vecteur dont 
les cosinus directeurs soient proportionnels à — )^, — [jl, — v. 
\J induction diélectrique du cristal est normale au plan con- 
jugué de cette direction. 

Si le cristal est un cristal uniaxe, et si l'on prend pour axe 
des X l'axe du cristal, on aura évidemment, par raison de sy- 
métrie, 

et les égalités (6) deviendront 

( 5l = — T^iX, 

(7) jlî=o, 

1 C = o. 

La polarisation sera alors dirigée suivant l'axe du cristal. 

§ 2. — Les phénomènes pyro-électriques. 

Pour un cristal donné, les quantités X^ \)î), 3, données par les 
équations (3), sont des fonctions de la température. Désignons 



388 LIVRE XI. — LES CORPS DIliLECTRIQUES. 

par T la température absolue, et par .1, (T), ill) (T), S (T) les va- 
leurs de ces fonctions à la température T. 

Imaginons que nous prenions un cristal qui a été longtemps 
en communication avec le sol et ne présente plus aucune trace 
d'électricité. En le gardant soigneusement isolé, portons-le à une 
certaine température T et maintenons-le très longtemps à cette 
température, de manière que l'équilibre s'établisse. Le cristal 
portera alors, à sa surface, une distribution électrique dont la 
densité superficielle a- (T) aura pour valeur, d'après les éga- 
lités (5), 

<t(T) = Jl,(T)cos(N/,;r)-i-Di,(T)cos(N;,jK)H-a(T)cos(N/, s). 

Supposons ensuite que l'on refroidisse rapidement ce cristal, 
de manière à l'amener à la température Tq, et imaginons que le 
cristal soit très mauvais conducteur de l'électricité. La polarisa- 
tion interne changera aussitôt; si l'on néglige l'influence polari- 
sante du champ créé à l'intérieur par la distribution superficielle, 
les composantes de cette polarisation prendront les valeurs 

=il>(To), ^Î3(To). G(To). 

Mais, au contraire, chaque élément de la surface du cristal gar- 
dera sensiblement, pendant un certain temps, la charge électrique 
qu'il portait à la température T. Il en résulte que la couche élec- 
trique superficielle n'annulera plus exactement, aux points exté- 
rieurs au cristal, l'action de la polarisation du cristal, et celui-ci 
manifestera des actions électriques qui, à la longue, finiront par 
disparaître. 

Négligeons le léger changement de forme que subit la surface 
du cristal lorsque celui-ci passe de la température T à la tempé- 
rature Tq. a la température To, on pourra regarder la couche su- 
perficielle comme ayant encore pour densité (au moins dans les 
premiers instants) 

a(T) = X{T) cos(N/, x) -i- iJbCT) cos(N,-, j-) + a(T) cos(N,-, z), 

tandis que la polarisation du cristal exercera les mêmes actions 
extérieures qu'une couche électrique ayant pour densité super- 
ficielle 

— [X(To) cos(N/, x) -h 1)1 (To) cos(N,-,^) -+- e(To)cos(N/, z)]. 



CIIAP. IV. — LES CRISTAUX PYRO-ÉLECTRIQUES. iSg 

Le cristal exercera donc les mêmes actions électriques exté- 
rieures qu'une couche électrique, distribuée à sa surface et ajant 
pour densité 

/ i:(Ti,To)= [olo(T)--V..(To)]cos(N,-,^) 
(8) ^-[itï,(T)- »lï>(To)Jcos(N,-,.x) 

( +[8(T)-3(To)]cos(N,, z). 

Nous avons vu (Livre VIT, Chap. IV, § 2) comment on peut 
obtenir, d'une manière très simple, une image géométrique de la 
densité S(T, T„). 

Considérons la surface S du cristal; donnons-lui une transla- 
tion infiniment petite parallèle à la grandeur géométrique qui a 

pour composantes 

-^(T)-.Â,(To), 

1II.(T)-. i)J,(To), 

e(T)-3(To); 

soit S' la nouvelle position de la surface S. 

Entre S' et S est une couche infiniment mince dont une partie 
est intérieure à la surface S, tandis que l'autre partie lui est exté- 
rieure. Remplissons ces deux parties de fluide électrique dont la 
densité ait partout la même valeur absolue, mais soit positive dans 
la première partie et négative dans la seconde. La densité 2(T, Tq), 
définie par l'égalité (8), aura en chaque point de la surface S le 
même signe que cette couche et sa grandeur sera proportionnelle 
à l'épaisseur de cette couche. 

Supposons, en particulier, que le cristal soit un cristal uniaxe; 
prenons la direction de l'axe du cristal pour axe des x. Nous 

aurons 

ill,(T) = o, a)î,(T„) = o, 

3(T)--=o, €(To)-o. 
Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait 

.l,^T)-A^(To)>o. 

Taillons dans ce cristal un prisme droit, dont les arêtes BB 
soient parallèles à Oo:. 

D'après ce qui précède, à la température Tq, la base B semblera 
porter du fluide négatif dont la densité sera 

-[cl,(T)-.l.(To)]. 



Sgo livue xi. — les corps diélectriques. 

La charge apparente de cette base sera, en désignant par S sa 

surface, 

_[A,(T)-oA.,(T„)]S. 

La base B' portera, en apparence, du fluide positif en quantité 
égale. 

Les faces latérales du prisme ne sembleront pas électrisées. 

L'expérience a devancé depuis longtemps ces indications de la 
théorie. 

Vers la fin du xvii" siècle, les Hollandais rapportèrent de Gejlan 
une pierre curieuse que les indigènes nommaient tournamal, 
c'est-à-dire tire-cendres, à cause de la propriété qu'elle possède 
d'attirer les cendres lorsqu'on la jette dans le feu. C'est la pierre 
qui porte aujourd'hui, en Minéralogie, le nom de tourmaline . 

Lémerj en donna la première description en 1717. En 1756, 
OEpinus montra que les propriétés de la tourmaline sont dues à 
un développement d'électricité, et que les deux extrémités d'un 
cristal échauffé sont toujours éleclrisées en sens contraire, l'une 
positivement et l'autre négativement. Bergmann montra plus tard 
que les électricités de signe contraire qui se dégagent aux deux 
extrémités d'une tourmaline chauff"ée sont toujours égales en 
quantité. 

En 1709, Canton (^) fit observer que l'électrisation d'une tour- 
maline n'est pas due à la température même, mais à ses variations. 
Un cristal de tourmaline, étant porté à une température déter- 
minée et ramené à l'état neutre, demeurera à l'état neutre tant 
que la température ne subira aucune variation; mais il s'électri- 
sera immédiatement si la température vient à changer, et les efl'ets 
de l'électrisation obtenus seront de sens contraires selon que l'on 
échauffe le cristal ou qu'on le laisse refroidir. Cette observation 
est capitale; c'est peut-être la plus importante qui ait été faite 
dans cet ordre de phénomènes dont elle marque le caractère par- 
ticulier. 

Les phénomènes pjro-électriques ne sont pas particuliers à la 
tourmaline; on les a observés, comme nous le verrons, sur un 
grand nombre de cristaux, mais à un degré moins élevé. 

(') Philosophical Transactions, Vol. LI, p. 4o3. 



ClIAP, IV. — LES CRISTAUX PVRO-ÉLECÏRIQIJES. Î9I 

La théorie des phénomènes pyro-électriques a été ébauchée par 
Sir W. Thomson (*) et plus complètement traitée par M. Ed. 
Riecke (-). Nous avons donné, de notre côté, une théorie des phé- 
nomènes pjro-électriques (•'). Celte théorie, comme nous l'a fait 

remarquer M. Lorberg, est complètement erronée. 

/ 

§ 3. — Expériences de Gaugain. 

Nous avons vu au paragraphe précédent que la charge apparente 
portée par l'une des bases d'un pris'me de tourmaline refroidi de 
la température T à la température To a pour valeur absolue 

Q-[.l.,(T)-.l.(T„)JS. . 

Cette charge est proportionnelle à la section du prisme et indé- 
pendante de sa longueur; en sorte que la quantité d'électricité 
que peut développer une batterie de tourmalines associées par 
leurs pôles de même nom est égale à la somme des quantités que 
fourniraient les éléments séparés, et qu'une pile de tourmalines 
superposées développe exactement la même quantité d'électricité 
que l'un quelconque des éléments qui servent à la former. 

La quantité d'électricité que produit une tourmaline, lorsque sa 
température s'élève d'un nombre donné de degrés, est précisément 
la même que celle qui résulterait d'un abaissement de tempéra- 
ture égal. Mais le signe des deux pôles de la tourmaline est ren- 
versé. 

Ces diverses propositions ont été obtenues par Gaugain (^) dans 
une étude expérimentale très soignéedes phénomènes pjro-élec- 
triques. 



(') Sir W. Thomson, On thermoelastic , thermomagnetic and pyroelectric 
properties of matter {PhilosophicaL Magazine, 5' série, t. V, p. ^4; 1878). 

(") Ed. Riecke, Ueber die Pyroelectricitât des Tur malins {Wiedemann's 
Annalen der Physik und Chemie, t. XXVIII, p. 4^; 1886). 

(') Annales de l'École Normale supérieure, 3' série, t. III, p. 263; 1886. 

(*) Gaugain, Mémoire sur l'électricité des tourmalines {Annales de Chimie 
et de Physique, 3° série, t. LVII, p. 5; 1859). 



Sga, LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

§ 4. — Cristaux naturellement et accidentellement pyro-électriques. 

Les phénomènes pjro-électriques ne sont pas particuliers à la 
tourmaline; on les a observés dans un grand nombre de cristaux. 
Canton avait déjà reconnu les mêmes propriétés dans la topaze et 
l'émeraude du Brésil; Brard dans l'axinite; Haûy dans la boracite, 
le mésotype, l'oxjde de zinc, la prehnite, le sphène; Brewster 
dans beaucoup d'autres minéraux naturels tels que le quartz et 
dans plusieurs cristaux artificiels, parmi lesquels le tartrate double 
de potasse et de soude et l'acide tartrique. 

Toutes ces recherches ont conduit à une importante corrélation 
entre la forme cristalline et les phénomènes pyro-électriques. 

Haûy (') a remarqué, le premier, que les substances cristal- 
lisées qui possèdent les propriétés pjro-électriques, telles que la 
tourmaline, la calamine et la boracite, dérogent à la loi de symé- 
trie et sont frappées d'hémiédrie. Cette observation a été ensuite 
confirmée et généralisée en particulier par les nombreuses expé- 
riences de Riess et Rose (-). 

En 1866, M. Hankel (*) publia une longue série de recherches 
sur la pyro-électricité des cristaux. Ces recherches conduisaient 
à cette conséquence paradoxale que l'axe de pyro-électricité est 
une droite déterminée de direction et de position, tandis que, 
en Cristallographie, toutes les droites sont déterminées seule- 
ment en direction. 

MM. Friedel et J. Curie ('') montrèrent que les phénomènes 
singuliers observés par M. Hankel devaient s'expliquer par un 
échauffement irrégulier des cristaux étudiés, qui, en altérant la 
symétrie de la structure des cristaux, les douait d'une pyro-élec- 
tricité accidentelle . 

MM. Friedel et J. Curie poussèrent plus loin ces recherches; 



(') Hauy, Traité de Minéralogie, t. III, p. 54. — Observations sur les pro- 
priétés électriques du borate magnésio-calcaire {Annales de Chimie et de 
Physique, i" série, t. IX, p. 69; 1791). 

(') Riess et Rose, Sur la pyro-électricité des minéraux [Archives d'Élec- 
tricité, t. III, p. 585). 

(») Voir G. WiEDEMANN, Die Lehre von der Elektricitàt, 11^ Bd., p. 820. 

(*) Ch. Friedel et J. Curie, Sur la pyro-électricité du quartz {Bulletin de 
la Société miner alogique de France, t. V, p. 282; 1882). 



CHAP. IV. — LES CRISTAUX PYUO-ÉLliCTBIQUES. SqB 

ils montrèrenl que la pjro-électricité accidentelle était extrême- 
ment fréquente, qu'elle était la véritable cause d'une foule de 
phénomènes attribués à la pyro-électricité normale. Partant de ce 
principe, auquel MM. P. et J. Curie avaient été conduits par des 
expériences dont nous parlerons au Chapitre suivant, qu'une lame 
cristalline développe une quantité d'électricité proportionnelle à 
la dilatation de la substance dans la direction normale à la lame 
et au cosinus de l'angle que cette direction fait avec l'axe d'hé- 
miédrie, ils n'hésitèrent pas à déclarer que la pyro-électricité du 
quartz, des substances cubiques, telles que la blende et le chlo- 
rate de soude, qui présentent l'hémiédrie tétraédrique ou la tétar- 
toédrie, était purement accidentelle et due à un échaufFement 
irrégulier. En effet, l'expérience montra que ces substances ne 
donnaient aucun signe d'électricité lorsqu'on les chauffait régu- 
lièrement ('). L'étude de la pyro-électricité de la boracile donna 
aux idées de MM. Friedel et J. Curie une nouvelle confirmation. 

Les idées de MM. Friedel et J. Curie ont été exposées par 
M. Mallard dans son Traité de Cristallographie (-). M. Mallard 
en a déduit la condition nécessaire pour qu'un cristal jouisse de la 
pyro-électricité normale : Le cristal ne doit pas avoir de centre 
et ne doit présenter qu'un seul axe de symétrie. 

Cette règle est conforme à la théorie précédente. En effet, pour 
qu'un cristal soit pyro-électrique, il faut que l'on n'ait pas à la fois 

X == O, [i. = O, V = o. 

Si l'on se souvient de ce qui a été dit plus haut (Livre X, 
Chap. IV, § 1), on est immédiatement amené à la règle de 
M. Mallard. 

Nous avons vu qu'une substance dont la structure admettait un 
centre à l'état naturel avait encore un centre après une légère 
déformation; en sorte que, pour cette substance légèrement 
déformée, on a encore 

X = o, [JL = o, V = o. 

(') Ch. Friedel et J. Curie, 5m/- la pyro-électricité du quartz {^Bulletin de 
la Société miner alogique de France, t. V, p. 282; 1882). — 5m/- la pyro-élec- 
tricité dans la blende, le chlorate de sodium et la boracite (Jbid., t. VI, 
p. 191; i883). — Sur la pyro-électricité de la topaze (Ibid., t. VIII, p. 116; 
i885). 

(») E. Mallaud, Traité de Cristallographie, Vol. II, p. 171. 



394 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

Si l'on admet qu'un échauffement irrégulier produit seulement 
de petites déformations, on voit qu'un échauffement irrégulier ne 
pourra rendre cette substance pjro-éleclrique. On arrive donc 
ainsi à cette nouvelle règle : 

La pyro-électricité accidentelle ne se peut présenter que 
dans les substances hémiédriques privées de centre. 



CIIAP. V. — LES CRISTAUX PIKZO-lÎLECTRlQUES. SgS 



CHAPITRE Y. 

LES CRISTAUX PIÉZO-ÉLECTRIQUES. 



§ 1 — Dégagement de l'électricité par la compression de substances 

cristallisées. 

MM. Pierre et Jacques Curie (') ont montré que l'on pouvait 
obtenir un dégagement d'électricité sur les cristaux hémièdres non 
seulement par des variations de tempéiature, mais encore par des 
variations de pression. Leurs recherches sont devenues le point 
de départ de l'étude, aujourd'hui très étendue, des phénomènes 
piézo- électriques. Nous allons indiquer ici quelques principes 
théoriques qui permettent d'éclairer cette étude. 

Considérons un cristal à l'état naturel, et prenons pour axes 
de coordonnées trois droites rectangulaires quelconques O^, Oyi, 
OX^. La grandeur (à, jji, v) a, par rapport à ces trois droites, des 
composantes Xq, p^o> '^'o- Si le cristal est homogène, nous savons 
qu'il présente à son intérieur une polarisation uniforme ayant 
pour composantes 

Xo = — l|;(OiiXo-+- 0,2^0+ ÔisVo), 

(0 { l'''»0 = — ^(021X0-^ O22[-l0-^ 023 Vo), 

xO = Y^°=^'''»"^ 032[-«.a-H Ô33V0). 

Le cristal, mis en communication avec le sol, lorsque l'équi- 
libre électrique est établi, présente à sa surface une densité 

(2) ao= X(, cos(Ni-, x) H- 1)1)0 cos(N/,7) -^ SoCOs(N,, s), 



(") P. et J. Curie, Développement par compression de l'électricité polaire 
dans les cristaux hémièdres à faces inclinées {Bulletin de la Société de 
Minéralogie, t. III, p. 90; 1880). 



396 LitRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

(jiii masque, à l'extérieur, Feffel de la polarisation interne du 
cristal. 

Faisons subir au cristal une légère déformation. Soient 

()U r)U dV 
les composantes des dilatations suivanl les axes Oç, O/}, O^ et 



d\ àW 


àW àU 


dV 


d\ 


-+- ■ - t 


-+- — 1 






'K àr, 


di £^C 


&n 


■ ^f 



les composantes des glissements. Les quantités X, u, v d'un côté, 

et les quantités -~ d'un autre côté, varieront. Nous admettrons 

l'hypothèse simplificatrice suivante, qui semble suffisante pour 
l'étude des phénomènes piézo-électriques : 

Les variations des quantités "k, |jl, v sont grandes par rap- 
port aux variations des quantités -!'''• 

Imaginons, en outre, que la déformation imposée au cristal 
laisse ce cristal homogène; le cas où le cristal ne serait plus 
homogène conduirait, en général, à des considérations trop com- 
pliquées pour qu'il j ait intérêt à les développer. 

Nous aurons alors, à l'intérieur du cristal, une polarisation uni- 
forme ayant pour composantes 



(3) 



Cette polarisation exerce la même action extérieure qu'une 
couche électrique distribuée à la surface du cristal et ayant pour 
densité 

(4) a = — [al> cos(N/, 3") -h Ht, cos(N,-,j)-f- acos(N,,,3)]. 

Supposons que, pendant la compression, le cristal ait été main- 
tenu isolé et que sa substance soit très mauvaise conductrice de 
l'électricité. Pendant les premiers moments qui suivent la com- 



X 


= — 


Tf (5n 


À 


-+- Oi, 


I-^ 


-1- 


^13' 


'), 


Ilî, 


= — 


^(^21 


X 


-t- 02-2 


!^ 


- 


023^ 


>), 





= — 


^('^31 


X 


^032 


[i. -+- 


033 V)- 



CFUP. V. — LES CRISTAUX PIÉZO-ÉLECTRIQUES. 897 

pression, chaque élément de la surface du cristal conserve sensi- 
blement la charge qu'il portait avant la compression. Si l'on 
néglige la faible déformation de la surface du cristal, on peut 
dire que, dans les premiers moments qui suivent la compression, 
cette surface porte encore une couche électrique dont la densité 
en chaque point est donnée par l'égalité (2). 

L'action extérieure du cristal résultera donc de l'action de la 
couche électrique réelle dont la densité est donnée par l'éga- 
lité (2) et de l'action de la couche électrique fictive dont la den- 
sité est donnée par l'égalité (4)- Le cristal semblera donc recou- 
vert d'une couche électrique ayant pour densité 

!2i: =r ffo 4- 0- = (Jloo — <Â.) cos(N/, :r) 
— ('ift)o— lt50cos(N,-,7) 
H-(eo-a)cos(N,-, ^). 

Peu à peu, cette électrisation apparente se dissipera, car l'élec- 
tricité finira par prendre à la surface du cristal sa distribution 
d'équilibre qui masquera l'eff'et de la polarisation intérieure. 

Nous aurons 

, , , <9U , f9V , dW 
0\ dr, 1)^, 

d\ d\\\ , /à\Y à[J\ . fdV 



O'C, dr, j 






et des formxdes analogues pour jjl et v. La densité superficielle 
apparente S est alors la somme de trois termes semblables dont 
voici le premier 



l { L '^ç ^^j '-'s 



/â\Y dY\ WàU dW\ j (d\ d\}\-\ 



i-A~ 



012 






/dW dY\ /dV ()\\ \ /0\ 0[ \'\ 



/dW d\'\ /dV à\y\ (d\ dV\ 



"xo-n <kJ \'K ^\ I ' \ '^\ '^f, 



3«)8 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

On remarquera que les ([iianlités Xoi l*-oi "^o "e figurent pas dans 
cette expression; par conséc^iienl, pour qu'une substance puisse 
présenter les phénomènes piézo- électriques, il n^ est pas néces- 
saire qu'elle soit naturellement pyro-électrique. 

Mais, en revanche, une subslance ne peut présenter les phéno- 
mènes piézo-électriques que si les quantités /, m, n ne sont pas 
toutes nulles; en d'autres termes, pour qu'une substance puisse 
présenter les johénomènes piézo-électriques, il faut qu'elle puisse 
présenter au moins la pyro-électricité accidentelle. D'où celte 
nouvelle proposition : 

Les seules substances qui puissent présenter les phénomènes 
piézo-électriques sont les substances frappées dhine hémiédrie 
cjui les prive de centre. 

Nous allons étudier successivement la piézo-électricité d'une 
substance naturellement pyro-électrique, la tourmaline, et la piézo- 
électricité d'une substance accidentellement pyro-électrique, le 
quartz. 

§ 2. — Piézo-électricité de la tourmaline. 

C'est en étudiant la tourmaline que MM. Pierre et Jacques Curie 
ont découvert les phénomènes piézo-électriques (^). 

La tourmaline cristallise dans le système ternaire avec un mode 
d'hémiédrie tel que, l'axe ternaire et les trois plans de symétrie 
qui passent par cet axe étant conservés, le centre et les trois 
axes binaires sont supprimés. 

Plaçons l'axe des ^ suivant l'axe ternaire de la tourmaline. Si 
l'on se souvient (Livre X, Chap. IV, § 1) que, après une légère 
déformation, la grandeur (X, a, v) ne peut avoir de composante 
normale à un plan de symétrie de la substance à l'état naturel, si 
l'on observe que trois plans de symétrie passent par l'axe ternaire 
de la tourmaline, on voit que, dans une tourmaline, naturelle ou 
déformée, la grandeur (\, p-,v) sera dirigée suivant l'axe ternaire. 



(*) P. et J. Curie, Développement par compression de l'électricité polaire 
dans les cristaux hémièdres à faces inclinées {Bulletin de la Société de 
Minéralogie, t. III, p. 90; 1890). 



CHAP. V. — LES CRISTAUX PIÉZO-ÉLECTRIQUES. 899 

En d'autres termes, on aura 



(6) 



o, 



vo- 







d\y 
















)-t- «5 






)-^ 


/Ol] 


-+- 





D'ailleurs, l'ellipsoïde d'induction diélectrique sera évidem- 
ment un ellipsoïde de révolution autour de l'axe ternaire. Si l'on 
désigne par rs le coefficient principal d'induction diélectrique sui- 
vant cette direction, on voit sans peine que la polarisation appa- 
rente de la tourmaline sera dirigée suivant l'axe ternaire et aura 
pour grandeur 

Pour obtenir l'électrisation apparente de la tourmaline, on lui 
donnera, parallèlement à l'axe ternaire, une translation infiniment 
petite, proportionnelle à nT(v — Vq), et l'on attribuera à la densité 
superficielle en chaque point une valeur proportionnelle à la dis- 
tance normale en ce point de la surface primitive de la tourmaline 
à sa surface déformée. On donnera à cette densité le signe + ou 
le signe — , selon que, au point considéré, la surface déplacée sera 
extérieure ou intérieure à la nouvelle surface. 

L'une des extrémités de l'axe ternaire sera donc électrisée posi- 
tivement et l'autre négativement. 

Si l'on comprime une lame de tourmaline à faces parallèles, on 
voit facilement, par ce qui précède, que, pour une même orienta- 
tion de la lame, la charge électrique apparente de chaque face est 
proportionnelle à la pression exercée à la surface de la lame et 
indépendante de l'épaisseur de la lame. Cette loi a été trouvée 
expérimentalement par MM. P. et J. Curie. 

Si , après avoir comprimé la lame et l'avoir ramenée à l'état 
neutre, on la décomprime, elle prendra une électrisation appa- 
rente égale en grandeur et de sens contraire à celle que la com- 
pression lui avait fait prendre. Ce résultat est conforme à la fois à 
la théorie et à l'expérience. 



400 LIVRE XI. — LKS CORPS DIÉLECTRIQUES. 



§ 3. — Piézo-électricité du quartz plagièdre. 

Nous n'éliidierons les phénomènes piézo-électriques du quariz 
plagièdre que dans un cas particulier, celui que MM. P et J. Curie 
ont étudié expérimentalement. 

Nous supposerons que l'un des axes principaux de dilatation. 
O^, soit dirigé suivant Taxe ternaire du quartz; qu'un autre axe 
principal de dilatation, Ov), soit dirigé suivant un des axes bi- 
naires; le troisième axe principal de dilatation est, naturellement, 
normal aux deux autres. 

Dans ces condilions, les deux extrémités de l'axe ternaire du 
quartz ne se distinguent l'une de l'autre ni avant, ni après la 
déformation; nous sommes donc assurés que,' avant comme après 
la déformation, la grandeur (X, [a, v) n'admet aucune composante 
suivant l'axe ternaire du quartz, ce qu'exprime l'égalité 

(7) v==o. 

Pour connaître la forme des quantités ). , [ji, nous ferons la 
remarque suivante : 

Supposons que la dilatation suivant Ot, ait une valeur quel- 
conque — -1 mais que les dilatations suivant O^ et Or, soient 
égales entre elles, ce qu'exprime l'égalité 

âU _ OV 

Or ~ or^ 

Une semblable déformation conservera la symétrie du quartz, 
en sorte que, après une telle déformation, nous aurons 

). — O, [Jl ^= o. 

Cela exige que les quantités A, [jl soient de la forme 

(8) ' \ . -/ 

Le coefficient m sera évidemment le même pour un quartz droit 



CHAP. V. — LES CRISTAUX PIÉZO-ÉLECTRIQI'ES. 4oi 

OU un quartz gauche, tandis que le coefficient / changera de signe 
avec le sens du quartz. 

L'ellipsoïde de polarisation diélectrique est évidemment un 
ellipsoïde de révolution autour de l'axe ternaire du quartz. Si 
donc on désigne par rn le coefficient d'induction diélectrique 
dans une direction quelconque normale à l'axe du quartz, ou 
aura 



(9) 



c/ifl = — TU II -Ti 

lll) = — mm — - 

i ,1' 



\d( OrJ' 



\ fci = o. 



Voici comment MM. P. et J. Curie (') ont obtenu par l'expé- 
rlence des résultats conformes à ceux de la théorie précédente. 
Soit A, Al . . . { fig. 26) la coupe hexagonale, perpendiculaire à 




-% 



l'axe ternaire, d'un cristal de quartz; les diagonales telles que 
A, A', sont les axes binaires. INous supposerons que les som- 
mets Al, Ao, A3 sont ceux qui ne portent pas les faces hémié- 
driques s =^ (4i^). On taille dans ce cristal un prisme droit, dont 
la hauteur est parallèle à l'axe ternaire et dont la base mnin'ii' est 



(') P. et J. Curie, Développement par compression de l'électricité polaire 
dans les cristaux hémièdres à faces inclinées {Bulletin de la Société niinéra- 
logique, t. III, p. 90; 1880). — Phénomènes électriques des cristaux hémièdres 
à faces inclinées {Journal de Physique, p.* série, t. I, p. aj'); 1882). 

D. — II. 26 



402 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

un rectangle dont les côtés sont respectivement parallèles ou per- 
pendiculaires à l'axe binaire A, A',. 

j° On comprime ce prisme parallèlement à l'axe ternaire. 

Comme l'ellipsoïde d'élasticité du quartz est évidemment un 
ellipsoïde de révolution autour de l'axe ternaire, cette compres- 
sion entraîne 

Les égalités (9) donnent alors 

el, = o, ill> = 0, 3=0. 

A la suite de cette compression, le quartz ne se polarise pas, il 
ne présente pas d'électrisation apparente. 

2° On exerce sur les faces latérales mn, m' n' , une pression nor- 
male et uniforme. Soient 

S la surface latérale mn ; 
S' la surface latérale nn' ; 
P le poids comprimant. 

Si A", k' désignent deux coefficients qui dépendent de l'élasticité 
du quartz, on aura 

c)U _ P dY _ P 

Le quartz se polarisera; cette polarisation sera déterminée par 

les égalités 

!p 
<âa = — TjJ l( k -f- A"' ) ç- > 
O 

^ ' ■ 1)1) = — Tn/n(A'-r- A-')^, 



La face nn' portera une charge électrique apparente 

Q, = -t;tZ(Ah- A')P|-. 

La face mm' portera une charge apparente égale et de signe con- 
traire. La face mn portera une charge apparente 

(11) Qz=Tn77i{k-hk')P. 



CHAP. V. — LES CBISTAUX PIKZO-ÉLECTRIQLES. 4o3 

La face m' n' portera une charge apparente égale et de signe con- 
traire. 

D'après les recherches de MM. P. et J. Curie, la face nn' ne 
manifeste, dans ces conditions, aucune électrisalion appréciable. 

Le coefficient l est donc ou égal à o ou très petit. 

D'après les mêmes recherches, Q2 est positif 5 par conséquent, 
le coefficient m est positif. 

L'expérience et la théorie s'accordent à montrer que la charge 
Qâ est proportionnelle au poids comprimant et indépendante 
des dimensions du prisme. 

3" On exerce sur les faces latérales mm' , nn' une pression nor- 
male et uniforme. Soit P' le poids comprimant. On aura 

f/î ' S' 0., ' S' 

Le quartz se polarisera; comme l=o, d'après les expériences 
précédentes, cette polarisation sera déterminée par les équations 

X = 0, 

P' 

lll) — mm( /»• -I- /i ' ) -jTT » 



Les bases du prisme et les faces latérales mm', nn' ne porteront 
aucune charge apparente. La face mn portera une charge appa- 
rente 

(19.) Q; = -Tîim(Â-i-Â:')P'-g-. 

Cette charge sera négative, proportionnelle au poids com- 
primant et au rapport de la sur/ace latérale non comprimée 
à la sur/ace latérale comprimée; le coefficient de proportion- 
nalité a la même valeur 

rnm{k -^ k') 

pour les deux charges Q2 et Q^. 

Ces résultats ont été expérimentalement trouvés par MM. P. et 
J. Curie. 



4o4 LIVRE XI. — LES CORPS DIÉLECTRIQUES. 

M. Rontgen (') a fait, svir la piézo-électricité du quartz, une 
série de re.cherclies plus compliquées. Nous ne voulons pas nous 
attarder plus longtemps à cette étude; nous renverrons le lecteur 
curieux de nouveaux détails au Traité de Cristallographie de 
M. E. Mallard (2) et aux Mémoires de M. Rontgen. 



(') C.-W. Rontgen, JJeber die durch elektrische Kiàfte erzeugte Aenderung 
der Doppelbrechung des Quarzes ( Wiedemann's Annalen, t. XVIII, p. 2i3 et 
534; 1882). — Ueber die thermo-, actino- und piezoelektrischen Eigenschaften 
des Quarzes {Ibid., t. XIX, p. 5i3; i883). — Elektrische Eigenschaften des 
Quarzes {Ibid., t. XXXIX, p. 16; 1890). 

(") Mallard, Traité de Cristallographie, t. II, p. 555 et suiv. 



LIVRE XII. 

LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 



CHAPITRE PREMIER. 

LA PRESSION A L'INTÉRIEUR DES FLUIDES POLARISÉS. 



§ 1. — Condition d'équilibre diélectrique ou magnétique d'un fluide 

compressible. 

Nous avons déjà étudié (Livre IX, Chap. VIII) les conditions 
d'équilibre d'un fluide magnétique quelconque, parfaitement doux 
ou non, mais supposé incompressible. Nous allons maintenant re- 
prendre cette étude pour un fluide compressible quelconque, ma- 
gnétique ou diélectrique, mais parfaitement doux. 

Désignant par a- le volume spécifique en un point de ce fluide, 
par dv un élément de volume de ce fluide, nous admettrons que le 
potentiel thermodynamique interne de ce fluide à l'état neutre soit 
de la forme 



/ 



<1>((T) Jr. 



C'est admettre que l'état du fluide peut être déterminé sans 
qu'on ait à tenir compte de la position mutuelle de ses divers élé- 
ments; c'est, par conséquent, négliger dans cette étude hydrosta- 
tique les actions des pressions capillaires. C'est là une hypothèse 
([ue nous faisons non pas par nécessité, mais seulement pour abré- 



4o3 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

ger nos raisonnements; on pourrait se départir de cette hypothèse 
en suivant les méthodes que nous avons indiquées ailleurs (*). 

Nous admettrons également, pour simplifier notre étude, que 
le système ne porte aucune charge électrique; si nous ne faisions 
pas cette hypothèse, nous aurions à tenir compte des diverses 
pressions électriques, que nous pourrions déterminer comme 
nous l'avons fait dans un Mémoire spécialement consacré à cette 
étude (2). 

Nous admettrons enfin que notre fluide à l'état neutre est sou- 
mis à deux sortes de forces extérieures : 

1° Des forces appliquées à ses divers éléments de volume; ces 
forces ont pour potentiel la quantité 

V étant une fonction de x^ j', z finie, uniforme et continvie en 
tout point du fluide, et dont la forme ne dépend ni de la forme ni 
de l'état du fluide; telles seraient l'action de la pesanteur, l'action 
de plusieurs corps fixes soumis à la loi de la gravitation univer- 
selle. 

2° Des forces appliquées aux divers éléments de la partie défor- 
mable de la surface qui limite le fluide. Un élément <:/S de cette 
surface supporte une force P<j^S; P est la grandeur de la pres- 
sion en un point de l'élément â?S; la direction de la force Pc/S est 
la direction de la pression en un point de l'élément <iS. 

Ce fluide sera ou aimanté, et alors il sera soumis à l'action d'ai- 
mants extérieurs 5 ou polarisé diélectriquement, et alors il sera 
soumis à l'action de corps électrisés ou polarisés extérieurs; en 
toutes circonstances, ces corps extérieurs seront supposés d'état 
invariable. 

Nous allons étudier en détail, par une méthode que nous avons 
déjà employée dans une question analogue (^), les conditions d'é- 



(') P. DuHEM, Applications de la Thermodynamique aux phénomènes capil- 
laires {Annales de l'École Normale supérieure, i' série, t. II, p. 207; i885). 

(' ) P. DuHEM, Sur la pression électrique et les phénomènes électrocapillaires. 
i" Partie : De la pression électrique {Annales de l'École Normale supérieure, 
3« série, t. V, p. 97; 1888). 

(') P. DuHEM, Sur les dissolutions d'un sel magnétique {Annales de l'École 
Normale supérieure, Z" série, t. VII, p. 289; 1890). 



CIIAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISÉS. 407 

quilibre d'un semblable fluide; nous devrons faire cette étude 
avec d'autant plus de soin que nous en déduirons des conséquences 
complètement en désaccord avec celles qui ont été introduites dans 
la science par Maxwell. Dans un prochain Chapitre nous exami- 
nerons ces dernières et nous verrons pourquoi il est nécessaire de 
les rejeter. 

Le potentiel thermodynamique interne du système aimanté que 
nous considérons (nous parlerons sans cesse d'aimants, mais les 
raisonnements développés et les conséquences obtenues s'appli- 
queront aussi bien aux diélectriques) peut s'écrire 

-f = E(V— TI)-i-i)~-+- fri{DTL)di>. 

Dans celte formule, ^ est le potentiel magnétique du système. 
Les autres lettres ont la signification que nous leur avons con- 
stamment attribuée au cours de ce Volume. 

Ce potentiel thermodynamique interne ne figure jamais, dans 
aucune question, que par sa variation; il en résulte que l'on peut, 
sans inconvénient, supprimer tous les termes qui sont assujettis à 
demeurer constants. 

Supposons le système formé du fluide parfaitement doux con- 
sidéré et d'aimants permanents et invariables. 

La partie variable de E (V — TS) se réduira à 



/ 



*(C7)^P, 



l'intégration s'étendant au volume entier du fluide parfaitement 
doux. 

La partie variable du terme / rT(;)lL) Jt', où l'intégration s'é- 
tend à tout le système, se réduira à l'intégrale 



J 



.1 {DïL,!) dv, 



étendue au fluide polarisé; nous avons mis en évidence la va- 
riable 0- dont, évidemment, la forme de la fonction 5 {0%) dé- 
pendra en général. 

Enfin, si .A,, ill>, 3 sont les composantes de l'aimantation en un 
point du fluide; si O est la fonction potentielle magnétique au 



4o8 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

même point; si "Ç est la fonction potentielle magnétique des corps 
extérieurs, la partie variable de ^ sera 



^J II àx J \\ 



dx 



dv. 



Nous pourrons donc, en altérant seulement § d'un terme con- 
stant, écrire 



dv. 



(,) ,f= f^h)dv-^ fSiD\l',^)di^-^- riLl,^! dv+ fï\X^ 

J J '■* J H ^-^ I J W '^^ 

Si nous posons 

(2) Y{0]-L,<7) = -r^^ , 

l'état de polarisation du fluide dénué de force coercitive sera re- 
présenté par les équations 

x.= -Forc..)''<V^''', 

ox 



(3) { llb=-F(01L, a) 

f a=— F(01l, a) 



§ 2. — Condition d'équilibre mécanique du fluide polarisé. • 

Cherchons à quelle condition le fluide considéré pourra de- 
meurer immobile. ' 

Pour que V équilibre soit assuré, il faut et il suffit que, dans 
toute déformation virtuelle imposée au fluide, la variation 
éprouvée par le potentiel thermodynamique du fluide soit 
égale ou supérieure au travail effectué par les forces exté- 
rieures. 

Si l'on désigne par d<s>e le travail eff'ectué par les forces exté- 
rieures dans une modification élémentaire, cette condition s'ex- 



primera ainsi 


l§td^e 


ou 




(4) 


Si -^5,^0 



CHAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISÉS. 409 

Dans le cas particulier où la déformation virtuelle imposée au 
fluide est renversable, c'est-à-dire où l'on obtient une nouvelle 
déformation virtuelle en changeant tous les signes des déplace- 
ments que les divers points éprouvent dans la première, le signe 
d'inégalité doit évidemment disparaître de la condition précé- 
dente, qui devient 

(5) oS—dîLc — o. 

Le travail externe dîs,e est la somme du travail d^'^ effectué par 
les pressions que supporte la surface du fluide et du travail d^"^ des 
forces appliquées à ses divers éléments de volume : 

( 6 ) fl?(r c — f^G t — disl. . 

Nous avons d'ailleurs 

(7) dir.'c = V P [i< cos(P, ar) -t- ç'cos(P,7) -+- w cos(P, 2) ] <iS , 

u^ V, w étant les composantes du déplacement d'un point de 
l'élément dS et l'intégrale s'étendant à la partie déformable de la 
surface qui limite le fluide. 

Le travail d^"^ est la variation changée de signe du potentiel des 
forces extérieures, potentiel qui a pour expression 



W 



-/->'*■ 



Si u, ç, w sont les composantes du déplacement du point qui 
avait pour coordonnées initiales x^y, z, nous aurons 



(8) 



et, par conséquent, 



^ , /r)n ôv d»'\ , 
orfc — u H , eir, 

\ ilr i)vr f)-. / 



().r à y ùz j 
.^ du de d\v 
\ d.r dy ôz 



\ fdW d\ d\ 



( 9 ) C?C". — — OW = / - ( T- " -i- V- '' + V- <*' ) d^' 

J 1 \dx oy OZ I 

Les égalités (6), (7), (9) nous fournissent l'expression complète 
de dls)e. 

Calculons maintenant la variation 8# subie par le potentiel ther- 
modynamique interne du fluide. 



4lO LIVRE XII. - LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLAlUSÉS. 

D'après l'égalité (i), on peut écrire 
(lo) oi=A + B + G, 

les trois quantités A, B, C ayant les significations suivantes 



(II) 



A = ô / * {<j)dv, 



dx 



i^/ 



&0 

dx 



dv. 



Calculons successivement les trois quantités A, B, C. 

1° Calcul de A. — Le calcul de A est facile. D'après les éga- 
lités (8), on a 

2" Calcul de B. — Supposons que, dans la déformation du 
fluide, chaque élément entraîne avec lui son aimantation sans que 
celle-ci change de grandeur ni de direction; DIL demeurera alors 
invariable, et, d'après les égalités (8), on aura simplement 



(i3) 



-y[^f(orL, 



^) 






]( 



du 
dx 



dv d(v'. 
dy ' dz 



3° Calcul de C. — La quantité dont C est la variation dépend 
uniquement de la forme du fluide et de l'aimantation de chaque 
élément de volume. Donc, pour calculer C, on peut calculer la 
variation subie par la quantité en question dans une série quel- 
conque de modifications amenant les éléments dont il s'agit du 
même état initial au même état final que la modification consi- 
dérée. 

Soient 

V {fig- 27) le volume occupé par le fluide avant et après la modi- 
fication ; 

V, le volume qui était rempli par le fluide avant la modification 
et ne l'est pas après; 

V2 le volume qui n'était pas rempli par le fluide avant la modifica- 
tion et l'est après. 



CHAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISÉS. 4m 

Il est aisé de voir que, en négligeant les infiniment petits 
d'ordre supérieur, la modification considérée pourra être regardée 
comme résultant des modifications suivantes : 

i" En chaque point du volume V-f- Vj, on donne à X, Db, 3 
les variations 



Or-jlo = ( — — U 

\ ax 






dx 

dx 



ày 

dy 



dz 

'àz' 
'ôz 



2" On supprime ce qui se trouve à l'intérieur du volume V, . 

Fig. 27. 




3° On remplit le volume Vo par une masse de fluide aimanté 
dont l'aimantation, en chaque point, ait sensiblement même gran- 
deur et même direction qu'aux points du volume V infiniment 
voisins de celui-là. 

On a alors 



(14) 



G'-f- C"+ G" 



G', C, C" étant les quantités analogues à C relatives à ces trois 
modifications partielles. 

Si le volume et la forme du fluide demeurent invariables et si, 
en même temps, .X,, ill>, 3 subissent des variations quelconques 
B-jI), 8\)î), 03, on sait que la quantité 



/ 



dx 



clv 



-U' 



a.> 



dx 



dv 



4l2 LIVRE XM. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

subit une variation 



I\ 



dx 



OaAa. 



On a donc 



c)(t') + -C)) dA. di'O ^- 't?) d\t, d{'0 H- t?) dS 



I u 



(i5) 



L cij7 c^K ày dy dz dy J 

d{-0^ V ) ().Ao () fl') + -0 ) (^ »lî. (? ( t) -^ \'^ ) èia "1 

'>2 J 



[ 



ûx 



^/ 



d^ 



d3 



^i;. 



Si l'on désigne par ûfSj l'un des éléments de la surface S qui 
confinent au volume V,, on verra facilement que 



(i6) 



C"=- 



S 



Ox 



u cos(N/, x) ]| o?Si, 



N, étant la normale à la surface S vers l'intérieur de cette sur- 
face. 

De même, si d'^^ désigne un élément de la surface S contigu au 
volume V2, on aura 



(17) 



G"'= 



olo 



<)(V)^-■C>■ 



ôx 



!1 u cos(N;, x) Il c^Sj. 



Les égalités (3) donnent 



(18) 



(19) 



dx 
ôx 



ôx 



ày 



ôx 



ôx 



1 ôx ôy ôy dy dz dy 

f ô{V^-K^) ÔX , d(t)-f-t:)) f)iii, ^ t)(0 + -C)) 03 

dz 'dz 



[ dD]h^ 

:>.V[D{1, a) dx 

I d;)]U 



•^F^JlL', a) ôy 

I (J;)1L2 



) dx dz dy dz ' dz 

D'après l'égalité (2), on a 

/ I dDïi'^ _ a j'(;)rL,(T) _ drfiD\l,(j) ô^ 

l '2 F (Ole, (7 ; ôx ôx ôa dx 

I (J;)Il2 _ àri(D]h, J) _ à^{DVu,<y) Ôa^ 

2F(01l,cr; dy ~ dy du dy' 

I àOM'' _ a.f(DlL,g) _ à ^(;)\l,g) ^ 

•2[<\JIL,it; c»^ ôz di ôz 



■i F ( J11 , a ) (^2 



(20) 



CHAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISÉS. 4! 3 

Les égalités (i4), (i5), (i6), (17), (18), (19) et (20) donnent 



IS 



p.^|-^^ ^. [" cos(N,-, a;) 4- ^' cos(N/, y) -h w cos(N,-, z)\ 

Une intégration par parties permet, enfin, de donner à cette 
égalité la forme suivante : 



-/ 



^ [ ■^— U -i (' -i- -— (V I «(' 



< '^ ï ) I + § p/-^p^ . — ^' ('^r^ , cr) [ « fos (• N/, ^) -1- p CCS ( N,-, j) -i- iv ces ( X/, 5)] c?S 

Nous allons maintenant écrire que, dans toute modification du 
fluide où chaque élément se déplace en gardant une aimantation 
invariable de grandeur et de direction, on a, conformément à 
l'inégalité (4) et à l'égalité (10), 

( 22 ) A + B -t- C — dïBe = o- 

§ 3. — De la pression à l'intérieur d'un fluide polarisé. 

Imaginons d'abord la modification suivante : 
A l'intérieur du fluide on trace une surface canal infiniment 
déliée, de section w, ayant pour directrice une courbe fermée /. 
A chacun des éléments du fluide compris à l'intérieur de cette 
surface canal, on donne une translation 5/, ajant pour tous la 
même grandeur et parallèle, pour chacun d'eux, à la tangente au 
point infiniment voisin de la directrice. Dans une semblable mo- 
dification, le volume de chaque élément demeure invariable. On a 

donc 

du ôv ùiv 
ox oy Oz 

en tout point du fluide. Nous supposons, en outre, que les molé- 
cules fluides infiniment voisines de la surface demeurent immo- 



4l4 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

biles, en sorte que l'on a, en tout point de la surface S, 



M = o, f = o, 



Ces dernières égalités ont encore lieu pour tout point extérieur 
à la surface canal. En tout point de la surface canal, on a 

.. = * 8/. 

Dans ces conditions, l'égalité (7) donne 

dH'g = G ; 
l'égalité (9) donne 

,1 <T dl 

l'intégrale s'étendant à la directrice de la surface canal. 
L'égalité (6) donne alors 

,^ ., r I d\ .. 

,' ^ dl 

L'égalité (12) donne 

A = o. 

L'égalité (i3) donne 

B = o. 

Enfin l'égalité (21) donne 

^ ., rdi(^L,<^) da 

C = — co 0/ / ^ -TV dl, 

J d<7 dl 

l'intégration s'étendant à la directrice de la surface canal. 

La modification considérée étant renversable, l'inégalité (22) se 
change en une égalité qui s'écrit 



/[ 



ô(j dl <j dl \ 



Cette égalité doit avoir lieu quelle que soit la courbe fermée 
tracée à l'intérieur du fluide qui sert de directrice à la surface 
canal. Il doit donc exister une fonction de .2:, JK, z, finie, continue 



CHAP. I. — PRESSION DES FLLIDES l'OI.AIllSÉS. 4l5 

et uniforme à l'intérieur du fluide, dont 

soit la dififérentielle totale. 
Si la quantité 

; r(<j H (l\ 

est la différentiel le totale d'une fonction uniforme, finie et conti- 
nue des coordonnées, il en sera de même de la quantité 

rfT H — d\ -h d 



du moins, si le fluide ne renferme aucune surface le long de la- 
quelle son aimantation ou sa densité varient d'une manière dis- 
continue. Nous arrivons donc à la conclusion suivante : 

// existe une /onction II, uni/orme, finie et continue à l'in- 
térieur de toute région où le fluide est continu, telle que l'on 
ait 

( i3 ) ; d^ -+- d V- - d\ = d\\. 

^ ' âd r(JIC,a) ff 

(jC premier résultat permet de modifier la forme de l'inéga- 
lité (22). 

Il en résulte, en effet, que la somme du terme 

r d :y ( r)ïi; (t) / 07 d<j ds 

J âa \ojr oy oz 

qui figure dans C d'après l'égalité (20) et du terme 

qui figure dans ( — d^e) , d'après les égalités (G) et (9), peut 
s'écrire 

r\ à [ D]u 1 



4l6 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

OU bien, par une intégration par parties, 

-J LFr^iv;^)""JU-"57"-^;^^' 

— S F( Jii j) "" [u cos(^i, X) -+■ V cos{î^i,y) -h w cos (7^ i, z)]dS. 

Ce résultat, joint aux égalités (6), ('^), (9), (12), (i3) et (21), 
permet de donner à l'inégalité (22) la forme suivante 

— V P[?<cos( P,^) -+- t' cos(P,jk) -f- (1^ cos(P, ^) ] f/S 
+ C U[u co'i(Ni, X) A- V cosi'Si, y) -h (v co.s(N/, 5)] c/S 

Imaginons maintenant que le fluide éprouve une déformation 
quelconque dans laquelle chaque particule conserve un volume 
invariable. On aura alors, en tout point, 



()ii. t)v dw 
dx dv dz 



Supposons qu'aucune cavité ne se soit creusée dans le fluide pen- 
dant cette déformation. La modification considérée sera renver- 
sable. On devra donc, d'après la condition (4), avoir dans ce cas 
l'égalité 

( V P[mcos(P, ar) -f-pcos(P,^) -}- w cos(P, ^) ] (3?S 

f — V n[u cos(N{, x)-{- V cos(N,-,jk) -1- w cos(Nj, z)] dS = o. 

Dans cette égalité, les quantités u, ç, w ne sont pas absolu- 
ment arbitraires; m-ais elles sont assujetties seulement à laisser 
invariable le volume limité par la surface S, ce qui s'exprime par 
l'égalité 

(26) ^ [" cos(Nj, x) -h f cos(N,-, J-) -H iv cos(\j, z)] dS = o. 

Dès lors, d'après un théorème connu du calcul des variations. 



CHAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISÉS. 417 

il doit exister une quantité G, ayant la même valeur en tout point 
de la surface S, telle que l'on ait 



S 



• [Pcos(P, a:) — (II — G)cos(N/,ar)]M 

+ [Pcos(P,j')-(n-G)cos(N,-,jK)]i' 
-^[Pcos(P, ^) — (n — C)cos(N,-, z)\w[dS = o, 



quelles que soient les quantités ?/, ç, iv. 

En d'autres termes, on doit avoir en tout point de la surface S 

( Pcos(P,:r) = (n — C)cos(N,-, ;r), 

(27) Pcos(P;7)=.(n-C)cos(N,-,^), 
( Pcos(P, x;) = (n — C)cos(N,, ^). 

Si la pression P n'est pas égale à o, ces égalités donnent 

cos(N/, a") _ cos(N,-, •k) cos(N,-, 5) 
CCS (P, 37) ~ cos(P,_y) ~ COS(P,^j* 

Donc, pour l'équilibre du fluide, il faut que toute pression 
qui n'est pas égale à o 50^7 normale à l'élément de surface 
sur lequel elle agit. 

Jusqu'ici nous regardions la grandeur P comme vme grandeur 
non susceptible de signe; maintenant comptons positivement la 
pression lorsqu'elle est dirigée vers l'intérieur du fluide et négati- 
vement dans le sens contraire. Moyennant cette convention, les 
égalités (27) deviendront 

(28) P + n = G. 

L'excès de la pression sur la valeur de la fonction U a la 
même valeur en tout point de la surface déformahle du fluide. 

Supposons maintenant que le fluide éprouve une déformation 
dans laquelle chaque élément conserve un volume invariable, en 
sorte que l'on ait en tout point 

du dv dw 

dx ùy dz ' 

mais que le fluide se creuse de cavités. Ces cavités sont creusées 
autour des points A, , Aj, A3, Elles ont, au début de la modi- 
fication, des volumes nuls, et, à la fin de la modification, des 
D. — II. a; 



4l8 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

volumes C2), Qg, Û3, .... La surface déformable S du fluide se 
compose de la surface S qui le limite extérieurement et des sur- 
faces S|, Sa, S3, . . . qui limitent les cavités. 

Les pressions P ne sont appliquées qu'à la surface S. Il n'y a 
pas de pression extérieure appliquée aux divers éléments des sur- 
faces S,, Sa, S3, 

La fonction H est continue; tous les points de la surface S) 
sont infiniment voisins du point A| ; donc, en tout point de la 
surface S,, la fonction II a sensiblement la valeur II, qu'elle a au 
point A,. Les surfaces Sa, S3, ... donnent lieu à des considéra- 
tions analogues. 

La modification considérée n'étant pas renversable, on devra, 

dans la condition (24), conserver le signe d'inégalité, et cette con- 
dition deviendra 

— V P [« cos(N/, 37) -f- V cos(Ni, jk) + w cos(N/, z)] dl, 

-h ^n[ucos{Ni,x)-h i^ cos{Ni,y)-i- iv cos{Ni,z)]dI. 

-{- IIi V [a cos(N/, x)-\-v cos(N/, j) + w cos(N;, ^)] dl,i 

-I- Ha X [u cos(Nj, x) -h v cos(Nj,_y) -+- w cos(N,-, z)] d'^^ 



L'égalité (28), invoquée à son tour, transforme cette condi- 
tion en 

I —G V [ii cos(N,-, 37) + f cos(i\/, j') -t- w cos(Nj, ^)] c?S 



(■^9) 



El Q [;icos(Nj, :r) -f- p cos(N/,jk) -i- w cos(N/, z)] dl.^ 
n2 Q [acos(N,, a7)-t-pcos(N/, j)-f- tv cos(Ni, 2)] r/Eî 



\ + ^o- 

La normale N/ étant la normale dirigée vers l'intérieur du fluide, 
on voit que 

V [acos(N,-, .r) + pcos(N;, j) -f- w cos(N;, ^)] c^Sj 
représente l'accroissement subi, durant la modification considérée. 



 



CHAP. I. — PRESSION DES FLUIDES POLARISÉS. 419 

par le volume qu'enferme la surface S, . Or ce volume, nul au début 
de la modification, est égal à Qi à la fin. On a donc 

X [mcos(N,-, a?) -+- V cos(N;,_7') -+- w cos(N/, z)] dl.i= Qi; 

on a de même 

V [ucos{Ni,x) -+- V cos(N,-,j)-+- (V cos(N/, ^)]^S2 = Qi, 

D'autre part, le volume enfermé par la surface S augmente de 

On a donc 

— V [ucosCNijCc) -t- V cos(N,-,jK) -+- w cos(N/, :;)] dZ = Qi-^ Q^-^ 

Moyennant ces égalités, la condition (29) devient 

(ni + G)Q,-H(n2+G)Û2 + ...>o. 

Les points A,, Ao, . . . sont des points quelconques situés dans 
la masse du fluide. Les volumes Q,, Qoj ••• des cavités sont des 
quantités nulles ou positives quelconques. L'égalité précédente 
entraîne donc cette nouvelle proposition : 

La quantité (Il + C) ne peut être négative en aucun point 
dujluide. 

Appliquons ce résultat aux points de la surface même du fluide, 
en remarquant que, pour ces points, d'après l'égalité (28), on a 

P = nH-G, 

et nous arriverons à la conclusion suivante : 

Pour V équilibre dujluide, il faut que toute pression exté- 
rieure qui n^ est pas égale à o soit dirigée vers V intérieur du 
fluide. 

La quantité (Il + C) n'est jamais négative; elle est égale à la 
pression extérieure P en tout point de la surface qui limite le 
fluide. Nous la désignerons par la lettre P et nous la nommerons 
\di pression au point {x,y, z) intérieur au fluide. Nous verrons 



420 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

tout à l'heure de quelle définition mécanique cette quantité est 
susceptible. 

Envisageons, en dernier lieu, une modification quelconque où le 
fluide ne se creuse pas de cavités, mais où chaque élément subit 
une variation quelconque de volume. La modification étant ren- 
versable, -la condition (24) se transforme en une égalité qui peut 
s'écrire, en vertu de la relation (28), 

— C V [ a ces ( N/, 07 ) + p CCS {Ni,y) -\- IV cos( N,, z )] dS 



-/! 



^[a*(a) + a.f(^I,a)] ''^^^' 



/ du di> dw ' > 
\ dx dy Oz 



Mais on a 

^[mcos(N,-, a7) + Pcos(N/, y) + wcos(Ni, z)]dS = -j(j^ -^ 1^ ^\ dv. 
Si l'on se souvient qu'on a, par définition, 



P=n + G, 



on voit que la condition d'équilibre peut s'écrire 



/! 



^[acï>(a) + .g'^(J1L,a)]- ^/:;; ,. + P ^ ("£ + £ + ^^ ) ^. 



1 — 


0112 

F(OIL, a 


->^ 


P| 


1 (au 
)\dx 


dv 


dw' 

-^Tz, 


du 

dx 




dw 
'di 











Or la quantité 



est une fonction arbitraire de ^, JK? ^ i ^^ quantité entre accolades 
est une fonction continue de x^y. z\ dès lors, on voit aisément 
que l'égalité précédente exige que l'on ait, en tout point de la 
masse fluide, 

(3o) -^[a*(<T)-f-cr.f(^)li, a)]-^P- '^'^' 



Ces résultats obtenus, considérons une masse fluide polarisée 
en équilibre. Soit S la surface qui la limite. Isolons-en une par- 
tic A, soit {Jig- 28) par une surface fermée 2, tracée en entier à 
l'intérieur de la surface S, soit {fig- 29) par une surface S for- 
mant une surface fermée avec une portion Sj de la surface S. 



ClIAP. 1. — PRESSION DES FLUIDES POLARISÉS. 421 

Soit B ce qui reste de la masse fluide lorsqu'on supprime la 
masse A. 

La masse entière étant en équilibre, l'aimantation distribuée 
sur la masse B a, au point (^, J^, z) de la masse A, une fonction 
potentielle magnétique ■^^{x, y, z). Il est toujours possible de 
trouver des aimants qui ne soient pas en contact avec la masse A 
et qui aient aux divers points de cette masse la même fonction 
potentielle magnétique ij? (j:, jK, s) que la masse B. Nous les nom- 
merons les aimants équivalents à la masse B. 



Fiar. 28. 



Fig. 29. 





Supprimons la masse B. Supposons la masse A soumise : 

1° A l'action des forces extérieures dont la fonction potentielle 
estV; 

2° A l'action des aimants qui agissaient sur l'ensemble des 
masses A et B; 

3" A l'action des aimants équivalents à la masse B. 

L'aimantation d'équilibre de la masse A, placée dans de telles 
conditions, sera évidemment identique à l'aimantation que pré- 
sentait cette même masse dans le système primitif. 

Si l'on applique à la surface Si les pressions qu'elle supportait 
dans le système primitif; à la surface S une pression normale en 
tout point à cette surface, dirigée en tout point vers l'intérieur 
du fluide A, et égale en tout point à la valeur que, dans le sys- 
tème primitif, la quantité P avait en ce point, la masse de fluide A 
demeurera en équilibre. 

En effet, il existera une fonction II uniforme, finie et continue 
à l'intérieur du fluide A, telle que l'égalité (aS) soit vérifiée en 
tout point de ce fluide; ce sera la même fonction II que dans le 
système primitif. 



4^2 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

D'après la définition même de la quantité P, on aura, en tout 
point de la surface qui limite la masse A, l'égalité 

(28) P — n^G, 

C ayant la même valeur que dans le système primitif. 

Gomme la quantité (Il H- G) n'était négative en aucun point de 
l'ensemble des masses A et B, elle n'est négative en aucun point 
de la masse A. 

Enfin l'égalité (3o) continue à être vérifiée en tout point de la 
masse A, puisque aucune des variables qui y figurent n'a changé de 
valeur par la suppression de la masse B. 

On voit donc que l'application à la surface S de pressions dont 
la valeur est P en chaque point remplace la liaison qu'imposait à 
la masse A la présence de la masse B. Ainsi se trouve justifié le 
nom àe pression à l' intérieur du fluide donné à la quantité P. 
Ge qui précède montre que ce mot a bien ici la signification que 
Lagrange lui attribue dans la Mécanique analytique (' ), signifi- 
cation que trop peu d'auteurs ont comprise. 

§ 4. — Changement de volume d'un fluide polarisé. 

Lorsqu'un fluide n'est pas aimanté, on a, en tout point de ce 

fluide, 

310 = 0, c^(OrL,a) = o. 

L'égalité (3o), qui doit toujours avoir lieu en tout point de ce 
fluide, devient alors 

(3.) ^[,<î.(a)]-^P=.o. 

Le premier terme du premier membre est une fonction du vo- 
lume spécifique o- au point considéré; cette équation est donc la 
relation qui lie le volume spécifique o" en chaque point du fluide 
non polarisé à la pression en ce point; c' est V équation de com- 
pressibilité du fluide non polarisé. 



(') P. DuHEM, Cours de Physique mathématique et de Cristallographie de 
la Faculté des Sciences de Lille : Hydrodynamique, Élasticité, Acoustique, 
Livre V, Chap. III; Paris, 1891. 



CHAP. I. — PRESSION UKS h'LLIDKS POLARISÉS. 4'^3 

Quand, au contraire, le fluide est polarisé, l'équation de com- 
pressibilité est remplacée par la relation (3i) qui lie entre elles 
les valeurs prises, en chaque point du fluide, par le volume spé- 
cifique, la pression et l'intensité de polarisation. 

Ce résultat met en évidence une vérité fondamentale : c'est que, 
dans un fluide polarisé, le volume spécifique en chaque point 
ne dépend pas uniquement de la pression au même point. 

On admet en général, sans démonstration, que, dans un fluide 
de température déterminée et de nature déterminée, la densité est 
liée à la pression par une relation qui demeure la même de quelque 
manière que la pression soit engendrée. 

Nous avons vu (t. I, p. 355) que l'exactitude de cette proposi- 
tion était subordonnée à une condition. Cette condition est vé- 
rifiée (') dans le cas particulier où chaque élément est défini 
exclusivement par des paramètres qui lui sont propres, cas auquel 
aucune force intérieure n'agit dans le système. Elle est encore 
vérifiée dans le cas où les seules forces intérieures au système 
sont les forces dues à la gravitation universelle; mais elle n'est 
pas vérifiée en général. Aussi, dans chaque cas particulier, doit-on 
déterminer directement la loi qui définit le volume spécifique. 

Nous avons, à plusieurs reprises, indiqué la méthode qui per- 
met de le faire; nous -avons appliqué cette méthode d'abord aux 
fluides soumis aux seules actions capillaires (2), puis aux fluides 
qui sont soumis non seulement aux actions capillaires, mais en- 
core aux actions électrostatiques (*). 

C'est cette méthode qui nous permet maintenant de déterminer 
les lois suivant lesquelles varie le volume spécifique d'un fluide 
polarisé. 

Considérons un point d'un fluide polarisé ; en ce point le volume 
spécifique est a-, la pression P, l'intensité d'aimantation Oit, et l'on 



(') P. DuHEM, Cours de Physique mathématique et de Cristaltographie de 
la Faculté des Sciences de Lille : Hydrodynamique, Élasticité, Acoustique, 
t. I, p. 72; Paris, 1891. 

(») P. DuHEM, Applications de la Thermodynamique aux phénomènes ca- 
pillaires {Annales de l'École Normale supérieure, 3" série, t. II, p. 207» 
i885). 

(') P. DuHEM, Sur la pression électrique et les phénomènes électrocapil- 
laires. I" Partie ; De la pression électrique {Annales de l'École Normale su- 
périeure, 3" série, t. V, p. 97; 18S8). 



4^4 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

a, d'après l'égalité (3 1), 

Pour que le volume spécifique eût la même valeur en un point 
intérieur au fluide non polarisé, il faudrait que la pression eût, en 
ce point, une valeur P' qui serait, d'après l'égalité (3i), 

La comparaison des deux égalités que nous venons d'écrire donne 

(32) p'_p^i^[^^(0]v, a)]- ^'^' 



â<7^ ^ ' 'J F(yrL, a) 

Ainsi, pour obtenir le volume spécifique en chaque point d^un 
fluide aimanté, on peut faire usage de la loi de compressihililé 
du fluide non aimanté, mais à la condition d'augmenter la 
valeur de la pression à V intérieur de ce fluide d'une pression 
fictive donnée par l'égalité (32). 

On sait que l'on a 

On a donc 

1 ,f (SU, ,) = - r'" ,,,f ^ -J^-^-^> *,ii . 

ôi ^ ' > J^ F(Jk, a-)J2 o<j 

D'autre part, on sait [Livre IX, Ghap. V, équation (lo)] que 
l'on a 

la quantité ^(Oîi, u) étant positive pour tous les corps magné- 
tiques. 

D'après ces deux relations, l'égalité (32) peut s'écrire 

(33) F-P=_W(3II,.,-,| __l.lï:__ __LI^>rf3IV. 

Le second membre est la somme de deux termes ; le premier est 



CHAP. I. — PRESSION DES FLIIDES POLARISÉS. 423 

négatif pour tous les corps magnétiques; le signe du second n'est 

pas connu ; si l'on néglige la quantité -~ — devantFi^DïL, <t) 

on pourra négliger le second terme devant le premier. (P' — P) 
sera alors certainement négatif. Ainsi, pour obtenir le volume 
spécifique en un point d'un fluide aimanté, on peut, dans les con- 
ditions que nous venons d'indiquer, se servir de la loi de com- 
pressibillté valable pour le fluide non aimanté; mais on doit rem- 
placer la pression qui s'exerce réellement au point considéré par 
une pression fictive plus faible. On en conclut immédiatement la 
proposition suivante : 

Le volume spécifique en un point cV un fluide polarisé est su- 
périeur au volume spécifique qu offrirait le même fluide non 
polarisé sous une pression égale à celle qui règne en ce point. 

La loi de cette dilatation est facile à trouver. 

Soit C le coefficient de compressibilité du liquide non polarisé. 
Soit 5 le volume spécifique du liquide non polarisé sous la pres- 
sion P. Le volume spécifique or du liquide polarisé sous la pression 
P est identique au volume spécifique que prendrait le liquide non 
polarisé sous la pression P'. On a donc 

ill^=C(P'— P), 

5-0 étant le volume spécifique du fluide non polarisé sous une pres- 
sion égale à o. 

Remplaçons (P'— P) par sa valeur (33), en négligeant le se- 
cond terme devant le premier, et nous aurons 

Adoptons l'approximation de Poisson; soit k {^) le coefficient 
d'aimantation du fluide dont le volume spécifique est o-; nous au- 
rons 

et, par conséquent, 

a — * cm 2 

(30 



La pression demeurant la même en un point d'un fluide, 



426 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

lorsque ce fluide passe de l'état neutre à Vétat de polarisa- 
tion, il se produit en ce point une dilatation qui est : 

1° Proportionnelle au coefficient de compressibilité du 
fluide; 

2° P roportionnelle au carré de V intensité de polarisation; 

3° En raison inverse du coefficient de polarisation. 

Supposons le fluide peu magnétique, et soit J l'intensité du 
champ dans lequel il est placé. Nous aurons alors 

Oit = A(ff)J 

et, par conséquent, l'égalité (34) deviendra 

(35) lz:i = G_Al^j2. 

CTo 'X 

La dilatation considérée est alors proportionnelle : 
i" Au coefficient de compressibilité du fluide ; 
2° Au coefficient d'aimantation du fluide ; 
'à" Au carré de l'intensité du champ. 

La dilatation des liquides diélectriques par l'effet de la polari- 
sation a été constatée par M. Quincke et M. Rontgen, 

Un fluide soumis à une polarisation magnétique ou diélectrique 
demeure toujours isotrope; on ne saurait donc expliquer par des 
déformations ici étudiées la double réfraction qui se manifeste, 
d'après les expériences de M. Kerr, dans les diélectriques pola- 
risés. 



CHAP. II. — PRESSION DES SOLIDES POLARISÉS. 427 



CHAPITRE IL 

LES PRESSIONS A L'INTÉRIEUR DES SOLIDES POLARISÉS. 



§ 1. — Conditions d'équilibre d'un solide primitivement isotrope, 
peu déformé et polarisé. 

Après avoir étudié les conditions d'équilibre d'un fluide pola- 
risé, nous allons, par une voie analogue, chercher les conditions 
d'équilibre d'un solide polarisé. Mais, au lieu d'aborder le pro- 
blème dans toute sa généralité, nous nous bornerons à considérer 
un solide qui, soustrait à toute force extérieure et à toute action 
magnétique, serait isotrope, et auquel des forces extérieures et 
des actions magnétiques ont imposé de très petites déformations. 

Considérons tout d'abord le solide dénué de toute polarisation 
magnétique, mais conservant exactement l'état qu'il présente dans 
le système que nous voulons étudier. Son potentiel thermodyna- 
mique interne a, dans ces conditions, une valeur qui est fournie 
par la théorie de l'élasticité. Soient 

U, V, w 
les composantes du déplacement subi, à partir de la position qu'il 
occupait dans l'état naturel, par le point (^,JK, z) du solide. Le 
potentiel thermodynamique interne du solide non polarisé aura 
pour expression (*) 

(') G. Green, On the laws of reflexion and refraction of light at the 
common surface of two non crystallized média ( Transactions of the Cam- 
bridge Philosophical Society, i838. — Papers of G. Green, p. 245). — P. Du- 
hi:m, Hydrodynamique, Élasticité, Acoustique. Livre V, Chap. II; Paris, 1891. 



/faS LIVUK XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

)v et [A élant deux constantes positives qui caractérisent la nature 
du corps, et l'intégration s'étendant au volume entier du corps. 
La quantité Q dépend seulement de l'état naturel du corps. 

Pour obtenir le potentiel thermodynamique interne du corps 
polarisé, il faut joindre au terme précédent deux autres termes ; 
le premier terme a pour valeur (Livre X, Chap. IV) 

r ,. , /di] dY d\\\ , ô\y-] ^, 



(a) 



\dx oz j 

/, g, h sont trois fonctions de l'intensité d'aimantation OlL, qui 
se réduisent à trois constantes si l'on admet l'approximation de 
Poisson. 

Le second terme est le potentiel magnétique. Si l'on désigne 
par 13 la fonction potentielle magnétique du corps considéré, et 
par "C la fonction potentielle magnétique des aimants extérieurs, 
ce potentiel a pour valeur 



^ = 5/11-^^1"-/ 



dx 



dv. 



Nous admettrons en outre que le système est soumis à certaines 
forces extérieures; les unes seront appliquées aux divers éléments 
de volume du corps solide étudié; si p désigne la densité en un 
point de l'élément dv, nous désignerons par 

pX<^<', pYf/r, ^Z dv 

les composantes de la force qui sollicite l'élément dv, les autres 
sont appliquées à la surface S qui limite ce solide; nous désigne- 
rons par PûfS la grandeur de la force appliquée à l'élément c/S. 

Donnons au solide une déformation infiniment petite. Soient 
u, V, w les composantes du déplacement du point {x,y^ z)] les 



CHAP. II. — PRESSION DES SOLIDES POLARISÉS. 429 

forces extérieures effectuent un travail qui a pour valeur 

(4) d^e= rp(X« + Yp+Z(i')rfi' + Cp||MCOs(P, a?)|lrfS, 

la première sommation s'étendant au volume entier du solide et la 
seconde à la surface qui le limite. 

Dans le déplacement considéré, les quantités U, V, W subis- 
sent respectivement des variations m, v^ w. Le terme du potentiel 
thermodynamique interne donné par l'égalité (i) subit une varia- 
tion 

J \\àx dy dz ) \dx dy dz / 
/dV du dW dv_ dW dw\ 
' \dx dx dy dy dz dz ) 

'^^W'd^ ^ dy )\dz^ dy) ^ \d^'^' dz) \ôi '^ d^ ) 

'^[dy ^d^) [djr '^à^)\ 

2j ( \àx dy dz I Wdx j \dy j \dzj J 

\\dz dy J \dx dz J \dy dx J \\ 

On sait que 

^ _ /du dv dw 
\dx dy ' dz 

On voit donc que, dans l'expression de A, l'élément sous le 
signe / de la première intégrale est de l'ordre de 

àllàu 
dx dx 

ou de 

U u dv, 

tandis que l'élément sous le signe / de la seconde intégrale est de 
l'ordre de 

\ dx / dx 

OU de 

D'^udv. 



dv 



400 LIVRE XII. — LES DEFORMATIONS DES CORPS POLARISES. 

U étant supposé très petit, on peut négliger la seconde intégrale 
et écrire simplement 



i^) 



(5) 



/()U d\ d\\\ [du dv f)w 

1 -\ 1 1 

\^ ôx dy dz J \dx dy dz 

fd\]_ du dV di^ d\\ àw 
' \dx àx dy ày àz dz 



-t-[^ 



ISS_ _ dW\ (dv_ _^ dw\ /d^ dV\ /dw du 
['dz ' dy J \dz "^ dy ) ^ l Ite ^ Iz ) \dx ~^ dz 

_^ /dV dV\ /du d^\l ) 
\ dy dxj \dy dxj \\ 

On peut supposer qvie, dans le déplacement, chacune des masses 
élémentaires qui composent le système se déplace sans que son 
aimantation change de grandeur et de direction. Dès lors, si Ton 

se souvient que 

^ , /du dv du>\ , 
''^'-[■dx^dJ-^-d^)'^'^ 

on trouve que le terme (2) du potentiel thermodynamique in- 
terne éprouve, dans le déplacement considéré, la variation sui- 
vante 



ch. 



T^ /" l 7 .^.- « / (^ff- à^ àw \ J / „ „ou 



du dv àw \ , / . ^ du ,^ dv _ dw 
-r- -+- llî,2 _ -t- ^2 — 
àx dy dz 



» I .^ ^ / àv dw\ _ , / dw du\ , „ /du dv 
k 0)1,3 ( -T- + -r- 1 4- 2.1, -— + V- + =A»<i5' 



|_ \àz dy J \dx dz J \ dy dx 

r\ \. , (d\j dv dw\ ; ^ui ., 

-J\ [f-^^i-d^^d^-^^j-^'d^h"^' 

[. , /dv dY dw\ , c^vn ,, 



r. , /dV dY dW\ .dWl^^ 
, /àY d\Y\ ,_ 

\ ex dz 



~^ \ '^J^ dx J ^ ^ ' ] \dx dy dz J 

Par un calcul identique à celui qui a été fait au Chapitre précé- 



CHAP. II. — PRESSION DES SOLIDES POLARISÉS. 43 1 

dent, on trouve que le terme (3) du potentiel thermodynamique 
interne subit, dans le déplacement considéré, la variation sui- 
vante 



(7) 



-/ 



■4- 



-S 



.1, 



à(V)^X)) d.J[o d(V-^<^)d\\\, d(tl-^<)) d3-\ 


dx dx ' dy dx ' dz dx \ ^'' 

d(v-^-C)) dA, d(i')+v9) ,)iii, d (v -¥-<)) de~ 

dx dy dy dy dz dy ] 
d(V^<)) d.\o ^ d(V^+<)) d\\h . d(V-hO) dB'] ^ 


(Jx d 

d(V)^\^) 
dx 


z ' dy dz ' dz dz \ " 

• Il M CCS (N/, a:) Il i/S, 



dv 



N/ étant la normale à l'élément d'à vers l'intérieur du corps solide 
considéré. Les lois de l'aimantation du corps [Livre X, (îhap. IV, 
égalité (7)] permettraient de transformer cette expression ; mais 
nous lui laisserons provisoirement cette forme. 

Pour obtenir les conditions d'équilibre du corps, nous écrirons 
que l'on a, en toute transformation virtuelle du système, 



(8) 



A -t- B-4-C— «?(^e^O. 



Considérons tout d'abord une transformation dans laquelle 
chaque élément de volume se déplace sans changer de forme. On 
a alors, en tout point, 



(9) 



du 


dv dw 


dv d:v 
dz dy 


dw du du dv 
dx dz dy dx 



Dans ces conditions, on a certainement 



o, 



D'ailleurs, si les quantités 11, v, w sont des fonctions continues de 
jC, y, z, le corps ne se creuse pas de cavités; la modification est 
renversable, et la condition (8) devient 



C — dQe = o 



432 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS 

OU bien, en vertu des égalités (4) et (7), 



/: 



s 



Ou^ Ox ây Ox âz dx 

dx ôy dy ây ' âz dy 

^(r)+*C:») dX d{X)^-<>) à\\\, d(r)-t-'Ç) de 



dx dz 

d{X)^V) 



dx 



dx 



dx 



dy dz dz dz 

cos(N/, x) -h P cos(P, x) 
cos(N;,7) -f- P cos(P, j) 

cos(N,-, s) + Pcos(P, z) 



pX 

pZ 



V (h 

\ 



dS = 0. 



Cette égalité ne doit pas avoir lieu quels que soient u, (^, w, 
elle doit seulement avoir lieu si u, t^, w vérifient les conditions (9), 
il doit donc exister six fonctions de x,y, z, Ff^ F2, F3; T,, To, 
T3, uniformes, finies et continues en tout point du corps consi- 
déré, telles que l'on ait, quels que soient u^ r, w^ 



f\ 



d( t) + -C)) Mo d( t") ^ X')) d\\\> diV") -+- -CO àB 



dx 



dx 



dy 



dx 



dx 



pX\ u 



d(t^-^<>) dA. d(V + X))d\\\^ ()(t)^-\')) o3 

^ — ! + — — - -4- p Y 

dx dy dy dy dz dy 



d(V-^'Ç) d.Ào d{XD-^V) d\i\y d(V) 4-\'>) dB 

— ^^ 1 _;_ —2 : u- _; ; 

dz 



(.0) 



s 



dx dz dy 

dCO^X")) 



dx 



•/[ 



Fi 



du 

dx 



dx 

dx 
dv 



dz dz 

cos(i\/, a;) -+- P cos(P, x) 
cos(N/,7)-f-Pcos(P, j) 
cos(N/, z)-i- Pcos(P,^) 
dw 



pZ 



w > dv 



dS 



'dw du 



Posons 



(II) 



N, = F,- 
N2=F2- 

N3=F3- 



dx dz 



/du dv 



)]- 



dx 

d(V-\-<)) 



dx 



dx 



II' 



CHAP. II. — PRESSION DES SOLIDES POLARISÉS. 433 

les trois quantités N,, No, N3 seront, comme F,, Fa, F3, trois 
fonctions de x, y, z, uniformes, finies et continues à l'intérieur du 
corps étudié. Une intégration par parties permettra de transformer 
l'égalité (10) en la suivante : 



s 



dy ôx 

d^(l'^-4-V)) 
dzdx 



dx Oy ùx Oz âx 



Oy 



Oz 



Oyt 



dy âz 



dx 



ôzdy 



dz^ 



dx 



dy àzl 



dT_ 

dy 



^.1 
dz 



dv 



\ [Pcos(P, 37) — N, cos(N/, x)— T3C0S(N,-, jk)— T2Cos(N,-, ^)]« 
-f-[Pcos(P, j) -T3Cos(N/, a:-) — N2Cos(N/, 7)— Tj cos(Nf, ^) | r 
+ [Pcos(P, z) — T2C0s(N/, a?) — T, cos(N,,jk) — N3 cos(l\,, ^)] tv j rfS -^ 0. 

Telle est l'égalité qui doit avoir lieu quels que soient u, v^ w. 

Nous allons démontrer, en premier lieu, que le coefficient de a 
dans l'intégrale triple est égal à o en tout point intérieur au corps 
considéré. Supposons, en effet, que ce coefficient soit différent 
de o en un point A {Jig- 3o) intérieur au corps. Comme ce coeffi- 

Fig. 3o. 




cient est une fonction continue de x,y^ 5, on pourrait tracer autour 
du point A et à l'intérieur du corps un domaine 1, en tout point 
duquel ce coefficient aurait le même signe qu'au point A. Soit 2 
ce qui reste du corps lorsqu'on supprime le domaine 1. On pour- 
rait imposer au corps une transformation telle que l'on eût, en tout 
point de l'espace 1, 

ii >> o, V = o, (V = o 

et, en tout point de l'espace 2, 

M = o, i^ — o, w = o. 
D. — II. îR 



434 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

Le premier membre de l'égalité (12) se réduirait alors à 

rfpX X '^'^^'^'^"''^^ ^, JHt^+<>) ^d\'0+'<)) ^N, dJ, àT,l^^_ 
J^ \j dx^ dx dy ^ dx dz dx dy dz \ 

Tous les éléments de cette intégrale auraient le même signe et, 
contrairement à l'égalité (12), cette intégrale ne pourrait être 
égale à o. Ainsi se trouve démontrée la première des égalités 

' ' ôx'^ ' dx dy dx dz dx 

/j3x ; Y 4 ^'^^'^^"^'^^ Dl /'^^'^"^^'^^ ^ dH-0+\^) ^dT, 
^ j ' dy dx ' dy- dy dz dx 

Z-X ^!i^^±^--ijl ^'^^'^-^"^'^^ _G à^V-^-i^)) ^ ^ 
" "^ dz dx dz dy dz'^ dx 

Les deux dernières se démontrent d'une manière analogue. 

Ces égalités permettent d'effacer l'intégrale triple au premier 
membre de l'égalité (12); l'intégrale double que renferme ce pre- 
mier membre doit alors être égale à o quels que soient m, v, w, on 
en conclut aisément que l'on doit avoir, en tout point de la surface 
du corps, 

/ Pcos(P, ar) = Nicos(N/, rr) + T3 cos(N/, jk) -f- T2 cos(N/, z), 

(14 ) j Pcos(P,jr) = T3Cos(N/, 37) + N2Cos(N,, 7)-f-Ticos(N/, z), 

( Pcos(P, z) — T2C0s(Nj, a:)-HTi cos(No jk)-+- N3 cos(Nj, z). 

En vertu des égalités (i3) et (i4), l'égalité (10) est identiquement 
satisfaite quels que soient m, v, w. La condition (8) devient donc, 
pour toute modification virtuelle renversable, 



dy 


' dz 




dz 


dT, 
dy 


dJ 



f 



\dx ~^ ày ~^ dz J 



\ dx dy dz J dx ] 

L*^ "^ \dx '^ dy dz ) dy \ "^ 



[/■ 



, /d\ d\\\ ., - 



\ dx dz j 

kl— —\ 
\dy dx] 



. ;d\] àW\ - ,, ) /du àv d(v\ , 



(m 



CHAP. II. — PRESSION DES SOLIDES POLARISES. 



435 



dx 









dx 
dx 
dx 






-t-N,+ /f 



Posons, pour abréger, 



Hl^-^^--(^-^)- 






Une intégralion par parties transformera l'égalit'î précédente en la 
suivante : 



IV 



dd\'^^ ^ d /d{] d\ d\\\ d^ 
dx dx \dx dy dz 



)z )^ dx 



d 
dx 

d_ 
dy 

d_ 
dz 



dx 



H 

r /(^w (JU 
Y'-y-dx^Tz 



dx W J 



dy dx ) 



1 2 ~^ " ^'^ 



=]l" 



rfc 



cî<^ 



J i ' ^/ ^ ' dy\dx ^ dy'^ dz ) ' (^K 



'dy [^ '"^ t^K 



d{\l)-^V) 



k\\\A 



d_ 
ai 

dx 






c/t' 



436 



LIVRE XII, — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 



J \ dz ' dz\dx dy dz / ùz 

^ ^ ,"^"^ -* M-Ni4-A-.l,2l cos(N/, ^) 

OX II J \ i' / 






SI r, .,, , , fd\j d\ dw\ 



!-" [d^-^-dyj-^ Ti + /.M)!,S I cos(N,, ^) 
^ K^ ^ £) "^ T3 + A^i)l,.l,] cos(N,, ^) j .^S 



S![ 



, .,,, , . i d{] âV d\\\ , 
ox ay dz J ' 



i\i. 



dz 



.,, '""+^-'> |Un.+ A3 



d:p 



2] cos(N,-, 



Cette égalité doit avoir lien quels que soient u, ^, w. Par un 
raisonnement analogue à celui que nous avons appliqué à l'éga- 
lité (12), nous prouverons qu'il est nécessaire et suffisant pour 
cela que l'on ait : 



CIIAP. II. — PRESSION DES SOLIDES POLARISÉS. 

i" En tout point intérieur au solide polarisé, l'égalité 



437 



d_/0[J 
Ox \ dx 






dz) 



dx'^ 



/dV 



dy\()j Ox / ^ dz \ Ox 



dz 



) 



(i5) 



=-^h 



diXl-^O) 



--(T3+/.-,Ull,) 



Ox 

d_ 
' ôz 



4^ + /iOrL2-+-A-.i,=l 



(T2 + A-.l,G), 



\ et deux autres égalités analogues; 
a" En tout point de la surface du corps considéré, l'égalité 



f, /d\] d\ d\\\ oin ^^, ^ 



(.6) 



dy 



-[ 



Nr 



dx 



dz 



cos(N/, z) 



X 



'^ + h 0]U -t- /crX,^ cos(Ni, x) 



— (T3-1- /k^I,i)1,) cos(N,-, jk) — (Ta-f» A- A3) cos(N/, z) = o, 
et deux autres égalités analogues. 

Les égalités (i 3), (i4), (i5) et (16), jointes aux conditions de 
l'équilibre magnétique [Livre X, Chap. IV, équations (7)], four- 
nissent les conditions qui sont nécessaires et suffisantes pour l'é- 
quilibre du corps polarisé. Il nous reste à discuter les conséquences 
de ces équations. 



§ 2. — Pressions à l'intérieur d'un solide primitivement isotrope, 
peu déformé et polarisé. 

Considérons un solide polarisé en équilibre. Il existe six fonc- 
tions uniformes, finies, continues de x, y, ^, 

Ni, N2, N3, T„ T.„ T3, 

qui vérifient les équations (i3) en tout point de ce solide elles 
équations (i4) en tout point de sa surface. 

Traçons dans ce solide une surface S qui, soit seule (y?^. 3i), 
soit avec une portion S) de la surface S (Ji^- 32), isole une par- 
tie A du corps solide. Désignons par B ce qui reste de ce corps 
lorsqu'on a supprimé la partie A. 



438 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

Définissons, comme au Chapitre précédent, les aimants qui pour 
la partie A seraient équivalents à la partie B. 

Supprimons la partie B sans rien changer à l'état de déforma- 
tion de la partie A et en laissant celte partie A soumise : 

i** A l'action des forces extérieures qui agissaient sur elle; 

2° A l'action des aimants qui agissaient sur le solide primitif; 

3° A l'action des aimants équivalents à la partie B. 



Fi g. 3i. 



Fig. 32. 





Il est facile de voir que l'aimantation de la partie A demeure 
ce qu'elle était avant la suppression de la partie B; que, d'autre 
part, les déplacements de la partie A ne sont plus soumis aux liai- 
sons que leur imposait la présence de la partie B; mais que, pour 
rétablir l'équilibre de la partie A, il suffit d'appliquer à la sur- 
face S des pressions convenablement choisies; la grandeur et la 
direction de la pression en chaque point de la surface 2 sont don- 
nées par les équations 



IPcos(P, a?) = Ni cos(N,-, 3')■ 
Pcos(P,JK)-T3COs(N/,^) 
Pcos(P, s) — T, cos(N/, 3") 



T3COS(N,-,7)-4-T2COs(N,-, 3), 

N2COs(N,-,j')^-TiCos(N,s^), 
T, cos(N/,7)-+-N3CosrîV/, ^). 



Dans ces équations, N, représente la direction de la normale à 
l'élément d^ en un point duquel on veut déterminer la pression, 
cette normale étant orientée vers l'intérieur de la partie A. 

La grandeur et la direction de la pression sont ainsi définies 
en tout point du corps et pour toute orientation de l'élément 
passant par ce point, en fonction des six quantités 

N„ N^, N3, T„ T2, T3. 

Aussi dirons-nous que connaître les valeurs de ces six quantités 



CHAP. II. — PRESSION DES SOLIDES POLARISÉS. 489 

au point {x, y, z) du corps, c'est connaître les pressions en ce 
point. 

Nous ne nous attarderons pas ici à étudier les belles consé- 
quences que Cauchy et Lamé ont déduites des équations (i4)- On 
les trouvera exposées dans tous les Traités d'Élasticité; elles ne 
sont pas essentielles au développement de la théorie qui nous 
occupe. 



§ 3. — Pressions fictives à l'intérieur du solide polarisé. 

Supposons que l'on se donne l'état d'aimantation du corps et 
les valeurs que prennent, en tout point du corps, les six quan- 
tités 

N„ N„ N3, Ti, T2, T.3. 

La déformation du corps sera déterminée par les égalités (i5) 
et (16). 

Si le corps n'était pas aimanté, ces égalités seraient de la forme 
suivante 



dx \dx dy dz j 



(i5 bis) 



ilj. 



^[; 



dz\dx à 



)] 



(i66fs) 



dy \ày dx 

\ dx dy dz 

■dU dV dW\ dUl ,^, , 

\dy dx 
= — [Ni cos(N/, x) H- T3 cos(N/, y) 4- T2 cos(N,-, z)] 



xi ^^ ^jcos(N/,^)H-[i(|-^4- j^jcos{^i,z) 



Ces équations et les équations analogues que l'on en déduit par 
des permutations tournantes déterminent les déformations du so- 
lide non polarisé en fonction des pressions; elles jouent le même 
rôle, dans l'étude de la déformation des solides élastiques et pri- 
mitivement isotropes, que l'équation de compressibilité dans 
l'étude des fluides. 

Si l'on compare les égalités (i5) et (16) aux égalités (i5 bis) et 
(16 bis), on arrive aux conclusions suivantes : 

On peut, dans un solide polarisé, donner aux équations qui 



44o LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

lient les déformations aux pressions la forme qu'elles ont 
pour un solide non polarisé, mais à la condition de remplacer 
les valeurs réelles des six quantités 

N„ N2, N3, Ti, T2, T3, 

par des valeurs fictives 

N' N' N' T' T' T' 

11 j, i.y^, l'ilj, Ij, ±2) •'•35 

liées aux premières par les relations 



(17) 



N'.-N3 + 



dx 

dCxo + t?) 

dx 
dx 






t; = Ti H- A"i)i>e, 

T;j = T3-hAol,alL. 

Les égalités (17) peuvent se transformer. Si l'on se reporte, en 
effet, aux lois de l'équilibre magnétique [Livre X, Cliap. IV, 
équations (7)], on voit qu'on a 



CAO 



dx 



2<^. 



Les égalités (17) deviennent donc 



(18) 



N'i = Ni — il + AD1L2 + A-.1.2, 
n; = N2 — >> -i- h^\U -t- A 1(1,2, 
N'3 = N3 — J; + h D1L2 + k 32, 

T;=:Ti + A'iiï,a, 



t; 



3—^3 



A-..\,D1,. 



Si l'on se reporte à l'expression de d/. 






-f-2/î 



Hv^r 



^^)---(^^ 



-1^-)- 



-11!, 2+ -^— G2 

dj' àz 

\dy '^ dx / "" 



„]. 



(19) 



CHAP. H. — PRESSION DES SOLIDES POLARISÉS. 44 I 

et si l'on remarque que les quantités 

sont très petites, on peut faire subir aux équations (i8) une nou- 
velle simplification et les écrire 

/ N; = Ni — (/— /t)0rL2-f-A:.lo2, 
N'2 = N2— (/— h)D]U-\- /rDb2, 
N;-. N3— (/- h)DïL^-i-kQ\ 

T'i = TiH-/nlî,G, 
T'2 = T,-i-/.SJlo, 

Un cas intéressant est celui où l'on regarde les deux quanti- 
tés h et k comme très petites devant/. Dans ce cas, si l'on se re- 
porte aux équations de l'équilibre magnétique [Livre X, Chap. IV, 
équations (7)], on voit qu'une déformation du premier ordre im- 
posée au solide ne modifie les coefficients d'aimantation que de 
quantités du second ordre. 

Dans ce cas, les équations (19) se réduisent à 



(20) 



t; ^ T, 



Si l'on se reporte alors aux équations (i4)? q^^i définissent la 
pression exercée sur un élément quelconque dS passant par le 
point (.37, r, z), on voit que la substitution des quantités 

N' N' N' T' T' T' 
données par les égalités (20) aux quantités 

N„ N2, N3, T„ T„ T3, 

équivaut à l'addition d'une pression fictive, normale à l'élé- 
ment dSj à la pression que cet élément supporte en réalité. Cette 
pression, indépendante de l'orientation de l'élément, a pour va- 
leur 

(21) n^—forL^dS. 

Cette pression est négative, car la quantité / est positive; - -r est, 
en effet, le coefficient d'aimantation du corps non déformé. 
La pression Jictive additionnelle est négative en tout point 



442 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

du corps polarisé; elle est égale au quotient du carré de V in- 
tensité d'aimantation par le double du coefficient d'aimanta- 
tion du corps non déformé. 

Lorsqu'on néglige devant /les quantités h et /:, et, a fortiori, 
les quantités 

h -—, • . ., A:—- , • .., 

ox ox 



on a 



- = ^ ! [^i^T- r-'^T- r-'^^r f 

et l'égalité (21) peut encore s'écrire 

Si le corps est peu magnétique, O est négligeable devant '<?. Si l'on 
désigne alors pari l'intensité du champ, la formule (21 his) de- 
viendra 

(21 ter) n=— i^rfS. 

4/ 

La pression additionnelle a pour valeur absolue, en tout 

point de Vêlement dS, le quotient du carré de l'intensité du 

champ par le double du coefficient d' aimantation du corps. 

Cette loi simple n'est qu'une approximation. 

§ 4. — Déformations du solide polarisé. 

Si, entre les équations (i3) et (lo), on élimine les six fonc- 
tions 

Ni, N2, N3, Ti, T2, T3, 

on obtient les équations suivantes, qui doivent être vérifiées en 
tout point {oc, y^ z) du solide 

d /d\J dY d\\\ cJ2U 

dx \àx dy dz ) dx^ 



dy\dy dx ) ^ dz\ dx dz j 



(22) ( , d_ 
dx 



d{%D-^ty) 



dx 



àx'^ dx dy dx dz 



+ T-[4'-i- hJW.-^ kX^ -+- k — r -h k ~ -i- pX = o, 

dx dz dy ^ 



et deux autres analogues. 



ClIVP. II. — PRESSION DES SOLIDES POLARISÉS. 

On a, d'ailleurs, 



443 



dx 



<sJ\9 



d{V)^X>) 



dx 



^\o 



dr2 



llî, 



d-i(V-hX>) 



dx ôy 

d ( 10 -f- -C ) d\. d(V)-^t)) dlll, à ( V) -t- V) ) de 
âx 



Ox <)z 



dx 



ày 



dx 



dx 



Les conditions de l'équilibre magnétique [Livre X, Chap. IV, 
égalités (y)] donnent ensuite 



<)(t)-(--C>^ d.\. d{ V) -I- V) ) f)\l 
dx "^ 



dx 



ày 



dx 



d{X)-\--*i)) dZ^ 
dz dx 



-_[/• / /^ ^ àWV\ dPïi 
~~ \y \dx dy dz / \ dx 

_ /àV W d\ d_\\^ dW ^32 
\dx dx dy dx dz dx 

[ \ (^2 ~^ dy ) dx \dx dz ) dx \ dy dx / dx ] 

dx dv\dx ày ~^ dz j 



-H k ( .1,2 -— - -4- 1)1,2 ^_ 3-2 .^ 

dx^ dx dy dxdz 






d ld\} d\\\ 
dxj\ 



dx \dy 



D'après ces égalités et d'autres analogues, les égalités (22) de- 
viendront 



(23) 



_a_/aU dY\ d /dW dV\ 

~^^ày\àf ^ dx) '^^di V"^ '^ dz ) 

y ^^ dx\àz ' dy j ^ ^' " dx\dx ~^ dz j " '' dx \dy dx) J 



h 



dx 



, l'dX^- drX\\\^ d,l3\ „ 



et deux autres analogues. 

Si l'on élimine les six quantités 



N„ N2, Na, T„ T,, T3 



i-^Â)' 



444 LIVRE XH. — LES DÉFOUM.VTIONS DES CORPS POLARISÉS. 

entre les équations (i4) et (i6), en se souvenant que 

on obtient les équations suivantes, qui doivent être vérifiées en 
tout point de la surface du solide, 

rxf^" + i?v + ^)H-„f + + ..„ar..+ /t-.A,=lcos(N,.x) 

-I- \'^(j^--^f^') +^--^S 1 cos(N/, ^^ + Pcos(P, a7)=o 
et deux autres analogues. 

Les équations (aS) représentent les équations aux dérivées par- 
tielles du second ordre que doivent vérifier les déplacements U, 
V, W et les équations (24), les conditions aux limites que ces 
mêmes déplacements vérifient. L'intégration de l'ensemble de ces 
équations et des équations de l'équilibre magnétique résoudra le 
problème général de la déformation d'un solide polarisable placé 
dans des conditions déterminées. 

Ce problème présentera, en général, d'insurmontables diffi- 
cultés. Toutefois, il est possible de le résoudre dans un cas qui, 
bien que particulier, offre un grand intérêt et jette un grand jour 
sur les actions magnétiques. 

Considérons un corps qui, à l'état naturel, est isotrope et n'est 
soumis à aucune force extérieure ni à aucune pression. Ce corps 
est spliérique. On le place dans un cbamp magnétique uniforme. 
Nous allons démontrer qu'il se dilate de la même manière en tous 
ses points de manière à se transformer en un ellipsoïde de révolu- 
tion dont l'axe de révolution est dirigé suivant les lignes de force 
du champ. 

Prouvons, en effet, qu'il existe une semblable déformation sa- 
tisfaisant aux conditions de l'équilibre magnétique et aux équa- 
tions (23) et (24). 

En premier lieu, l'ellipsoïde est homogène; ses axes ne diffèrent 

les uns des autres que de quantités de l'ordre de - ; ses coefficients 



CIIAP. II. ~ PRESSION DES SOLIDES POLARISES. 



445 



principaux d'aimantation ne diffèrent aussi les uns des autres 
que de quantités de l'ordre de j-- Les quantités Jl,, ^i^), S ne va- 
rient donc, d'un point à l'autre du corps, que de quantités de 



m 



l'ordre de ( t- ) ' ainsi qu'on le voit aisément. Comme on néglige 



les quantités de cet ordre, l'aimantation de notre corps devra être 
regardée comme uniforme. Par raison de symétrie elle coïncidera 
avec l'axe de révolution de l'ellipsoïde qui est dirigé suivant les 
lignes de force du champ. 

Plaçons l'axe des x suivant la direction de l'aimantation. IVous 
aurons alors 



(25) 






'dz 



= 0, cJl 


= dJL; 


ùY dW 




dy dz 




d\] àW 

dz dx 


dV 
dx 



dy 



L'aimantation et la déformation étant uniformes, les forces exté- 
rieures étant nulles, les équations (28) sont identiquement satis- 
faites. Les équations (24) se réduisent, moyennant les équa- 
tions (26), à 



(26) 



r X -^ 2 a — (A -+- A-) Oit 2] '-^ -f- 2 ( À — h 0112) '^ +(/_(_ A + /c) 01L2 = o, 



d\] 



d\ 



[X_(A + /,)01L2] _±i _^2(Xh- [x — A01L2) — 4-(/ + A)orL2 

On satisfera à ces équations (26) en posant 

k{\-^\x) — (f+h)]x — kh ;)1L 2 



(27) 



Ox 
d\_ 

dy 



\>.[ik -H 2fJL — (J -H ArpK^J 



Î)\U, 



dW 

'dz 



A-X — 2 'i(f^ h) — k(h^ /OOIL^ 5 
2[jl[3X-+-2[x — (3A + A)0IL2J *" 



Ces égalités (27) définissent la déformation de la sphère. Dans le 
cas particulier, déjà étudié au paragraphe précédent, où l'on né- 
glige les quantités h et k devant les quantités \ [a et/, on trouve 



(28) 



d\^ _dY_ 
dx dy 



dz 



3X 



2[X 



446 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

La quantité 



"=^ 



est le coefficient d'aimantation du corps à l'état naturel. 
La quantité 

G = 



3X 



•j-li 



est le coefficient de compressibilité cubique du corps. La for- 
mule (28) permet alors d'écrire 

^"^'^^ âx df ~^ (Jz "~ ~Yc~ ' 

Si l'on néglige les quantités h et /:, une sphère magnétique^ 
placée dans un champ magnétique uniforme, se dilate en 
restant semblable à elle-même. La dilatation cubique s'ob- 
tient en multipliant le carré de l'intensité d'aimantation par 
le coefficient de compressibilité cubique du corps et en divisant 
par le double du coefficient d' aimantation. 

Si l'on désigne par J l'intensité du champ, on aura [Livre VIII, 
Chap. II, égalité (7)] 

et l'égalité (29) pourra aussi s'écrire 

au d\ dW G cr- 



(3o) 



dx dy dz il 4 



Ces résultats peuvent être étendus à un corps de forme quelconque 
placé dans un champ magnétique uniforme, pourvu que ce corps 
soit faiblement magnétique et que l'on néglige les quantités h et k 
devant y. Ce corps se dilatera uniformément en tout sens, et la 
dilatation cubique aura pour valeur 

au dy dW GcJ2 
ox of àz 2 



CIIAP. II. — PRESSION DES SOLIDES POLARISÉS. 447 

g 5. — Comparaison des résultats de la théorie aux résultats 
de l'expérience. 

La théorie précédente s'applique également aux corps diélec- 
triques et aux corps magnétiques. Toutefois, lorsqu'on l'applique 
à un corps diélectrique, on doit avoir soin de s'assurer que ce 
corps ne porte aucune charge électrique et que ses déformations 
virtuelles ne sont pas liées à des déplacements des corps électri- 
sés ; cette restriction ne serait pas réalisée par une lame diélec- 
trique à laquelle seraient collées les deux armatures d'un conden- 
sateur. 

La dilatation que subit un diélectrique placé dans un champ 
électrique est connue depuis bien longtemps. L'abbé Fontana (*) 
avait déjà observé que le volume d'un condensateur augmente 
quand on le charge. Cette découverte était tombée dans l'oubli 
quand le fait qu'elle avait constaté fut signalé de nouveau par 
M. Govi (-), puis étudié successivement par M. Duter (^), par 
M. Righi (*) et par M. Quincke (s). 

Imaginons une lame diélectrique placée entre les deux plateaux 
d'un condensateur, et non fixée à ces plateaux, condition rare- 
ment réalisée dans les expériences et dont l'oubli cause peut-être 
les divergences qui existent entre leurs résultats. Si l'on désigne 
par V et V lés niveaux potentiels des deux armatures, par A leur 
distance, d'après la formule (3i), la dilatation cubique de la lame 
diélectrique a pour valeur 

au av ^_ Q (V— v)^ 

dx dy dz A^ 

Elle est proportionnelle au carré de la différence de niveau 

(') Cite dans une lettre de Volta au professeur Landriani {Lettere inédite de 
Alessandro Volta, imprimées à Pesaro en i83i, p. i5 et sqq.). 

(») Govi, Nuovo Cimento, t. XXI et XXII. — Comptes rendus, t. LXXXVII, 
p. 857; 1878. 

(') Duter, De la dilatation électrique des armatures des bouteilles de Leyde 
( Comptes rendus, t. LXXXVIII, p. 1260; 1879). 

(* ) RiOHi, Sur la dilatation du verre des condensateurs pendant la charge 
{Comptes rendus, t. LXXXVIII, p. 1262; 1879). 

(') Quincke, Ueber elektrische Ausdehnung (Monatsberichte der Akademie 
der Wiss. zu Berlin, p. 200; 1880). 



448 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

potentiel des deux armatures et en raison inverse du carré de 
leur distance. 

C'est le résultat trouvé par M. Quincke. M. Duter et M. Righi 
ont observé une dilatation proportionnelle à l'inverse de la simple 
distance. Dans les expériences de ces physiciens, la lame isolante 
n'était pas indépendante des armatures, ce qui explique peut-être 
cette divergence. 



CHAP. 111. — LA THEORIE DE MAXWELL. 4^9 



CHAPITRE III. 

LA THÉORIE DE MAXWELL. 



§ 1. — Historique de la théorie des pressions à l'intérieur 
des corps polarisés. 



Le premier auteur qui ait cherché à préciser \n nature des 
pressions qui s'exercent à l'intérieur d'un corps polarisé est Max- 
well. Les propositions les plus importantes de sa théorie furent 
publiées en i86i-i86a dans le Philosopliical Magazine (') et 
en i865 dans les Philosophical Transactions (-). Cette théorie 
fut plus tard développée dans son Traité d'Electricité et de 
Magnétisme, dont la première édition parut en iB'jS (^). 

La théorie de Maxwell a été accueillie par les physiciens comme 
une œuvre de génie; elle est regardée comme une des théories les 
plus importantes de la Physique moderne. 

Les propositions qui constituent cette théorie peuvent se ra- 
mener aux deux suivantes : 

1° Si, à l'intérieur d'un milieu polarisé, solide ou fluide, on 
trace une surface séparant une partie de ce milieu et qu'on sup- 
prime les liaisons résultant de la présence de l'autre partie, on 
rétablira l'équilibre en appliquant des pressions à cette surface. Si 
l'on désigne par N< la normale à cette surface en un point (x, j^, 5), 
cette normale étant dirigée vers l'intérieur de la portion de corps 
qu'elle limite, la grandeur et la direction de la pression au 



(') J.-C. Maxwell, On electromagnetic field. 

(') J.-C. Maxwell, On electromagnetic field {Philosophical Transactions of 
the royal Society of London; i865). 
(') V" Partie, Chap. V; IV Partie, Chap, XI. 

D. - II. ag 



45o LIVRE Xll. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS- 

point {x^y, z) sont données par les équations 

/ P cos(P, x) =-- Ni cos(IV,, x) + T3 cos(Ni. j) -f- T2 cos(N,-, ^), 

(1) Pcos(P,j)=:3T3COs(N,-, a7)-f-N2Cos(N,-,7)+Ticos(N;,3), 
( P cos(P, ^) = T, cos(N;, x) + Ti cos(N/,7) -+- N3 cos(Ni, z), 

équations dans lesquelles 

N,, N2, N3, Ti, Ta, T3 
sont six fonctions de (^,y, z) définies par les égalités suivantes 

(2) ^ 
Ti = f — + /t^ "^^ ^'^ "^ ^'^ ) (^( O + -^'^ ) 



N, 

N3 = 



4'rr / c^K àz 

^ ^ , _i_ \ ()(« -f- -c^) ()(X!) + 1:)) 



4'!i / dx dy 

Dans ces équations, k est le coefficient d'aimantation de la sub- 
stance, coefficient supposé invariable. De plus on a, suivant la 
notation que nous avons adoptée, 

2" Les déformations du milieu polarisé sont liées aux six quan- 
tités 

N,, No, N3, T„ T2, T3, 

par les relations établies par la théorie de l'élasticité pour le cas 
où le milieu n'est pas polarisé. 

Pour nous imaginer plus aisément les lois qui, d'après Maxwell, 
régissent les pressions à l'intérieur d'un solide polarisé, prenons 



CHAP. III. — LA THÉORIE DE MAXWELL. 45l 

l'axe des j' et l'axe des ;; tangents à la surface de niveau qui passe 
par le point (x^y^z). Nous aurons alors 

— d]r—=''' — di — = *^' 

et les égalités (2) deviendront 

Ti= T2= T3= o. 

On voit d'abord par les équations (i) qu'un élément superficiel 
normal à la ligne de force qui passe en un point du corps sup- 
porte une pression normale qui a pour valeur en chacun de ses 
points 

tandis qu'un élément parallèle à la ligne de force supporte une 
traction normale dont la valeur absolue en chaque point est 
égale à la valeur de la pression précédente. 

Les déformations étant liées aux pressions, au sein du milieu 
polarisé, de la même manière qu'au sein du milieu soustrait à 
l'action de tout champ, on voit que le corps éprouve, en chaque 
point, une contraction dans le sens des lignes de force et une 
dilatation, égale en valeur absolue à cette contraction, dans toute 
direction normale aux lignes de force. 

Ces pressions et tensions ne deviennent pas égales à o en même 
temps que le coefficient A". Si l'on place dans un champ magné- 
tique un corps non susceptible de s'aimanter, tout élément super- 
ficiel pris à l'intérieur de ce corps , normalement aux lignes de 
force du champ, supporte une pression normale qui a pour valeur 
en tout point 



JL /^V 
iTz\dx] 



(3) 



452 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

tandis que tout élément parallèle aux lignes de force supporte une 
tension normale qui a, en tout point, la même valeur absolue que 
la pression précédente. 

Maxwell avait supposé la valeur du coefficient d'aimantation k 
indépendante des déformations subies par le corps. M. H. von 
Helmholtz (') remarqua que, dans les fluides, ce coefficient devait 
être regardé comme étant, en chaque point, une fonction A"(<t) 
du volume spécifique <y. Il fut alors amené à remplacer les éga- 
lités (2) données par Maxwell par les égalités suivantes : 



T, 



[r.-'<"] 



dz dx 

dx dy 



La théorie de M. H. von Helmholtz conduit à admettre que tout 
élément superficiel, tracé à l'intérieur d'un solide polarisé, sup- 
porte, outre la pression donnée par la théorie de Maxwell, une 
pression normale dont la valeur en chaque point, indépendante 
de l'orientation de l'élément, est 

2 a!T 

Cette force disparaît si, avec Maxwell, on suppose que le coeffi- 
cient d'aimantation A- ne dépend pas du volume spécifique a-. 



(') H. VON Helmholtz, Ueber die auf das Innere magnetisch oder diëlek- 
trisch polarisirter Korper wirkenden Krâfte {Monatsber. der Berl. Aka- 
demie, 17 février 1881. — Wiedeman's Annalen, t. XIII, p. 385; 1881. — Helm- 
holtz wissenschaftliche Abhandlungen, t. I, p. 798). 



CUAP. IH. — LA THEORIE DE MAXWELL. 453 

Dans le cas où le corps soumis à la polarisation est un solide 
primitivement isotrope, les déformations de ce solide influent sur 
les lois de l'aimantation; k ne peut être regardé comme une con- 
stante, et il y a lieu de compléter les formules de Maxwell. C'est 
ce qu'ont fait M. Lorberg (') et G. Kirchhofl' (2). Avant eux, 
M. Kortevi^eg (^) avait déjà montré que trois constantes distinctes 
s'introduisent dans les formules relatives aux solides polarisés. 
Depuis, M. E. Beltrami (') a donné des formules qui conduisent 
aisément aux résultats obtenus par M. H. von Helmholtz et par 
G. Kirchhoff. 

Pour pouvoir écrire ici les formules auxquelles ces auteurs sont 
parvenus, considérons les lois de l'aimantation par influence sur un 
solide primitivement isotrope peu déformé [Livre X, Chap. IV, 
équations (7)]- Après avoir introduit dans les équations qui repré- 
sentent ces lois les notations dont il est fait usage au présent Livre, 
résolvons ces équations par rapport à Jl., ilb, S. Ces équations pren- 
dront la forme suivante 

, , r d{X3^-Ç) d{1D-^-^) ^ (O-4--0) -) 



(•) LoRBERG, Ueber Elektrostriction ( Wiedemann's Annalen der Physik und 
Chemie, t. XXI, p. 3oo; 188^). 

(') G. Kirchhoff, Ueber die Formânderung die ein f ester elastischer Kôrper 
erfàhrt, wenn er magnetisch oder diëlektrisch polarisirt wird ( Sitzungsbe- 
richte der Berl. Akad. d. Wiss., t. I, p. 137; 1884. — Wiedemann's Annalen, 
t. XXIV, p. 52; i885. — G. Kirchhoff's Abhandlungen; Nachtrag, p. 91). — 
— Ueber einige Anwendungen der Théorie der Forma nderungen welche ein 
Kôrper erfàhrt, wenn er magnetisch oder diëlektrisch polarisirt wird ( Sit- 
zungsberichte der Berl. Akad. d. Wiss., t. II, p. ii55; 1884. — Wiedemann's 
Annalen, t. XXV, p. 601; i885. — G. Kirchhoff's Abhandlungen; Nachtrag, 
p. ii4). 

(') D.-J. KoRTEWEG, Ueber die Verânderung der Farm und des Volumens 
diëlektrischer Kôrper unter Einwirkung elektrischer Kràfte ( Wiedemann's 
Annalen, t. IX, p. 48; 1880). 

(•) E. Beltrami, Sulla representazione délie forze newtoniane per mezza 
di forze elastiche {Rendiconti del R. Instituto Lombardo, série II, vol. XVI; 
séance du 19 juin i884). 



454 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

équations dans lesquelles on aura 



(5) 



= K - K' /'—+ — + --^ - K" '^■'^ . 
«22 — K — K' ( -^ \- 1- - - ) — K' 



«33- 



dx dy ôz j 
\ dx dy dz ) 



«23 = «32 = 1- 

'i. \ dz 



W fdY . ()W 
'dy 



K" /dW àU\ 

K" /d{] dY\ 
^ \dy dx I 



dy 



K, K', K" étant trois constantes liées aux trois constantes y, /*, k 
par des relations qu'il est inutile d'écrire ici. 

La constante K est le coefficient d'aimantation du corps non dé- 
formé; elle est donc ésrale à — >.» 

o 2/ 

Si l'on suppose k = o, on a aussi K"= o. 

Si l'on suppose, en outre, h = o, on trouve K'=: o. 

MM. Lorberg et G. KirchhofF ont trouvé qu'à l'intérieur d'un 
solide élastique polarisé les équations (2) de Maxwell devaient 
être remplacées par des équations plus compliquées. Moyennant 
les notations que nous venons d'introduire, ces équations peuvent 
s'écrire de la manière suivante : 



(6) 






N, 



^-u^--") 



K"\ d(V-{-V) d(ll-^\^) 



dy 



dz 



4tt % J dz dx ^ 



T,= (-L 4.K 



1 ) dx dy 



CIUP. III. — LA THÉORIE DE MAXWELL. 455 

Ces équations se ramènent à celles de M. H. von Helmholtz, si 
l'on y fait 

K =o 

et à celles de Maxwell, si l'on suppose à la fois 

K" = o, K' --^ o, 
c'est-à-dire 

(7) k — o, Il — o. 

Cette théorie, fondée par Maxwell, développée par M. H. von 
Helmholtz, M. E. Lorberg et G. Rirchhoff, a été, nous l'avons 
dit, adoptée par presque tous les physiciens. Elle n'est pas, ce- 
pendant, sans présenter de graves causes de doute. 

Les lois connues de l'Hydrostatique enseignent qu'en un point 
d'un fluide, la pression est normale à l'élément mené par ce point 
et indépendante, en grandeur, de l'orientation de l'élément. 
D'après Maxwell, il n'en serait pas ainsi à l'intérieur d'un fluide 
polarisé : la pression qui s'exerce sur un élément normal aux 
lignes de force se changerait en tension pour les éléments paral- 
lèles aux lignes de force. 

Cette difficulté n'avait pas échappé à Maxwell. 

« L'hypothèse, dit-il ('), d'un pareil état de tension existant 
au sein d'un diélectrique fluide, tel que l'air ou la térébenthine, 
peut paraître, à première vue, en contradiction avec le principe 
établi, qu'en un point d'un fluide les pressions sont égales dans 
tous les sens. Mais, quand on établit ce principe en considérant la 
mobilité et l'équilibre des parties du fluide, on admet précisément 
qu'il n'existe dans le fluide aucune action du genre de celle que 
nous supposons se produire le long des lignes de force. L'état de 
tension que nous venons d'étudier est parfaitement compatible 
avec la mobilité et l'équilibre d'un fluide; car nous avons vu que, 



(') J.-Cr.. Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, traduiL en fran- 
çais par G. Seligmann-Lui, t. I, p. 178. 



456 LIVBE XII. — LES DÉFORMATIONS DES COUPS POLARISÉS. 

si une portion du fluide n'a point de charge électrique, elle n'est 
soumise à aucune force résultante due aux tensions sur la surface, 
si intenses que soient ces tensions. C'est seulement quand une 
partie du fluide est chargée que son état d'équilibre est troublé 
parles tensions agissant sur sa surface, et nous savons que, dans 
ce cas, elle tend efifectivement à se mouvoir; donc l'état de ten- 
sion supposé n'est pas incompatible avec l'équilibre d'un diélec- 
trique fluide. » 

Les difficultés de la théorie de Maxwell ont été profondément 
étudiées par M. M. Brillouin (') et par M. E. Beltrami (2), sans 
que ces auteurs soient parvenus à les surmonter. 

E. Mathieu (^) a démontré également que la théorie de Max- 
well ne pouvait s'accorder avec les principes de la théorie de 
l'élasticité. 

Enfin, dans le bel Ouvrage qu'il a consacré récemment à l'ex- 
posé des idées de Maxwell, M. Poincaré (^) insiste de nouveau 
sur les paradoxes nombreux que soulève la théorie des actions 
élastiques au sein des diélectriques. 

Tous les auteurs éminents que nous venons de citer, en signa- 
lant les nombreuses difficultés de la théorie de Maxwell, regardent 
ces difficultés comme des paradoxes qui seront un jour expliqués, 
et continuent à croire à la vérité de cette théorie. Aucun ne va jus- 
qu'à regarder comme inexacte l'expression, donnée par le physi- 
cien anglais, des pressions au sein d'un milieu polarisé. 

C'est pourtant là la conclusion à laquelle nous nous arrêterons. 

Nous avons repris, dans les deux Chapitres précédents, l'étude 
des corps polarisés, solides ou fluides, en cherchant à y mettre 



(') M. Brillouin, Essai sur les lois d'élasticité d'un milieu capable de trans- 
mettre des actions en raison inverse du carré de la distance {Annales de 
l'École Normale supérieure, 3^ série, t. IV, p. 201; 1887). 

('^) E. Beltrami^ Sull' interpretazzione meccanica délie formole di Maxwell 
{Memorie délia R. Accademia délie Scienze delV Instituto di Bologna, séance 
du i!\ février 1886). 

(') E. Mathieu, Théorie du potentiel. Deuxième Partie : Électrostatique et 
Magnétisme, p. 110. 

(*) H. Poincaré, Électricité et Optique. I : Les théories de Maxwell et la 
théorie électromagnétique de la lumière, p. 88. 



CHAP. III. — LA THÉORIE DE MAXWELL. /{5y 

une complète rigueur, à dissiper tous les doutes. Nous avons re- 
connu : 

1° Que les pressions à l'intérieur d'un semblable milieu ne sont 
pas déterminées par les lois données par Maxwell, même lors- 
qu'on admet les approximations adoptées par Maxwell ; 

2" Que les déformations du milieu ne sont pas liées aux six 
fonctions dont dépendent les pressions par les lois qui expriment 
cette même relation au sein d'un solide non polarisé. 

Ainsi, pour nous, les difficultés que présente la théorie de Max- 
well ne sont pas des paradoxes qui doivent tôt ou tard trouver 
leur explication, mais des contradictions qui en mettent à nu 
l'inexactitude et la doivent faire rejeter. Au premier rang de ces 
contradictions, citons celle qui consiste à admettre, au sein d'un 
tluide, l'existence d'une pression qui n'est pas normale à l'élé- 
ment sur lequel elle agit, ni indépendante de l'orientation de cet 
élément. 

L'expérience , d'ailleurs , nous laisse à l'aise pour rejeter la 
théorie de Maxwell. Elle a constaté, en effet, que les corps polari- 
sés se dilataient dans les directions normales aux lignes de force, 
ce qui s'accorde aussi bien avec notre théorie qu'avec celle de 
Maxwell; mais elle n'a jamais constaté la contraction dans le sens 
des lignes de force annoncée par la théorie que nous repoussons; 
M. Quincke (') a même cru constater qu'un diélectrique polarisé 
se dilatait uniformément en tout sens. Il est vrai que sa méthode, 
comme l'a fait remarquer M. J. Curie (2), n'est pas exempte de 
critiques. 

Nous rejetterons donc complètement la théorie de Maxwell, 
pour conserver uniquement la théorie, conforme aux principes de 
l'Hydrostatique et de l'Élastique, que nous avons développée dans 
les deux Chapitres précédents. 

§ 2. — Cause de l'inexactitude de la théorie de Maxwell. 
La théorie de Maxwell, tout erronée qu'elle nous paraisse, a été 



(') Quincke, Ueber electrische Ausdehnung {Monatsber. der Berl. Akad. 
der Wiss, p. 200; 1880). 

(") Voir PoiNCARÉ, Électricité et Optique, t. I, p. 29^. 



458 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

adoptée et admirée par des physiciens si éminents, que nous ne 
voulons point nous contenter de cette fin de non-recevoir; nous 
allons exposer ici la méthode qui sert à démontrer les formules de 
celte théorie pour marquer le point précis où Terreur se glisse 
dans la suite des raisonnements. L'exposé que nous allons donner 
se rapproche beaucoup de celui de M. H. von Helmholtz. Comme 
cet illustre physicien, nous nous bornerons à l'étude des fluides 
polarisés; les remarques que nous ferons s'étendraient sans peine 
aux solides. 

L'exposé que nous allons présenter ne servira pas seulement à 
mettre en évidence le point erroné de la théorie de Maxwell. Il 
aura aussi l'avantage de nous faire connaître plusieurs formules 
intéressantes. 

Considérons un fluide magnétique quelconque, placé sous l'ac- 
tion d'aimants permanents et sur lequel l'équilibre magnétique est 
établi. Donnons à ce fluide une modification infiniment petite 
quelconque, consistant en un changement de forme infiniment 
petit et en un changement d'aimantation infiniment petit. Cette 
modification peut se décomposer en deux autres : i" un chan- 
gement d'aimantation sans changement de forme; 2° un chan- 
gement de forme sans changement d'aimantation. 

Comme l'équilibre magnétique est supposé établi sur le fluide, 
la première modification n'entraîne aucun travail non compensé. 
Le travail non compensé effectué dans la modification totale se 
réduit donc au travail non compensé effectué dans la seconde 
modification partielle. Ce travail non compensé peut être regardé 
comme le travail des actions qui tendent à déformer le fluide; s'il 
est égal à o, le fluide est en équilibre. 

Ce travail non compensé se compose de deux parties. L'une 
demeurerait inaltérée si la même modification était imposée au 
même fluide préalablement ramené à l'état neutre; l'autre s'annu- 
lerait dans ces conditions. Désignons cette dernière par dx et 
calculons-la. 

Si l'on se reporte aux notations employées dans les Chapitres 
précédents [Chap. I, égalités (i i) et (i4)]j on a 

rfT = — (B + G'+G"-f-G"') 



CHAP. ni. — LA THÉORIE DE MAXWELL. 

OU bien [Chap. I, égalités (i3), (i5), (16), (17)], 



45.J 



di 



')- 



().f(,On, a)1 /du dv dw . , 
' ' -^ ^— ] dv 



'■m 






(8) 



-/p(01L, 

J { V ^^ àx dy dx dz dx J 

r cJCD-f-t?) dX ()(X')-t--0) d^ d(XD-+--Ç) d31 ^ 

L dx dy dy dy dz dy J 



dy dy dz 



&io 



rfa? dz 

d{t-)-^-Ç) 
dx 



dy 

u cos(N/, x) 



dz 



rfS. 



dv 



Posons 

(9) 

(10) 






X = 

Y = 



dx 

4r 



-^- 



c^^ Il 

) -^ V^ ) 



dcT 






Dl 



(J.r dy 



d2( !')-(-'(?) 



dx dz 



^ 



Dî, 



Dl 






-f- 






et l'égalité (8) deviendra 

( dx = ^ P[mcos(N;, a?) + Pcos(Ni, jk)-+- (vcos(N/5)] t/S 



-h f{Xu-hYv^Zw)dv. 



Si l'on se reporte aux égalités (18), (19) et (ao) du Chap. I, 
on pourra écrire les égalités (9) et (10) sous la forme suivante 



(y bis) 



(10 bis) 



P = ^{D\L, a) — 



;)rt2 



(JJ(,m,a) 



~ dx \_ à<j J d7 dx 

~ dy [^ di J c'a dj^ 

(J r_a.f(,m, <t)1 d ^(DTL,a) d<j 
d7 dz 



^^^Tzl' d. J 



46o LIVRE XII. — LES DÉFORMA.TIONS DES CORPS POLARISÉS. 

Ces égalités sont générales. Supposons maintenant qu'il s'agisse 
d'un fluide dont le coefficient d'aimantation soil, comme l'exige 
la théorie de Poisson, indépendant de l'intensité d'aimantation. 
Ce coefficient est une simple fonction k{<j) du volume spécifique 
T et l'on a 

.î(01L,a)=— -. 
Les égalités (9 bis) et (10 bis) deviennent alors 

, , , r. 31"^^ F// dk{Q\ 



(7 



d(j 



X = 



I d r 0112 dk(<7)l 01V2 dk{a)dr! 



r 0112 dki^l 



'2 àx lk'^{(7) d<j J ik{(s) d(s dx 

, , , I ^ I d r 0112 dk{^y\ 0112 dk(^) c)j 

^'"'^^^ y=-^^d^[kHV)'~^.~\-^^W)^à^' 

Z - — I — r ^^"^ — "l^ r ''^'^^ dk{^) d^ 
•X dz \_k-{n) ch L 'ik{u) di dz 

Ces égalités ont déjà été obtenues par M. H. von Helmholtz 
\^loc. cit., égalités (45)]. 

Elles permettent d'exprimer dx au moyen des dérivées partielles 
des deux quantités A'(a-) et OU-. A cette dernière quantité on peut 
se proposer de substituer les dérivées partielles de la fonction 
potentielle magnétique, en partant des égalités 

àx 

oz 

qui représentent les conditions de l'équilibre magnétique. Ces 
égalités donnent, en effet, 

0112^ A-2((j)n(OH-t?), 

relation qui, reportée dans les égalités (9 ter) et (10 ter)^ leur 



CHAP. m. — LA THÉORIE DE MAXWELL. 46l 

donne la forme suivante 

(i3) p^_[^Aia)-i-a^^^]n(t) + \'>), 

Ces expressions peuvent se mettre sous une autre forme. 
Considérons l'égalité 

M, My à_B __ \(\^-h<)) 
dx dj^ dz 4''^ 

En vertu des égalités (la), elle devient 

^j[>-^4-A-(a)]— ^^— ^ 

+ _j[,-^4TrA(a)]^ (=«• 

Multiplions les deux membres de cette égalité par — -r et 

nous obtiendrons l'égalité suivante 

ô-z\[î^.-^'''^'^\^ ô-z {' 

Moyennant cette égalité, l'expression de X, donnée par la pre- 



2 



2 



(3) 



462 MVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

mière des égalités (12), devient 



dx 



[f,-^-(')][^^^^'T 



(i5) 



ày\\_^'K'^ \ dx dy \ 



Les expressions de Y et de Z peuvent se mettre sous une forme 
analogue. Posons 

L4i^ J àz dx 



dx dy 

et l'égalité (i5) deviendra 

(Ib) A — h -r 1- -3—. 

, dx dy dz 

Les quantités Y et Z ont des expressions analogues. 

Le travail non compensé des actions magnétiques qui tendent à 
déformer le fluide peut donc s'écrire, d'après les égalités (i i), (i3) 
et (16), 

rfx = - g h{<7) -+- a ^^^n n(/0 + 1?) Il M cos(N;, x) Il dS 



(•7) 



/[(t 


dy 




-r:; 


+ dy 


^ dz)' 



\ dx dy dz 



]di^. 



CHAP. III. — LA THÉORIE DE MAXWELL. 463 

Nous avons supposé le fluide magnétique continu. Nous aurions 
pu le supposer formé de deux fluides distincts, séparés par une 
surface de discontinuité S. Désignons par N/ la normale vers l'in- 
térieur du premier fluide à l'une des surfaces S ou S qui limitent 
le volume ç du premier fluide et par N^' la normale vers l'intérieur 
du second fluide à l'une des surfaces S' ou S qui limitent le vo- 
lume v' du second fluide. 

Désignons par 

N' N' N' T' T' T' 

ce que deviennent les quantités 

N„ N2, N3, T,, T„ T3 

lorsqu'on y remplace les quantités <7 et A-(o-) relatives au premier 
fluide par les quantités a-' et k(<y') relatives au second. Nous aurons, 
pour expression du travail non compensé des actions qui tendent à 
déformer les deux fluides, 



"- /[(' 









^) « + ...]«?. 



/[(f-f-^tS) -•••]- 



(18) 



-S 

-s 



f A-'(<t') + =r' ^^^r^ 1 n'(l') + \;^) 11 a'cos(N;-, X) \\ dS' 
A-(cr) -1- a^^— 1 n(U + \?)!|ttcos(N/,:p)|l 

''"^ u'{v-^K>) Il «'cos(n;-, x) 1! { rfs. 



A-'(a') 



o?a' 



Cette égalité est due à M. von Helmholtz (*). 

Imaginons, en particulier, qu'il s'agisse d'un corps magnétique 
plongé dans un milieu illimité qui est lui-même magnétique. La 
surface désignée par S s'évanouit. La surface S devient la surface 
même du corps. L'intégrale relative à la surface S', rejetée à l'in- 
fini, est égale à o, si, à l'infini, (O -+-•<?) se comporte comme une 



(') H, VON Helmuoltz, loc. cit. {Wiss. Abhandlnngen, t, I, p. Si'j). 



464 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

fonction potentielle. Si nous remarquons qu'en tout point de la 
surface S on a 

Il II cos(Ni, x) Jl -f- Il tt'cos(N^-, x) Il = G, 
qu'on a d'ailleurs 

on 2 



\l\'0 + V) 






(20)< 



A-'(ar 
on voit que l'égalité («8) devient, dans ce cas, 

- [^A-'(a')+=^'^^^|^^] n'CO -h t?) j II MCos(N,, .r)||t;s 
ou bien 

(19 6js) ( 

— ri-^a'-^log^'(j')piV2 II MCOs(N/, a:) Jc^S. 

Il est aisé de voir que la théorie de Maxwell serait exacte si, au 
lieu de ces équations (19) ou (19 bis), on avait l'équation 

+ §[(Ni-N;)cos(N,,^) + (T3-T;)cos(N,-,j) + (T2-T',)cos(N,,^)]«c/1 
-hg[(T3-T;)cos(N,-,:r)4-(N2-N;)cos(N,-,7) + (Ti-T;)cos(No2)] v d^2 
-i-Q[(T2 — T'2)cos(N/,^) + (Ti-T',)cos(N.-,^)+ N3 — N'3) cos(N,-, z)]tï'^i:. 



CHAP. III. — LV THÉORIE DE MAXWELL. 465 

Cette équation (20) est précisément celle qu'a proposée M. Lor- 
berg(<). 

Mais il est aisé de voir que les trois intégrales relatives à la sur- 
face 2 que renferme l'équation (20) ne se réduisent pas à l'intégrale 
relative à la surface S que renferme l'équation (19 bis). 

Si l'on se reporte, en effet, aux égalités (3), on trouve 

N, cos(Nj, a7)-hT3COs(Ni, jk) + T2C0s(N/, 3 

De même 

N'i cos(N;-, ;r) 4- T'3 cos(N;.,^) -- T; cos(N;-, 3) 

= Lt^ (^ )j —^, j^, — 

2 |_4tc a7 J 

On a d'ailleurs 

Nous aurons donc 

(N,- N',) cos(N/, X) + (T3- T'3) cos(N/, j/-) 4-(T2- T;) cos(N/, z) 

2 L4it i/j j 

+ 1 r L + k\7') + T "^^^1 n'( V -t- \'>) cos(N,, X). 
2 L4^ aj J 

Si l'on compare ce terme, coefficient de ud^ au second membre 
de l'égalité (20), au coefficient de la même quantité a û?S au se- 



< ■ ) E. LoRBERQ, Ueber E lektrostriction ( Wiedemann's Annalen, t. XXI, p. 3 1 '( ; 
1884 ). 

D. — II. •*» 



466 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

cond membre de l'égalité (19), on trouve que ce dernier surpasse 
le premier de 

- Ï4- -^'(a')- a' "LKip.] n'(XD + \'^) cos(N,-, ce) 
2 L4TI a<y j 

_ i r_L _ k(<j) — a li(^] n(l9 + '(?) cos(N/,a7) 

- [^ + '^-c ^)j ^N, L — ^^ — "^^^ — J * 

Cette quantité est-elle égale à o? Pour nous en rendre compte, 
supposons qu'au point considéré la direction N/ soit celle de l'axe 
des X. Nous aurons alors 



d(r) -Ht')) 




d(V^ ^-0) 
dx 




d(XD-^<)) _ 


(jf^O + t?) 


acto + t')^ 


^(t')-i--C)) 



dy ùy' dz dz' 

et la quantité précédente deviendra 

quantité qui n'est certainement pas nulle en général. Les équa- 
tions (19) ou (19 bis) ne se réduisent donc pas à l'équation (20), et 
la théorie de Maxwell, contre laquelle militent tant d'objections, 
repose sur une démonstration inexacte, en sorte que tout conspire 
à la faire rejeter. 



CHAP. IV. — LES DÉFORMATIONS ELECTRIQUES DES CRISTAUX. 467 



CHAPITRE IV. 

LES DÉFORMATIONS ÉLECTRIQUES DES CRISTAUX. 



Nous serons très brefs dans l'étude de la déformation électrique 
des cristaux. 

Cette étude n'offre pas de difficultés de principes plus grandes 
que celles que l'on rencontre dans l'étude de la déformation des 
corps isotropes polarisés^ mais elle conduit à des formules beau- 
coup plus longues et beaucoup plus compliquées. C'est cette com- 
plication des formules que nous chercherons à éviter en indiquant 
seulement la marche du raisonnement qui fournit l'expression 
des quantités à déterminer, et en n'écrivant point cette expres- 
sion. 

La marche à suivre dans la formation de l'équation d'équilibre 
d'un cristal polarisé dans un champ est exactement la marche 
suivie au Chapitre II; mais : 

i" L'équation (i) doit être remplacée par une équation de la 
forme 

0) E(V-T2:)^12+i/[aH(^)V...]rf., 

f^i J I — ) _|_. .. étant une forme quadratique quelconque des six 

déformations. 

2" D'après ce qui a été dit au Livre X, Chap. IV, § 1, l'ex- 
pression (2) doit être remplacée par une expression de la forme 



468 LIVRE XU. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

suivante 

! / ^U 

(2) / +/ n„+„j _ +.. 



M\^ 



Il 1 ^^ \ 



c/U 

m^^mi F-. 

ox 






étant des fonctions linéaires des six déformations, et 

étant une fonction homogène et du second degré de X, Db, G. 

Dès lors, le travail externe continue à être donné, comme dans 
l'égalité (4) du Chapitre II, par la formule 



(3) dise= f piXuH- Yv -hZw)dç -i-^p\\ucos{P,x) 



dS. 



Mais la formule (5) du Chapitre H prend une forme beaucoup 
plus compliquée 

(4) A = j(aH^~+...)^.. 

La formule (6) du Chapitre II prend la forme également très com- 
pliquée 

dU 



riQ -h n 

ox 
(5) 



-^[\P^'^P^Tx^-'-r-^'--\\\:ô-x-^-ôy-^-d^)^' 
1 Ui =.1) + mi 0)1) + Wj ô + /?i ^.1,2 + . . . j -^ + . . . dv. 



CHAP. IV. — LES DÉFOHMATIONS ÉLECTRIQUES DES CRISTAUX. 469 

Enfin, la quantité G est encore donnée par l'égalité (7) du 
Chapitre II; mais, si l'on observe que l'on a 



ox 






dx 



en vertu des conditions de l'équilibre magnétique; si l'on pose en 
outre 

P = \h-\-l\. -^ f- . . . j ri. -H I mo -f- /ni ■— + . . . ) Olb 



(6) { -+-^/io-f-ni 



dx 
dx 



■h 



on aura 



.1, 



dx 






=^-? 



et 



: 1 _ S 1 ^ : — 

dx dx dy dx dz dx 



1 1 ^'^ 
dx 



dX^ 
dx 



mo-t- /«i 



dj^ \d\)b 



dx ' ' ' j dx 
l d-0 \de r/ dV \d.\>^ 1 

L'égalité (7) du Chapitre II prend donc ici la forme suivante : 



dS 



(7) 



G = V (9~-2(J<) u cos(N,-, x) 

r\ /, , d\] \ d.X, / dU \ à\\\, 

/ àV \ dB 

+ [(/'o + />,g-^...)^V...]j«rf.+.... 

Écrivons que 

A 4- B 4- G — d^e = o, 

après avoir transformé les expressions (4) et (5) de A et B au 



t w aï5 



470 LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

mojen d'intégrations par parties. Nous aurons, toute réduction 
faite, 

-1- r. . 1 cos(N,■,7)-^ r.. .1 cos(N/, z) -Pcos(P,ir)| u dS 

(8) (_J[pX + a./^-f-...+ ;'^(cp-^4.) 
-+- — (/iJU-K miil'o -h 3 + /?,^l,2 + . . .) 

\ — / . . . K' rft^ — / . . . (V (/t^ = 0. 

Cette égalité doit avoir lieu quels que soient w, ç, w. Par des 
raisonnements analogues à ceux que nous ayons faits au Cha- 
pitre IT, nous trouverons que l'on doit avoir : 

i" En tout point du milieu cristallin, trois équations dont la 
première est 

(9) \ = — pX— (Zi .^l, _|_ ,?ijx)<,-+- n,3-i-/)icAD2 -I-. . .) 

2" En tout point de la surface du cristal, trois équations dont la 
première est 

l U^ — «11 -^ — !-• • • cos(N/, x)-h\ ... cos{Ni,y)-+- • • • cos(N,,5) 

{ +(..•) cos(N/, y) + (. . .) cos(N,-, ^) h- P cos(P, x). 

Les équations (9) sont les équations aux dérivées partielles du 
second ordre qui doivent être vérifiées en tout point du cristal par 
les déplacements U, Y, W; les équations (10) sont les condi- 
tions que ces déplacements doivent vérifier aux limites du cristal. 




CHAP. IV. — LKS DÉFORMATIONS ÉLECTRIQUES DES CRISTAUX. 47 1 

L'intégration générale de ces équations conduirait à la solution 
du problème suivant : Trouver la déformation que subit un cristal 
diélectrique lorsqu'on le place dans un champ électrique. Nous 
n'aborderons ce problème que dans un cas extrêmement particu- 
lier. 

Nous supposerons que le champ soit uniforme; nous suppose- 
rons, en outre, que le cristal soit très faiblement diélectrique, de 
telle sorte que, dans nos équations, nous ayons seulement à con- 
server les termes du premier degré par rapport aux quantités 

U, V, W, A,, ail,, 3. 

Nous supposerons enfin qu'aucune force extérieure n'agisse sur 
le cristal. On voit sans peine que si, dans ces conditions, on sup- 
pose les déformations uniformes à l'intérieur du cristal, ainsi que 
la polarisation, les équations (g) sont identiquement satisfaites. 

La première des équations (lo) va devenir 

(«II ^^ -4-. .. j cos(N/, a')-i-(...)cos(N,-,jK) + (.-.)cos(N/, 2) 

= [(^0 — li)cA9 -h {rriQ — /ni) \\\y -+- («o — ^i) 3]cos(N/, x) 

— [/2'^-i- m^^W) -4- «2 3] cos(N/,7) 

— [ /s cil) H- ms l)î) -1- na 3 ] ces ( Nj, xî ). 

Nous avons supposé que l'équilibre électrique était établi sur le 
cristal; nous avons supposé, en outre, que le cristal ne renfer- 
mait pas d'électricité libre; ces deux hypothèses ne sont compa- 
tibles que si le cristal n'est pas naturellement pyro-électrique. 
Nous devons donc poser 

/fl — o, mo — o, «0 = 0, 

en sorte que l'équation précédente devient la première des équa- 
tions 

'au ^ +■ • •) cos(N/, x) -h (...) cos(N/,^)-t- (. . .) cos(N/, z) 

— — (li,Ào -f-m,l)b -I- «i3)cos(Ni, 37) 

1 —{liX-hm2^i\)-hni€■)cos{Ni,y) 

— ( /s «As -4- ms 1)1) -(- /i3 3)cos(N/, z), 



Ces trois équations seront vérifiées en tout point de la surface 



47^ LIVRE XII. — LES DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

qui limite le cristal, si l'on peut égaler séparément, dans chacune 
d'elles, les coefficients de cos(N,-, x), cos(N,-, jk), cos(N/, z). On 
obtient ainsi neuf équations 

, , l an 1- . . . = /isAf) -+- millî) M- /ii3, 

(12) ^ Ox 



qui se réduisent à six; en sorte que les six déformations sont dé- 
terminées, en fonction de JU, a)i). G, par six équations linéaires. 
Deux cas sont à distinguer : 

i" Le corps n'est ni pyro-électrique ni piézo-électrique. 
On a alors 

l\ = o, ^2 = 0, . . . , 



Les équations (12) deviennent 






Elles donnent 

d\] dY d\\ 

dY d\Y d\Y d\J dU àY 

oz ay ôx dz ' dy dx 

Si donc on place dans un champ uniforme un cristal fai- 
blement diélectrique, qui n'est ni pyro-électrique ni piézo- 
électrique, les déformations que ce cristal éprouve sont d'un 
ordre de petitesse plus élevé que la polarisation qu'il prend. 
En général, elles seront inaccessibles à l'expérience. 

2° Le corps est piézo-électrique. 
Dans ce cas, les quantités 

hi hi • • • , 



ne sont pas toutes égales à zéro. Les équations (12) déterminent 
les six déformations en fonctions linéaires et homogènes des com- 



CHAP. IV. — LES DÉFORMATIONS ÉLECTRIQUES DES CRISTAUX. 473 

posantes de la polarisation; par conséquent, aussi en fonctions 
linéaires et homogènes des composantes du champ. 

Si donc on place dans un champ uniforme un cristal fai- 
blement diélectrique et piézo électrique, les déformations que 
ce cristal éprouve sont du même ordre de grandeur que la 
polarisation qu'il prend. 

Ces déformations varient proportionnellement à l'intensité 
du champ dans lequel le cristal est placé. Elles changent de 
sens avec le champ. 

Ces phénomènes ont été constatés par l'expérience. 

Lorsque MM. P. et J. Curie eurent démontré la possibilité 
d'électriser certains cristaux par la compression, M. G. Lipp- 
mann (' ) annonça, comme conséquence des principes de la Ther- 
modynamique, que les dimensions de ces cristaux devaient varier 
lorsqu'on plaçait les cristaux dans un champ électrique. 

Peu de temps après, MM. P. et J. Curie (-) reconnaissaient 
par l'expérience le fait annoncé par M. Lippmann : une plaque 
de quartz, taillée normalement à un axe d'hémiédrie, et placée 
entre les deux plateaux d'un condensateur, subit une dilatation 
ou une contraction ; la dilatation est proportionnelle à la diffé- 
rence de niveau potentiel qui existe entre les deux plateaux et en 
raison inverse de leur distance. 

Par des méthodes optiques, M. Rôntgen (•') et M. Kundl (') 
ont vérifié le fait découvert par MM. P. et J. Curie. 

Nous arrêterons là l'étude des déformations électriques des cris- 
taux. Nous avons marqué la méthode par laquelle on pourrait 
obtenir les lois entièrement générales de cette déformation. La 
présente ébauche pourrait donc servir de point de départ à une 
théorie complète et étendue de cette classe de phénomènes. Nous 



(') G. Lippmann, Principe de la conservation de l'électricité {Annales de 
Chimie et de Physique, 5» série, t. XXIV, p. i45; 1881). 

(") P. et J. Curie, Déformations électriques du quartz {Comptes rendus, 
t. XCV, p. 914; 1882). 

(') RôNTGEN, Ueber die durch electrische Kràfte erzeugte Aenderung der 
Doppellbrechung des Quarzes {Wiedemann's Annalen, t. XVIII, p. 2i3 et 534; 
i885). 

(*) KuNDT, Ueber das optische Verhalten des Quarzes ini elektrischen 
Felde {Wiedemann's Annalen, t. XVIII, p. 228; i883). 



474 LIVRE XII. — LKS DÉFORMATIONS DES CORPS POLARISÉS. 

ne développerons pas cette théorie qui allongerait outre mesure le 
présent Volume; ce que nous avons dit suffit à montrer comment 
le phénomène de la dilatation électrique des cristaux vient prendre 
place dans le tableau, parfaitement ordonné, des phénomènes 
magnétiques et diélectriques qui nous est tracé par la Thermodv- 
namiquc. 



FIN DU TOME DEUXIEME. 



TABLE DES MATIERES 

DU TOME II. 



LIVRE VIL 

Les forces magnétiques. 

l'ages 

Chapitre I. — Premières cléftnilions i 

§ 1. — Pôles magaétiques i 

§ 2. — Des éléments magnétiques. Action d'un aimant sur un pôle.... 4 

§ 3. — Potentiel mutuel de deux aimants 8 

§ 4. — Forces qui agissent sur un aimant rigide . 1 1 

§ 5. — Actions d'aimants éloignés. Moment magnétique 12 

Chapitre II. — Détermination de la loi des actions magnétiques et de 

l 'intensité du magnétisme terrestre 1 4 

§ 1. — Définition des éléments du magnétisme terrestre i4 

§ '2. — Détermination de MH 17 

§ 3. — Détermination de ^ 26 

Chapitre III. — La fonction potentielle magnétique et le potentiel ma- 
gnétique ^^ 

§ 1. — La fonction poteetielle magnétique à l'extérieur d'un aimant... 35 

§ 2. — La fonction potentielle magnétique à l'intérieur d'un aimant. .. 87 

§ 3. — Du potentiel magnétique 44 

Chapitre IV. — Les distributions fictives équivalentes à un aimant 5i 

§ 1. — Les distributions fictives équivalentes à un aimant 5i 

§ 2. — La distribution superficielle équivalente à uu aimant et le pro- 
blème dérivé de Lejeune-Dirichlet 56 

§ 3. — Méthodes expérimentales pour letude de la distribution fictive. 60 

Chapitre V. — Le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet <J6 

§ 1. _ Le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet pour les cylindres 63 

§ 2. — Le problème dérivé de Lejeune-Dirichlet pour la sphère 69 

Chapitre VI. — Les aimants linéaires 74 



47^ TABLE DES MATIÈRES. 

Pagei 
Chapitre VII. — Les distributions solénoïdales et lamellaires 86 

§ 1. — De la distribution magnétique solénoïdale 86 

§ 2. — De la distribution lamellaire simple ga 

§ 3. — De la distribution sur un aimant quelconque 94 

§ 4. — Décomposition d'une distribution quelconque en une distribu- 
tion lamellaire simple et une distribution solénoïdale 96 

Chapitre VIII. — Méridiens magnétiques et parallèles magnétiques 98 

§ I. — Distribution de la force tangentielle à la surface d'un corps 

quelconque 98 

§ 2. — Du magnétisme terrestre. 10- 

LIVRE VIII. 

L'aimantation par influence selon la théorie de Poisson. 

Chapitre I. — Conditions de l'équilibre magnétique 1 15 

§ 1. — Lois fondamentales de l'aimantation par influence 1 15 

§ 2. — Mise en équation du problème de l'aimantation par influence... 117 
§ 3. — Autre manière de mettre en équation le problème de l'aimanta- 
tion par influence 121 

§ 4. — La fonction caractéristique 12^ 

Chapitre II. — Corps qui s'aimantent uniformément dans un champ 
uniforme 128 

§ 1. — Aimantation d'une sphère pleine dans un champ magnétique 

uniforme 1 28 

§ 2. — Aimantation d'un ellipsoïde plein dans un champ magnétique 

uniforme i3i 

§ 3. — Détermination des coefficients d'aimantation i33 

§ 4. — Détermination de l'inclinaison par la mesure de déviations ho- 
rizontales i36 

Chapitre III. — Sphère creuse dans un champ magnétique uniforme.. i38 

§ 1. — Aimantation d'une sphère creuse dans un champ magnétique 

uniforme j38 

§ 2. — Action de la sphère creuse hors de sa masse i44 

Chapitre IV. — Aimantation dans un champ quelconque. Méthode de 
Béer i5o 

§ 1. — Aimantation dans un champ quelconque i5o 

§ 2. - Méthode de Béer io4 

LIVRE IX. 

L'aimantation par influence et la Thermodynamique. 

Chapitre I. — Le potentiel thermodynamique d'un système aimanté.... iSg 
1. — Défauts de la théorie précédente iSg 



TABLK DES iMATIERES. 4^7 

Pages 

§ 2. — Le potentiel thermodynamique interne d'un système aimanté... i6i 

§ 3. — Corps hémimorphes, holomorphes, isotropes 1-12 

Ch.\pitre II. — Les équations de l'équilibre magnétique 175 

§ 1. — Equations fondamentales de l'aimantation par influence 175 

§ 2. — Le problème de l'induction magnétique se ramène à la déter- 
mination de la fonction X^{a:, y, z) 180 

§ 3. — Equation aux dérivées partielles à laquelle satisfait la fonction 

■K>{j:,y, z) ,8a 

§ 4. — Conditions aux limites auxquelles satisfait la fonction \^^(a:,jK, z). i83 

§ 5. — Ap|)roxiination de Poisson 186 

Chapitre III. — Le problème de l'aimantation par influence admet une 

et une seule solution 188 

§ 1. — Existence d'une solution 188 

§ 2. — Il n'existe, pour les corps magnétiques, qu'une seule solution 
au problème de l'aimantation par influence. Elle correspond 

à une aimantation stable 190 

Chapitre IV. — Quelques théorèmes sur l'aimantation des corps magné- 
tiques 197 

§ 1. — Les corps parfaitement doux ne présentent pas de magnétisme 

rémanent 197 

§ 2. — Corps qui s'aimantent uniformément dans un champ uniforme. 198 

§ 3. — Détermination de la fonction magnétisante. Saturation. 2o3 

Chapitre V. — Équilibre et mouvement d'une masse magnétique en pré- 
sence d 'aimants permanents 207 

§ 1. — Équation générale du mouvement d'un corps parfaitement doux. 207 
§ 2. — Instabilité de l'équilibre d'un corps magnétique en présence 

d'aimants permanents. 2i5 

Chapitre VI. — Impossibilité des corps diamagnétiques 221 

Chapitre VII. — Aimantation d'un corps magnétique au sein d'un mi- 
lieu magnétique 228 

§ 1. — Historique 228 

§ 2. — Aimantation d'un corps p^rraitement doux plongé dans un mi- 
lieu parfaitement doux 23o 

Chapitre VIII. — Pression d'un fluide incompressible aimanté 235 

§ 1. — Comment, dans un fluide incompressible aimanté, se disposent 

les éléments magnétiques 235 

§ 2. — Pression exercée par un fluide aimanté 247 

§ 3. — Expérience de M. P. Joubin 249 

§ 4. — Forme de la surface de séparatioa de deux fluides aimantés 252 



478 TABLE DES M.VTrÈRES. 

Chapitre IX. — Actions exercées sur les corps peu magnétiques aSG 

§ 1. — Formule fondamentale aSG 

§ 2. — Théorème de M. Edmond Beequei'cl 269 

§ 3. — Loi de Faraday 260 

§ 4. — Instabilité de l'équilibre d'un corps peu magnétique 263 

§ 5. — La loi de Faraday s'étend-elle aux petits corps fortement ma- 
gnétiques? Critique de la méthode d'arrachement 26- 

CiiAPiTRE X. — Les spectres magnétiques 271 

§ I. — Spectres formés par des poudres faiblement magnétiques 271 

§ 2. — Spectres formés par des poudres fortement magnétiques 278 

Chapitre XI. — Chaleur et aimantation 2-8 

§ 1. — Chaleur mise en jeu dans le déplacement d'une masse magné- 
tique 27H 

§ 2. — Chaleur spécifique d'un corps aimanté 28) 



LIVRE X. 

L'aimantation des corps cristallisés. 

Chapitre I. — Équations de l'équilibre magnétique sur les corps cris- 
tallisés 289 

§ 1. — Historique 289 

§ 2. — Surface d'induction magnétique 29.') 

§ 3. — Existence d'un état d'équilibre 296 

§ 4. — Equations de l'équilibre magnétique 297 

§5. — Détermination de la distribution qui convient à l'équilibre 3oo 

§ 6. — Remarque sur les corps hémimorphes homogènes Sol 

Chapitre II. — La théorie de Poisson SoG 

§ 1 . — Les deux surfaces d'induction magnétique 3o() 

§ 2. — La détermination de l'aimantation ramenée à l'intégration 

d'une équation aux dérivées partielles 309 

§ 3. — Stabilité de l'équilibre magnétique 3i t 

Chapitre III. — Action d'un champ magnétique uniforme sur un corps 

cristallisé 3i3 

§ 1. — Aimantation d'une sphère ou d'un ellipsoïde cristallin dans un 

champ magnétique uniforme 3i3 

§ 2. — Forces qui sollicitent une sphère cristalline dans un champ ma- 
gnétique uniforme. : 3iC 

§ 3. — Vérifications expérimentales 821 

§ 4. — Action d'un champ uniforme sur un cristal faiblement magné- 
tique plongé dans un milieu faiblement magnétique 325 



TABLK DKS MATIERES. 479 

l'aife» 

Chapitre IV. — Aimantation des corps peu déformés 33 1 

§ 1. — Aimantation d'un corps quelconque peu déformé 33'| 

§ 2. — Aimantation d'un corps isotrope peu déformé . 335 

LIVRE XI. 

Les corps diélectriques. 

Chapitre I. — Potentiel thermodynamique d'un système renfermant des 

diélectriques 339 

§ 1. — Potentiel thermodynamique d'un système qui renferme des 

corps diélectriques électrisés et polarisés 331) 

§ 2. — Corps diélectriques et corps pyro-électriques 344 

§ 3. — Transformations du potentiel d'un système renfermant des dié- 
lectriques 345 

Chapitre II. — Propriétés fondamentales des corps diélectriques 349 

§ 1. — Équilibre électrique sur les diélectriques mauvais conducteurs. 349 

§ 2. — Du pouvoir inducteur spécifique 352 

§ 3. — Équilibre électrique sur un corps conducteur placé en présence 

de diélectriques 352 

§ 4. — Propriétés d'un condensateur à lame isolante diélectrique. Me- 
sure du pouvoir inducteur spécifique 353 

§ 5. — Causes d'erreur. Expériences de Gaugain 363 

§ 6. — Courants permanents dans un diélectrique 366 

Chapitre III. — Attractions des corps électrisés plongés dans un milieu 

diélectrique 370 

§ 1. — Distribution électrique sur des corps conducteurs plongés dans 

un milieu diélectrique 370 

§ 2. — Attractions entre corps plongés dans un milieu diélectrique . . . 375 

Chapitre IV. — Les cristaux pyro-électriques 383 

§ 1. — L'état d'équilibre d'un cristal hémimorphe homogène 383 

§ 2. — Les phénomènes pyro-électriques 387 

§ 3. — Expériences de Gaugain 391 

§ 4. — Cristaux naturellement et accidentellement pyro-électriques.... 392 

Chapitre V. — Les cristaux piézo-électriques 395 

§ 1. — Dégagement de l'électricité par la compression de substances 

cristallisées SgS 

§ 2. — Piézo-électricité de la tourmaline 398 

§ 3. — Piézo-électricité du quartz plagièdre l\oo 

LIVRE XII. 

Les déformations des corps polarisés. 

Chapitre I. — La pression à l'intérieur des fluides polarisés 4^^ 

§ 1. — Condition d'équilibre diélectrique ou magnétique d'un (luide 

compressible 4o5 



480 TABLE DES MATIERES. 

Pages 

§ 2. — - Condition d'équilibre mécanique du fluide polarisé 4o8 

§ 3. — De la pression à l'intérieur d'un fluide polarisé 4 '3 

§ 4. — Changement de volume d'un fluide polarisé 422 

Chapitre II. — La pression à V intérieur des solides polarisés 4^7 

g 1. — Conditions d'équilibre d'un solide primitivement isotrope, peu 

déformé et polarisé 4^7 

§ 2. — Pressions à l'intérieur d'un solide primitivement isotrope, peu 

déformé et polarisé 4^7 

§ 3. ~ Pressions fictives à l'intérieur du solide polarisé 4^9 

§ 4. — Déformations du solide polarisé 44^ 

§ 5. — Comparaison des résultats de la théorie aux résultats de l'expé- 
rience. 447 

Chapitre Kl. — La théorie de Maxwell 449 

§ 1. — Historique de la théorie des pressions à l'intérieur des corps 

polarisés 449 

§ 2. — Cause de l'inexactitude de la théorie de Maxwell 4^7 

Chapitre IV^ — Les déformations électriques des cristaux 4^7 

Table des matières 47^ 



FLN DE LV TABLE DES MATIERES. 



17763 Paris. — Imprimerie GAUTHIER-VILLARS ET FILS, quai des Grands-Augustins, 55. 



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Duhera, Pierre Maurice Marie 
Leçons sur l'électricité 
et le magnétisme 



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